Guia N° 4.

Anualidades:
OBJETIVO: Conocer los conceptos y elementos que participan en las anualidades.
Aprender a diferenciar los tipos de anualidades. Identificar las variables en la
resolución de las anualidades.

5. ANUALIDADES
Anualidad: Se aplica a problemas financieros en los que existen un conjunto de pagos iguales a
intervalos de tiempo regulares.
En matemática financiera anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que
pueden ser anuales, semestrales, trimestrales, mensuales, quincenales o diarios.
El estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, porque es el sistema de
amortización más común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda.
Este sistema de pago (anualidad) permite que el financiador, cada vez que recibe el pago de la
cuota, recupere parte del capital prestado.
CARACTERISTICAS DE UNA ANUALIDAD:
a) Todos los pagos deben ser iguales.
b) Todos los pagos deben ser periódicos.
c) Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie, a la misma tasa, a un valor
equivalente, es decir, la unidad debe tener un valor presente equivalente y a un valor
futuro equivalente.
d) El número de pagos debe ser igual al número de periodos.

CLASES DE ANUALIDADES:
1. ANUALIDAD VENCIDA U ORDINARIA
2. ANUALIDAD ANTICIPADA O ADELANTADA
3. ANUALIDAD DIFERIDA
4. ANUALIDAD PERPETUA

CONCEPTOS IMPORTANTES EN ANUALIDADES:

• RENTA: Es el pago periódico y de igual valor

• PERIODOD DE RENTA: Es el tiempo que transcurre entre dos pagos.

• PERIODO DE CAPITALIZACION: Es el periodo convenido para convertir el interés en capital.

JOSÉ JORGE AROCA AGÁMEZ

ADMINISTRADOR FINANCIERO Y DE SISTEMAS
MATEMATICAS FINANCIERA EC108 - 2020 – I
Josearoca@unicesar.edu.co
• PERIODO DE PAGO: Es el periodo de pago o recibo de cuotas.

1. ANUALIDAD VENCIDA U ORDINARIA:

Es aquella en que los pagos se realizan al final del periodo. Ejemplo: el salario mensual
de un empleado, las cuotas mensuales y vencidas en cualquier compra, son casos de
anualidad vencida.

1.1.CALCULO DEL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA U ORDINARIA:

Es el valor ubicado en un periodo a la fecha del primer pago, equivalente a una serie
de pagos iguales (A) y periodos.
Se calcula un valor presente (P) a una serie de pagos iguales y periódicos, conocidos el
número de pagos (A) y la tasa de interés (i), reemplaza una serie de pagos iguales
llamados anualidades, por un valor presente equivalente (P). Para dicho cálculo se
debe utilizar la siguiente formula:
( 1+i ) ❑n−1
P= A
[
i ( 1+i ) ❑n ]
PRACTICA:
María compro una moto para transportarse a la universidad con una cuota inicial de
$1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales de $200.000. La Honda le cobra el 2.5% mensual
sobre el saldo. Calcular el valor de la moto de María.
1.2.CALCULO DE VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA CON TASA
VARIABLE:
Para calcular valor presente de una anualidad vencida con tasa variable no aplica la
fórmula utilizada en valor presente con tasa fija, de tal forma que debemos diseñar un
procedimiento para poder calcular dicho valor presente.

A A A
• P= + +
(1+i 1) (1+i1)(1+i2) (1+i 1)(1+i 2)(1+i 3)
+…

PRACTICA:
Juana compro una bicicleta para transportarse a la universidad con 4 cuotas mensuales de
$200, la operación financiera ofrece las siguientes tasas de interés mensuales.
Mes 1 2 3 4
Tasa 1.0% 1.2% 0.8% 1.5%
Calcula el valor de bicicleta.
1.3. CALCULO DEL VALOR DE LA CUOTA EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE
VENCIDA:
Conocido el valor presente (P), la tasa de interés (i) y el número de pagos (n) podemos
calcular el valor de la cuota.

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 i ( 1+i ) ❑n
[
A¿ P ( 1+i ¿ ❑n −1 ) ]
PRACTICA:
María compra una mejora en el barrio paraíso perdido por valor de
$20.000.000; abonando una cuota en el momento de la operación financiera del
10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. ¿Cuál es el
valor de las cuotas?

1.4. CALCULO DEL VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA :

Es un valor ubicado en la fecha del último pago (F), equivalente a todas las series de
pagos iguales (A) y periodos (n).

( 1+ i ) ❑n−1
F¿ A [ i ]
PRACTICA:
Juana Pérez adquiere en JAMAR un cochón SPRING y cancela cada fin de mes
$12.000 durante un año, con una tasa de interés del 3.0% mensual. ¿Cuánto
cuesta el colchón?
1.5.VALOR DE LA CUOTA EN FUNCION DEL VALOR FUTURO VENCIDA:
Conocido el valor futuro equivalente a una serie de pagos iguales (F), la tasa de
interés efectiva periódica (i) y el número de pagos (n), se desea calcular el valor
de la cuota igual y periódica.

i
A¿ F [ ( 1+i ) ❑n −1 ]
PRACTICA:
Juana Pérez adquiere en JAMAR un cochón SPRING y desea saber cuánto debe
cancelar al final de cada mes durante dos año, con una tasa de interés del 2.50%
mensual; si el colchón cuesta $8.500.000.

1.6.CALCULO DEL TIEMPO DE UNA NEGOCIACION VENCIDA:

Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación, para las anualidades
vencidas, el tiempo de la operación, medido en números de periodos, algunas veces
coincide con el número de pagos, lo cual no siempre se cumple. El número de cuotas o

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tiempo de una negociación lo podemos calcular a partir del valor presente o futuro
dependiendo que valor se conozca en la operación.

log A−log ( A−Pi ) log ( F .i+ A ) −log A

n¿ log (1+i)
n¿ log(1+i )

PRACTICA:
¿Cuántos depósitos mensuales vencidos de $156.325 se deben hacer en una
entidad financiera que paga el 2% mensual, Para tener un valor acumulado de
$1.500.000.
Luego calcula el valor de los depósitos.

Juana Pacheco tiene deuda de $1.000.000 se debe cancelar con cuotas

mensuales iguales de $100.000 c/u. si la tasa de interés cobrada es del 36% capitalizable
mensualmente, ¿Con cuántos pagos cancela Juana la deuda?

1.7.CALCULO DE LA TASA DE INTERES VENCIDA:

Cuando se acude a los créditos comerciales para la compra de cualquier activo como
muebles, electrodomésticos, vehículos, entre otros; por medio de cuotas fijas
periódicas y uniformes, generalmente no se le informa al cliente su costo, que viene a
ser la tasa de interés cobrada.

PRACTICA:
Un apartamento tiene un valor de contado de $30.000.000 y se va a financiar de
la siguiente manera: una cuota inicial del 30% de su valor y 36 cuotas mensuales
iguales por valor de $961.879.68. Calcular la tasa de interés cobrada.

( 1+i ) ❑n−1
P= A
[ i ( 1+i ) ❑n ]

2. ANUALIDAD ANTICIPADA O ADELANTADA:

Es aquellas en la cual los pagos se hacen anticipadamente, a principio de cada
periodo. Ejemplo: los pagos de arrendamientos anticipados, pagos de cuotas de
vehículos o electrodomésticos.
2.1.CALCULO DEL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA:

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 El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor, que en
el momento de realizada la operación financiera, sea equivalente a toda la serie.

( 1+i ) ❑n−1
P= A ( 1+i )
[
i ( 1+i ) ❑n ]
( 1+i ) ❑n−1−1
P= A+ A
[
i ( 1+i ) ❑n−1 ]
PRACTICA:
Se consigue un préstamo bancario en BBVA a cancelar en 18 cuotas iguales de $15.000
cada una por mes anticipado. Se decide a última hora cancelarlo de contado. Si la tasa de
interés acordada es de 3% mensual, hallar este valor.

Un amigo ofrece arrendarle un local comercial a Juana por valor de $800.000 mensual. Si
le solicita el pago total en el momento de arrendarlo; ¿Cuánto debe recibir el amigo de
Juana si la tasa de interés de la negociación es de 2% mensual?

2.2.CALCULO DE LA CUOTA EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE DE UNA

ANUALIDAD ANTICIPADA:
Corresponde al valor de las cuotas, de una serie de cuotas, que se pagan al
principio del periodo. Para lograr una expresión que nos permita calcular su
valor. Aplicaremos la siguiente formula:

P
A=
(1+i ) ❑n−1
(1+i)
[ i(1+i)❑n ]
PRACTICA:
Juana Pacheco recibe un crédito por valor de $10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas
mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% mensual de interés.
¿Calcular el valor de las cuotas?

2.3.CALCULO DEL TIEMPO DE UNA NEGOCIACION ANTICIPADA:

Para calcular el tiempo de una negociación de una anualidad anticipada, el número de
cuotas en función del valor de la obligación (P), el valor de la cuota anticipada (A), y la
tasa de interés efectiva periódica (i).

n¿ log A−log ¿ ¿¿
PRACTICA:
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Un crédito de $2.000.000 se va a cancelar con pagos iguales mensuales anticipados de
$358.441.75. Si se cobra una tasa de interés del 3% mensual. Calcular el número de pagos
necesarios para cancelarla.

2.4.CALCULO DE LA TASA DE INTERES DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA:

Generalmente se adquieren activos por medio de cuotas periódicas anticipadas
desconociendo el costo del crédito, que viene a hacer la tasa de interés cobrada.
PRACTICA:
Una nevera que cuesta $3.000.000 LG se financia a 24 cuotas iguales mensuales
de $180.000. Calcular la tasa de interés de financiación.
( 1+i ) ❑n−1−1
P= A+ A
[ i ( 1+i ) ❑n−1 ]
2.5.CALCULO DEL VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA:
Para calcular el valor futuro de una anualidad anticipada debemos tener en
cuenta que los pagos se hacen al inicio de cada periodo.

( 1+ i ) ❑n+ 1−(1+i)
F= A [ i ]
PRACTICA:
Pedro Pérez recibe anticipadamente la suma de $100.000 cada mes, por
concepto de arriendo. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo
deposita la mitad en una cuenta de ahorro que le reconoce una tasa de interés
del 3.0% mensual. Pedro desea saber cuánto tendrá depositado en la cuenta al
final del año.

3. ANUALIDAD DIFERIDA:
Es aquella en la que el primer pago se realiza unos periodos después de realizada la
operación financiera (momento de convenio). Ejemplo: al financiar unos muebles
(JAMAR) recibe la mercancía y después de 4 o 5 meses comienza a cancelar.
Estrategia frecuente en las ventas de cualquier índole, ya que la idea de no
preocuparse durante un tiempo predeterminado, suele convencer al comprador en la
satisfacción de sus posibles necesidades.
Los periodos de gracia se caracterizan por la modalidad de dejar de pasar el tiempo, ya
que puede NO realizar pagos algunos durante ese tiempo (periodo de gracia total), o

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puede realizar pagos únicamente sobre el interés generado a intervalos de tiempo
(periodo de gracia parcial).
Para cubrir las posibilidades básicas de esa estrategia, primero se debe considerar el
caso de conocer el precio de contado del producto a adquirirse con dos de las
posibilidades, esto es, con periodo de gracia total y parcial; en base ellas se
determinaran las cuotas a pagarse.
Luego, se presentaran las cuotas uniformes, con su respectiva tasa de interés y
periodo; con ello y de acuerdo a las dos posibilidades, periodo de gracia total y parcial,
se pasara a determinar el valor presente. Periodo de gracia
total
Cuotas desconocidas
Cuotas diferidas periodo de gracia parcial
Periodo de gracia total
Cuotas conocidas
Periodo de gracia parcial

3.1.CUOTAS DESCONOCIDAS:
a) Periodo de gracia total:
Se establece la modalidad de pagos con cuotas mensuales uniformes al 3%
efectiva mensual, con dos meses de gracia total, es decir, sin pago alguno en
ese tiempo. Determinar la cuota a pagar mensualmente.
P = $5000
n = 12 meses
F = P (1+i) n
i ( 1+i ) ❑n
A¿ P [ ( 1+i ¿ ❑n −1 ) ]
b) Periodo de gracia parcial:
El caso anterior; dos meses de gracia parcial; es decir, durante ese tiempo
debe pagar solo los intereses. Determine la cuota a pagar mensualmente.

I = P . i ; I 1 y I2
i ( 1+i ) ❑n
[
A¿ P ( 1+i ¿ ❑n −1 ) ]
3.2. CUOTAS CONOCIDAS:
a) Periodo de gracia Total:
Se establece la modalidad de pagos, con cuotas mensuales uniforme de
$4500 durante un año, con dos meses de gracia total, es decir, sin pago

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 alguno en ese tiempo. Determine el valor al contado de dicho producto,
considerándose una tasa de interés del 18%
1. Se actualiza la serie de pagos.
2. Se aplica el valor futuro.
( 1+ i ) ❑n−1
F¿ A [ i ]
P = F (1 + i) - n
b) Periodo de gracia Parcial:
Se establece la modalidad de pagos, con cuotas mensuales uniforme de
$4500 durante un año, con dos meses de gracia parcial, es decir, en ese
tiempo solo se pagaron los intereses. Determine el valor al contado de dicho
producto, considerándose una tasa de interés del 18%

( 1+ i ) ❑n−1
F¿ A [ i ]
F
P= 1+ i

4. ANUALIDAD PERPETUA:
Es aquella en la que no existe el último pago, o aquella cuyo plazo no tiene fin.
Ejemplo: cuotas de mantenimiento de una carretera, el pago de un arriendo para
quien nunca podrá comprar la propiedad.
Las inversiones en grandes empresas, inmuebles, negocios de solvencia permanente,
proyectos estatales de responsabilidad ilimitada y grandes capitales de dinero, tienen
un factor en común: es el tiempo infinito en el que se desarrollan.
Sabemos por interés simple o compuesto que en un periodo el interés que se carga al
capital es simplemente el producto del valor prestado o ahorrado por la tasa de
interés, datos previamente homogeneizados en una única unidad de tiempo.
I = P.i.n
La fórmula se redujo en este caso, ya que no tiene el periodo.

I = P.i
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a) ANUALIDAD PERPETUA VENCIDA:
Este es el caso que se ha conceptualizado al inicio, ya que solo se trata de una
renta simple desde un capital con una tasa efectiva, bajo un periodo constante.
Ap = P.i
Ap = Anualidad perpetua.
Con los ahorros de 20 años de trabajo Juana abre una cuenta de ahorros con
$200.000.000, con la que desea obtener una renta para siempre. Si el banco le
ofrece el 15%. ¿Cuál es la renta mensual perpetua que recibirá?

b) ANUALIDAD PERPETUA ANTICIPADA:

La diferencia de estas rentas, con las vencidas, es que los retiros e realizan al inicio
de cada periodo, eso cambiaría la fórmula de la siguiente manera:

i
Ap = P [ ]
1+i
Con los ahorros de 20 años de trabajo Juana abre una cuenta de ahorros con
$200.000.000, con la que desea obtener una renta para siempre. Si el banco le
ofrece el 15%. ¿Cuál es la renta mensual perpetua que recibirá de forma
anticipada?

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