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EJER. Y PROBS. RESUELTOS DEL MAS y ONDAS MECÁNICAS 2020-21
EJER. Y PROBS. RESUELTOS DEL MAS y ONDAS MECÁNICAS 2020-21
EJER. Y PROBS. RESUELTOS DEL MAS y ONDAS MECÁNICAS 2020-21
Ejercicio.- Un oscilador armónico lleva a cabo un MAS con frecuencia de 6 Hz. Realice lo que se
indica.
a) ¿Cuál es la frecuencia angular?
b) ¿Cuál es el periodo?
Solución.
= 6 Hz = 6 osc/s a) = 2
a) = ? = 2 ( 6 s-1 )
b) T = ? = 12 s-1
37.6991 s-1
12 rad/s
37.6991 rad/s
2 1
b) = ⎯⎯ o T=⎯
T
2 1
T = ⎯⎯ = ⎯⎯
6 s-1
2 1
= ⎯⎯⎯⎯ =⎯s
12 s-1 6
1 0.1666 s
=⎯s
6
0.1666 s
Ejercicio.- Un péndulo simple lleva a cabo un MAS con periodo de 3.2s. Realice lo que se indica.
a) ¿Cuál es la frecuencia?
b) ¿Cuál es la frecuencia angular?
Solución.
T = 3.2 s 1
a) = ? a) = ⎯
b) = ? T
1
= ⎯⎯⎯
3.2 s
5
= ⎯⎯ s-1
16
0.3125 s-1
5
= ⎯⎯ Hz
16
0.3125 Hz
2
b) = ⎯⎯ o = 2
T 5
2 = 2 ⎯⎯ s-1
= ⎯⎯⎯ 16
3.2 s 10
2 = ⎯⎯ s-1
= ⎯⎯ s-1 16
3.2 5
6.2831 = ⎯⎯ s-1
⎯⎯⎯⎯ s-1 8
3.2 15.7079
1.9634 s-1 ⎯⎯⎯⎯ s-1
2 8
= ⎯⎯ rad/s 1.9634 s-1
3.2 5
1.9634 rad/s = ⎯⎯ rad/s
8
1.9634 rad/s
k
Ejercicio.- Parta de la expresión = ( ⎯ )1/2 y obtenga las unidades de la frecuencia
M
angular en el SI de unidades. M es la masa del oscilador armónico.
Solución.
k
= ( ⎯ )1/2 Las unidades de k en el sistema internacional de unidades se obtienen como
M se indica.
[k]=? La representación analítica de la ley de Hooke está dada por la expresión .
[]=? f = -k .…………………………………… ( 1 )
f
k = ⎯ ...……………………………………. ( 3 )
f
[k]=[⎯]
N N = kg m s-2
[k]=[⎯]
m
kg m
( ⎯⎯⎯ )
s2
[ k ] = [ ⎯⎯⎯⎯⎯ ]
m
kg
[ k ] = [ ⎯⎯ ]
s2
2 1
d) =⎯ o =⎯
T T
2 1
T=⎯ T=⎯
2 1
T = ⎯⎯ T = ⎯⎯⎯
. 2s-1 1
T=s ( ⎯⎯ )
T 3.1415 s s-1
T=s
T 3.1415 s
0.5-(-0.5) = 0.5+0.5 =
k
e) = ( ⎯ )1/2
m
k
2 = ⎯
m
k = m 2
k = ( 150 10-3 kg ) ( 2s-1 )2
k = ( 150 ) ( 4 ) 10-3 kg s-2
k = 600 10-3 kg s-2
k = 0.6 kg s-2
f) = rad
3.1415 rad
g) ( 2( 0 ) + ) rad = ( 0 + ) rad
= rad
3.1415 rad
h) ( 0 ) = ( 0.02 m ) cos ( 2( 0 ) + )
( 0 ) = ( 0.02 m ) cos ( 0 + )
( 0 ) = ( 0.02 m ) cos
( 0 ) = ( 0.02 m ) ( -1 )
( 0 ) = -0.02 m
2t + t (t) ( t, ( t ) )
0 -⎯ 0.02 A ( - ⎯, 0.02 )
2 2
⎯ -⎯ 0 B ( - ⎯, 0 )
2 4 4
0 -0.02 C ( 0, -0.02 )
3
⎯ ⎯ 0 D ( ⎯, 0 )
2 4 4
2 ⎯ 0.02 E ( ⎯, 0.02 )
2 2
0.08
0.06
0.04
0.02
0 x
− − − − − −
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
Ejercicio.- Demuestre que ( t ) = cos ( t + ) es una función periódica de periodo T = 2/.
Solución.
( t ) = cos ( t + )
T = 2/
?
( t + T ) = ( t ),
Para demostrar que ( t ) es una función periódica de periodo T = 2/, es suficiente con
demostrar que ( t + T ) = ( t ), tal como se muestra a continuación.
( t + T ) =( t + 2/ )
= cos ( ( t + 2/ ) + )
= cos ( t + 2/ + )
= cos ( t + 2 + )
= cos ( t + + 2 )
= [cos ( t + ) ( 1 ) – sen ( t + ) ( 0 ) ]
= [cos ( t + ) – 0 ]
= cos ( t + )
= ( t )
MOVIMIENTO ONDULATORIO
Para demostrar que el campo ( x, t ) es una función periódica de periodo = 2/k, es suficiente
con demostrar que ( x + , t ) = ( x , t ), tal como se muestra a continuación.
( x + , t ) = ( x + 2/k , t )
= cos ( k ( x + 2/k ) – t – )
= cos ( kx + 2k/k – t – )
= cos ( kx + 2 – t – ) ; cos ( A + B ) = cos A cos B – sen A sen B
= cos ( kx – t – + 2 )
= [ cos ( kx – t – ) cos 2 – sen ( kx – t – ) sen 2 ]
= [ cos ( kx – t – ) ( 1 ) – sen ( kx – t – ) ( 0 ) ]
= [ cos ( kx – t – ) – 0 ]
= [ cos ( kx – t – ) ]
= cos ( kx – t – )
=(x,t)
Solución.
( x, t ) = cos ( kx – t – )
2 ⎯⎯⎯ 1
=⎯ ( x, t ) = ⎯ ( x, t ) dx
k 0
⎯⎯ ⎯⎯⎯ 1
( x, t ) = ? ( x, t ) = ⎯ cos ( kx – t – ) dx
0
2
(⎯)
⎯⎯⎯ o k
( x, t ) = ⎯⎯ cos ( kx – t – ) dx
2 0
(⎯)
k
2
(⎯)
⎯⎯⎯ k k
( x, t ) = ⎯⎯ cos ( kx – t – ) dx
2 0
2
(⎯)
⎯⎯⎯ k
( x, t ) = ⎯⎯ cos ( kx – t – ) kdx
2 0
2
(⎯)
⎯⎯⎯ k
( x, t ) = ⎯⎯ ( sen ( kx – t – ) )
2 0
⎯⎯⎯ 2
( x, t ) = ⎯⎯ ( sen ( k ( ⎯ ) – t – ) – sen ( k ( 0 ) – t – ) )
2 k
⎯⎯⎯
( x, t ) = ⎯⎯ ( sen ( 2 – ( t + ) ) – sen ( 0 – t – ) )
2
⎯⎯⎯
( x, t ) = ⎯⎯ ( sen ( 2 – ( t + ) ) – sen ( – t – ) )
2
⎯⎯⎯
( x, t ) = ⎯⎯ ( sen ( 2 – ( t + ) ) – sen ( -( t + ) ) )
2
⎯⎯⎯
( x, t ) = ⎯⎯ ( sen 2 cos ( t + ) – sen ( t + ) cos 2 ) +
2
( sen ( t + ) ) )
⎯⎯⎯
( x, t ) = ⎯⎯ ( ( 0 ) cos ( t + ) – sen ( t + ) ( 1 ) ) +
2
sen ( t + ) )
⎯⎯⎯
( x, t ) = ⎯⎯ ( 0 – sen ( t + ) ) + sen ( t + ) )
2
⎯⎯⎯
( x, t ) = ⎯⎯ ( -sen ( t + ) ) + sen ( t + ) )
2
⎯⎯⎯
( x, t ) = ⎯⎯ ( 0 )
2
⎯⎯⎯
( x, t ) = 0
Solución.
( x, t ) = cos ( kx – t – )
⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( x, t ) = ? ( x, t ) = cos ( kx – t – )
⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( x, t ) = cos ( kx – t – )
⎯⎯⎯
( x, t ) = ( 0 )
⎯⎯⎯
( x, t ) = 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ya que cos ( kx – t – ) = 0.
Solución.
( x, t ) = cos ( kx – t – )
( ( x, t ) )2 = ? ( ( x, t ) )2 = ( o cos ( kx – t – ) )2
⎯⎯⎯⎯ ( ( x, t ) )2 = ( o )2 ( cos ( kx – t – ) )2
( ( x, t ) )2 = ? ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
rms = ? ( ( x, t ) )2 = ( )2 ( cos ( kx – t – ) )2
⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( ( x, t ) )2 = ( )2 ( cos ( kx – t – ) )2
⎯⎯⎯⎯ 1
( ( x, t ) )2 = ( )2 ( ⎯ )
2
⎯⎯⎯⎯ ( )2
( ( x, t ) )2 = ⎯⎯⎯
2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ya que cos2 ( kx – t – ) = ½
⎯⎯⎯⎯
rms = ( ( ( x, t ) )2 )1/2
( )2
rms = ( ⎯⎯⎯ )1/2
2
( ( )2 )1/2
rms = ⎯⎯⎯⎯⎯
( 2 )1/2
rms = ⎯⎯⎯⎯
( 2 )1/2
( 2 )1/2
rms = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 2 )1/2 ( 2 )1/2
( 2 )1/2
rms = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( ( 2 ) ( 2 ) )1/2
( 2 )1/2
rms = ⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 )1/2
( 2 )1/2
rms = ⎯⎯⎯⎯⎯
2
( 2 )1/2
rms = ⎯⎯⎯
2
rms 0.7071
Ejercicio. Demuestre que la rapidez de propagación o rapidez de fase de una onda armónica
unidimensional está dada por v = ⎯ y v = .
k
Solución.
? ( x, t ) = cos ( kx – t – ) .………. ( 1 )
v=⎯ Considere la fase de la onda constante, es decir,
k kx – t – = C …………………………….. ( 2 )
d d
⎯ ( kx – t – ) = ⎯ C
dt dt
d d d
⎯ kx – ⎯ t – ⎯ = 0
dt dt dt
d d
k⎯x–⎯t–0 =0
dt dt
d
k⎯x–(1)=0
dt
d
k⎯x–=0
dt
d
k⎯x=0+
dt
d
k⎯x=
dt
d
⎯ x = ⎯ …….……………………… ( 3 )
dt k
vf = ⎯ …....……………………… ( 5 )
k
Problema. La función que describe a una onda transversal en una cuerda es ( x, t ) = 0.5 cos
( 0.5x - 10t ). Los parámetros tienen unidades en el SI. Realice lo que se indica.
a) ¿Cuál es la amplitud?
b) ¿Cuál es la frecuencia angular?
c) Obtenga el periodo.
d) Calcule la frecuencia.
e) ¿Cuál es el número de onda?
f) Obtenga la longitud de onda.
g) Calcule la velocidad de fase ( velocidad de propagación de la onda ).
h) ¿Cuál es el ángulo de fase?
i) Obtenga el valor de la fase en x = 2 m Y t = ( /10 ) s.
j) ¿Cuál es el valor del campo de desplazamiento en x = 2 m y t = ( /10 ) s?
k) Haga la gráfica de ( x, t ) contra x, para t = ( /10 ) s.
Solución.
( x, t ) = 0.5 cos ( 0.5x - 10t ) = 0.5 cos ( 0.5x - 10t ) ; ( x, t ) = o cos ( kx – t – )
a) = ? a) = 0.5 m
b) = ?
c) T = ? b) = 10 rad/s
d) = ?
e) k = ? c) T = 2/
f)) = ? = 2/ ( 10 s-1 )
g) v = ? = (1 / 5) s
h) = ? = 0. 2s
i) ( 0.5( 2 ) – 10( /10))rad = ?
j) ( 2, /10) = ? d) = 1/T
k) Gráfica de ( x, t ) contra x, = 1/(1/5 )s
para t =( /10 ) s. = 5s-1
= 5 Hz
e) k = 0.5 rad/m
= /2 rad/m
1.5707 rad/m
f) = 2 /k ; k = 2 /
= 2 / ( 0.5 m-1 )
= 2/( 0.5 m-1 )
=4m
g) v = o v = /k
= ( 4 m ) ( 5 s-1) = ( 10 s-1 )/( 0.5 m-1 )
= 20 m/s. = 20 m/s.
h) = 0 rad ; x = 2 m, t = ( /10 ) s
Si t = /10 s, entonces, ( x, /10 ) = 0.5 cos ( 0.5x – 10 ( /10 ) ) = 0.5 cos ( 0.5x – 2 )
Si 0.5x – 2 = 0 x = 2, por lo que ( 2, ⎯ ) = 0.5 cos ( 0.5 ( 2 ) – 2 ) = 0.5 cos 0
10
= ( 0.5 ) ( 1 ) = 0.5 A ( 2, 0.5 )
Si 0.5x – 2 = ⎯ x = 2 + 1, por lo que ( 2 + 1, ⎯ ) = 0.5 cos ( 0.5( 2 + 1 ) – 2 )
2 10 ; (0.5)(2) + 0.5 – 2 = 2 + 0.5 - 2
= 0.5
= 0.5 cos ⎯ = ( 0.5 )( 0 ) = 0 B ( 2 + 1, 0 )
2
Si 0.5x – 2 = x = 2 + 2, por lo que ( 2+ 2, ⎯ ) = 0.5 cos ( 0.5 ( 2 + 2 ) – 2 )
10
= 0.5 cos = ( 0.5 ) ( -1 ) = -0.5 C ( 2 + 2, -0.5 )
3
Si 0.5x – 2 = ⎯ x = 2 + 3, por lo que ( 2 +3, ⎯ ) = 0.5 cos ( 0.5 ( 2 + 3 ) – 2 )
2 10
3
= 0.5 cos ⎯ = ( 0.5 ) ( 0 ) = 0 D ( 2 + 3, 0 )
2
Si 0.5x – 2 = 2 x = 2 + 4, por lo que ( 2 +4, ⎯ ) = 0.5 cos ( 0.5 ( 2 + 4 ) – 2 )
10
⎯ 2 + 1 0 B ( 2 + 1 , 0 )
2
2 + 2 -0.5 C ( 2 + 2 , -0.5 )
3
⎯ 2 + 3 0 D ( 2 + 3 , 0 )
2
2 2 + 4 0.5 E ( 2 + 4 , 0.5 )
0.6
y
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
l) Gráfica de ( x, t ) contra t, para x = 2 m.
Si x = 2 m, entonces, ( 2, t ) = 0.5 cos ( 0.5 ( 2 ) – 10 t ) = 0.5 cos ( 2 – 10t ).
2 – 10t = 0; 10t = 2 ; 10t = ; t = /10
2 – 10t = /2 ; ; – 10t = 1/2 ; 10t = - 0.5 ; t = ( - 0.5 )/10 ; t = /10 - 0.05
2 – 10t = ; ; – 10t = 1 ; 10t = - 1 ; t = ( - 1 )/10 ; t = /10 - 0.1
2 – 10t = 3/2 ; ; – 10t = 1.5 ; 10t = - 1.5 ; t = ( - 1.5 )/10 ; t = /10 - 0.15
2 – 10t = 2 ; ; – 10t = 2 ; 10t = - 2 ; t = ( - 2 )/10 ; t = /10 – 0.2
Si 2 – 10t = 0 t = /10, por lo que ( 2, ⎯ ) = 0.5 cos ( 2 – 10( /10 ) ) = 0.5 cos 0
10
= ( 0.5 ) ( 1 ) = 0.5 A ( /10, 0.5 )
Si 2 – 10t = ⎯ t = /10 – 0.05, por lo que ( 2, ⎯ - 0.05 ) = 0.5 cos ( 2 – 10( /10 – 0.05 ) )
2 10 2 – 10( /10 ) + 10( 0.05 )
2 – 2 + 0.5 = 0 + /2 = /2
= 0.5 cos ⎯ = ( 0.5 )( 0 ) = 0 B ( /10 – 0.05, 0 )
2
Si – 10t = t = /10 – 0.1, por lo que ( 2, ⎯ - 0.1) = 0.5 cos ( 2 – 10( /10 – 0.1 ) )
2
10
= 0.5 cos = ( 0.5 ) ( -1 ) = -0.5 C ( /10 – 0.1, -0.5 )
3
Si 2 – 10t = ⎯ t = /10 – 0.15, por lo que ( 2, ⎯ - 0.15 ) = 0.5 cos ( 2 – 10( /10 - 0.15 ) )
2 10
3
= 0.5 cos ⎯ = ( 0.5 ) ( 0 ) = 0 D ( /10 – 0.15, 0 )
2
Si 2 – 10t = 2 t = /10 – 0.2, por lo que ( 2, ⎯ - 0.2 ) = 0.5 cos ( 2 – 10 ( /10 – 0.2 ) )
10
/10 – 0.05
⎯ 0 B ( /10 – 0.05, 0 )
2
3
⎯ /10 – 0.15 0 D ( /10 – 0.15, 0 )
2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 x
-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Problema. La función que describe a una onda transversal en una cuerda es ( x, t ) = 0.5 cos (
0.5x - 10t ). La cuerda tiene longitud de 3 m y está sujeta a una tensión constante de 4 N. Los
parámetros tienen unidades en el SI. Realice lo que se indica.
a) ¿Cuál es la frecuencia angular?
b) ¿Cuál es el número de onda?
c) Obtenga la rapidez de propagación de la onda.
d) Calcule la densidad lineal de la cuerda.
e) Obtenga la masa de la cuerda.
DL = M/L ; v = ( T/DL )1/2 ; ( x, t ) = o cos ( kx - t - )
Solución.
( x, t ) = 0.5 cos ( 0.5x - 10t ) = 0.5 cos ( 0.5x - 10t )
T=4N
L=3m a) = 10 rad/s
a) = ? b) k = 0.5 rad/m
b) k = ?
c) v = ? c) v = ⎯
d) DL= ? k
e) M = ? 10 s-1
v = ⎯⎯⎯⎯
0.5 m-1
10
= ⎯⎯ ms-1
0.5
= 20 ms-1
d) T
v = ( ⎯ )1/2
DL
T
v2 = ⎯
DL
T
DL = ⎯
v2
4N
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 20 ms-1 )2
4 kgms-2
= ⎯⎯⎯⎯⎯
( 20 )2 m2 s-2
4 kg
= ⎯⎯ ⎯⎯
400 m
kg
= 0.01 ⎯⎯
m
M
e) DL = ⎯
L
M = DL L
= ( 0.01 kg m-1 ) ( 3 m )
= ( 0.01 ) ( 3 ) kg
= 0.03 kg
ONDAS TRANSVERSALES
Problema. La función que describe a una onda transversal en una cuerda es ( x, t ) = 0.5 cos (
0.5x - 10t ). La cuerda tiene longitud de 3 m y está sujeta a una tensión constante de 4 N. Los
parámetros tienen unidades en el SI. Realice lo que se indica.
Solución.
( x, t ) = 0.5 cos ( 0.5x - 10t ) = 0.5 cos ( 0.5x - 10t )
T=4N
L=3m a) = 10 rad/s
a) = ? b) k = 0.5 rad/m
b) k = ?
c) v = ? c) v = ⎯
d) DL= ? k
e) m = ? 10 s-1
v = ⎯⎯⎯⎯
0.5 m-1
10
= ⎯⎯ ms-1
0.5
= 20 ms-1
d) T
v = ( ⎯ )1/2
DL
T
v2 = ⎯
DL
T
DL = ⎯
v2
4T
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 20 ms-1 )2
4 kgms-2
= ⎯⎯⎯⎯⎯
400 m2 s-2
4 kg
= ⎯⎯ ⎯⎯
400 m
kg
= 0.01 ⎯⎯
m
M
e) DL = ⎯
L
M = DL L
= ( 0.01 kg m-1 ) ( 3 m )
= 0.03 kg