TEMA 1: INTRODUCCION A LOS METODOS

NUMERICOS.
1.1 Conceptos basicos: Algoritmos y Aproximaciones.
¿Que es un Algoritmo?
Un algoritmo es un conjunto de operaciones y procedimientos que deben
seguirse para resolver un problema. El lenguaje algorı́tmico es aquel por medio
del cual se realiza un análisis previo del problema a resolver y encontrar un
método que permita resolverlo. El conjunto de todas las operaciones a realizar
y el orden en que se deben efectuar, se le denomina algoritmo.
Es un método para resolver un problema mediante una serie de datos preci-
sos, definidos y finitos. La resolución de un problema con ayuda de las compu-
tadoras exige el diseño de un algoritmo que resuelva el problema propuesto.
Los pasos para la resolución de un problema son:
Diseño del algoritmo, que describe la secuencia ordenada de pasos que
conducen a la solución de un problema dado. (Análisis del problema y
desarrollo del algoritmo).
Expresar el algoritmo como un programa de lenguaje de programación
adecuado. (Fase de codificación).

¿Que es una aproximacion?

La mayor parte de las técnicas tiene la caracterı́stica de poseer errores. Aun-
que la perfección es una meta digna de alabarse, es difı́cil, si no imposible,
alcanzarla. Sin embargo, sus distribuciones aleatorias se agrupan muy próximas
alrededor de la predicción.
En algunos conceptos básicos de los Métodos Numéricos podemos encontrar
los siguientes: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo, que
forman parte de las aproximaciones y predicciones numéricas adecuadas.
Cifras significativas: Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber
seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas
tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se

debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resulta-
dos obtenidos.
2. Aunque ciertos números representan número especı́ficos, no se pueden ex-
presar exactamente con un número finito de cifras. Por lo que podemos
tener un algoritmo de aproximación.

1.2 Tipos de errores: Error absoluto, Error relativo, Error porcentual,

Errores de redondeo y truncamiento.
Error absoluto:

1
 Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto.
Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o
inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las
de la medida.
El error absoluto de una medida no nos informa por sı́ solo de la bondad de
la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm
al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio.
El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el
valor aproximado. Hay autores que definen el error absoluto como la diferencia
entre el valor aproximado y el valor exacto, donde la diferencia únicamente está
en el signo ya que no se toma como valor absoluto.

Sin embargo, podrı́amos tomar como fórmula general la siguiente expre-

sión:
 
xi −−
P 
 x 
Ea = n

error absoluto = valor real - valor medicion.

Cuando el valor exacto no es conocido, por ejemplo, en cualquier medida

fı́sica, se habla de cota del error absoluto, que será un valor superior al error
absoluto que asegure que el error cometido nunca excederá a ese valor.

Si llamamos c a la cota del error absoluto de un número, se cumplirá:

error absoluto < c.

Error relativo:
El error relativo es el cometido en la estimación del valor de un número, es
el valor absoluto del cociente entre su error absoluto y el valor exacto. El error
relativo da idea de la precisión de una medida, y se suele manejar en forma de
porcentaje ( %).
Muchas veces conocemos el error absoluto (Ea), pero es imposible conocer
el valor exacto (A), en cuyo caso, para hallar el error relativo (Er) dividimos el
error absoluto entre el valor aproximado o considerado como exacto.
También puede hablarse de cota del error relativo, que si la representamos
como b, se cumplirá:

A–A´)/A ≤ β

Error porcentual:
El error porcentual es fácil de definir, es el resultado de multiplicar el error
relativo por 100.
ERP = ERX100

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Errores de redondeo:
A continuación se analizarán brevemente algunas consecuencias de utilizar
el sistema binario y una longitud de palabra finita.
Como no es posible guardar un numero binario de longitud infinita o un
numero de mas dı́gitos de los que posee la mantisa de la computadora que se
esta empleando, se almacena sólo un numero finito de estos dı́gitos; como con-
secuencia, se comete automáticamente un pequeño error, conocido como error
de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser considerable.
Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras sig-
nificativas, los errores de redondeo parecerı́an no ser muy importantes. Sin em-
bargo, hay dos razones del porqué pueden resultar crı́ticos en algunos métodos
numéricos:
Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para ob-
tener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si.
Esto es, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En
consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pe-
queño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de
cálculos puede ser significativo.
El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo ope-
raciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes
al mismo tiempo. Ya que en este caso se presenta en muchos métodos
numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

Truncamiento:
Cuando una expresión matemática se remplaza por una fórmula más simple,
se introduce un error, conocido como error de truncamiento.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproxi-
mación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores
son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor.
Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi + 1 en
términos de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi.
Siendo el término final:
Rn = ((Œ(n + 1)(ξ))/(n + 1)!)hn + 1
En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta par
aun polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables,
como las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta me-
diante un número finito de términos. Cada una de los términos adicionales
contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea un poco.

1.3 Convergencia.

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 Se entiende por convergencia de un método numérico la garantı́a de que,
al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones
obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número
de iteracciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que
tiene una mayor rapidez de convergencia.
Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantı́a de
convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el
contrario divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado.
En Métodos numérico la velocidad con la cual una sucesión converge a su
lı́mite es llamadaorden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista
práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas
aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre
necesitar diez o un millón de iteraciones.
Supongamos que la secuencia xk converge al número ξ.
En particular, convergencia de orden 1 es llamada convergencia lineal.

La de orden 2 convergencia cuadrática

La convergencia de orden 3 convergencia cúbica.

EJEMPLO 1: Ejemplo 3.2: Estimación del error con métodos iterativos.

Planteamiento del problema. En matemáticas con frecuencia las funcio-
nes se representan mediante series infinitas. Por ejemplo, la función exponencial
se calcula usando:
x2 x3 xn
ex = 1 + x + 2! + 3! + ··· + n! (E3.2.1)
Ası́ cuanto más términos se le agreguen a la serie, la aproximación será cada
vez más una mejor estimación del valor verdadero de ex . La ecuación (E3.2.1)
se conoce como expansión en series de Maclaurin.
Empezando con el primer término ex = 1 y agregando término por término,
estime el valor de e0.5 . Después de agregar cada término, calcule los errores:
relativo porcentual verdadero y normalizado a un valor aproximado usando las
ecuaciones (3.3) y (3.5), respectivamente. Observe que el valor verdadero es
e0.5 = 1.648721 . . . Agregue términos hasta que el valor absoluto del error apro-
ximado εa sea menor que un criterio de error preestablecido εs con tres cifras
significativas.
Solución. En primer lugar la ecuación (3.7) se emplea para determinar el
criterio de error que asegura que un resultado sea correcto en al menos tres
cifras significativas:
εs = (0.5 × 102–3 ) %
Por lo tanto, se agregarán términos a la serie hasta que εa sea menor que
este valor.

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 La primera estimación es igual a la ecuación (E3.2.1) con un solo término.
Entonces, la primera estimación es igual a 1. La segunda estimación se obtiene
agregando el segundo término, ası́:
ex = 1 + x

y para x = 0.5,

e0.5 = 1 + 0.5 = 1.5

Esto representa el error relativo porcentual verdadero de [ecuación (3.3)]

1.648721−1.5
εt = 1.64872 100
La ecuación (3.5) se utiliza para determinar una estimación aproximada del
error, dada por:
1.5−1
εa = 1.5 100 % = 33 %
Como εa no es menor que el valor requerido εs , se deben continuar los cálculos
agregando otro término,x2 /2!, repitiendo el cálculo del error. El proceso continúa
hasta que εa < εs . Todos los cálculos se resumen de la siguiente manera:
TERMINOS RESULTADO εt ( %) εa ( %)
1 1 39.3
2 1.5 9.02 33.3
3 1.625 1.44 7.69
4 1.645833333 0.175 1.27
5 1.648437500 0.0172 0.158
6 1.648697917 0.00142 0.0158
Ası́, después de usar seis términos, el error aproximado es menor que εs =
0.05 %, y el cálculo termina. Sin embargo, observe que, ¡el resultado es exacto con
cinco cifras significativas! en vez de tres cifras significativas. Esto se debe a que,
en este caso, las ecuaciones (3.5) y (3.7) son conservadoras. Es decir, aseguran
que el resultado es, por lo menos, tan bueno como lo especifican. Aunque, como
se analiza en el capı́tulo 6, éste no es siempre el caso al usar la ecuación (3.5),
que es verdadera en la mayorı́a de las veces.

EJEMPLO 2: EJEMPLO 4.2 Uso de la expansión de la serie de Taylor para

aproximar una función con un número infi nito de derivadas.
Planteamiento del problema. Utilice expansiones de la serie de Taylor con
n desde 0 hasta 6 para aproximar f (x) = cosx en xi+1 = π/3 con base en
el valor de f (x) y sus derivadas en xi = π/4. Observe que esto significa que
h = π/3–π/4 = π/12.
Solución. Como en el ejemplo 4.1, el conocimiento de la función original
implica
 πque
 se puede
 π  determinar el valor exacto de f (π/3) = 0.5.
f = cos = 0.707106781
3 4

5
 que representa un error relativo porcentual de:
εt = 0.5−0.707106781
0.5 100 %
Para la aproximación de primer orden, se agrega el término de la primera
 π donde f0(x)
derivada
π
= –senx:
π  π 
f = cos − sen = 0.521986659 que tiene εt = –4.40 por
3 4 4 12
ciento.
Para la aproximación de segundo orden, se agrega el término de la segunda
derivada donde f 00(x) = –cosx :
π π  π   π  cos (π/4)
π 2


f = cos − sen − 12 = 0.497754491
3 4 4 12 2
con εt = 0.449 por ciento. Entonces, al agregar más términos a la serie
se obtiene una mejor aproximación. Este proceso continúa y sus resultados se
enlistan, como en la tabla 4.1. Observe que las derivadas nunca se aproximan
a cero, como es el caso con el polinomio del ejemplo 4.1. Por lo tanto, cada
término que se le agrega a la serie genera una mejor aproximación.
TABLA 4.1 Aproximaciones mediante la serie de Taylor def (x) = cosx en
xi+1 = π/3 usando como punto base π/4. Los valores se presentan para varios
órdenes (n) de aproximación.

Orden n f (n) (x) f (π/3) εt

0 cosx 0.707106781 –41.4
1 −senx 0.521986659 –4.4
2 −cosx 0.497754491 0.449
3 senx 0.499869147 2.62 × 10–2
4 cosx 0.500007551 –1.51 × 10–3
5 −senx 0.500000304 –6.08 × 10–5
6 −cosx 0.499999988 2.40 × 10–6
Sin embargo, observe también que la mejor aproximación se consigue con los
primeros términos. En este caso, al agregar el tercer término, el error se redujo
al 2.62 × 10–2 %, lo cual significa que se alcanzó el 99.9738 % del valor exacto.
Por consiguiente, aunque se le agreguen más términos a la serie el error decrece,
aunque la mejorı́a será mı́nima.