Teoria de Colas 2020 1

Teoría de Colas
Mg. Giovana Valverde Ayala

TEORIA DE COLAS
Variedad de Modelos de Colas
■ Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden

utilizarse. Nos vamos a concentrar en los modelos más usados.
Modelos más complejos pueden ser desarrollados mediante el
uso de la Simulación .
■ Los modelos de colas a estudiar asumen:
o Arribos según la Distribución de Poisson
o Disciplina PEPS (FIFO)
o Una sola fase de servicio.
Mg. Giovana Valverde Ayala 2

TEORIA DE COLAS
Variedad de Modelos de Colas
– M/M/1: Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson;

Tiempos de Servicio exponenciales
– M/M/S: varios canales, Arribos según la Distribución de
Poisson; Tiempos de Servicio exponenciales
– Modelo con Cola Finita:
M/M/1/h
M/M/S/h
- Modelo de Fuente Limitada

MODELO BASICO M/M/1
Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que siguen la

distribución de Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales: Los
casos más comunes de problemas de colas incluyen la línea de
espera de canal único o servidor único. En este caso los arribos
crean una sola cola a ser servida por una sola estación.
Asumimos que existen las siguientes condiciones:
1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada

arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la
línea o cola.

MODELO M/M/1
2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero

el promedio de arribos, no cambia con el tiempo.
3. Los arribos son descritos mediante la distribución de
probabilidad de Poisson y proceden de una población muy
grande o infinita.
4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son
independientes entre sí, pero su tasa promedio es
conocida.
5. Los tiempos de servicio se representan mediante la
distribución de probabilidad exponencial negativa.
6. La tasa de servicio es más rápida que la tasa de arribo.

MODELO BÁSICO
Pn  Cn .P0
 .  ......  n 1
Cn  0 1
1  2 ........n 1 Cn  n
n
n    
Cn      1
n    
1 1 1 1
P0  P0   P0   1  P0  1  
   1
1   Cn n n
1     1 
n 1 n 1 n 0
Pn  n (1  )

MODELO BASICO
L: Nº esperado de clientes en el sistema de colas.


L :  n .Pn
n 0
   d n
L :  n . n (1  )  (1  )  n .  .n 1  (1  ).   
n 0 n 0 n  0 d
d  n d  1 
 (1  ).    (1  ). 
d n  0 d  1   
1 
 (1  ) .
(1  )2
 L
1 
Si:
 L



MODELO BASICO
L: Nº esperado de clientes en la cola


Lq   (n  s)Pn
n s
Para: S= 1
 
Lq   (n  1)Pn   (n  1)n (1  ) 
n 1 n 0
  d n 1
 (1  )  (n  1)2n  2  2 (1  )  
n 1 n 1 d
n 1  0  j
 d j d   
 2 (1  )    2 (1  )    j 
j 0 d d  j 0 
1
 2 (1  )
(1  )2
2 2
Lq  L q   .L Si: Lq 
(  )
1 

MODELO BASICO
L: Nº esperado de clientes en la cola


Lq   (n  s)Pn
n s
Para: S= 1
 
Lq   (n  1)Pn   (n  1)n (1  ) 
n 1 n 0
  d n 1
 (1  )  (n  1)2n  2  2 (1  )  
n 1 n 1 d
n 1  0  j
 d j d   
 2 (1  )    2 (1  )    j 
j 0 d d  j 0 
1
 2 (1  )
(1  )2
2 2
Lq  L q   .L Si: Lq 
(  )
1 

MODELO BASICO
W: Tiempo de espera en el sistema.
Sea W, variable aleatoria, tiempo de espera en el sistema (incluyendo
tiempo de servicio) para un arribo aleatorio cuando la disciplina de
servicio es servir al primero que llega. Si hay n clientes en el sistema
este arribo aleatorio tendrá que esperar (n + 1) tiempos de servicio
exponenciales para dejar el sistema de colas.
S n+1 = T1 + T2 + T3 +………+ T n+1 que es el tiempo de espera condicional
dado que hay “n” clientes en el sistema de colas.
Sn+1, tiene distribución gamma, puesto que: t1,……, tn+1 tienen
distribución exponencial.

MODELO BASICO
S n+1, tiene distribución gamma con parámetros: 1 y (n + 1).


P W  t   Pn .P Sn 1  t
n 0
 P0 .P T1  t  P1 .P T1  T2  t  ......
La forma de la distribución gamma con parámetros  y  es:

x
t 1 ( 1)  
P T  t   x e dx ; x  0
0 T( ) B
1
 ,     1 , T()  (  1)!

  n 1 x n e x
P (Sn 1  t)   dx
t !

MODELO BASICO
Consideramos:
Pw  t  G(t)
Pw  t  1 G(t)

n  n1 xn ex
1 G(t)    (1)  dx
n0 t !

n   n1 xn ex 
   (1) 1  dx
n0 
t ! 
Derivando ambos miembros con respecto a t.

MODELO BASICO

n  n 1 t n e t
g(t)    (1  )
n 0 !
n 1 n
 n  t e t
  (1   )
n 0 
n !
t
 ( t) n
  (1  )e 
n 0  !
  (1  )e t e t       

g(t)   (1  )e t et
g(t)   (1  )e  (1 )t

t
P W  t  1   g(x)dx
0
t
 1    (1  )e  (1 )t dx
0
P W  t  e  (1)t
1
 W  E(W) 
1 Reemplazando: W

(1  )

MODELO BASICO
Wq = Tiempo de espera en la cola
Si un arribo no encuentra clientes en el sistema de colas (n=0)
P(Wq = 0) = P0 = 1-ρ
Si el arribo encuentra n > 0 clientes en el sistema tendrá que
esperar n tiempos de servicio exponencial.

 
 P Wq  t   Pn .P Sn  t
n 0

  n (1  ).P Sn  t
n 0
 (1  ).P S1  t   2 (1  ).P S2  t  3 (1  ).P S3  t  ......
   (1  ).P S1  t  (1  ).P S2  t   2 (1  ).P S3  t  ......

 
   P0 .P S1  t  P1 .P S2  t  ......

   Pn .P Sn 1  t  .P W  t
n 0
 
 P Wq  t  .P W  t


 
Wq  E Wq  .
1
 (1  )
Wq  

    (   )

FÓRMULAS PARA COLAS
M/M/1
  Número promedio de arribos por período de tiempo

  Número promedio de gente o cosas servidos por período de tiempo
n  número de unidades en el sistema

LS  Número promedio de unidades (clientes) en el sistema LS 
 

  Factor de utilización del sistema 

WS  Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema 
(tiempo de espera  tiempo de servicio)
1
WS 
 

FÓRMULAS PARA COLAS
M/M/1
2
Lq  Número promedio de unidades en la cola     LS
    

Wq  Tiempo promedio que una unidad espera en la cola     WS
    
Pn  Probabilidad de que " n" clientes estén en el sistema 
n
  
Pn  1       1      n
  
Po  Probabilidad de cero unidades en el sistema (la unidad de servicio está vacía) 

Po  1   1   

Pn  k  Probabilidad de que más de " k" unidades estén en el sistema 
k 1

Pn  k   


Ejemplo 1
MG, reconocido miembro del gremio de los profesionales de la
reparación de vehículos, está preocupado por la marcha del
negocio: las expectativas son demasiados buenas y el taller parece
demasiado pequeño. Para ver que puede hacer para resolver el
problema, le pide ayuda a un experto. Después de una primera
entrevista con MG acerca de las expectativas de negocio, se
obtiene la siguiente información:
-Las llegadas al taller se producirán en forma aleatoria, según una
ley de Poisson de media 4 llegadas al día (1 día = 8 horas de
jornada laboral).
-El tiempo que se tarda en reparar los automóviles sigue una ley
exponencial de media 1.75 horas (esto es es, 1 hora y 45 minutos)
- MG cuenta con un solo equipo para reparar los automóviles.

Ejemplo 1
-Además del coche que está reparando, solo caben 3 coches más en
el taller. Si llegan más, debe estacionarlos en la vía publica, con el
consiguiente deterioro en la calidad de servicio.
-Los coches se retiran del taller inmediatamente después de ser
reparados.
Con estos datos MG demanda al experto un análisis inicial de la
situación. Concretamente le pregunta:
a) Que fracción del tiempo estará el taller en funcionamiento?
b) Cuál es el numero promedio de clientes en espera de repara
cion de su vehículo (suponiendo un coche en reparación por
cliente?
c) Cuál es el número de coches esperando a ser reparados?
d) Cuál es la probabilidad de que deban estacionarse en la calle?

Ejemplo 1
e) Cuanto tiempo transcurrirá, por término medio, desde que el
coche llega hasta que se acaba la reparación?
f) Cuanto tiempo transcurrirá, por término medio, desde que el
coche llega al taller hasta que comienza la reparación?
Solución
M/M/1 Modelo Básico de Colas
Datos: La tasa de llegada  = 4 llegadas /día = 0.5 llegadas/hora
Tasa de servicio = 1 servicio/ 1.75 hora= 0.5714
servicios/h
Por lo que el factor de utilización = 0.875
a) El taller funciona el 87.5% de tiempo. Se trata de un factor de
utilización muy elevado, que hace prever valores de tiempo de
servicio y de unidades en el sistema bastante elevados.

Ejemplo 1
Numero promedio de clientes en espera de reparación de su vehículo
(considerando un coche en reparación por cliente)
 0.5
Ls = = =7
 - 0.5714 – 0.5
Numero promedio de coches esperando a ser reparado

2 0.52
Lq = = = 6.125
 ( -) 0.5714 (0.5714 -0.5)
Probabilidad de que deban estacionarse coches en la calle
Pn>4 = P5 = 0.8755 = 0.5129 51.29%
El tiempo que transcurrirá desde que el coche llega al taller hasta que
se acaba la reparación
1 1
W= = = 14
 - 0.5714 -0.5

Ejemplo 1
El tiempo que transcurrirá desde que el coche llega al taller hasta que
se comienza la reparación
 0.5
Wq = = = 12.25
 ( -) 0.5714 (0.5714 -0.5)
Tiempo promedio de 12.25 horas, o sea 12 horas y 15 minutos que

tarda un coche que llega al taller en entrar a ser reparado.

Ejemplo 2
Para el problema de la sala de emergencia en el Hospital, el
investigador operativo ha concluido que los arribos se producen
aleatoriamente de acuerdo a la distribución de Poisson y que el
tiempo gastado por un doctor que trata los casos sigue
aproximadamente una distribución exponencial.
De acuerdo al estudio realizado se encontró que los pacientes
arribaron a una tasa de uno cada media hora y que un doctor
requiere de un promedio de 20 minutos para tratar a un paciente.
¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema?
¿Cuál es el tiempo que espera un paciente para ser atendido?
¿Cuál es el número promedio de clientes que esperan ser
atendidas?

Solución: Modelo M/M/1
1 1

 h Unidad de tiempo = 1 hora.  = 2/hora.
2
1 1  2
 h    3 / hora    1  tiene solución
 3  3
a) L   2
  2 pacientes por hora.
  32
b) Wq   2 por paciente
 h
(  ) 3
c) Lq   L  2 .2  4 paciente / hora.
3 3

Ejemplo 3
Se saben que los camiones llegan a un muelle es una forma Poisson

a razón de 8 por hora. La distribución del tiempo de servicio se
aproxima en forma exponencial con una tasa promedio de 5
minutos:
a) Calcule el promedio de camiones en el sistema.
b) Calcule el tiempo promedio de la longitud de la línea de espera
para los camiones.
c) Calcule el promedio de tiempo que espera un camión antes que
se le dé servicio.

Ejemplo 3
Modelo M/M/1
S=1  = 8 / hora *
1 1 5 1  = 12 / hora *
 5 min utos   h
  60 12
Para que este sistema de colas con un solo servidor tenga solución se
debe cumplir que     1   8  1
 12
a)  8 8
L L  L = 2 / hora.
 12  8 4
b) 1 1 1 1
W W  W= hora.
 12  8 4 4
c)  8 8 1 1
Wq  Wq    h Wq  h
 (   ) 12(12  8) 12  4 6 6

TEORIA DE COLAS
(M/M/S)
Modelo de cola multicanal (M/M/S)

Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a
los clientes que arriban.
Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al
servidor que queda libre.
Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de
Poisson y los tiempos de servicio son distribuidos
exponencialmente.

TEORIA DE COLAS
(M/M/S)
S>1 M/M/S
n =, n = 0, 1, 2.
n n  0, 1, 2,......,s  1
n
s n  s, s  1, .......
1  .  ......  n 1
Pn  Cn .P0 P0  Cn  0 1
 1  2 ........ n 1
1   Cn
n 1
    
0 1 2 ......... s1 s s1 .........

 2 s s s

TEORIA DE COLAS
(M/M/S)
 
n

 .........  n
 n  n  0,1,.....,s  1
 .2.3......n  n! n!
Cn
 
  s
   
s n
    .........   
  n s 
 .  .  n  s,s  1,...
 s!   .2.3......n

s! (s) n 1
s!s n s
 
 
 

 
  n
n  0,1, 2,......, s  1
 !
Cn 
 
n
 
 
 n s n  s, s  1
 s! s

TEORIA DE COLAS
(M/M/S)
1
P0  s 1 
1   C n   Cn
n 1 n s
1 1 
P0     1
          
s
n n n s
    n s
s 1  s 1 
1   1   . 
n 1 n! n s s! s
n s
n 1 n! n s s!  s 
1
P0 
          s 
n s
   n s
s 1
1  n s
n 1 n! s!   

Como : 1 , j  n s
s
1
P0 
     .
n s
 
s 1 1
1 
n 1 n! s! 1 
s

TEORIA DE COLAS
(M/M/S)
Si Pn = Cn P0, entonces
  n
 

  P0 0ns
  !
Pn  
 
n
 
 
 n s P0 ns
 s! s
Lq =?
 s  .P
n

 
Lq   (n  s) Pn   (n  s) 0
n s n s s!sn s
 
s

 s .P
 n
  (n  s) 
s! 0
n s
  .P .  (n  s)   
s
 n s


s! 0
n s
s

Si :    1; j  n  s
s

TEORIA DE COLAS
(M/M/S)
d j
   .P .  j      .P .  . j.
s s 
dp

 
Lq 0
j
 0
j1
s! j0 s! j0
  ..P    ..P
s s
 
 d j d  j
 0    0  
s! n s d s! d n s
  ..P
s

d  1 
 [  1]
s! 0 d  1   
  ..P
s

1
 0
s! (1  )2
 
s


Lq P 0 s! (1  )2
Lq W  Wq 
1  1 
Wq  
L   W    Wq  
 L  Lq 

 

Modelo Básico
(M/M/S)
Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar
primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la
misma tasa.

 
s
( /  )n 0ns
1
P0
s1 ( / )n (/ )s  1  n!
P0      Pn 
n0 n! s! 1  ( /  )n ns
P0
s!s ns
L  W L = Lq +  / 
P0 ( /  ) s  Lq 1
Lq  Wq  W  Wq 
s!1     
2

Ejemplo 4
MG plantea al experto la posibilidad de contar con dos equipos para
realizar las reparaciones, dentro del mismo taller (en el siguen
cabiendo 4 coches, dos en reparación y dos esperando:
a) Que fracción del tiempo estará el taller en funcionamiento?
b) Cuál es el numero promedio de clientes en espera de repara
cion de su vehículo (suponiendo un coche en reparación por
cliente?
c) Cuál es el número de coches esperando a ser reparados?
d) Cuál es la probabilidad de que deban estacionarse en la calle?

Ejemplo 4
e) Cuanto tiempo transcurrirá, por término medio, desde que el
coche llega hasta que se acaba la reparación?
f) Cuanto tiempo transcurrirá, por término medio, desde que el
coche llega al taller hasta que comienza la reparación?
Solución
M/M/S Modelo Básico de Colas
Datos: La tasa de llegada  = 4 llegadas /día = 0.5 llegadas/hora
Tasa de servicio = 1 servicio/ 1.75 hora= 0.5714
servicios/h S = 2
Por lo que el factor de utilización = 0.4375
a) Cada uno de los equipos trabaja el 43.75% de tiempo. La mejora
del comportamiento del sistema estará dada por la reducción de
coches en espera.

Ejemplo 4
b) Numero promedio de clientes en espera de reparación de su
vehículo (considerando un coche en reparación por cliente)

L  Lq  = 0.2071 + 0.875 = 1.0821

c) Numero promedio de coches esperando a ser reparado

 
s

 22. 0.43753 0.3913 = 0.2071
Lq  P0
s! (1  ) 2
=
(1 -0.4375)2 . 2!
d) Probabilidad de que deban estacionarse coches en la calle
1 – (P0 + P1 + P2 + P3 + P4 )
P0 = 0.3913
P1 = 0.3424
P2 = 0.1498
P3 = 0.0655
P4 = 0.0287
La probabilidad es 0.0292 o sea 2.92%

Ejemplo 4
e)El tiempo que transcurrirá desde que el coche llega al taller hasta que
se acaba la reparación
L 1.0821
W= = = 2.1642
 0.5
f) El tiempo que transcurrirá desde que el coche llega al taller hasta que
se comienza la reparación
Lq 0.2071
Wq = = = 0.4142
 0.5
El tiempo de espera en la cola será de unos 25 minutos.

Ejemplo 5
La compañía x tiene cuatro cajeros para cuenta de ahorro, se ha
averiguado que la distribución del tiempo de servicio es exponencial
con un promedio de 6 minutos por cliente, se sabe que los clientes
llegan en forma de Poisson durante el día con un promedio de 30 por
hora.
¿Calcular el promedio de clientes en el sistema.
¿Calcular el promedio de tiempo que un cliente pasa en el sistema.
¿Calcular el promedio de la longitud de la línea de espera.
¿Calcular el promedio del tiempo que espera un cliente antes que
se le dé servicio

TEORIA DE COLAS
Modelo con Cola Finita (M/M/1/h)
Existen casos en los cuales el sistema solo puede aceptar una cierta
cantidad de clientes (espera y servicio) cuando esta cantidad ha
llegado a su limite y se produce una nueva llegada esta no puede
entrar y opta por retirarse. Ejemplo:
- Consultorios con sala de espera limitada.
- Peluquería con espacio limitado.
- Autoservicios de lavado de vehículos con espacio limitado.
En estos casos no se permite que el numero de clientes en el sistema
sea mayor que un numero especificado h.

TEORIA DE COLAS
Modelo con Cola Finita (M/M/1/h)
Un sistema de colas tiene algunas veces una cola finita es decir el
número de clientes en el sistema no puede exceder de un cierto
número que se puede denotar como h cualquier cliente que arribe
mientras la cola este llena es rechazado del sistema es decir sale
para siempre.
s 1
n   n  1,2, ..., h
 n  1,2, ...,h  1
n = n  h
0

I. Primera parte del modelo básico con cola finita.
1
P0   1  
h
 P0   
h1 

n 0
n
1  
 1  
 Pn CnP0  Pn   n  
h1 
n  0,1,2,..., h
 1   
 h 1 h1  Lq  L  (1 P0 )

L 
1   1   h1
L Lq
W 
 Wq 

  1 Ph  Tasa efectiva de llegada al sistema

Ejemplo 6
El consultorio de un Dentista tiene una sala de espera que solo
tiene espacio para 4 pacientes. La tasa de llegada de clientes es
de 5 pacientes por hora, el dentista puede atender un promedio
de 6 pacientes/hora. Determine la distribución de probabilidad
del número de clientes en el sistema.
Tamaño del sistema h = 5 (4 en la cola + 1 en servicio)
λ = 5 pacientes/hora
μ = 6 pacientes/hora ρ = 5/6 < 1
Distribución de Probabilidad:  1   1  
 Pn   n  
 P0  
h1  h1 
P0 = 0.251 1  1   
p1 = 0.209
p2= 0.174
p3= 0.145
p4= 0.121
p5= 0.101

Ejemplo 6
- Numero de pacientes esperando servicio
Lq = 1.229
- Numero de pacientes en el Consultorio
Ls = 1.979
- Tiempo de espera de los clientes en el consultorio
Ws = 0.440 horas ≈ 26.4 minutos
- Tiempo de espera de los clientes por servicio
Wq = 0.273 horas ≈ 16.38 minutos

Modelo con Cola Finita (M/M/S/h)
Un sistema de colas se caracteriza pues hay un número de clientes que
requieren servicio y quienes brindan el servicio se denominan
servidores.
Los clientes no necesariamente son personas pueden ser barcos en un
muelle, camiones de descarga, aviones, maquinas que requieren
reparación, etc.
Ejemplo:
- Sala de espera de un consultorio médico.
- Peluquería con una sala de espera que alberga a un número fijo
de clientes.
- Sistema de recepción de llamadas.

Modelo con Cola Finita (M/M/S/h)
s 1 sh
 0  n  h 1 n 0  n  s 1
n = n =
s snh
0 nh
1  


n
n  0,1,2,..., s  1
 P0  P0
1 
    s  
s  n  h n!
n! n1s!
 
ns1

s
ns
Pn   


n
n  s, ... , h
n s
P0
h s! s
Lq   (n  s)Pn
ns nh
0
P0   
s
Lq  1  hs  (h  s) hs (1 ) L Lq

s!(1 )    1  Pn 
2
W Wq 
 

Ejemplo 7
Una estación de servicio de lavado de carros tiene 3 operarios y dispone
de un espacio de estacionamiento para un máximo de 2 vehículos que
esperan ser atendidos (aparte de los 3 que reciben atención).
La tasa de llegada de clientes es de 5 autos/hora
La tasa de servicio es de 2 autos/hora.
a) Cual es la probabilidad de que un auto que llegue tenga que retirarse
por no encontrar lugar de estacionamiento?
b) Cual es el tiempo promedio que pasa un auto en el sistema?
c) Cual es la probabilidad que un auto que llegue entre directamente a
recibir servicio?
d) Describir el sistema.

Solución
a ) P5 = 0.137
b) Ws = 0.602 horas ≈ 36.12 minutos
c) P0 + P1 + P2 = 0.076 + 0.189 + 0.237

= 0.502 = 50.2%
d) Lq = 0.438 promedio de clientes en la cola.

Ls = 2.596 promedio de clientes en el sistema
Wq = 0.102 ≈ 6.12 minutos, tiempo promedio en la cola

Modelo Básico con Fuente Limitada
Sea N el tamaño de la población o fuente, cuando el número de cliente en
el sistema de colas es n (n=0,1,2,…N) hay solo (N-n) clientes potenciales
restantes en la fuente de entrada.
La más importante aplicación de este modelo está en el servicio de
máquina donde uno ó más servidores tienen la responsabilidad de
mantener u operar un cierto número N de máquina que constituye la
población.
Cada máquina es considerada como un cliente en el sistema de colas ya sea
cuando esta esperando servicio o cuando está en pleno funcionamiento.
Este modelo asume que el tiempo fuera del sistema de cada cliente  tiene
distribución exponencial con parámetro , cuando n de los miembros esta
dentro del sistema y los (N-n) están fuera, la distribución de probabilidad
para el tiempo restante hasta el sgte. arribo de colas es la distribución del
mínimo de los tiempo de arribo para los (N-n) restantes que están fuera

a) S = 1
(N – n)  n = 0, 1, …,N-1
n =
0 n≥N
n  
1 1
 P0  n
 n
N
N!    N
N!   
1      
n1  N  n!    n0  N  n!   
n
N!    n  0,1,2,...N
 Pn  Cn P0  P
N  n!    0
Lq  N 
    1  P  L
 0 W 
   N  L 
 Lq
L  N  1  P0  Wq 
 
b) S > 1
( N  n) n  0,1,2,...N
n =
0 nN
n ns
n = s n  s, s  1, ... , N
n
N!    P n  0,1,2,..., s
N  n  ! n!    0
n
Pn  N!
N  n !s! s ns
   P
  0
n  s, ... , N
0 nN
1
P0  s1
N!  n N N!   
n

n0  N  n !n! 
  
 ns N  n !s!sns  


Modelo Básico con Fuente Limitada
Lq  L1  s   Ns
N
Lq   n  s P
n s
n
L
W 

Lq
Wq 

   N  L

Ejemplo 8
Un mecánico atiende tres máquinas, para cada máquina el tiempo

medio entre requerimiento de servicio es 10 horas; si supone que este
tiempo tiene una distribución exponencial, el tiempo de reparación
tiende a seguir la misma distribución con tiempo medio de 2 horas.
a) ¿Cuál es el tiempo promedio que una máquina no
funciona?
b) ¿Cuál es el número de máquinas en operación?

RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS
MODELO NOMBRE N° DE N° DE PATRÓN PATRÓN TAMAÑO DE LA DISCIPLINA

CANAL FASES DE DE POBLACIÓN DE COLA
ES ARRIBO SERVICIO
A SIMPLE UNO UNA POISSON EXPONEN INFINITA PEPS

M/M/1 CIAL
B MULTI- MULTI UNA POISSON EXPONEN INFINITA PEPS

CANAL CANAL CIAL
M/M/S
D POBLACION UNO UNA POISSON EXPONEN FINITA PEPS

LIMITADA CIAL

Ejemplo 9
El Tópico de Emergencia cuenta con dos consultorios de Pediatría y uno
de cirugía. Uno de los Tópicos de Pediatría sirve para la CONSULTA
RAPIDA y hay momentos en que la cola de pacientes es muy incómoda
para los mismos. Un Pediatra en emergencia (CONSULTA RÁPIDA)
puede atender un paciente cada 5 minutos y la tasa media de
llegadas es de 9 pacientes por hora.
a) Obtener las medidas de desempeño
b) La probabilidad de no tener ningún pacientes en el sistema
c) La probabilidad de tener una cola de más de 3 pacientes
d) La probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

Modelo M/M/1
 2
L  L 
s  q  (   )
1 
W  W 
s   q  (   )
P  (1   )  n P ( L  n)   n  1
n s
  (1   )t   (1   )t
P (W  t )  e P (W  t )  e
s q
t  0,   1

a) Medidas de desempeño:
9   12   9  0. 75 (75%)
12
2

Ls    3 pacientes Lq =
 ( )
 2 . 25 pacientes

1 
Ws   0.33 horas = 20 min.
( )
Wq    0.25 horas = 15 min.

 ( )

b) Probabilidad de no tener ningún paciente en el sistema
P0  1 - P0  0.25
c) La probabilidad de tener una cola de más de 3 pacientes
P(Ls > 3) = 4  0.32
d) La probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema
P (Ws > 30/60 = 0.17

Resultados
Número esperado de clientes en la cola Lq :2.25

pacientes
Número esperado de clientes en el sistema Ls : 3
pacientes
Tiempo esperado de espera en la cola Wq :15 minutos
Tiempo esperado de espera en el sistema Ws :20
minutos

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Teoría de Colas

Mg. Giovana Valverde Ayala

■ Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden

Mg. Giovana Valverde Ayala 2

– M/M/1: Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson;

Mg. Giovana Valverde Ayala 3

Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que siguen la

Asumimos que existen las siguientes condiciones:

1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada

Mg. Giovana Valverde Ayala 4

2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero

Mg. Giovana Valverde Ayala 5

Mg. Giovana Valverde Ayala 6

L: Nº esperado de clientes en el sistema de colas.

Mg. Giovana Valverde Ayala 7

L: Nº esperado de clientes en la cola

Mg. Giovana Valverde Ayala 8

L: Nº esperado de clientes en la cola

Mg. Giovana Valverde Ayala 9

Mg. Giovana Valverde Ayala 10

 P0 .P T1  t  P1 .P T1  T2  t  ......

La forma de la distribución gamma con parámetros  y  es:

Mg. Giovana Valverde Ayala 11

Derivando ambos miembros con respecto a t.

Mg. Giovana Valverde Ayala 12

g(t)   (1  )e t et

g(t)   (1  )e  (1 )t

Mg. Giovana Valverde Ayala 13

 (1  ).P S1  t   2 (1  ).P S2  t  3 (1  ).P S3  t  ......

   (1  ).P S1  t  (1  ).P S2  t   2 (1  ).P S3  t  ......

Mg. Giovana Valverde Ayala 14

  Número promedio de arribos por período de tiempo

Mg. Giovana Valverde Ayala 15

Mg. Giovana Valverde Ayala 16

Mg. Giovana Valverde Ayala 17

Mg. Giovana Valverde Ayala 18

Mg. Giovana Valverde Ayala 19

Numero promedio de coches esperando a ser reparado

Pn>4 = P5 = 0.8755 = 0.5129 51.29%

Mg. Giovana Valverde Ayala 20

Tiempo promedio de 12.25 horas, o sea 12 horas y 15 minutos que

Mg. Giovana Valverde Ayala 21

Mg. Giovana Valverde Ayala 22

Mg. Giovana Valverde Ayala 23

Se saben que los camiones llegan a un muelle es una forma Poisson

Mg. Giovana Valverde Ayala 24

Mg. Giovana Valverde Ayala 25

Modelo de cola multicanal (M/M/S)

Mg. Giovana Valverde Ayala 26

0 1 2 ......... s1 s s1 .........

Mg. Giovana Valverde Ayala 27

Mg. Giovana Valverde Ayala 28

Mg. Giovana Valverde Ayala 29

Mg. Giovana Valverde Ayala 30

Mg. Giovana Valverde Ayala 31

Mg. Giovana Valverde Ayala 32

Mg. Giovana Valverde Ayala 33

Mg. Giovana Valverde Ayala 34

c) Numero promedio de coches esperando a ser reparado