Educación Básica Alternativa

4.o grado: Matemática

SEMANA 33

Números reales en situaciones cotidianas

y sus operaciones

Para iniciar el estudio de números reales y sus operaciones, veamos la siguiente situación1:

En la industria papelera, los tamaños de papel estándar

de la serie A se denominan A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, etc.
Se sabe que el de mayor tamaño tiene una superficie de
1 m2 y cada uno de los demás mide la mitad del anterior.

Juan es un estudiante del 4.o grado de EBA, que necesita

un estante para colocar papeles A0 y A1. Para ello debe
determinar las medidas exactas y aproximadas de dichos
papeles. ¿Cuáles serán las medidas de dichos papeles?

Solución:

1. Se sabe que el papel de tamaño A0 tiene una superficie de 1 m2, entonces representamos
gráficamente y calculamos las dimensiones de este papel.
Por dato tenemos: x.y = 1 m2 → y = 1 …..①

Aplicamos semejanza entre A0 y A1, planteamos la

proporción:

Reemplazamos y = 1/x, en la ecuación anterior:

1
Adaptado de Ministerio de Educación (2016). Cuaderno de trabajo, matemática 5. Lima: Editorial Santillana, p.14.
Números reales en situaciones cotidianas CICLO AVANZADO
y sus operaciones
Usamos mecanismos para reclamar nuestros derechos EBA

(Aplicamos propiedades de multiplicación en Q)

(Aplicamos propiedades de potenciación y radicación en Q)

(Aplicamos propiedades de potenciación y radicación en Q)

Reemplazamos x, en la primera ecuación ①

(Aplicamos propiedades de multiplicación en Q)

1. Hallamos la medida del papel A1:

Determinamos la medida de y/2

y El valor de x =

Respondemos: La medida del papel A0 es y y, la medida de A1 es y

Relaciones entre los sistemas numéricos2

1. Relaciones entre los sistemas numéricos N, Z, Q e I

Conjunto de los números naturales:
N = {0; 1; 2; 3; …}

Conjunto de los números enteros:

Z = N ∪ {… −3; −2; −1}, N ⊂ Z

Conjunto de los números racionales:

Q = Z ∪ {fracciones positivas y negativas}, Z ⊂ Q

Conjunto de los números irracionales:

I = {raíces inexactas, π, Φ y e} Q ⊄ I

Conjunto de los números reales:

IR = Q ∪ I N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR I ⊂ IR

1
Adaptado de Ministerio de Educación (2012). Matemática 5. Lima: Editorial Santillana, p. 12-13

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Números reales en situaciones cotidianas CICLO AVANZADO
y sus operaciones
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El sistema de números reales es el conjunto de los números reales, denotado por IR, y sus
propiedades. Está formado por los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se
caracteriza por representar cualquier número real sobre una recta y, a su vez, porque cada punto
de una recta puede ser designado como un número real.

A esta correspondencia se le llama relación biunívoca porque para cada número real hay un punto
en la recta y para cada punto en la recta hay un número real.
IR

Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos de una recta. Esto permite
ver, sobre todo, las relaciones de orden:

-0,63227....

Fuente: De Repaso Virtual (adaptación)

2. Definición axiomática del conjunto de números reales

El conjunto de los números reales es un conjunto de elementos en el cual se define la adición (+)
y la multiplicación (∙), así como una relación de orden.
A continuación, se muestran los axiomas más relevantes definidos en IR.

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3. Propiedad de densidad y completitud3

• El conjunto de números reales es denso porque, dados dos números reales distintos, siempre
existe un número real entre ellos. Si a < b, existe, c ∈ R tal que a < c< b.
• El conjunto de los números reales es completo porque, a cada punto de la recta, le corresponde
un número real y viceversa.

El conjunto de los números reales IR es denso, completo, y además ordenado.

4. Proyección geométrica sobre la recta real

Al ubicar los números racionales en la recta real, quedan puntos sin ocupar. Estos puntos
corresponden a los números irracionales como √2 o π.
Tomando como ejemplo los números irracionales √2, √5 y √3, esto se pueden representar en la
recta numérica a partir de la construcción con regla y compás de triángulos rectángulos y de arcos
de circunferencia de radio igual a la hipotenusa de dichos triángulos.

3
Adaptado de Ministerio de Educación (2016). Matemática 5. Lima: Editorial Santillana, p. 10-11.

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Ejemplo:

Ubica el número real √2 en la recta numérica.

Para ubicar en la recta real las raíces no exactas, por ejemplo √2, aplicamos el teorema de Pitágoras
a un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden una unidad (observa la grafica).
La hipotenusa de este triángulo será raíz cuadrada de dos. Luego, trazamos un arco de circunferencia
con centro en el punto cero de la recta numérica. En la intersección del largo con la recta numérica
estará ubicado el número √2.

Aplicando el teorema de Pitágoras: Ubicamos √2 en la recta numérica

(AB)2 = 12 + 12
AB = √(1+1)
AB = √2

En general, para localizar la manera geométrica √n, siendo “n” cualquier número natural, se
puede aplicar el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo de catetos 1 y la raíz cuadrada
del número natural anterior a “n”, es decir raíz de √(n-1).

5. Operaciones con números racionales e irracionales

• Adición y sustracción de números reales

Ejemplo 1:
Operar con aproximación al centésimo: ∏ + √3 + 1 – 7

Escribimos los equivalentes de ∏, √3 y 1 en números decimales:

∏ = 3,1415…
√3= 1,7320…
1 = 0,33333…

Aproximando al centésimo, se tiene:

3,14 + 1,73 + 0,33 −7

5,2 −7 = −1,8

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Ejemplo 2:

Lupe encontró en un texto de matemática, un reto que le pedía hallar el resultado de la siguiente
operación: Calcular -4√3 + 9 √5 + 3√20 + 7√27

Solución

-- Para sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes. En este caso, se operan los
coeficientes y mantiene el mismo radical.
-- Descomponemos los radicandos en factores primos y simplificamos:

-4√3 + 9 √5 + 3√20 + 7√27

-4√3 + 9 √5 + 3√(4 .5) + 7√(9 .3)
-4√3 + 9 √5 + 3.2√( 5) + 7.3√( 3)
-4√3 + 9 √5 + 6√( 5) + 21√( 3)

-- Agrupamos radicales semejantes y operamos:

-4√3 + 21√( 3)+ 9 √5 + 6√( 5)

Respuesta: 17√( 3) + 15 √5

• Multiplicación y división de números reales

Situación:

Durante las olimpiadas escolares 2019, dos estudiantes de EBA estuvieron registrando sus
mejoras marcas en salto largo, con el objetivo de mejorar y lograr una medalla. Los registros
se muestran a continuación:

Número de saltos Ángel Mario

153 m
1.er salto 5,85 m

2.o salto 5 19 m 119 m

20 20

3.er salto 6,20 m 6 1 m

2

4.o salto 5 19 m 6,12 m

20

-- ¿Quién ganó la medalla de oro?

-- ¿Cuánto le faltó al segundo lugar para registrar la misma marca del primer lugar?

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y sus operaciones
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Solución

a. Convertimos las fracciones a números decimales.

1 = 6 + 1 = 6 + 0,5 = 6,5 19 = 5 + 19 = 5 + 0,95 = 5,95

Número de saltos Ángel Mario

1.er salto 6,12 m 5,85 m
2. salto
o
5,95 m 5,95 m
3. salto
er
6,20 m 6,5 m
4. salto
o
5,95 m 6,12 m

b. Para saber el ganador debemos sumar todas las marcas y dividir entre 4.

• Para el caso de Ángel:

6,12 m + 2(5,95 m) + 6,20 m = 24,22

Dividimos entre 4, para sacar el promedio: = 6,055 m

• Para el caso de Mario:

5,85 m + 5,95 m + 6,5 m + 6,12 m= 24,42

Dividimos entre 4, para sacar el promedio: = 6,105 m

Respuesta 1: El ganador de la medalla es Mario.

• Para saber cuánto le faltó a Ángel para registrar la misma marca del primer lugar, restamos
ambos resultados:

6,105 m - 6,055 m = 0,05 m

Respuesta 2: Al segundo lugar le faltó 0,05 m.

El presente documento tiene fines exclusivamente pedagógicos y forma parte de la estrategia de educación a distancia gratuita que imparte el
Ministerio de Educación.