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    Problemas Resueltos de Esperanza Condional.

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    Jonathan Carrillo
    Este documento presenta dos problemas resueltos sobre esperanza condicional. El primer problema involucra calcular la probabilidad de que una mosca crucé una línea, dado su movimiento aleatorio. El segundo problema trata sobre calcular la esperanza de la compra total en una tienda, dado que la cantidad de clientes y sus compras individuales son variables aleatorias. En ambos casos, se utilizan propiedades de la esperanza condicional y la independencia de variables aleatorias para resolverlos mediante cálculos integrales o sumatorios.

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    Jonathan Carrillo
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    Descripción original:

    Esperanza condicional

    Título original

    Problemas_resueltos_de_esperanza_condional.

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    Universidad de Chile MA34A-03: Probabilidades y Procesos Estocásticos

    Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Profesor Raúl Gouet B.


    Departamento de Ingeniería Matemática Semestre Otoño, 2008

    PROBLEMAS RESUELTOS DE ESPERANZA CONDICIONAL

    ANDRÉS ITURRIAGA J.

    Problema 1:
    Una mosca se desplaza en R2 de la siguiente manera. Parte de un punto arbitrario, que consideraremos el centro de
    nuestro sistema de referencia (ver figura) y camina a lo largo del eje positivo de las abscisas una distancia X aleatoria,
    con ley uniforme en [0, a]. Luego, en ángulo Θ (medido con respecto al eje X) avanza en linea recta una distancia b.
    Suponiendo que Θ es una variable aleatoria uniforme en [0, π2 ], independiente de X, calcule:

    1. Probabilidad que la mosca cruce la linea de ecuación x = a, cuando a ≥ b.


    2. Probabilidad que la mosca cruce la linea de ecuación x = a, cuando a < b.

    Solución:

    1.

    Figura 1. Desplazamiento del insecto

    Definamos la variable aleatoria Y = X + b cos(Θ). Luego, tenemos que calcular:


    Rπ Rπ
    P [Y ≥ a] = R P [Y ≥ a|Θ = θ]fΘ (θ)dθ = π2 02 P [X + b cos(Θ) ≥ a|Θ = θ]dθ = π2 02 P [X + b cos(θ) ≥ a|Θ = θ]dθ
    R
    π π π
    = π2 02 P [X ≥ a − b cos(θ)|Θ = θ]dθ = π2 02 P [X ≥ a − b cos(θ)]dθ = π2 02 b cos(θ) 2b
    R R R
    a
    dθ = πa

    Observemos que P [X ≥ a − b cos(θ)] esta bien definida dado que ∀θ ∈ [0, π2 ], a − b cos(θ) ≥ 0, pues a ≥ b.

    2. Notemos ahora que si θ = 0, entonces b cos(θ) = b > a ⇒ a − b < 0 ⇒ P [X ≥ a − b] = 1. Luego, sea θ̂ tq


    b cos(θ̂) = a. Asi:
    R θ̂ π π
    2 2 2 2
    R R
    P [Y ≥ a] = π 0
    P [X ≥ a − b cos(θ)]dθ + π
    2
    θ̂
    P [X ≥ a − b cos(θ)]dθ = π
    + π θ̂
    2
    P [X ≥ a − b cos(θ)]dθ.
    2 2b
    Y finalmente, P [Y ≥ a] = π
    + πa
    (1 − sen(θ̂)).
    1
    Problema 2:
    A una tienda llegan N clientes, digamos 1,2,..., N , que compran cantidades X1 , X2 , ... de mercadería. Supongamos
    que N es una variable aleatoria que toma valores 1,2,... con probabilidad PN (n) = P [N = n]. Supongamos que los
    Xi son variables aleatorias independientes de N , cada una con esperanza E[Xi ] = µ finita. La compra total del día se
    escribe como
    XN
    Y = Xi
    i=1
    Calcule:
    N
    X
    E[Y ] = E[ Xi ]
    i=1
    Solución: Notemos que acá no se puede aplicar la propiedad de linealidad de la suma de variables aleatorias asi como
    asi, pues el número de sumandos es una variable aleatoria.

    E[ N
    P PN P PN P Pn
    i=1 Xi ] = E[E[ i=1 Xi |N ]] = n∈N E[ i=1 Xi |N = n]P [N = n] = n∈N E[ i=1 Xi |N = n]P [N = n].
    Pn
    Ahora como la suma de funciones medibles es medible, entonces i=1 Xi es independiente con Xi . Asi:

    E[ n
    P Pn Pn
    i=1 Xi |N = n] = E[ i=1 Xi ] = i=1 E[Xi ] = nE[X1 ] = nµ, y finalmente:
    PN P P
    E[ i=1 Xi ] = n∈N nE[X1 ]P [N = n] = µ n∈N nP [N = n] = µE[N ]

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