Unidad 1 - Ecuaciones de Primer Grado

Tecnicatura Universitaria en Agroalimentos – Matemática - 2020
UNIDAD 1
Ecuaciones de primer grado (o lineales)
Las ecuaciones son expresiones matemáticas que indican igualdad, por ejemplo
- y = 2 + x esto se lee “y es igual a 2 más x”
- x2 + 1 = 3 esto se lee “x al cuadrado más 1 es igual a 3”
En todas las ecuaciones encontraremos incógnitas (valores desconocidos) que se indican con una
letra, puede ser la x, la y u otra. Nosotros en general usaremos la letra x.
Las ecuaciones lineales se caracterizan por tener la incógnita elevada a la potencia 1, por ejemplo x1,
pero como la potencia 1 no se deja escrita la veremos simplemente como x.
Para que sirven las ecuaciones???? Las ecuaciones sirven para resolver situaciones como la que sigue:
Debo producir un lote de frutas en conserva y para ello puedo gastar $9000. Los costos fijos de
producción son de $500 y el costo de producción por envase es de $25. Cuantas latas de frutas en
conserva puedo producir con los $9000?
Para resolver esta situación debemos tener en cuenta que el numero de latas multiplicado por el costo
de producción de cada lata más el costo fijo de producción debe ser igual a $9000. Si al numero de
latas de fruta le llamamos x podríamos escribir la ecuación:
$ 25 x + $500 = $ 9000
De aquí debemos encontrar el valor de x para saber cuantas latas de frutas en conserva se puede
producir con $9000. Para ello debemos resolver la ecuación.
Resolver una ecuación significa encontrar el valor desconocido x que haga que la igualdad sea cierta.
Por ejemplo, en la ecuación x + 1 = 3 solo el valor x = 2 satisface la ecuación, pues 2 + 1 =3
Resolvamos algunas ecuaciones
x + 5 = 9, la solución es x = 4 pues 4 + 5 = 9
7 = 10 + x, la solución es x = - 3 pues 7 = 10 + (-3)
Pero no es tan fácil resolver ecuaciones cuando se presenta algo como lo que sigue
27 x + 54 = 26 x -18
Entonces utilizaremos herramientas matemáticas para resolver ese tipo de ecuaciones y otras más
complejas. Siempre vamos a “despejar” la x, es decir que la dejaremos sola de un lado del signo =.
Veamos un caso sencillo x + 5 = 9
Para que la x quede sola del lado izquierdo restamos 5 de ambos lados del =, entonces queda
x + 5 – 5 = 9 – 5 y ahora resolvemos
x + 0 = 4 es decir x = 4 y esta es la solución.
1
Hagamos otra
x – 7 = -2, para que la x quede sola sumamos 7 a ambos lados del =, entonces queda
x – 7 + 7 = - 2 + 7 resolvemos y nos queda x + 0 = 5, es decir x = 5 esta es la solución.
Ahora intenta resolver las siguientes ecuaciones
1) x – 3 = 10
2) x+2=7
3) x – 10 = 100
4) x - 4 = 25
5) x - 87 = 32
Sigamos con otro ejemplo:
5 x = 30 podemos ver que entre el 5 y la x no hay signo! Esto significa que están multiplicando y no
hace falta escribirlo. Para dejar sola la x ahora tenemos que dividir por 5 a ambos lados del =.
5 30
Nos queda: 5
x = 5
resolvemos y queda 1x = 6, es decir que 𝐱 = 𝟔
Resuelve las siguientes ecuaciones

6) 6 x =36
7) 10 x = 20
8) 27 x = -12
9) -18 x = 2
10) -15 x = -3
Puede pasar que encontremos una ecuación como la que sigue 3x + 2 = 7x – 3
En este caso juntamos las “x” del lado izquierdo del signo =, 3x ya esta del lado izquierdo pero 7x
esta de lado derecho. Como 7x es un termino positivo restamos 7x de ambos lados del signo =
3x + 2 – 7x = 7x – 3 – 7x operando queda - 4x + 2 = - 3
Ahora juntamos los números que no tienen x del lado derecho del signo = , para eso restamos 2 de
cada lado del signo =, entonces
- 4x + 2 – 2 = -3 - 2 operando resulta - 4x = -5
Y ahora dividimos a ambos lados por -4
−4 −5 𝟓
−4
x = −4 entonces 𝐱 = 𝟒
Resuelve las siguientes ecuaciones:

11) 3x + 1 = - 6x + 17
12) -5x + 4 = - 6x + 5
13) 4x – 6 = - 2x + 3
14) -2x + 4 = 6 + 8 x
2
15) -15 x – 3 = -2x +2

−4+x 5+x
Otro caso que podemos encontrar es una ecuación como esta 5
= 2
, y para encontrar la
solución seguiremos la misma metodología:
−4 + x 5 + x
=
5 2
2(−4 + x) = 5(5 + x)
−20 + 2x = 25 + 5x
2x − 5x = 25 + 20
−3x = 45
45
x=
−3
𝐱 = −𝟏𝟓
Observa detenidamente el desarrollo anterior y explica los pasos que se han seguido.
Ahora practica resolviendo las ecuaciones
x+2 −5 + x
16) 3
= 4
−x + 1 1+x
17) 3
= 2
−x + 6 8+x
18) =
3 4
2x + 7 14 + x
19) 7
= 14
3x + 1 1 − 4x
20) =
2 3
Observa lo siguiente x+3x, como se opera con esta expresión? Muy fácil!!! Imagina que la x son
caramelos, entonces 1 caramelo + 3 caramelos ….. es igual a 4 caramelos!! O sea que x + 3x = 4x.
Podemos avanzar y vamos a resolver otra ecuación, intenta explicar los pasos de resolución
x + 2x −5 − x
=
3 4
4(x + 2x) = 3(−5 − x)
4(3x) = 3(−5 − x)
12x = −15 − 3x
12x + 3x = −15
15x = −15
−15
𝑥=
15
3
𝐱 = −𝟏
Una muy buena manera de saber si hemos llegado al resultado correcto es realizar la verificación,
solo hay que reemplazar el valor de x en la ecuación original, si se satisface la igualdad podemos
asegurar que la solución encontrada es correcta.
Resolvamos otra ecuación
2x + 1
= 3x − 16
3
2x + 1 = (3x − 16)3
2x + 1 = 9x − 48
2x − 9x = −48 − 1
−7x = −49
−49
𝑥=
−7
𝐱=𝟕
Realicemos la verificación, la ecuación original es:
2x + 1
= 3x − 16
3
El valor de x obtenido es 𝐱 = 𝟕, reemplazando y resolviendo
2 .𝟕 + 1
= 3 . 𝟕 − 16
3
15
= 21 − 16
3
𝟓=𝟓
Se verifica la igualdad, por lo tanto… hemos realizado los cálculos correctamente!!!
Resuelve el problema de la pagina 1.
Verifica los resultados que has obtenido al resolver las ecuaciones propuestas.

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Resuelve las siguientes ecuaciones

Resuelve las siguientes ecuaciones:

15) -15 x – 3 = -2x +2

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