Movimiento de Rototraslacion

Movimiento de un disco que rueda sin deslizar al que se le aplica una
fuerza horizontal
Se aplica una fuerza F que actúa a una distancia r<R por encima del centro de masas de un
cilindro. Tenemos una fuerza de roce estática Fr que tiene un valor límite (µeN), donde N es
la componente perpendicular al plano de la fuerza que hace la superficie.
El sistema bajo estudio es el cilindro y la vamos a modelar como un cuerpo rígido y tomamos
como sistema de referencia inercial la tierra.
El diagrama de cuerpo libre sería:
acm
N
F
r
R α
Fr
La fuerza de roce es estática y desconocemos su valor pero se puede calcular a partir de las
ecuaciones dinámicas:
∑ 𝐹𝑥 = 𝐹 − 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑐𝑚 (1)
∑ 𝐹𝑦 = 𝑁 − 𝑃 = 0 (2)
∑ 𝜏𝑐𝑚 = 𝑟𝐹 + 𝑅𝐹𝑟 = 𝐼𝑐𝑚 𝛼 (3)
La condición de rodadura sin deslizamiento implica que el eje instantáneo de rotación se

encuentra en reposo instantáneo (velocidad nula). Tenemos un movimiento combinado una
traslación de las partículas con una velocidad respecto al centro de masa (𝑣𝑐𝑚 ) y una rotación
en el cual las partículas del borde tienen una velocidad de rotación 𝑣 = 𝑅𝜔. Con lo cual en
el eje instantáneo de rotación (punto P en los dibujos) al ser nula su velocidad nos queda que:
𝑣𝑐𝑚 = 𝑅𝜔
Y notar que en el punto superior la velocidad será dos veces la velocidad del centro de masa:
𝑣 = 2𝑣𝐶𝑀
Lo mismo podemos trasladar a la aceleración en el eje instantáneo de rotación la aceleración
es nula ya que se cancela la aceleración de la rotación con la de la traslación y no queda que:
𝑎𝑐𝑚 = 𝑅𝛼
Y en el punto superior la aceleración es dos veces la del CM: 𝑎 = 2𝑎𝐶𝑀
Considerando las ecuaciones 1 y 3:
De (1) 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑐𝑚 + 𝐹
En (3)
𝑎𝑐𝑚
𝑟𝐹 + 𝑅 (𝑚𝑎𝑐𝑚 + 𝐹 ) = 𝐼𝑐𝑚 𝛼 = 𝐼𝑐𝑚
𝑅
1
Si consideramos un cilindro macizo: 𝐼𝑐𝑚 = 2 𝑚𝑅2
Despejando la aceleración del centro de masa:

𝐹 𝑟
𝑎𝑐𝑚 = (1 + )
3 𝑅
2𝑚
Y la Fuerza de roce:
𝐹 𝑟
𝐹𝑟 = (1 − 2 )
3 𝑅
2𝐹 𝐹
 Si r=0 se tira desde el centro de masa con lo cual 𝑎𝑐𝑚 = 3𝑚 y 𝐹𝑟 = 3
acm
N m
R α
Fr
P
 Si r˂R/2 la Fr˃0 está hacia la izquierda como lo definimos y el diagrama de fuerzas
es el dibujado inicialmente.
𝐹
 Si r=R/2 la Fr=0 y la 𝑎𝑐𝑚 = 3𝑚
acm
N
F
R/2
R α
 Si r˃R/2 la ecuación de la fuerza de roce queda negativa, es decir va dirigida hacia la

derecha.
acm
N
F
r˃R/2
R α
Fr
P
4𝐹 𝐹
 Si r=R 𝑎𝑐𝑚 = 3𝑚 y 𝐹𝑟 = − 3 es decir va hacia la derecha
acm
N
R α
Fr
P
¿Qué pasa si se tira desde abajo?
acm
N
r α
R
F
Fr
Las ecuaciones dinámicas son:
∑ 𝐹𝑥 = 𝐹 − 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑐𝑚 (4)
∑ 𝐹𝑦 = 𝑁 − 𝑃 = 0 (5)
∑ 𝜏𝑐𝑚 = −𝑟𝐹 + 𝑅𝐹𝑟 = 𝐼𝑐𝑚 𝛼 (6)

Ahora la fuerza F genera un torque para el otro lado.
Con la condición de rodadura sin deslizamiento (𝑎𝑐𝑚 = 𝑅𝛼) y que es un cilindro macizo
1
𝐼𝑐𝑚 = 𝑚𝑅2
2
𝐹 𝑟
𝑎𝑐𝑚 = (1 − )
3 𝑅
2𝑚
𝐹 𝑟
𝐹𝑟 = (1 + 2 )
3 𝑅
2𝐹 𝐹
 Si r=0 (se tira desde el centro de masa) 𝑎𝑐𝑚 = 3𝑚 y 𝐹𝑟 = 3
acm
N
R
F
Fr
P
 Si r˂R la aceleración del centro de masa y la fuerza de roce cumplen con la
ecuaciones
𝐹 𝑟 𝐹 𝑟
𝑎𝑐𝑚 = 3 (1 − 𝑅) y 𝐹𝑟 = 3 (1 + 2 𝑅).
𝑚
2
acm
N
r˂R α
R
F
 Si r=R acm=0 y Fr =F y si F es tal que es mayor a fuerza de roce estática

máxima (F˃µeN) el cuerpo desliza.
Fr
F
P
¿Qué pasa si se tira con una fuerza que no es

acm
N paralela al plano?
F
α ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝜃 − 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑐𝑚 (4)

r
θ
R ∑ 𝐹𝑦 = 𝑁 − 𝑃 + 𝐹 sin 𝜃 = 0 (5)
Fr ∑ 𝜏𝑐𝑚 = −𝑟𝐹 + 𝑅𝐹𝑟 = 𝐼𝑐𝑚 𝛼 (6)
P
Con la condición de rodadura sin deslizamiento (𝑎𝑐𝑚 = 𝑅𝛼) y que es un cilindro macizo
1
𝐼𝑐𝑚 = 2 𝑚𝑅2
𝐹 𝑟
𝑎𝑐𝑚 = (cos 𝜃 − )
3 𝑅
2𝑚
𝐹 𝑟
𝐹𝑟 = (cos 𝜃 + 2 )
3 𝑅
𝑟
 Si cos 𝜃=𝑅 la 𝑎𝑐𝑚 = 0 este ángulo se lo denomina crítico, la fuerza F pasa
por el eje instantáneo de rotación con lo cual no genera un torque desde ese
punto. Si F˃µeN el cuerpo desliza.
N
F
r
θ
R
Fr
𝑟
 Si cos 𝜃 ˃ La aceleración es positiva y el objeto se mueve hacia la derecha
𝑅
(el diagrama de fuerzas es tal cual lo habíamos dibujado inicialmente).
𝑟
 Si cos 𝜃 ˂ 𝑅 La aceleración es negativa y el objeto se mueve hacia la
izquierda.
acm
N
F
α
r
θ
R
Fr

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Movimiento de un disco que rueda sin deslizar al que se le aplica una

∑ 𝜏𝑐𝑚 = 𝑟𝐹 + 𝑅𝐹𝑟 = 𝐼𝑐𝑚 𝛼 (3)

La condición de rodadura sin deslizamiento implica que el eje instantáneo de rotación se

Despejando la aceleración del centro de masa:

 Si r˃R/2 la ecuación de la fuerza de roce queda negativa, es decir va dirigida hacia la

Las ecuaciones dinámicas son:

∑ 𝜏𝑐𝑚 = −𝑟𝐹 + 𝑅𝐹𝑟 = 𝐼𝑐𝑚 𝛼 (6)

 Si r=R acm=0 y Fr =F y si F es tal que es mayor a fuerza de roce estática

¿Qué pasa si se tira con una fuerza que no es

α ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝜃 − 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑐𝑚 (4)

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