Resistencia de Materiales (EC125) : Universidad Nacional de Ingenieria

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA SANITARIA
RESISTENCIA DE MATERIALES
(EC125)
Dr. Ing. Luis G. Quiroz Torres

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA SANITARIA
RESISTENCIA DE MATERIALES
(EC125)
SEMANA 07
CLASE 14
Dr. Ing. Luis G. Quiroz Torres

Repaso de clase anterior
✓ Círculo de Mohr aplicado a esfuerzos y deformaciones

Logros esperados
✓ Al finalizar la sesión, el estudiante:

• Analiza elementos sometidos a torsión.
• Calcula esfuerzos y deformaciones en ejes rectos de sección transversal circular.
Reseña de la clase de hoy
✓ Deformación por torsión en barras

circulares y ejes huecos sometidos a
momentos torsionales (Torsión uniforme)
✓ Fórmula de torsión
✓ Angulo de torsión
✓ Modos de falla.
DEFORMACIÓN POR
TORSIÓN EN ELEMENTOS
CIRCULARES
Motivación
Vid. Torsión en elementos Vid. Falla de tiza a torsión

[Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=S4_YlO-r5Lw] [Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=FzLxPr6r2Ng]
Generalidades
• Deformaciones axiales → relacionar el esfuerzo y la deformación unitaria y también la
carga aplicada y la deformación unitaria.
• Para torsión → ley de Hooke para cortante → esfuerzos cortantes, ζ, son proporcionales a
las deformaciones unitarias por cortante, γ, con G como la constante de proporcionalidad
• Los esfuerzos cortantes y las deformaciones unitarias por cortante varían linealmente con la
distancia radial en la sección transversal, como se describe con la fórmula de la torsión.
• El ángulo de torsión, φ, es proporcional al momento torsional interno y a la flexibilidad
torsional de la barra circular.
• Comportamiento lineal elástico, rotaciones pequeñas de elementos estáticamente
determinados.
• Sistemas estáticamente indeterminada → aumentar las ecuaciones del equilibrio estático
con ecuaciones de compatibilidad (que se basan en relaciones par de torsión-
desplazamiento).
Generalidades
• Torsión → Torcimiento de una barra recta al ser cargada por
momentos que tienden a producir rotación con respecto a su eje
longitudinal. Ejm: Girar un destornillador, ejes de impulsión en
automóviles, ejes de transmisión, ejes de hélices, barras de
dirección y brocas de taladros.
• Unidades: Sistema inglés para el momento son la libra-pie (lb-ft) y
la libra-pulgada (lb-in). SI para el momento es el newton metro
(N∙m).
• Caso idealizado:
Representación del par Representación del par como flecha

Barra sometida a pares de fuerzas iguales y curva que actúa en el sentido de la
opuestas (pares de torsión, momentos de como vector (flecha con
doble cabeza) rotación
torsión)
Deformación por torsión en vigas circulares
• Las secciones transversales permanecen

planas y circulares y todos los radios
permanecen rectos.
• Si el ángulo de rotación entre un extremo de

Barra en torsión pura (cada sección es idéntica y
sometida al mismo momento) la barra y el otro es pequeño, no cambiarán
la longitud de la barra ni sus radios.
• Extremo izquierdo fijo. Par de torsión T → El extremo derecho de la barra girará (con
respecto al extremo izquierdo) un ángulo pequeño φ, conocido como ángulo de torsión (o
ángulo de rotación).
• φ cambia a lo largo del eje de la barra y en secciones transversales intermedias tendrá un
valor φ(x). Cero en el extremo izquierdo y φ en el extremo derecho.
• Torsión pura → φ(x) variará linealmente entre los extremos.
Convención de signos
• En el dx: Elemento pequeño abcd, con lados ab y cd al inicio son paralelos al eje
longitudinal.
• Despues del torcimiento de la barra, las secciones transversales derechas giran un ángulo
pequeño de torsión dφ, de manera que los puntos b y c se mueven a b‘ y c’,
respectivamente.
• Las longitudes de los lados del elemento, que ahora es el elemento ab'c'd, no cambian
durante esta rotación pequeña.
• Los ángulos en las esquinas del elemento ya no son iguales a 90°. Por tanto, el elemento
está en un estado de cortante puro, lo cual significa que el elemento está sometido a
deformaciones por corte.
• La magnitud de la deformación por cortante en la superficie
exterior de la barra, denotada γmáx, es igual al decremento en el
ángulo en el punto a
• La cantidad dφ/dx es la razón de cambio del ángulo de torsión
φ con respecto a la distancia x medida a lo largo del eje de la
barra. Si representamos dφ/dx con el símbolo θ y nos
referiremos a ella como razón de torsión o ángulo de torsión
por unidad de longitud.
Deformaciones unitarias por cortante dentro de la barra
• Varía linealmente con la distancia radial r

desde el centro (cero en el centro y gmáx en
la superficie exterior.)
Tubos circulares
• Las ecuaciones para las deformaciones unitarias cortantes se aplican a tubos
circulares así como a barras circulares sólidas.
Barras circulares con materiales linealmente elásticos

• Esfuerzos cortantes que actúan en plano transversal van acompañados de
esfuerzos cortantes con la misma magnitud pero sobre planos
longitudinales.
• Si el material de la barra es más débil en cortante en planos longitudinales
que en planos transversales (madera) la primera grieta debida a la torsión
aparecerá en la superficie en la dirección longitudinal.
• Estado de cortante puro en la superficie = esfuerzos iguales de tensión y compresión que
actúan en un elemento orientado a un ángulo de 45°. Si una barra en torsión está hecha de
un material que es más débil en tensión que en cortante, la falla ocurrirá en tensión a lo
largo de una hélice inclinada a 45° con respecto al eje (ejm: tiza, yeso).
FÓRMULA DE TORSIÓN
La fórmula de la torsión
• Determinar la relación entre los esfuerzos cortantes y el par de torsión T.
Momento polar de Momento polar de

inercia inercia para un círculo
• Unidades: sistema SI el par de torsión T suele expresarse en newton metro (N∙m), el radio r
en metros (m), el momento polar de inercia IP en metros a la cuarta potencia (m4) y el
esfuerzo cortante ζ en pascales (Pa). Unidades inglesas, T se expresa en libra-pies (lb-ft) o
libra-pulgadas (lb-in), r en pulgadas (in), IP en pulgadas a la cuarta potencia (in4) y ζ en libras
por pulgada cuadrada (psi).
ÁNGULO DE TORSIÓN
Angulo de torsión
• En una barra de material linealmente elástico con el par de torsión

aplicado T:
θ → radianes por unidad de longitud. La razón de torsión (θ) es directamente proporcional

al par de torsión T e inversamente proporcional al producto GIP (rigidez torsional).
• Barra en torsión pura → el ángulo de torsión φ total:
φ → radianes. GIP/L llamada rigidez torsional de la barra, es el par de torsión necesario

para producir una rotación de un ángulo unitario.
MODOS DE FALLA
Modos de falla en torsión
• Un material dúctil generalmente falla por cortante pero

c=r un material frágil es más débil a tensión y fallará por
tensión.
J = IP
• Una muestra del material dúctil se romperá a través del

plano donde se dan esfuerzos cortantes máximos: en una
sección perpendicular al eje.
• Una muestra del material frágil fallará a lo largo de un
plano perpendicular al plano donde se dará la tensión
máxima: a lo largo de una superficie a 45 ° (espiral) con
respecto al eje.
EJEMPLOS DE CLASE
Ejemplos de clase
❑ Ejemplo 41
Una barra sólida de acero con sección transversal circular tiene un diámetro d = 1,5 in,
longitud L = 54 in y módulo de elasticidad en cortante G = 11,5 × 106 psi. La barra está
sometida a pares de torsión T que actúan en sus extremos. (a) Si los pares de torsión tienen
una magnitud T = 250 lb-ft, ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo en la barra? ¿Cuál es el
ángulo de torsión entre los extremos? (b) Si el esfuerzo cortante permisible es 6000 psi y el
ángulo de torsión permisible es 2,5°, ¿cuál es el par de torsión máximo permisible?
Ejemplos de clase
❑ Ejemplo 42
Se va a fabricar un eje de acero como una barra circular sólida
o bien como un tubo circular. Se requiere que el eje transmita
un par de torsión de 1200 N∙m sin que se exceda un esfuerzo
cortante permisible de 40 MPa ni una razón de torsión
permisible de 0,75°/m. (El módulo de elasticidad en cortante
del acero es 78 GPa). (a) Determine el diámetro necesario d0
del eje sólido. (b) Determine el diámetro exterior necesario d2
del eje hueco si su espesor t se especifica igual a un décimo del
diámetro exterior. (c) Determine la razón de los diámetros (es
decir, la razón d2/d0) y la razón de los pesos de los ejes hueco y
sólido.
PROBLEMAS
Problemas
❑ Problema 17
Un eje hueco y uno sólido construidos con el mismo material tienen la misma longitud y
radios exteriores R. El radio interior del eje hueco es 0.6R. (a) Suponiendo que los dos ejes se
someten al mismo par de torsión, compare sus esfuerzos cortantes, ángulos de torsión y
pesos. (b) Determine las razones entre resistencia y peso de los ejes.
RETROALIMENTACION
Retroalimentación y autoevaluación (Aprendizaje autónomo)
➢ Revisar problemas relacionados a los temas tratados en la
presente clase. Mecánica de Materiales, de R.C. Hibbeler.
8va edicion, Prentice Hall, 2011: F5-1 a F5-2 y 5-1 a 5-2.
Preguntas
Terremoto de Nepal
Fuente: http://noticias.sumadiario.com/catastrofes-y-accidentes/terremoto/el-
terremoto-de-nepal-ha-causado-18-muertos-en-china_SpWNvAXwAYiqqGcFxP9nP5/
e-mail: lgquiroz@uni.edu.pe
Bibliografía
❑ Básica
1. Hibbeler, R.C (2017). Mecánica de Materiales (9na ed.). Mexico: Pearson.
❑ Complementarias
2. Gere, James M. y Goodno, Barry J. (2019). Mecánica de Materiales (9na ed.). Standford:
Cengage learning.
3. Beer, Ferdinand Pierre et. al. (2018). Mecánica de Materiales (7ma ed). New York: McGraw-
Hill Education.
4. Pytel, A. & Singer, F. (2008). Resistencia de materiales (4a ed). Oxford.
❑ Adicionales
Hibbeler, R.C (2010). Ingeniería Mecánica – Estática (12da ed.). Mexico: Pearson Educación.

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✓ Al finalizar la sesión, el estudiante:

✓ Deformación por torsión en barras

Vid. Torsión en elementos Vid. Falla de tiza a torsión

Representación del par Representación del par como flecha

• Las secciones transversales permanecen

• Si el ángulo de rotación entre un extremo de

• Varía linealmente con la distancia radial r

Barras circulares con materiales linealmente elásticos

Momento polar de Momento polar de

• En una barra de material linealmente elástico con el par de torsión

θ → radianes por unidad de longitud. La razón de torsión (θ) es directamente proporcional

• Barra en torsión pura → el ángulo de torsión φ total:

φ → radianes. GIP/L llamada rigidez torsional de la barra, es el par de torsión necesario

• Un material dúctil generalmente falla por cortante pero

• Una muestra del material dúctil se romperá a través del

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