2) Clase Semana 3 PDF

RESISTENCIA DE
MATERIALES
MG. ING. SAULO GALLO

MOTIVACIÓN
Video: Torsión de una barra cuadrada de metal Video: Torsión de una barra de madera
https://www.youtube.com/watch?v=S4_YlO-r5Lw https://www.youtube.com/watch?v=mTPYmrCuYnY
LOGRO DE LA SESIÓN
“Al finalizar la sesión, el

estudiante calcula el
esfuerzo cortante
producido por torsión en
barras, usando casos
prácticos de la vida real, de
manera clara y precisa”.
« Torsión »
ÍNDICE:
1. Definición de torsión
2. Fórmula de torsión
3. Ángulo de giro por torsión
4. Elementos hiperestáticos
5. Torsión no uniforme
6. Elementos de pared delgada
« Torsión »
ÍNDICE:
DEFINICIÓN DE
TORSIÓN
TORSIÓN - DEFINICIÓN
La Torsión se refiere a la deformación de una
barra recta al ser cargada por momentos (o pares
de torsión) que tienden a producir una rotación
alrededor del eje longitudinal de la barra.
Por ejemplo, al girar un

desarmador, la mano aplica un
par de torsión T a la manija,
torciendo de esta manera el vástago del desarmador.
TORSIÓN - DEFINICIÓN
El primer par de la figura adjunta consiste en las fuerzas 𝑇1 = 𝑃1 𝑑1 que actúan
en el punto medio de la barra, mientras que 𝑇2 = 𝑃2 𝑑2 actúa en el extremo.
Estos pares (o también llamados momentos

de torsión) T1 y T2 tienden a torcer la barra
respecto a su eje longitudinal.
Por conveniencia, solemos representar el

momento de un par por un vector en forma de
flecha de cabeza doble.
O también, de una curva que actúa en el

Fig. 1.- Barra circular sujeta a torsión por los sentido de la rotación.
momentos T1 y T2.
DEFORMACIONES POR TORSIÓN EN BARRAS CIRCULARES
Sea la barra circular de la figura sometida a torsión pura. Asumiendo que el

extremo izquierdo se encuentra fijo, por la acción del par T, el extremo derecho
girará un pequeño ángulo 𝝓, conocido como ángulo de torsión (o ángulo de
rotación).
La línea recta horizontal pq se convertirá en
la línea helicoidal pq’ luego que la sección
extrema ha girado un ángulo 𝜙.
Por lo tanto, el ángulo de torsión cambia a

lo largo de la barra y en secciones
Fig. 2.- Deformaciones de una intermedias tendrá un valor de 𝜙 𝑥 entre
barra circular en torsión pura.
cero en el extremo izquierdo y 𝜙 en el
extremo derecho.
Supongamos un elemento dx de la barra, cuya superficie exterior está formada

por los lados ab y cd paralelos al eje longitudinal.
Durante la torsión, la barra gira un pequeño ángulo de torsión 𝑑𝜙 de manera
que los puntos b y c se mueven a b’ y c’, respectivamente.
A pesar que las longitudes ab’ y dc’ no cambian, su ángulos ya no son iguales
a 90°por lo que el elemento se encuentra en un estado de cortante puro.
Fig. 3.- Deformación de un elemento de longitud dx cortado de una barra en torsión.

La magnitud de la deformación unitaria cortante en la

superficie exterior de la barra se denominará 𝛾𝑚á𝑥 .
La cantidad 𝑑𝜙/𝑑𝑥 denotaremos con el símbolo 𝜃 y lo llamaremos tasa de

torsión o ángulo de torsión por unidad de longitud.
Deformaciones unitarias por cortante dentro de la

barra:
Varía linealmente con la distancia
radial 𝜌 desde el centro (nula en el
centro y alcanza un valor máximo
𝛾𝑚á𝑥 en la superficie exterior)
Tubos circulares:
Supongamos que el momento par T tiende

a girar el elemento de la figura en sentido
antihorario cuando se ve desde la derecha.
Si 𝝉 = 𝑮𝜸 (Ley de Hooke en corte):
Esfuerzos cortantes en una

barra circular en torsión.
« Torsión »
ÍNDICE:
« Torsión »
ÍNDICE:
FÓRMULA DE
TORSIÓN
FÓRMULA DE TORSIÓN
EJEMPLO 01 – TORSIÓN
Una barra de acero de sección transversal circular tiene un diámetro d=40mm,

longitud L=1.3m y módulo de corte G=80MPa. A la barra se le aplica un torque
T en su extremo, determine:
a) Si el torque tiene magnitud T=340N.m, ¿Cuál es el máximo esfuerzo
cortante en la barra?
b) Si el esfuerzo cortante permisible es 42MPa, ¿Cuál es el máximo torque?
Se va a manufacturar un eje de acero como una barra circular sólida o como

tubo circular. Se requiere que el eje transmita un par de 1200N.m sin exceder
un esfuerzo cortante permisible de 40MPa ni un ángulo de torsión por unidad
de longitud permisible de 0.75°/𝑚 (Módulo de corte es de 78GPa)
a) Determine el diámetro 𝑑𝑜 requerido del eje sólido.
b) Determine el diámetro 𝑑2 requerido para el eje hueco
si el espesor 𝑡 = 𝑑2 /10
c) Determine la razón de los diámetros (𝑑2 /𝑑𝑜 ) y la
razón de los pesos de los ejes hueco y sólido.
Un eje hueco y un eje sólido son elaborados con el mismo material, teniendo la
misma longitud L y el mismo radio R. El radio interno del eje hueco es 0.6R.
a) Suponiendo que ambos ejes están sometidos al mismo par de torsión,
comparar sus esfuerzos cortantes, ángulos de torsión y pesos.
b) Determinar las razones de resistencia-peso para ambos ejes.
« Torsión »
ÍNDICE:
« Torsión »
ÍNDICE:
ÁNGULO DE GIRO
POR TORSIÓN
ÁNGULO DE GIRO POR TORSIÓN
El ángulo de giro por torsión por unidad de longitud es
directamente proporcional al torque T e inversamente
proporcional al producto 𝐺𝐼𝑃 , conocido como rigidez
torsional de la barra.
Una barra en torsión pura, el ángulo de torsión 𝜙 total

𝜙 = 𝜃𝐿 .
Donde 𝜙 [radianes] y 𝜃 [radianes por unidad de longitud]
« Torsión »
ÍNDICE:
« Torsión »
ÍNDICE:
ELEMENTOS
HIPERESTÁTICOS
BARRAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS CON PARES DE TORSIÓN
Para resolver barras estáticamente indeterminadas con pares de torsión,

haremos uso de las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad.
Estas ecuaciones de compatibilidad están

referidas a los desplazamientos rotacionales:
Fig. 4.- Barra estáticamente

indeterminada en torsión.
Una barra ABC consiste de dos elementos circulares sólidos sujetos a torque
T1 y T2, determine:
a) El máximo esfuerzo cortante en la barra, 𝜏𝑚á𝑥
b) El ángulo de giro [en grados] en el nodo C, 𝜙𝐶
« Torsión »
ÍNDICE:
TORSIÓN NO
UNIFORME
TORSIÓN NO UNIFORME
Caso 1: Barra constituida por segmentos prismáticos con par constante
en cada segmento.
Fig. 1.- Barra en torsión no uniforme (Caso 1) El esfuerzo cortante máximo se obtiene en cada segmento
de la barra a partir de la fórmula de torsión.
Caso 2: Barra con secciones transversales continuamente variables y par
de torsión constante.
El esfuerzo cortante máximo ocurrirá siempre en la sección
transversal con el menor diámetro.
Fig. 2.- Barra en torsión no uniforme (Caso 2)
𝐼𝑃 𝑥 es el Momento de Inercia Polar de la sección transversal medido a una distancia x desde

el extremo.
Caso 3: Barra con secciones transversales continuamente variables y par
de torsión variable.
Se tiene un par de torsión distribuido (t) por unidad de distancia
a lo largo del eje de la barra T(x)
T(x) se puede evaluar con ayuda del Diagrama de Cuerpo Libre

(DCL) y una ecuación de equilibrio.
Se aplica la fórmula de torsión, identificando la sección

transversal con el esfuerzo cortante máximo.
Fig. 3.- Barra en torsión no

uniforme (Caso 3)
« Torsión »
ÍNDICE:
« Torsión »
ÍNDICE:
TUBOS DE PARED
DELGADA
TUBOS DE PARED DELGADA: FLUJO CORTANTE
Los esfuerzos cortantes actúan en paralelo a los bordes de la sección

transversal y “fluyen” alrededor de ésta.
Se infiere que el producto del

esfuerzo cortante 𝜏 por el espesor t
del tubo es el mismo en cada punto
de la sección transversal.
Fig. 1: Tubo de pared delgada con sección transversal arbitraria

Los esfuerzos cortantes actúan en paralelo a los bordes de la sección

transversal y “fluyen” alrededor de ésta.
Este producto se conoce como flujo

cortante.
Esta relación muestra que el esfuerzo
cortante es máximo donde el espesor
del tubo es mínimo y viceversa.
Fig. 1: Tubo de pared delgada con sección transversal arbitraria
Se tiene la línea media de la pared del tubo como una línea punteada tal como
se muestra en la figura.
Fig. 2: Sección transversal

de un tubo de pared delgada.
𝐴𝑚 : Área encerrada por la
línea media de la sección
transversal, no es el área de la
sección transversal
Fig. 3: Tubo circular de pared

delgada.
Fig. 4: Tubo rectangular de

pared delgada.
Debido a que 𝑡2 > 𝑡1 , el esfuerzo cortante máximo se

dará en el lado vertical de la sección transversal.
EJEMPLO 01 – TORSIÓN EN SECCIONES NO CIRCULARES
Determine el mayor par de torsión T que puede aplicarse en el extremo del eje,
si el esfuerzo cortante permisible es de 𝜏𝑝𝑒𝑟𝑚 = 8𝑘𝑠𝑖 y el ángulo de giro en su
extremo está restringido a 𝜙𝑝𝑒𝑟𝑚 = 0.02𝑟𝑎𝑑. Compare el resultado con un eje
de sección transversal circular hecho con la misma cantidad de material.
(Asuma 𝐺 = 3.7 106 𝑙𝑏/𝑖𝑛2)
EJEMPLO 02 – TORSIÓN EN ELEMENTOS DE PARED DELGADA
RETROALIMENTACIÓN Y AUTOEVALUACIÓN
 Repasar los problemas P3.121 al

P3.145 del libro Beer (2010),
Mecánica de Materiales, 5ta. ed.
 Repasar los problemas P3.1-1 al

P3.8-1 del libro Gere (2009),
Mechanic of Materials, 7ma. ed.
REFERENCIAS
 Beer, F. P. D., JOHNSTON, J. T., RUSSELL, E., Beer, F. P., Johnston jr, E. R., Dewolf, J. T., & Arges, K. P.
(2010), Mecánica de materiales, McGraw-Hill-Interamericana 5ta. ed.
 Hibbeler, R. C. (2012). Structural Analysis. Pearson education, 8va. ed.
 Hibbeler, R. C. (2011). Mecánica de materiales. Pearson education, 8va. ed.
 Arteaga, N., Iberico C., Gonzales, C., Mego, C. (2015). Resistencia de materiales I-II. Nueva edición –
Editorial Ciencias.
RESISTENCIA DE
MATERIALES
MG. ING. SAULO GALLO

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RESISTENCIA DE

MG. ING. SAULO GALLO

“Al finalizar la sesión, el

Por ejemplo, al girar un

Estos pares (o también llamados momentos

Por conveniencia, solemos representar el

O también, de una curva que actúa en el

Sea la barra circular de la figura sometida a torsión pura. Asumiendo que el

Por lo tanto, el ángulo de torsión cambia a

Supongamos un elemento dx de la barra, cuya superficie exterior está formada

Fig. 3.- Deformación de un elemento de longitud dx cortado de una barra en torsión.

La magnitud de la deformación unitaria cortante en la

La cantidad 𝑑𝜙/𝑑𝑥 denotaremos con el símbolo 𝜃 y lo llamaremos tasa de

Deformaciones unitarias por cortante dentro de la

Supongamos que el momento par T tiende

Esfuerzos cortantes en una

Una barra de acero de sección transversal circular tiene un diámetro d=40mm,

Se va a manufacturar un eje de acero como una barra circular sólida o como

Una barra en torsión pura, el ángulo de torsión 𝜙 total

Para resolver barras estáticamente indeterminadas con pares de torsión,

Estas ecuaciones de compatibilidad están

Fig. 4.- Barra estáticamente

Fig. 2.- Barra en torsión no uniforme (Caso 2)

𝐼𝑃 𝑥 es el Momento de Inercia Polar de la sección transversal medido a una distancia x desde

T(x) se puede evaluar con ayuda del Diagrama de Cuerpo Libre

Se aplica la fórmula de torsión, identificando la sección

Fig. 3.- Barra en torsión no

Los esfuerzos cortantes actúan en paralelo a los bordes de la sección

Se infiere que el producto del

Fig. 1: Tubo de pared delgada con sección transversal arbitraria

Los esfuerzos cortantes actúan en paralelo a los bordes de la sección

Este producto se conoce como flujo

Fig. 2: Sección transversal

Fig. 3: Tubo circular de pared

Fig. 4: Tubo rectangular de

Debido a que 𝑡2 > 𝑡1 , el esfuerzo cortante máximo se

 Repasar los problemas P3.121 al

 Repasar los problemas P3.1-1 al

 Hibbeler, R. C. (2012). Structural Analysis. Pearson education, 8va. ed.

 Hibbeler, R. C. (2011). Mecánica de materiales. Pearson education, 8va. ed.

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