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    Super Ejercicio2018 2

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    Miguel Rodriguez
    La cuestión 1 presenta datos de dos muestras aleatorias independientes y pide calcular la probabilidad de que la media de la primera muestra sea mayor que la segunda. La cuestión 2 contrasta si la duración de un tipo de bombillas sigue una distribución exponencial dada. La cuestión 3 estima el porcentaje de gasto en alimentación y el gasto total en alimentación a partir de datos de muestra.

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    Miguel Rodriguez
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    La cuestión 1 presenta datos de dos muestras aleatorias independientes y pide calcular la probabilidad de que la media de la primera muestra sea mayor que la segunda. La cuestión 2 contrasta si la duración de un tipo de bombillas sigue una distribución exponencial dada. La cuestión 3 estima el porcentaje de gasto en alimentación y el gasto total en alimentación a partir de datos de muestra.

    Descripción original:

    Super ejercicio.

    Título original

    super_ejercicio2018_2

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    La cuestión 1 presenta datos de dos muestras aleatorias independientes y pide calcular la probabilidad de que la media de la primera muestra sea mayor que la segunda. La cuestión 2 contrasta si la duración de un tipo de bombillas sigue una distribución exponencial dada. La cuestión 3 estima el porcentaje de gasto en alimentación y el gasto total en alimentación a partir de datos de muestra.

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    Super Ejercicio2018 2

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    Miguel Rodriguez
    La cuestión 1 presenta datos de dos muestras aleatorias independientes y pide calcular la probabilidad de que la media de la primera muestra sea mayor que la segunda. La cuestión 2 contrasta si la duración de un tipo de bombillas sigue una distribución exponencial dada. La cuestión 3 estima el porcentaje de gasto en alimentación y el gasto total en alimentación a partir de datos de muestra.

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    de 5

    Ejercicio 2

    CUESTIÓN 1: De una distribución N (100, σ), se toman dos muestras aleatorias simples
    independientes entre sı́ de tamaño 4 y 5.
    Muestra 1 Muestra 2
    98 97,8
    103,4 101,3
    100,5 97,9
    99,7 100,7
    100,3
    P4
    En la muestra 1: x̄ = 100, 4 ; i=1 (xi − x̄)2 = 15, 26

    P5
    En la muestra 2: ȳ = 99, 6 ; i=1 (yi − ȳ)2 = 10, 72

    Calcular la P (X̄ − Ȳ ≥ 2), donde X̄ e Ȳ son las medias muestrales, indicando la distribución
    muestral necesaria para su cálculo.

    CUESTIÓN 2: Contrastar con un nivel de significación 2,5 % que la duración de un determi-


    nado tipo de bombillas eléctricas es una variable aleatoria con función de densidad:

    1
    f (x) = 1/θexp(− x) x>0
    θ

    con θ = 200 horas, teniendo en cuenta que en una muestra aleatoria de 75 bombillas probadas
    hasta fundirse, se han observado las siguientes duraciones:

    Duración Número de bombillas


    Hasta 200 horas 40
    De 200 a 300 horas 15
    De 300 a 400 horas 8
    De 400 a 500 horas 6
    Más de 500 horas 6
    N=75

    1
    Ejercicio 2

    CUESTIÓN 3: De una población de N = 500 hogares, se obtiene una muestra aleatoria


    simple (sin reposición) de tamaño n = 50. En cada hogar de la muestra se mide el gasto en
    alimentación (Y ) y el gasto total (X). Los datos, en miles de euros, son los siguientes:

    P50 P50 P50 P50 P50


    i=1 Yi = 213; i=1 Xi = 452; i=1 Yi2 = 964; i=1 Xi2 = 4552; i=1 Yi Xi = 2060

    Se pide:
    A) Estimar el porcentaje de gasto en alimentación y su error de muestreo.
    B) Estimar el gasto total en alimentación usando el método de la razón y su error de muestreo.
    Para ello se conoce que el gasto total de la población es de 5000.

    CUESTIÓN 4: Se quiere estimar la proporción de pinos que hay en una zona forestal. Para
    ello, se divide la zona en 20 conglomerados
    P20 de tamaños diferentes Mi , i = 1, ..., 20 conociendo
    que el total de árboles es M = 1=1 Mi = 1000. Se utiliza un muestreo de conglomerados con
    submuestreo donde en ambas etapas el procedimiento de selección es con probabilidades igua-
    les sin reposición. En la primera etapa se seleccionan 4 conglomerados y en la segunda etapa
    se aplica una fracción de muestreo de f2i = 10/Mi . Los valores del tamaño de los conglome-
    rados muestrales y el número de pinos obtenido en cada uno de ellos vienen en la siguiente tabla:

    Número de árboles= Mi Número de pinos


    60 8
    80 7
    50 6
    30 4
    Se pide:
    A) Una estimación insesgada de la proporción de pinos y su error de muestreo.
    B) Una estimación de la proporción de pinos utilizando el estimador de la razón al tamaño y
    su error de muestreo.
    C) Comentar las ventajas e inconvenientes del estimador B) respecto al A).

    2
    Ejercicio 2

    CUESTIÓN 5: Se dispone de la siguiente información respecto a los agregados de oferta,


    demanda y rentas de una economı́a en miles de millones de euros (entre guiones, el código de
    las operaciones y saldos en SEC2010):

    Se pide:
    1. Calcule el valor añadido a precios básicos.
    2. Calcule el PIB a precios de mercado (PIBpm).
    3. Calcule el valor de la variación de existencias. Suponga para ello que las adquisiciones menos
    cesiones de objetos valiosos son nulas.
    4. Calcule la remuneración de los asalariados

    CUESTIÓN 6: El PIBpm de una determinada economı́a en el año t ha sido de 1,100 (miles


    de millones de euros). Se conoce también que la tasa de variación de este agregado a precios
    corrientes entre el año t − 1 y t fue de 4, 9 % mientras que la correspondiente tasa de variación
    anual en volumen fue del 3, 4 %.

    Además de la cuenta del resto del mundo se tiene la siguiente información del año t − 1 (en
    miles de millones de euros):

    Se pide:
    1. Calcule el PIBpm y la Renta Nacional Bruta (RNB ) del año t − 1.
    2. Calcule la variación entre t − 1 y t del deflactor implı́cito del PIBpm .
    3. ¿Considera que según los principios recogidos en el SEC 2010 tiene sentido el cálculo de la
    RNB en términos reales? Razone su respuesta.

    3
    Ejercicio 2

    CUESTIÓN 7: ¿Cuál es la relación entre crimen y castigo? Esta importante pregunta fue
    estudiada mediante un panel de datos de Carolina del Norte. Las secciones transversales son
    90 condados, y los datos son anuales para los años 1981-1987. En estos modelos la tasa de
    delincuencia pretende ser explicada a partir de variables como el efecto disuasivo del sistema
    legal, los salarios en el sector privado (que representan el retorno a las actividades legales).
    Los autores comentan que puede haber heterogeneidad entre los condados (caracterı́sticas no
    observadas de cada condado).
    En este marco de analı́tico, considere un modelo en el cual la tasa de criminalidad (y) es una
    función de la probabilidad de detención (X1 ), probabilidad de ser un convicto (preso) (X2 ),
    la probabilidad de una pena de prisión (X3 , el promedio de las penas de prisión (X4 ), y el
    salario semanal promedio en el sector manufacturero (X5 ). Importante: en todos los casos se
    utilizan los logaritmos de las variables.
    (1) Indique los signos esperados en un modelo regresión lineal múltiple
    (2) Una analista de datos propone estimar el modelo indicado en (1) mediante mı́nimos cua-
    drados ordinarios. Los resultados son los siguientes (errores estándar en paréntesis)

    yb = −6,0861 − 0,6566X1 − 0,4466X2 + 0,2082X3 − 0,0586X4 + 0,2921X5


    (0,3654) (0,0403) (0,0277) (0,0727 (0,0606) (0,0619)

    Analice los signos de los coeficientes estimados y su significación (al 95 % utilizando para ello
    la distribución normal). ¿Son como esperaba? Interprete el coeficiente de X1 .
    (3) Otra económetra sin embargo considera oportuno estimar el modelo (1) usando un estimador
    de efectos fijos. El estimador de efectos fijos arroja es siguiente modelos estimado

    yb = −3,2288 − 0,2313X1 − 0,1378X2 − 0,1431X3 + 0,0183X4 − 0,1666X5


    (0,3236) (0,0376) (0,0222) (0,0393) (0,0310) (0,0553)

    ¿Los coeficientes coinciden ahora con lo que esperaba? Interpreta el coeficiente en X1 y com-
    paralo con la estimación en (2). ¿Qué concluye sobre el efecto disuasivo de la probabilidad de
    arresto? Por último, interpreta el coeficiente en X4 . ¿Qué conclusión tienes sobre la gravedad
    del castigo como elemento disuasivo?
    (4) Tras estimar los dos modelos, argumente cuáles han podido ser los motivos para que la
    económetra ha tenido para proponer un modelo de efectos fijos. Justifique cuál de los dos mo-
    delos le parece más adecuado para estimar la relación entre crimen y castigo.
    (5) ¿Puede haber endogeneidad en el modelo? Justifique la respuesta en términos del modelo
    propuesto.

    CUESTIÓN 8: Una variable macroeconómica Yt se modelizada con

    Yt = 0, 01 + 0, 5t−1 + 0, 1t−2 + t

    donde {t } es i.i.d. cono media cero y varianza σ 2 .


    (i) Calcula la esperanza y varianza incondicionada de Yt
    (ii) Calcula la autocovarianza de primer y segundo orden de Yt
    (iii) ¿Cómo es la autocovarianza para retardos superiores a 2?
    (iv) A partir de la información anterior, ¿puede concluirse que el proceso es estacionario débil?
    Justifique la respuesta
    (v) ¿Es un proceso invertible? Justifique la respuesta
    (vi) ¿Cuál es la esperanza condicionada de Yt+1 dada toda la información disponible en el pe-
    riodo t?

    4
    Ejercicio 2

    CUESTIÓN 9: Dada la siguiente tabla de mortalidad:


    Tasa de Promedio Riesgo Super- Defun- Población Tiempo Espe-
    mortali- de años de muer- vivientes ciones estacio- por vivir ranza de
    dad vividos te teóricas naria vida
    el último
    año de
    vida
    0 años 0,123939 2,645464
    1 año 0,481492 0,223966 8209014,8
    Se pide:
    a) Calcular los supervivientes a 0 años.
    b) Defunciones teóricas a 0 años.
    c) Población estacionaria a 0 años.
    d) Tasa de mortalidad a 0 años.
    e) Calcular los supervivientes a 1 años.
    f) Defunciones teóricas a 1 años.
    g) Población estacionaria a 1 años.
    h) Tasa de mortalidad a 1 años.
    i) Esperanza de vida para las personas de 1 año.
    j) Tiiempo por vivir para las personas de 0 años.
    k) Esperanza de vida para las personas de 0 año.

    CUESTIÓN 10: A partir de la información de la Tabla A, y sabiendo que la población total


    a 1 de enero de 2015 era de 46.450,0 miles de personas mientras que a 1 de enero de 2016 era
    de 46.440,0 miles de personas, se pide calcular:
    a) La Tasa Bruta de Natalidad (T BN 2015 ).
    b) La Tasa General o Global de Fecundidad (T GF 2015 ).
    c) Las Tasas Especı́ficas de Fecundidad por edad de la madre (T EFx ).
    d) El Índice Sintético de Fecundidad (ISF 2015 ).
    e) La edad media a la maternidad en 2015.

    Mujeres residentes (miles) Nacimientos por edad de las


    Grupos de edad
    1.enero.2015 1.enero.2016 madres, año 2015 (miles)
    15-19 1.045,3 1.060,2 8,2
    20-24 1.137,8 1.117,0 29,8
    25-29 1.318,5 1.279,8 75,2
    30-34 1.627,1 1.549,0 148,8
    35-39 1.938,5 1.897,6 125,5
    40-44 1.907,2 1.926,2 30,6
    45-49 1.829,7 1.838,4 2,0
    Total 15-49 10.804,1 10.668,2 420,1

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