Control II (EE-616) FIEE-UNI Ing.

Daniel Carbonel Olazábal

APLICACIONES CON CONTROL ÓPTIMO EN LOS

SISTEMAS DE SEGUIMIENTO
I.) CONTROLADOR ÓPTIMO PROPORCIONAL

x (t )
r (t ) + + u (t ) y (t )
k1 x  Ax  Bu y  Cx

- -
- -
k2 

k3


kn

K=[ K 1 K 2 K 3 ⋯ K n ]

Donde el procedimiento de diseño es el mismo que se empleó en los sistemas de seguimiento, no

tendría por qué ser diferente, ya que es simplemente el procedimiento de reubicación de polos, sólo
que el vector de ganancias K tendrá otro método de obtención, en este caso control óptimo.

PROCEDIMIENTO:
1. Verificar la controlabilidad del sistema.
2. Elegir adecuadamente las matrices de ponderación Q y R (para pruebas asumir identidad).
3. Verificar la estabilidad |sI−( A−BK )|=0
4. Determine la matriz P, resolviendo la ecuación reducida de Riccati.
5. Calcule el vector de ganancias del controlador óptimo, considerando la matriz P del paso
anterior.

ẋ 1 1 x1 + 0 u
= 0
Ejemplo No. 1: Dada la planta ()(
ẋ 2 −1 −10 x 2 1 )( ) ( )
x1
y= (1 0 )
()
x2

Determine el vector de ganancias K del controlador óptimo proporcional, considerando:

1
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Q= 10 0 y R=( 10 )
( )
0 1

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1. Verificando la controlabilidad:

M =[ B AB ] = 0 1 ⟹ Rank ( M )=2
[
1 −10 ]
Por lo tanto el sistema es de estado completamente controlable.

2. Verificamos la estabilidad:

|sI−( A−BK)|= s 0 − 0
(| 0 s ) (−1−K 1
=
s
)| | −1
|
1 −10−K 2 1+ K 1 s +10+ K 2

|sI−( A−BK )|=s2 + ( 10+ K 2 ) s+1+ K 1=0

3. Con las matrices de ponderación dadas, resolvemos la ecuación reducida de Riccati:

AT P+ PA −PB R−1 BT P+Q=0

p11 p12
Con: P=
( p12 p22 ) reemplazamos:

−1 p11 p12 p p12 0 1 − p11 p 12 0 ( 0.1 )( 0 1 ) p11 p12

(01 )(
−10 p12 )(
p22
+ 11
p12 )(
p22 −1 −10 p 12 p 22 1 )( p12)( ) ( p22
= −10 0
)(
0 1 )
Donde finalmente obtenemos las ecuaciones:

−0.1 p212−2 p12=−10 (1)

2
2 p 12−20 p 22−0.1 p =−1 22 (2)
p11 −10 p12− p 22−0.1 p12 p22=0 (3)

Resolviendo (1), (2) y (3) y considerando que P es Simétrica Real Positiva Definida, obtenemos:

P= ( 42.05
4.14
4.14
0.46 )
4. Obtenemos el vector de ganancias K:

−1 T
K=R B P=( 0.1 )( 0 1 ) ( 42.05
4.14
4.14
0.46 )

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K= [ 0.414 0.046 ]

4
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II.) CONTROLADOR ÓPTIMO PROPORCIONAL-INTEGRAL

x(t )
r (t ) +   + u (t ) y (t )
 kI x  Ax  Bu

y  Cx
- -
- -
k1 

k2


kn

ẋ 1 1 x1 + 0 u
= 0
Ejemplo No. 2: Dada la planta ()( ẋ 2 −1 −10 x 2 1 )( ) ( )
x1
y= (1 0 )
()
x2

Determine el vector de ganancias K del controlador óptimo proporcional-Integral, considerando:

10 0 0

[
Q= 0 1 0 R=(10)
0 0 1 ]
Identificamos:
A=[−10 1
−10 ]
0
B=[ ]
1

C=[1 0]
Con ello obtenemos la ecuación característica

|SI − A|=S 2 +10 S+ 1=0

A 0
A=
^
−C( 0 )
Por lo tanto:

5
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0 1 0
^
[
A= −1 −10 0
−1
Luego:
0 0 ]
^B= B
()
0
Entonces:
0

[]
^B= 1
0

1) Verificamos la controlabilidad:

M =[ B
^ ^^ ^^
AB A2 B
^]

1
^ ^
A B= −10
0 [ ]
−10
A2 B=
^ ^ 99
−1 [ ]
Entonces:

0 1 −10
^
[
M = 1 −10 99
0 0 −1 ]
Rank ( M
^ ) =3

Es así que se verifica que el sistema es de estado completamente controlable.

2) Resolviendo RICATTI:

AT P+
^ ^ P^^ ^B
A−P ^^ ^ T P=−Q
R−1 B ^ … … … …(α )

p11 p12 p13

Donde:
[
P= p 12 p22
^
p 13 p 23
p23
p33 ]
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−p 21− p31 − p22− p32 − p23− p33

 A P
^ T

0[
^ = p11 −10 p21 p12−10 p22
0
p13−10 p23
0 ]
− p12− p13 p11 −10 p 12 0
 ^
[
P A = −p 22− p23
^
−p 23− p33
p12−10 p 22 0
p13−10 p 23 0 ]
 ^
PB R−1 ^BT ^
^^ P

p11 p 12 p 13 0 p11 p 12 p 13

[ ] [ ]( ) [
p 21 p 22 p 23 1
p 31 p 32 p 33 0
1
10
[ 0 1 0 ] p 21 p 22 p 23
p 31 p 32 p 33 ]
Efectuando:
p11

[] p 21 [ 0 1 0 ] [ p 11 p12
p 31
p13 ]

p12

[ ][
0 0
10
p11 p12 p13
0

0
p22
10
p32
0 p21

0
p31
p22
p32
p23
p33 ]
10

p212 p12 p 22 p 12 p13

¿
1
[
p p
10 22 12
p 222 p 22 p23
p23 p 12 p23 p 22 p223 ]
reemplazando estos valores en α se obtienen las siguientes ecuaciones:
−p 223
1) =−1 entonces p23=∓ 3.16
10
p212
2)−2 p 12−2 p13− =−10
10
p p
3)− p23 − p33− 12 23 =10
10
p2
4) p12 −10 p 22 + p12− p22 − 22 =−1
10

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p 22 p23
5) p13 −10 p23− =10
10
p12 p22
6) − p22− p23 + p11−10 p12− =0
10
Analizamos para los elementos de la matriz P:

 Si p23=−3.16

De (2):
p 212
− p12− + 5= p13………… (7)
20
de (4 )
p222 1
p12=10 p 22+ − …………..(8)
20 2

( 8 ) en ( 7 ) y luegoen ( 5 ) obtenemos :

−2.0187
p22=
{ −1.9599
−0.0107+i 0.02 }
Aplicando el criterio de Sylvester:

P22> 0

Entonces, descartamos que: p23=−3.16

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 Para p23=3.16

Análogo al caso anterior cambiamos el signo a 3.16

( 7 ) en ( 6 ) y luegoen ( 5 )
−198.93+ j2.04
p22=
{
−198.93−
−4.01
1.87
j2.04
}
Tomamos el valor de 1.87 por la condición de p22

p22=1.87

En (5):

p13=−32.19

Luego en (2):

las soluciones para p12 son :

 39.0482 (no puede ser)

 19.0482 (tomamos este valor)

Por lo tanto:

p12=19.0482

En la ecuación (6):

p11 =192.75

De la ecuación (3):

p33=9.179

Finalmente la matriz ^
Pque se obtiene es:

192.75 19.0482 −32.19

^
[
P= 19.0482
−32.19 −3.16
1.87

La matriz ^
−3.16
9.179 ]
K

K=R−1 BT P
^ ^

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^
K=[1.90482 0.187 −0.316]

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