Solucion Examen Teoria de Juegos

Examen parcial, teora de juegos.
SOLUCIN
ECN 345
1. Considere el siguiente juego representado de forma estrategica donde el jugador 1 juega
en filas y el 2 en columnas
L
R
T 1,1 1,2
M 3,1 0,0
B 0,0 2,2
Encuentre todos los equilibrios de Nash en estrategias mixtas y puras de este juego.
RESPUESTA:
Sea 1 () = y 1 () = 1 donde (0,1). Entonces una estrategia mixta provee
un pago de 3 si el jugador 2 juega y de 2(1 ) si el jugador 2 juega . Si es tal que
3 > 1 y 2(1 ) > 1
o
1
3
<<
1
2
entonces la estrategia domina estrictamente a la accin . Por ejemplo, =
5
12
domina
estrictamente a .
De forma alternativa, busquemos los pagos de jugar , o como una funcin de la
creencias sobre la forma en la que jugara el jugador 2.Supongamos que 1 cree que 2 juega
con probabilidad . Por lo tanto los pagos esperados de , y son respectivamente
1 (, ) = 1, 1 (, ) = 3, 1 (, ) = 2(1 )
3
2.5
2
U(T,q)
U 1.5
U(M,q)
U(B,q)
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
De la figura se desprende que nunca es mejor respuesta. Por lo tanto nunca se usa con
probabilidad positiva en ningn equilibrio de Nash. Sea entonces 1 () = , 1 () =
1 y 2 () = . Las correspondencia de mejor respuesta vienen dadas por
2
{0} <
5
2
1 () = [0,1] =
5
{1} >
5
2
{0} <
3
2
2 () = [0,1] =
3
{1} >
3
Si ustedes grafican estas correspondencias de mejor respuesta obtenemos que los EN en
estrategias puras son (, ) y (, ) (ver matriz de pagos) y la estrategia mixta de =
2.
2
5
= .
2
3
(30 puntos) Suponga que una firma tiene 2 socios: socio 1 y socio 2. Cada socio escoge el
nivel de esfuerzo independientemente y simultneamente. Los beneficios de la firma, que
los socios reparte de forma igualitaria, vienen dado por
(, ) = 4( + + )
donde es el nivel de esfuerzo escogido por el socio 1 y es el nivel de esfuerzo escogido
por el socio 2. Asuma que 0 < < 3/4 y, e deben estar entre 0 y 4. El costo de
esfuerzo del socio 1 es 2 y el costo de esfuerzo del socio 2 es 2 . El pago de cada socio
viene dado por su participacin en las ganancias menos el costo de su esfuerzo.
a. Encuentre la funcin de mejor respuesta de cada socio (20 puntos).
Solucin: El problema del jugador 1 es escoger [0,4] que maximice
1 (, ) = 2( + + ) 2
Si la solucin es interior (es decir no es una solucin de esquina (0 < < 4),
entonces la condicin de primer orden debe estar activa,
2(1 + ) 2 = 0
que se resuelve por = + 1. Adems, dado que 0 < < 3/4 e 4 implica
que
(0, )
1
= 2(1 + ) > 0 y 1 (4, ) = 2(1 + ) 8 < 0 . Con esto, nis
garantizamos que la solucin sea interior. Por lo tanto la funcin de mejor

respuesta est dada por
1 () = + 1
y de forma similar
2 () = + 1
b. Cules son los niveles de esfuerzo que escogen los socios que son equilibrio de
Nash? (10 puntos)
Respuesta: Usando las funciones de mejor respuesta del inciso anterior podemos
resolver para los esfuerzos que son equilibrio de Nash
1
==
1
3.
(40 puntos) Dos conductores, jugador 1 y jugador 2, simultneamente se aproximan a una

interseccin desde diferentes direcciones. Pueden escoger entre detenerse () o
continuar () en la interseccin. Si los dos se detienen, evitan un accidente y reciben un
pago de 1 Si los dos continuan, chocan y cada uno recibe un pago de 0Si solo el jugador 2
se detiene, entonces el jugador 1 recibe un pago de 2 y el jugador 2 recibe un pago de
1 , donde refleja el disgusto del jugador de ser el nico que se detiene. A la inversa,
si solo el jugador 1 se detiene, su pago es 1 , y el jugador 2 obtiene 2.
a. (10 puntos) Describa este juego de forma estratgica o normal.
Solucin:
= {1,2}
= {, }, = 1,2
La matriz de pagos es la siguiente
S
C
S 1,1
1-c,2
C 2,1-c 0,0
b. (15 puntos) Encuentre todos los equilibrios de Nash (en estrategias puras y
mixtas). Encuentre el pago esperado de cada jugador en el equilibrio de
estrategias mixtas.
Solucin: Las estrategias puras que son equilibrio de Nash son (, ) y (, ). Para
las mixtas, ntese que no hay estrategia mixtas de equilibrio en la cual uno de los
jugadores juegue una estrategia pura. Esto ocurre porque si uno de los jugadores
escoge una estrategia pura, el otro jugador tiene como mejor respuesta tambin
una estrategia pura. Por lo tanto, en un equilibrio de estrategias completamente
mixtas (ambo jugadores jugando estrategias mixtas), ambos jugadores deben
estar "mezclando". Sea = 1 () y = 2 (). Dado que, en un equilibrio de
estrategias mixtas, todas las acciones en el soporte de estrategias mixtas deben
otorgar el mismo pago esperado, debemos tener
1 (, ) = + (1 )(1 ) = 2 = 1 (, ) lo que implica
1
=
2
en equilibrio. De forma similar, tiene que ser el caso
2 ( , ) = + (1 )(1 ) = 2 = 2 ( , )
o
1
=
2
En equilibrio los pagos esperados son
1 ( , )=2 ( , ) =
2(1)
2
c. (15 puntos) Suponga ahora que los conductores han recibido educacin en una
escuela de manejo y siente culpa de escoger continuar (es decir, siente culpa de
ser agresivos). De forma particular, suponga que el pago de un jugador de escoger
disminuye en , donde 0 < < 1, independiente de lo que hace el otro
conductor. Encuentre el equilibrio en estrategias mixtas y muestre que ambos
jugadores estn mejor en este equilibrio que en el equilibrio de estrategias mixtas
del inciso (b)
Respuesta: Ahora el juego es
S
C
S 1,1
1-c,2-g
C 2-g,1-c -g,-g
Siguiendo el mismo razonamiento que en la parte (b), encontramos que una
estrategia mixta de equilibrio ( , ) viene dado por
1+
2
lo que implica que los pagos esperados son
= =
1 ( , )=2 ( , ) =
2(1)+
2
que es mayor que el pago esperado en la parte (b).

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entonces la estrategia domina estrictamente a la accin . Por ejemplo, =

= 2(1 + ) > 0 y 1 (4, ) = 2(1 + ) 8 < 0 . Con esto, nis

garantizamos que la solucin sea interior. Por lo tanto la funcin de mejor

(40 puntos) Dos conductores, jugador 1 y jugador 2, simultneamente se aproximan a una

que es mayor que el pago esperado en la parte (b).

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