Unidad 4

SERIES VARIABLES O
GRADIENTES
 Contenido
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Gradientes
§ Definición de gradiente
§ Gradiente aritmético
§ Amortización con cuota creciente
§ Gradiente aritmético infinito
§ Gradiente geométrico
§ Gradiente geométrico infinito
§ Gradientes escalonados
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Definición de gradiente
Serie de pagos que cumplen con las siguientes
condiciones:
§ Los pagos cumplen con una ley de formación
§ Los pagos se efectúan a iguales intervalos de
tiempo
§ Todos los pagos se calculan a la misma tasa
de interés
§ El número de pagos es igual al número de
periodos
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Ley de Formación
§ Gradiente Lineal o Aritmético
§ Gradiente Geométrico
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Gradiente Lineal o Aritmético

Se produce un incremento lineal en pago de
cada periodo.

A +2K Cuotas Periódicas

A +K Periodo 1 ---- A
Periodo 2 ---- A+K
A Periodo 3 ---- A+2K
….
Periodo n ---- A+(n-1)K

0 1 2 3 … n
 Gradientes
Valor Presente Gradiente
Aritmético
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

A +2K

A +K

0 1 2 3 … n
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Ejemplo 1
Hallar el valor presente de la siguiente serie, considerando
una tasa del 5%. 1800
1600
1400
1200

1000

800

0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Ejemplo 1
1. Se calcula el valor presente en 1
Vp1 = (800/0,05)(1-(1+0,05)-6)+(200/0,05)((1-(1+0,05)-6)/0,05)-(6(1+0,05)-6)
Vp1 = 6456,55
 Gradientes
Valor Futuro Gradiente
Aritmético
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

A +2K

A +K

n
0 1 2 3 …
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Ejemplo 2
Se pacta pagar un crédito
de USD$100.000 en 4 pagos, 1. Se calcula la cuota base (A)
suponiendo una tasa del 8%
100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4)
y un crecimiento lineal de
+(12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)
$USD12.000. Calcular la
cuota para cada periodo A = 13.339,66

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $13.345

Periodo 2 ---- $25.345
Periodo 3 ---- $37.345
Periodo 4 ---- $49.345
0 1 2 3 4
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Tabla de Amortización (Ejemplo 2)

Saldo de Capital

0 0 100.000

8.000 94.655
1 13.345 5.345
7.572 76.882
2 25.345 17.773
6.151 45.688
3 37.345 31.194
3.655 (0)
4
49.345 45.690
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Ejemplo 3
Se pacta pagar un crédito 1. Se calcula la cuota base (A)
de USD$100.000 en 4 pagos,
suponiendo una tasa del 8% 100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(-
y un decremento lineal de 12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)
$USD12.000. Calcular la
cuota para cada periodo A = 47.040,00

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $47.040

Periodo 2 ---- $35.040
Periodo 3 ---- $23.040
Periodo 4 ---- $11.040
0 1 2 3 4
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Tabla de Amortización (Ejemplo 3)

Saldo de Capital

0 100.000
8.000 60.960
1
47.040 39.040
4.877 30.797
2
35.040 30.163
2.464 10.221
3
23.040 20.576
818 (0)
4
11.040 10.222
 Gradientes
Gradiente Lineal o Aritmético
Para calcular el valor de cualquier flujo de
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

caja creciente se usa la siguiente formula:

Cuota (n) = A + (n-1) K

A +2K Cuotas Periódicas

A +K Periodo 1 ---- A
Periodo 2 ---- A+K
A Periodo 3 ---- A+2K
….
Periodo n ---- A+(n-1)K

0 1 2 3 … n
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Gradiente Aritmético Infinito

Se produce un incremento lineal en pago de
cada periodo.

A +2K Cuotas Periódicas

A +K Periodo 1 ---- A
Periodo 2 ---- A+K
A Periodo 3 ---- A+2K
….
Periodo n ---- A+(n-1)K

0 1 2 3 … n
 Valor Presente Gradiente Aritmético Infinito (Valor
Presente)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

A +2K

A +K

0 1 2 3 … n
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

GRADIENTE GEOMETRICO
Las cuotas crecen exponencialmente, con base en una
tasa de crecimiento.

A(1+G)2 Cuotas Periódicas

Periodo 1 ---- A
A(1+G)1 Periodo 2 ---- A(1+G)1
Periodo 3 ---- A(1+G)2
A Periodo 4 ---- A(1+G)3
….
Periodo n ---- A(1+G)n-1
0 1 2 3 … n
 Gradientes
Valor Presente Gradiente Geométrico
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Se puede demostrar que el valor presente de una

serie geométrica, se puede expresar como:

A(1+G)2

A(1+G)1

0 1 2 3 … n
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Valor Futuro Gradiente Geométrico

Se puede demostrar que el valor futuro de una serie geométrica,
se puede expresar como:

A(1+G)2

A(1+G)1

0 1 2 3 … n
 Gradientes
La cuota de una serie gradiente geométrica se determina
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

de la siguiente manera :
n–1
Cuota (n) = A (1 + G )

A(1+G)2 Cuotas Periódicas

Periodo 1 ---- A
A(1+G)1 Periodo 2 ---- A(1+G)1
Periodo 3 ---- A(1+G)2
A Periodo 4 ---- A(1+G)3
….
Periodo n ---- A(1+G)n - 1
0 1 2 3 … n
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Ejemplo 4
Elaborar la tabla de
amortización de un crédito de 1. Se calcula la cuota base (A)
USD$100.000 en 4 pagos,
suponiendo una tasa efectiva 100.000=(A(1+0,1)4 / (1+0,08)4-1)/ (0,1-0,08)
del 8% y un crecimiento
geométrico de la cuota del 10% A = 26.261

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- 26.261

Periodo 2 ---- 26.261(1+0,1) = $28.888
Periodo 3 ---- 26.261(1+0,1)2= $31.776
Periodo 4 ---- 26.261(1+1,1)3= $34.954

0 1 2 3 4
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Tabla de Amortización (Ejemplo 4)

Saldo de Capital

0 0 100.000
8.000 81.739
1
26.261 18.261
6.539 59.390
2
28.888 22.349
4.751 32.365
3
31.776 27.025
2.589 1
4
34.954 32.365
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Ejemplo 5
Elaborar la tabla de 1. Se calcula la cuota base (A),
amortización de un crédito de considerando que G = i
USD$100.000 en 4 pagos,
suponiendo una tasa efectiva 100.000=(Ax4)/ (1+0,08)
del 8% y un crecimiento
geométrico de la cuota del 8% A = 27.000

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $27.000

Periodo 2 ---- 27.000(1+0,08) = $29.160
Periodo 3 ---- 27.000(1+0,08)2= $31.493
Periodo 4 ---- 27.000(1+0,08)3= $34.012
0 1 2 3 4
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Tabla de Amortización (Ejemplo 5)

Saldo de Capital

0 0 100.000
8.000 81.000
1
27.000 19.000
6.480 58.320
2
29.160 22.680
4.666 31.493
3
31.493 26.827
2.519 -
4
34.012 31.493
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Ejemplo 6
Elaborar la tabla de
1. Se calcula la cuota base (A),
amortización de un crédito de considerando que G ≠ i
USD$100.000 en 4 pagos,
suponiendo una tasa efectiva 100.000=(A(1-0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (-0,1-0,08)
del 8% y un decrecimiento
geométrico de la cuota del A = 34.766
10%
2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $34.766

Periodo 2 ---- 34.766(1-0,1) = $31.289
Periodo 3 ---- 34.766 (1-0,1)2= $28.160
Periodo 4 ---- 34.766 (1-0,1)3= $25.344
0 1 2 3 4
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Tabla de Amortización (Ejemplo 6)

Saldo de Capital

0 0 100.000
8.000 73.234
1
34.766 26.766
5.859 47.803
2
31.289 25.431
3.824 23.467
3
28.160 24.336
1.877 -
4
25.344 23.467
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Gradiente Geométrico Infinito (Valor Presente)

A(1+G)2

A(1+G)1

0 1 2 3 … n
 Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Ejemplo 7
Hallar el valor presente de Se calcula el valor Presente
una serie infinita de pagos
que crecen un 10%, si la tasa Vp= 300/ (0,2- 0,1)
de interés es del 20% y el
primer pago es de $300 Vp = 3.000

Esto significa que si se colocan $3.000 al

20% podemos hacer infinitos retiros
crecientes en un 10%, partiendo de uno
de $300

0 1 2 … n