6equilibrio de Nash Estrategias Mixtas

Facutad de Ciencias Empresariales y
Económicas
Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas

Dr. Ricardo Nieva
Bibliography: Cerda, Tirole y otros.
NOMBRE DEL CURSO

HASTA EN 2 LÍNEAS
CICLO | FECHA
Estrategias Mixtas
El conjunto de estrategias mixtas del jugador i es el conjunto de todas las loterías
   ( ) 
sobre S i = si1 ,..., sik , (S i ) =  i =  i1 ,...,  ik ,  i j  0, para j = 1,2,..., K, y  kj=1 i j = 1 .
𝑠11 La estrategia pura sxi se denota (1,0,...,0 ). El soporte de  i es el conjunto de
estrategias puras a las que se asigna probabilidad positiva
 
SOP( i ) = sij  S i ,  i j  0 .
El soporte es completo si SOP( i ) = S i . A las estrategia mixta que no es pura se le
llama estrategia mixta propia. Considere el juego de las monedas donde las
preferencias son representadas ahora con utilidades VNM. Supongamos que J 2
juega cara y J1 juega  1 = ( p,1 − p ). Calculemos los pagos esperados para cada
jugador. Luego hacer los mismo con cruz :
1/2 Cara Cruz
Cara 1,-1 -1,1
Cruz -1,1 1,-1

Estrategias mixtas
Estrategias Mixtas
Si la estrategia mixta de J1 ,  1 = ( p,1 − p ), está dada y J 2 está bucando
optimizar al escoger  2 , no tiene porqué escoger una estrategia pura
necesariamente. Podría escoger una  2 propia, que sería una lotería
compuesta (q,1-q).
S e puede mostrar que (p,1-p) q

-1 1
1 -1 1-q = 2p+2q-4pq-1
Estrategias Mixtas
CLAIM : Note que si dado (p,1-p) (q,1-q) maximiza utilidad esperada para J 2 ,
si q  0, luego s12 = cara maximiza utilidad esperada dado  1.
1 2
Supongamos que (p,1 - p) =  ,  → U 2 ((p,1-p), (q,1-q) ) =
3 3
q (pago si juega cara) + (1 - q)(pago si juega cruz)
1 2  1 
= q (− 1) + (1) + (1 − q) (1) + (− 1)
2
3 3  3 3 
1  1
= q + (1 − q) − 
3  3
J 2 escoge cara con probabilidad 1. Cara, como estrategia pura
maximiza sobre mixtas de J 2 .
1 1
Supongamos que (p,1 - p) =  ,  → U 2 ((p,1-p), (q,1-q) ) =
2 2
= q(0 ) + (1 − q)(0 )
Tanto cara como cruz maximizan sobre mixtas de J 2 . En verdad
cualquier  2 maximiza.
Cualquier estrategia mixta es consistente con el claim!!
Estrategias Mixtas
Note que p=q=0.5 induce un EN en el juego de las monedas.

Estrategias Mixtas
Estrategias Mixtas
 Suponga que todo s i  SOP( i* ) es óptima dado  −*i , entonces cada tal s i es mejor
o igual que usar cualquier  i . Lo mismo pasa con una combinación convexa sobre SOP( i* ),
en particular,  i* .
 Por contradicción. Una estrategia óptima  i* tiene un SOP( i* ) con un elemento o con
varios. Si hay un elemento no hay nada que probar. Supongamos que existe s ij  SOP( i* )
que no es óptima, luego se puede incrementar el pago esperado dando cero de probabilidad
a s ij , y trasladando esta probabilidad a otros elementos de SOP( i* ) . Contradicción porque
 i* no sería óptimo, una estrategia en un equilibrio de Nash.
Equilibrios 2x2
1. Dado que J1 y J2 randomizan, aplicamos el teorema 3.1 al juego de
las monedas en CRO. Una mixta, si maximizadora, tiene pagos
esperados iguales en su soporte!!
Equilibrios 2x2
Equilibrios 2x2
Equilibrios 2x2
Equilibrios 2x2
 1 1   1 1 
S EN
=  , ,  , 
 2 2   2 2 
Equilibrio Juego Bipersonal Finito
1. Aplicar EIE
Si el juego es 2x2 aplique método anterior.

2. Calcular los EN en estrategias puras (ambos soportes unitarios): No hay
3. ahora analizamos la existencia de EN para todas las combinaciones de soportes.
3.1 Hay EN con soporte unitario en solo 1 jugador?

J1 : Ni A ni B ni C, porque respuesta de J 2 es una estrategia pura. Ej. A → D.
J 2 : Solo D ya que C y B dan igual pago, entonces J1 podría randomizar en principio
en un equilibrio mixto con soporte en C, B D.
Luego analicemos C, B D (soporte producto). solo queda analizar si para J 2 D es
óptimo. Dado (0, p,1 - p), probabilidad de A, C y B, de J1 , si J 2 elige
I → p3 + (1 - p)2 = p + 2
D → p1 + (1 - p)0 = p. Luego no existe tal equilibrio, J 2 siempre elegirá I.
3.2
No es EN. No hay con este soporte

Los soportes restantes son inconsistentes con EN usando métodos similares.

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1/2 Cara Cruz

Cara 1,-1 -1,1

Cruz -1,1 1,-1

S e puede mostrar que (p,1-p) q

Note que p=q=0.5 induce un EN en el juego de las monedas.

Si el juego es 2x2 aplique método anterior.

3. ahora analizamos la existencia de EN para todas las combinaciones de soportes.

3.1 Hay EN con soporte unitario en solo 1 jugador?

No es EN. No hay con este soporte

Los soportes restantes son inconsistentes con EN usando métodos similares.

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