UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

INFORME FINAL N°1

TRANSFORMACIONES

AUTORE
S:
 Arias Valentín Carlos Alberto 20131179I
 Cadillo Poma Deybis Elvis 20132726C
 Corilla Contreras Luis Ángel 20140319D
 Hilasaca Sanchez Juan 20140320B
Roussvelt
 Huaytan Patricio Diego 20130210J
 Villano Ruiz Bryan Raúl 20142118F

CURSO:

 EE243M – Laboratorio de Máquinas Eléctricas III

PROFESO
R:  Ing. Medina Ramírez José

GRUPO
:  02

2020
EE243M – LABORATORIO DE MAQUINAS ELECTRICAS III UNI - FIEE

Experiencia Nº1:
TRANSFORMACIONES
Informe Final
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universidad Nacional de
Ingeniería Lima, Perú
distribuidos son mucho más complejos
ya que deben cumplir no solamente
1. Objetivos condiciones eléctricas y magnéticas,
sino también constructivas: la bobina
Verificación experimental de las debe ser sencillas de realizar de
transformaciones pasivas de fase (C1) y colocar y minimizar el uso de
de conmutación (C2), tanto de tensión materiales
como de corriente, para lograr una
mejor comprensión de su sentido Los arrollamientos rotóricos de las
físico. máquinas eléctricas se conectan a través
de escobillas que puede apoyar sobre
2. FUNDAMENTO TEÓRICO anillos rozantes, figura, que son aros
2.1. Estructura básica de una conductores, continuos, conectados a los
máquina eléctrica rotativa. extremos del arrollamiento; o sobre un
colector, figura, que está formado por
Rotor: Pieza cilíndrica montada segmentos conductores, denominados
sobre el eje móvil. delgas, aisladas entre sí y conectadas a
cada bobina
Estator: Pieza cilíndrica hueca que
envuelve al rotor y está separada de
éste por el entrehierro.

De forma general se puede afirmar que:

- Tanto el estator como el rotor

alojan bobinas (circuitos
eléctricos).  Anillos rozantes en un rotor trifásico
- Existen dos circuitos eléctricos
concatenados por un circuito
magnético 
Los usos más frecuentes de las
distintas combinaciones son:
 Estator y rotor cilíndricos: es la
combinación característica de los
motores asincrónicos y de las
máquinas sincrónicas de alta Colector en un inducido
velocidad.
 Estator cilíndrico y rotor con polos 2.2.1. ARROLLAMIENTOS
saliente es característico de las IMBRICADOS
máquinas sincrónicas de baja
velocidad. En ellos las sucesivas bobinas quedan
 Estator con polos salientes y rotor  parcialmente superpuestas En la figura
cilíndrico es característico de las se muestra un grupo de dos bobinas
máquinas de corriente continua y de de un arrollamiento imbricado.
algunas máquinas sincrónicas de poca
potencia.
 Estator y rotor con polos salientes se
emplea en máquinas especiales, por
ejemplo, en los motores por pasos.

2.2. TIPOS DE ARROLLAMIENTO

Así como los arrollamientos
concentrados son simples bobinas,
fáciles de concebir, los arrollamientos
 2.2.2. ARROLLAMIENTOS
ONDULADOS

En los arrollamientos ondulados dos

bobinas sucesivas se encuentran
distanciadas aproximadamente un paso Luego de reflejar las bobinas del rotor
polar, es decir no se superponen
al estator se obtiene:
Los pasos indicados en la figura
anterior tienen la misma denominación
que en el arrollamiento imbricado de la
figura siguiente

Y1: paso de bobina

Y2: paso de conexión
Yimbricado: Y1-Y2 3. DATOS
Yondulado: Y1+Y2 DATOS EXPERIMENTALES PARA LA
EXPERIENCIA “TRANSFORMACIONES “
Transformaciones:
Se puede representar matemáticamente
un devanado trifásico por un bifásico
rotatorio y viceversa:

POSICION Vd1,d2 Vq1, q2

-60 -80.3 -70.4
-40 -81.8 -53.3
-20 -97.8 -28.98
0 10 3
Y luego poder pasar a una referencia 20 95.7 34.54
estacionaria, en la que se puede pasar como
40 86.8 52
referencia fija el rotor o tanto también a una
referencia fija en el estator, según sea el 45 71.2 72.2
estudio 60 71.4 73.4
80 45.5 90.4
 Y el factor de paso:
τ'
K p =Sen( )
TENSIONES BIFÁSICAS 2
VD1, D2 77.5 V Donde:
VG1, G2 76.7 V
ángulo de ranura:
TENSIONES TRIFÁSICAS
VD1, F1 66.7 V
360 360
VD1, E1 67.5 V γ GEOM =γ= = =15°
r 24
VE1, F1 67.6 V
ángulo magnético:

p 2
γ ' MAG =γ '=γ =15 =15
2 2

Reemplazando
m p
Sen( γ )
NÚMERO DE TENSIÓN INDUCIDA 2 2 Sen( 5∗15/2)
K d= = =0 . 9328
BOBINAS (V) 1 p 5∗Sen(15/2)
1 2.15 m. Sen( γ )
2 2
2 11.45
3 18.64 τ'
K p =Sen( )=Sen(165/2)=0 . 99144
4 24.88 2
N efectivo=30 x 5 x 2 x 0.9328 x 0.99144

4. CUESTIONARIO
N efectivo=277.44
6.1. Calcular el número efectivo de
vueltas del arrollamiento armado en el
estator.
6.2. Calcular el número efectivo de
vueltas del devanado comprendido
Número de ranuras:
entre dos taps a 180° en el rotor (una
r =24 bobina de la máquina bifásica).
Número de polos: Su factor de distribución puede
p=2 aproximarse como la relación del
Número de fases del devanado: diámetro circulo a la mitad de una
q=1 circunferencia ¿Por qué?
Paso de bobina (1-12): Para calcular el factor de paso
¿(12−1) x 360 /24=165 obtener los datos necesarios del
Número de bobinas: manual.
b=10
Número de bobinas por grupo: Del manual de laboratorio tenemos los
siguientes datos:
m=5 Tipo: Devanado Imbricado, doble capa
Paso de grupo: r
# espiras por bobina: N b =18# ranuras:
¿ 24 /2=12
Número de espiras por bobina: r =b=36# de polos: p=2# fases:
Nb=30 q=1
Ahora calculamos el paso de bobina
(19−1 ) .360
τ= =180°
36
N efectivo=( N total por fase). K p . K d Numero de bobina por grupo:
Siendo el factor de distribución: b 36
m= = =18
γ' p .q 1∗2
Sen(m ) Angulo de ranura:
2 360
K d= γ= =10 °
γ' 36
mSen( )
2 Para el cálculo del factor de distribución
usaremos la siguiente ecuación: Aa AB
OA= =
γ' γ γ
Kd=
Sen m
2 ( ) Sen
2 ()
2 Sen
2 ()
γ' Ad AD
m∗Sen
2 ( ) OA=
nγ
=
nγ
Reemplazando valores, obtendremos: Sen
2 ( )
2 Sen
2 ( )
Igualando estas dos ecuaciones
10∗2
Sen 18 (
2∗2 ) tendremos:
nγ
Kd=
10∗2
K d =0.637 ( 2)
Sen
18∗Sen
2∗2 ( ) AD= AB
γ
Sen ( )
Ahora el cálculo del número efectivo de 2
vueltas del devanado
Pero la suma aritmética de los fasores
m r es n( AB). En consecuencia, el factor
N ef = N ∗K p∗K d
2 b de distribución de devanado es:
De dato tenemos que:
nγ
K p =1
Finalmente reemplazando: K =
AD
=
( 2)
Sen
d
N ef =103.262 ≈ 103 nAB γ
Sen ( )
Ahora si analizamos la distribución de 2
las bobinas tenemos que el efecto de Ahora para nuestro caso:
distribuir el devanado en “n” ranuras por AD 2 R
grupo de fase es dar “n” fasores de Kd= = =0.6366
voltaje desfasados en el ángulo nAB πR
eléctrico “ γ entre las ranuras, pero Con esto comprobamos que se
aproxima al calculo que hicimos
tambien “ γ es igual a 180 grados
inicialmente.
eléctricos dividido entre el número de
ranuras por polo. Este grupo de fasores 6.3. Calcular el número efectivo de vueltas entre
se muestra en la figura siguientes: dos taps a 120º en el rotor (una bobina de la
máquina trifásica). El factor de distribución
puede aproximarse de manera similar al caso
anterior, es decir mediante la relación de la
magnitud de la cuerda que sostiene 1/3 de
circunferencia a la longitud de dicho arco.
Solución:

El numero efectivo de vueltas

De una forma más cómoda se puede N efectivo = N total x Kp x Kd

ver para la suma, en la figura a
continuación que cada fasor AB, BC y 18∗18
El número total de vueltas N total= =108
CD es la cuerda de un círculo con 3
centro en O y abarca el ángulo “ γ en
Kp = 1
el centro.
R √3 3 √3
K d= = =0 . 826993
R 2π
B C 2π
a 3
d
A D
/2
/2
n

R 3

R 2 3

O
R
El fasor suma AD subtiende el ángulo
“ nγ .
De los triángulos OAa y OAd,
respectivamente tenemos:
 2 μ0 s
N efectivo=108∗0.826993=89.3052
B max= N I
π gn ef
Aplicamos los datos que ya conocemos y hemos
6.4. De los datos registrados con hallado en las anteriores preguntas:
establecer una relación entre Vd - D.I. del hierro del estator = 5 pulg
y Vq. Ver que esta relación es - D.E. del hierro del rotor = 4.96 pulg
independiente de la posición de
anillo porta escobillas. Luego tenemos:
Dg = Dprom = 4.98 pulg = 0.127 m
Tenemos la gráfica de la posición de las Luego calculamos g:
bobinas en el eje d y el eje q a s r
DI −DE
continuación: g=
q1 2  g = 0.0005
Longitud del eje de la máquina: L = 0.09
d1 q1 Luego, del valor obtenido en la pregunta 1.1:
Nefs = 277.44
Finalmente evaluamos:
s
d1 d2
2 μ0 N ef i 2 4 π × 1 0−7 ×277.44 × 0.5
Bmax = =
π ng π 1⋅ 0.0005
Bmax =0.222 T
q2 d2
Debido a que el valor promedio de una senoidal es
q2 2/π veces su amplitud, el flujo por polo debe ser:
Ahora rotamos un angulo θ : s 2 π Dg L 2 π ⋅0.1265 ⋅0.09
φ med= Bmax = 0.222
q1
π n π 1
s
φ med=0.0051 Wb
d1 Vmax q1
Finalmente, de la pregunta 1.2 tenemos: Nef2 =
103.3
Vq1q2 Eef 2 φ =4.44 N ef 2 φ f φsmed =4.44 × 103.3× 60 ×0.0051
Eef 2 φ = 140.35 V
d1 d2

6.6. Trazar un gráfico del valor

instantáneo de la tensión de una
Vd1d2 “bobina” bifásica (entre dos taps
q2 d2 a 180°) vs. El ángulo que hace su
eje magnético con lo del
q2 arrollamiento estátorico. En la
De los 2 graficos anteriores tenemos: misma hoja graficar la tensión Vd
(entre escobillas “d”) estas
V d 1d 2=V max Sen (θ )
escobillas con el eje magnético
V q 1 q 2=V max cos ( θ ) del arrollamiento estátorico.
Ahora si elevamos ambas ecuaciones al ¿Qué relación hay entre estas
cuadrado y las sumamos obtendremos: dos curvas? Explicar.
2 2 2 2 2
( V d 1 d 2 ) + ( V q 1 q 2 ) =( V max ) ( Sen ( θ ) +cos (θ ) ) De la siguiente tabla. Obtenemos los siguientes
De donde logramos obtener: gráficos.
2 2
√
V max = ( V d 1 d 2) + ( V q 1 q 2 ) =cte
Posición Vd1.d2 Vq1,q2
Y para que:
V d 1d 2=V q 1 q 2 0 100 3
Para :θ=45 ° 20 95.7 34.54
40 86.8 52
60 71.4 73.4
6.5. Evaluar el valor máximo de la
tensión inducida entre dos taps a 80 45.5 90.4
180° en el rotor. 45 71.2 72.2
-20 -97.8 -28.98
De la ley de Faraday se tiene:
r r s -40 -81.8 -53.3
E =4 .44 N ef fφ med -60 -80.3 -70.4
El flujo medio está dado por:
s 2
φmed =τ LBmed = τ LBmax
π
 osciloscopio a un número de bobinas en serie cada
Vq1-q2 vs  vez mayor, se observa que la onda pasa de
triangular a sinusoidal. El efecto del arreglo de las
120 bobinas según un determinado factor de distribución
100 es variar la forma de la onda
80 7. VERIFICACION DE LA TRANSFORMACIÓN
Vq1-q2

60 C1:
40
7.1. Escribir una ecuación matricial que relacione
20
las corrientes 3Φ con las corrientes 2Φ tales que
0 circulando por sus correspondientes
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
arrollamientos, produzca la misma F.M.M. incluir
 para las corrientes 2Φ las corrientes homopolar.
Asumir que se trate de un mismo bobinado
Para Vq1-q2 vs : cerrado conectando 3Φ y 2Φ, suponer también el
mismo factor de bobinado para ambas
Para conexiones. Deducir una expresión que relacione
Vd1-d2 vs los valores eficaces de la corriente bifásica y
Vd1-d2 vs  : trifásica balanceada.
100
80 Efectuar las correcciones adecuadas para tomar
60
40
en cuenta las diferencias entre factores de
arrollamientos y comparar las corrientes
Vd1-d2

20
0 medidas en el laboratorio (4.2) con la expresión
-80 -60 -40 -20-20 0 20 40 60 80 100 deducida.
-40
-60
-80 Al excitar un devanado trifásico con corrientes
instantáneas, i, i, i (, ,  : fases) se producen
 fuerzas magnetomotrices,
Las cuales son:
Podemos notar que si una tensión crece la otra
decrece a medida que aumenta el ángulo que se 4N s3φ
F sα= i Cos(ψ s )
forma con el devanado del estator. Lo que se π 2 α
esta realizando es tan solo una rotación de ejes. s
Lo anterior se cumple debido a lo deducido en la s 4 N 3φ 2π
pregunta 4. F β= iβ Cos(ψ s − )
Vmax= √ ¿ ¿ ¿ π 2 3
s
4 N3φ 2π
F sγ = i γ Cos(ψ s + )
6.7. De que depende la tensión (forma π 2 3
de onda y magnitud) inducida en Luego, para poder obtener la fuerza magnetomotriz
la espira de prueba en 4.2.1.a? total se suman las tres ecuaciones anteriores, es
decir:
s s s s
La tensión inducida en la espira depende del factor
F αβγ =F α +F β +F γ
de distribución y del factor de paso. El factor de paso Reemplazando:
tiene su efecto sobre la magnitud de la onda de s
tensión. 4 N3φ 2π 2π 2π 2π
F sαβγ = [(i α +i β Cos +i Cos )Cos ψ s +(i β Sen −i γ Sen )Sen ψ s ]
π 2 3 γ 3 3 3
Su efecto sobre el valor de la onda consiste en la
suma de los efectos del factor de paso sobre cada
una de sus componentes armónicas. Las armónicas Por teoría, la fuerza magnetomotriz total debe ser
en ondas de este tipo no afectan la conclusión de igual a la fuerza magnetomotriz en cuadratura, es
considerar el valor eficaz de toda la onda igual al decir:
valor eficaz de la componente fundamental. s s s
F αβγ =F a +F b
De donde:
4 N s2φ
F sa= i Cos ψ s
π 2 a y
s
4 N 2φ
Fbs = i Cos ψ s
π 2 b
s s
Fa y
Fb : Son fuerzas magnetomotrices en
devanado bifásico a - b producidas por las corrientes
ia e i en cada fase.
El factor de distribución tiene su efecto sobre la
forma de onda de la tensión. Si conectamos el Por otro lado, para que la fuerza magnetomotriz
producida por el bifásico, a - b, pueda igualarse con De donde observando las dos matrices [c1]-1 = [c]t, se
los producidos por el trifásico,  -  - , se debe debe cumplir:
cumplir lo siguiente:
iα
ia=
N 3s φ
N 2s φ [ 1 Cos
2π
3
Cos
2π
3 ]
⋅ iβ
iγ
iα
[] ;
a32=
2
3 a32 , o
k = 1/2
ib =
N 3s φ
N 2s φ [ 0 Sen
2π
3
−Sen
2π
3
⋅ iβ
iγ
][ ] k=
1
2k
De donde, para completar el sistema se asume una Por lo tanto:
tercera ecuación adicional, independiente de ia e ib,
es decir:
- [i]ab0 = [c1]t.[i]:
iα
N 3s φ
i 0= s
N2 φ
[k
[]
k k ] ¿ iβ
iγ
ia 1 −1/2 −1/ 2 i α
El valor de la corriente asumida “i 0” no puede ser
asociado físicamente con un sistema bifásico, pero
la razón de haber escogido esta tercera variable, i0,
es porque normalmente es cero, es decir:
En la conexión estrella con neutro aislado se
[]√[
ib =
i0
2
3
0 √ 3/2 −√ 3/2 ⋅ i β
1/ √ 2 1/ √ 2 1/ √ 2 i γ ][ ]
cumple: i + i + i = 0, en igual modo la conexión - [i]ab0 = [c1].[i]ab0:
delta.
Luego de las ecuaciones de: ia, ib e i0, lo llevamos a iα 1 0 1/ √ 2 i a
matriz, se tendrá:
ia

[] [
1 −1/ 2 −1/ 2 i α
i b =a 32 0 √ 3 / 2 −√ 3 / 2 ⋅ i β
i0 k k k iγ
][ ] []√[
iβ =
iγ
2
3
−1/2 √ 3/2 1/ √ 2 ⋅ i b
−1/2 −√ 3/2 1/ √ 2 i 0 ][ ]
La condición de ortogonalidad del devanado se tiene

[c1]-1 el valor de a32:

Esta ecuación tiene la forma: [i]ab0 = [c1]-1. [i] N 3 φ 89.3

a 32= = =0.864
N 2 φ 103.3
La inversa de la matriz: [c1]-1 es [c1]:

Por otro lado, teóricamente, a 32 es igual a 2/3 √

1 0 1/(2 k )
2
[
[ c 1] = 3 a −1/2 √3 /2 1/(2 k )
32
−1/2 −√ 3/2 1/(2 k ) ]  0.8165, observamos que son valores próximos, así
que transformamos a las corrientes trifásicas a
bifásicas.

y su transpuesta:  Para comprobar vemos que generen la misma

tensión inducida en el estator:

1 ia 1 −1/ 2 −1/ 2 0.4∠0 °

T 2
1
[ c 1] = 3a 0 √3/2 − √3/2
32
[
−1/2 −
2

1/(2 k) 1/(2k ) 1/(2k )

] []√[
ib =
i0
2
3
0
1/ √ 2 1/ √ 2 1/ √ 2 0 . 4 ∠−120 °][
√ 3/ 2 −√ 3/ 2 ⋅ 0 . 4 ∠ 120 °
]
ia 0. 4899 ∠0 °
Es desea tener una misma matriz para transformar
las corrientes y las tensiones, para que así la
potencia no varié (invariable), lo cual, para que se
cumpla esto la matriz de transformación debe ser
[][

ib
i0
= 0. 4899 ∠90 °
0 ]
una matriz ortogonal, es decir que cumpla:
7.2. Repetir para la transformación C1 de
[c1]-1 = [c]t
tensiones:

5. CONCLUSIONES
En la solución de pregunta 5.2.1 se demostró que la
matriz de transformación de las corriente y de las
tensiones es la misma, (propiedad de ortogonalidad) o La tensión que se induce en las
bobinas a partir de un campo
La tensión trifásica es de 112 V, aplicando la matriz variable depende de los factores de
de transformación: distribución y factores de paso de
las bobinas inducidas. Así mismo
va 1 −1/2 −1/2

[]√[
vb =
v0
2
3
1/ √ 2 1/ √ 2 1/ √2 ]
0 √3 /2 −√ 3/2 ⋅¿ [220 (0° )¿ ][ 220(120 °) ¿ ] ¿ ¿¿
¿
o
depende de la disposición física de
las bobinas que originan el campo.

El factor de paso permite eliminar la

tensión inducida de un armónico
determinado como si fuese un filtro
v a 155 .56 ∠0 ° selectivo. Pero también reduce la

[ ][ v b = 155 .56 ∠ 90°

v0 0 ] o
magnitud de la tensión fundamental.

El factor de distribución permite

reducir la amplitud de los armónicos
de la tensión inducida como si fuese
En el experimento o el valor experimental que se un filtro pasabanda.
obtuvo fue de 133 V, de donde podemos decir que el
error que existe entre el teórico y el experimental se o El cálculo del factor de paso y
deba por dos razones directas como el desbalance devanado se basan en la suma
de tensiones y la relación del numero efectivo de fasorial de las tensiones que se
espiras de la máquina. inducen en cada una de las bobinas
recortadas y distribuidas ya sea del
estator o rotor.

8. VERIFICACIÓN DE LA TRANSFORMACIÓN
C2

8.1. Escribir las ecuaciones matriciales que

relaciona las corrientes bifásicas (a,b) en
bobinas de ejes giratorios con las corrientes
continuas (d, q) alimentadas al rotor a través de
un conmutador y escobillas diametralmente
opuestos que define ejes magnéticos fijos.
Deducir una expresión que relaciones el valor
eficaz de la corriente a, b con las corrientes
continuas d, q.
Considerando igual número de espiras para los
devanados de la maquina a-b y d-q, establecemos
las ecuaciones:
Nid =Ni a Cos θ+Ni b Sen θ
Niq =−Ni a Senθ +Nib Cos θ

Simplificando y escribiendo en forma matricial

tenemos:

id Cos θ Sen θ i a
[][
iq
=
−Senθ
⋅
Cosθ i b ][ ]

Esta matriz es ortogonal, así que se cumple para las

tensiones.