Guía 4 - Oscilaciones Eléctricas Circuito RLC

No
LABORATORIO DE OSCILACIONES Y ONDAS
4 OSCILACIONES ELÉCTRICAS CIRCUITO RLC
DEPARTAMENTO DE UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

FÍSICA Y GEOLOGÍA
Objetivos
1. Establecer una analogía entre los elementos de un oscilador forzado

amortiguado mecánico y un oscilador forzado amortiguado eléctrico.
2. Estudiar y analizar el efecto de una fuerza externa oscilante con frecuencia
𝜔𝑓 en un sistema oscilante con amortiguamiento.
3. Visualizar experimentalmente el fenómeno de resonancia.
Esquema del laboratorio y Materiales
Esquema 1. Montaje de laboratorio
1
OSCILACIONES ELÉCTRICAS CIRCUITO RLC
Equipo requerido Cantidad Observaciones

Circuito RLC pasco 1
Interface Science Workshop 1
750
Cables de conexión de salida 2
de la interface.
Cables de conexión canal A, 3
B y C del Interface.
Computador con software 1
Datastudio
Papel milimetrado tamaño 2 Traerlas el estudiante
carta
Marco teórico
CIRCUITO RLC
El análisis de cualquier sistema mecánico clásico debe partir de las ecuaciones de

Newton, en cuanto el análisis de cualquier sistema electromagnético clásico debe
partir de las ecuaciones de Maxwell y de la ecuación de la fuerza de Lorentz para
partículas cargadas no relativistas [1]. Sin embrago, cuando los campos eléctrico y
magnético no varían rápidamente en el tiempo y el espacio, es posible estudiar la
corriente, la carga y los campos en un circuito, a través de elementos del circuito
como resistencia (R), capacitancia (C) e inductancia (L), elementos en los cuales
están concentrados macroscópicamente los efectos de disipación de energía en
calor, almacenamiento de carga y voltaje inducido que se opone a la variación de
la corriente en el tiempo, respectivamente.
Figura 1. Circuito RLC en serie con una fuente de voltaje y su equivalente

mecánico.
La Figura 1, ilustra la conexión en serie de dichos elementos de circuito con una

2
fuente de voltaje, así como su equivalente mecánico donde el fluido produce las
perdidas en el sistema masa‐resorte a través de una fuerza amortiguadora que
actúa en dirección opuesta a la velocidad.
La fuente de voltaje en serie con los elementos de circuito R, L y C, genera un

campo capaz de realizar un trabajo sobre las partículas portadoras de carga, si
asumimos que el voltaje es armónico y el sentido positivo de la corriente como en
la Figura 1, aparecen cargas q y q en las placas del capacitor C tales que
𝑑𝑞⁄ (5.1)
𝐼= 𝑑𝑡
Estas cargas producen una fuerza electromotriz
𝑞
𝑉𝑐 = ⁄𝐶 (5.2)
En la inductancia se genera otra fuerza electromotriz

𝑑𝐼
𝑉𝐿 = −𝐿 (5.3)
𝑑𝑡
OSCILACIONES LIBRES
Consideremos primero el caso en que no hay fuerza electromotriz 𝑉𝐸 externa en el

circuito. En este caso la corriente se inicia cargando el capacitor o variando el flujo
magnético a través de la inductancia o intercalando y después desconectando una
fuente externa [3]. En este caso podemos escribir la ecuación del circuito (ver
leyes de Kirchhoff) en la forma:
𝑞 𝑑𝐼
𝐼𝑅 = − − 𝐿 (5.4)
𝐶 𝑑𝑡
Donde el singo menos en la fuerza electromotriz del capacitor se debe a la

tendencia del condensador de descargarse a través del circuito y por tanto
establecer una corriente en sentido contrario al inicialmente establecido en el
circuito.
Derivando la ecuación anterior respecto del tiempo y reorganizando términos,

obtenemos la ecuación diferencial ordinaria de orden dos homogénea:
𝑑2𝐼 𝑑𝐼 𝐼
𝐿 + 𝑅 − =0 (5.5)
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝐶
La anterior ecuación es idéntica a la ecuación de las oscilaciones amortiguadas de

una partícula
𝑑2𝑥 𝑑𝑥
𝑚 2 +𝜆 + 𝑘𝑥 = 0 (5.6)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
3
De donde se establecen las siguientes correspondencias:
La ecuación diferencial descrita tiene diferentes soluciones dependiendo del valor

de la discriminante de la ecuación [2], tenemos así el caso sobre‐amortiguado, de
amortiguamiento crítico y sub‐amortiguado. De los tres casos solamente en uno se
establece una corriente oscilatoria cuya amplitud decrece con el tiempo, este caso
4𝐿
corresponde a la condición 𝑅 2 < 𝐶 , y la solución toma la forma
𝐼 = 𝐼0 𝑒 −𝛾𝑡 sin(𝜔𝑡 + 𝛼), (5.7)
Donde
𝑅 1 𝑅2
𝛾= , 𝜔 = √ − 2. (5.8)
2𝐿 𝐿𝐶 4𝐿
La ecuación para la frecuencia indica que el amortiguamiento tiene el efecto de

disminuir la frecuencia característica o natural del circuito LC dada por
1
𝜔0 = √ (5.9)
𝐿𝐶
O su equivalente en el caso mecánico del oscilador no amortiguado

𝑘
𝜔0 = √ (5.10)
𝑚
OSCILACIONES FORZADAS
Las oscilaciones forzadas se obtienen en el caso eléctrico adicionando una fuerza

electromotriz alterna al circuito de la forma
𝑉0 sin 𝜔𝑓 𝑡, (5.11)
O en el caso mecánico, impulsando la masa a través de una fuerza externa de la

forma
𝐹0 sin 𝜔𝑓 𝑡. (5.12)
4
En este caso la ley de Kirchhoff nos permite obtener la ecuación diferencial
𝑄 𝑑𝐼
𝐼𝑅 + + 𝐿 = 𝑉0 sin 𝜔𝑓 𝑡, (5.13)
𝐶 𝑑𝑡
Para las oscilaciones forzadas de una partícula se obtendría una ecuación similar
con la diferencia que el termino no homogéneo no tendría como factor a la
frecuencia.
La intuición física nos dice que en este caso la corriente no oscilará ni con la
frecuencia natural, ni con la frecuencia natural amortiguada, la corriente es forzada
a oscilar con la frecuencia del voltaje externo, luego una solución de la forma
𝐼 = 𝐼0 sin(𝜔𝑓 𝑡 − 𝛼), (5.14)
donde la amplitud de la corriente se obtiene como

𝑉0
𝐼0 =
𝜔 𝐿−1 (5.15)
√𝑅 2 + ( 𝑓 ⁄𝜔 𝐶 )2
𝑓
y la diferencia de fase 𝛼 entre el voltaje y la corriente viene dada por

𝜔𝑓 𝐿−1
⁄𝜔 𝐶
𝑓 (5.16)
tan 𝛼 =
𝑅
1
Se define la reactancia del circuito como 𝑋 = 𝜔𝑓 𝐿 − 𝜔 𝐶̀, en cuanto la impedancia
𝑓
se expresa como 𝑍 = √𝑅 2+ 𝑋2. Es útil definir también la reactancia capacitiva

1
𝑋𝐶 = 𝜔 𝐶 y La reactancia inductiva 𝑋𝐿 = 𝜔𝑓 𝐿.
𝑓
RESONANCIA
Cuando la reactancia inductiva se hace igual a la reactancia capacitiva, la

diferencia de fase entre el voltaje aplicado y la corriente se hace cero, en este
caso se obtiene la resonancia de energía. Se puede entonces concluir que la
resonancia de energía se obtiene cuando la frecuencia de la fuerza externa
1
coincide con la frecuencia natural del sistema 𝜔𝑓 = √𝐿𝐶 , ver Figura 2.
En el circuito del experimento contamos con dos capacitancias

𝐶 (100 𝜇𝐹 𝑦 330𝜇𝐹), dos inductancias L(una conocida de 8.2 𝑚𝐻), tres resistencias
𝑅 (10𝛺, 33𝛺 𝑦 100𝛺), y un generador de señal de frecuencia variable. Observe que
𝑋𝐶 y 𝑋𝐿 varían de acuerdo a la frecuencia del voltaje de alimentación del circuito.
5
Figura 2. Frecuencia de resonancia
Preguntas de control
Estas preguntas deben desarrollarse antes de la realización de la práctica y debe entregarse

en el pre informe según indicaciones del docente.
1. ¿Qué es resistencia, reactancia e impedancia?

2. ¿Qué es corriente alterna y continua y como es su comportamiento
grafico?
3. ¿Cuál es la relación matemática entre los parámetros físicos de un
oscilador amortiguado para los casos de amortiguamiento crítico, sobre‐
amortiguado y sub‐amortiguado?
4. Describa otros fenómenos físicos donde sea aplicable el concepto de
resonancia.
5. ¿Para una fuente de voltaje alterno, cuál es la diferencia entre voltaje
pico‐pico, voltaje rmc y voltaje promedio?
6. ¿Qué es un material ferromagnético, paramagnético, diamagnético y de
ejemplos de materiales con estas características?
Procedimiento
Primera parte: Verificación conexiones equipo de laboratorio, para la

medición de las oscilaciones eléctricas de un circuito RLC
En esta sección el estudiante encontrara al ingresar al laboratorio ya todas las
conexiones del equipo utilizado para la toma de datos, lo que debe realizar es solo
verificar si las conexiones son correctas, no debe desconectar nada en el
montaje.
6
1. Conectar la interface Science Workshop 750 al computador y a la fuente

de alimentación.
2. Conecte la señal de salida de la interface Science Workshop 750, con la

entrada del circuito RLC Model Cl-6512, conectando el polo negativo a la
resistencia del circuito de valor 10 Ω y el polo positivo al condensador de
valor 330 µF (ver montaje 1).
3. Conectar los tres cables de los canales (A, B, C) de la interface para

medición de voltaje de la siguiente forma (ver montaje 1).:
Canal A: voltaje a través de la resistencia eléctrica (10 Ω).

Canal B: voltaje a través de la inductancia (8,2 mH).
Canal C: voltaje a través del condensador (330 µF).
Montaje 1. Conexiones interface Science Workshop 750, con el circuito RLC

Model Cl-6512
Segunda parte: Manejo del software DataStudio para la medición de las

oscilaciones eléctricas del circuito RLC.
1. Encienda el computador y la interface Science Workshop 750 con el botón

detrás de ella; (este paso se realiza en el caso de que los encuentre
apagados).
2. Inicie el software DataStudio el cual se encuentra en el escritorio.
3. Seleccione la opción “crear experimento”, aparecerá en la pantalla un
cuadro con el nombre configuración del experimento, en la opción Salida
7
de Señal dando doble clic en el icono de señal seno, se despliega un

cuadro con el nombre generador de señal.
4. En esta pantalla escoja una señal Sinusoide, Amplitud 5V, y digite una
frecuencia de 6,75 Hz, de clic en el signo + con el nombre Mediciones y
frecuencia de muestreo, y en la opción Frecuencia de muestreo
seleccione con el + 4000HZ; minimice esta ventana.
5. En la ventana configuración del experimento, en la sección Sensores,
busque el sensor de voltaje y ábralo con doble clic, el sensor de voltaje se
asignará en el canal A, repita este paso otras dos veces para asignar el
sensor de voltaje al canal B y canal C. Ver montaje 2.
Montaje 2. Selección de sensores de voltaje software DataStudio
6. En la opción pantallas (ver montaje 3) ubicada en la parte inferior

izquierda, escoja con doble clic el comando Gráfico, se desplegará una
nueva ventana llamada “por favor seleccione una fuente de datos”, escoja
con doble clic “Voltage, ChA[V]”, aparecerá una nueva pantalla con el
nombre gráfico 1, con el mouse desplace esta pantalla de tal forma que
ocupe una tercera parte de la pantalla principal. Ver montaje 4.
Montaje 3. Selección de gráficos para visualizar los datos

8
7. Repita el paso anterior seleccionando “Voltage, ChB [V]” y “Voltage, ChC

[V]”, colocando cada gráfico uno debajo del otro como se observa en el
montaje 4.
Montaje 4. Distribución de los gráficos para la toma de datos
8. En la parte superior de clic en el botón inicio, y dejé correr el tiempo de

muestreo por dos segundos aproximadamente y deténgalo, observará que
en cada gráfico aparecerá una onda sinusoidal. En el gráfico 1 se muestra
el comportamiento del voltaje en función del tiempo experimentado en la
resistencia, en el gráfico 2 se muestra el comportamiento del voltaje en
función del tiempo experimentado en el inductor, en el gráfico 3 se
muestra el comportamiento del voltaje en función del tiempo experimentado
en el capacitor.
9. Si no se logra visualizar la señal seno en los gráficos, ubique el mouse

sobre un número de la escala de un eje y observara que el puntero toma la
forma de un resorte, de clic sostenido y desplácelo, observara como
aumenta o disminuye la escala y se lograra ver mejor la señal, repita este
paso hasta que visualice adecuadamente la señal.
9
Montaje 5. Señales de voltaje en función del tiempo en el resistor,

inductor y capacitor
10. En cada gráfico de clic en el botón ajustar, y escoja la opción ajuste
sinusoidal, se desplegará un cuadro sobre el gráfico donde se muestra los
datos de amplitud, frecuencia, fase, desplazamiento, error cuadrático
medio. ver montaje 5.
11. Registre el valor de la amplitud del resistor (gráfico 1), amplitud del inductor
(gráfico 2), y amplitud del capacitor (gráfico 3), en la tabla 1.
12. De clic en Output Voltage (V) en la sección de datos en la parte superior

izquierda (ver montaje 6), oprima la tecla borrar en el teclado, aparecerá un
cuadro de diálogos que dice: ¿Desea que DataStudio suprima todos los
datos de este sensor?, dele aceptar, observara que se borran los datos.
13. Repita el paso anterior para: “Voltage ChA(V)”, “Voltage ChB(V)” y

“Voltage ChC(V)”.
10
Montaje 6. Selección de los sensores para borrar los datos
14. De doble clic en Output Voltage (V), aparece el cuadro generador de

señal digite ahora una frecuencia de 16,75 Hz y minimice la ventana.
Repita los pasos 8,11,12, y 13.
15. Repita el paso anterior ingresando las frecuencias que aparecen en la tabla
1, hasta que la complete.
Frecuencia Frecuencia Amplitud de Amplitud de Amplitud de

[Hz] angular 𝝎 V en la V en el V en el
[rad s-1] resistencia inductor capacitor
[v] [v] [v]
6,75
16,75
26,75
36,75
46,75
56,75
66,75
76,75
86,75
96,75
106,75
116,75
126,75
136,75
146,75
156,75
166,75
176,75
186,75
Tabla 1. Datos oscilaciones eléctricas circuito RLC
11
Tercera parte: Manejo del software DataStudio para la medición de las

oscilaciones eléctricas del circuito RLC con una barra dentro del inductor.
1. Inserte la barra dentro del inductor (bobina), como aparece en el montaje 7.

2. Realice los pasos 14 y 15 de la segunda parte de procedimiento, y registre
los datos obtenidos en la tabla 2, hasta que la complete.
Frecuencia Frecuencia Amplitud de Amplitud de Amplitud de

[Hz] angular 𝝎 V en la V en el V en el
[rad s-1] resistencia inductor capacitor
[v] [v] [v]
6,75
16,75
26,75
36,75
46,75
56,75
66,75
76,75
86,75
96,75
106,75
116,75
126,75
136,75
146,75
156,75
166,75
176,75
186,75
Tabla 2. Datos oscilaciones eléctricas circuito RLC con la barra dentro del
inductor
Montaje 7. Circuito RLC con la barra en el inductor

12
Análisis de datos
1. Para el valor de L (8.2mH) y C (330µF), calcule el valor teórico de la

frecuencia de resonancia del circuito RLC (Tabla 1) usando las siguientes
formulas.
1
𝜔0 = √ (5.17)
𝐿𝐶
𝜔0
𝑓0 = (5.18)
2𝜋
2. Realice el cálculo de la frecuencia angular para las frecuencias temporales
de la tabla 1 y tabla 2, con las cuales hizo las mediciones, haciendo uso de
la ecuación 5.18.
3. Cuando se introduce la barra cilíndrica en el inductor, la inductancia cambia
y por ende la frecuencia de resonancia del sistema tambien. Encuentre el
valor de la nueva frecuencia de resonancia y en cuanto varia; para ello tome
el valor de la amplitud del voltaje en el inductor de la tabla 1 (el que se
encuentra resaltado) para la frecuencia de resonancia, y búsquelo en la
tabla 2, cuando encuentre este valor de amplitud del voltaje del inductor o
uno cercano corresponderá a la nueva frecuencia cuando se introdujo la
barra en el circuito RLC. Registre ambos resultados en la tabla 3 y el
respectivo desfase, así como si aumento o disminuyo la frecuencia.
Frecuencia
Frecuencia de Amplitud del de Desfase = Incremento o
Resonancia Inductor Resonancia 𝒇𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏 disminución
Tabla 1. Tabla 1. con la barra de la
(V) (Hz) Tabla 2. (V) − 𝒇𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐 frecuencia
Tabla 3. Análisis del cambio de frecuencia de resonancia cuando se

introduce la barra en el circuito RLC.
4. Con la frecuencia de resonancia que encontró en el paso anterior del circuito

RLC con la barra, compare los nuevos valores de amplitud de voltaje
obtenidos para la resistencia y el capacitor, calcule además los respectivos
desfases y regístrelos en la tabla 4.
13
Amplitud de Amplitud Amplitud Amplitud Desfase Desfase

la del de la del resistencia = capacitor =
Resistencia capacitor Resistencia capacitor 𝑽𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏 𝑽𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏
Tabla 1. Tabla 1. Tabla 2. Tabla 2.
(V) (V) (V) (V) − 𝑽𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐 − 𝑽𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐
Tabla 4. Análisis del cambio de amplitud de voltaje en la resistencia y el

capacitor.
5. Con el valor de la frecuencia de resonancia con la barra (tabla 3), y el valor

de la capacitancia, calcule el nuevo valor de la inductancia en el circuito
cuando es introducida la barra cilíndrica utilice la ecuación 5.17.
6. Realice la gráfica de amplitud de voltaje en el resistor versus frecuencia

“Vresistor vs f”, utilizando los datos de la tabla 1.
7. Ahora con los datos de la tabla 2 realice la gráfica de amplitud de voltaje en

el resistor versus frecuencia “Vresistor vs f” sobre la gráfica anterior. (es decir
las dos graficas en una).
Preguntas de profundización de la práctica de laboratorio
1. De acuerdo a la tabla 3, se evidencia un cambio en la frecuencia de

resonancia ¿por qué considera que sucede dicho cambio?
2. ¿Qué concluye del comportamiento del voltaje y el capacitor de acuerdo a la

tabla 4?
3. Según el valor de la inductancia cuando se introduce la barra de material

desconocido dentro del circuito RLC ¿Qué propiedad magnética se le
atribuye a la barra?
4. Según la gráfica realizada, justifique: ¿por qué se desplaza la gráfica de los

datos de la tabla 2?
Conclusiones y observaciones
Las conclusiones se deben formular de los resultados obtenidos en la práctica.
14
Bibliografía
Para ampliar la información, puede consultar las siguientes referencias:
 Alonso, M. y Finn, E. J., Física, vol. I y II, Edición Revisada y

Aumentada, Mecánica, Fondo Educativo Interamericano, 1967,
Reimpresión 1998 (Texto Guía).
 Gettys, Killer, Skove, Física para ciencias e ingeniería, tomo I y II.
Editorial McGrawn-Hill.
 Sears, F., Zemansky., Young G. y Freedman, R. Física Universitaria,
vol. I 9ª Ed. Addison-Weslet Longman, México, 1999.
 Halliday, R., Resnick, D. y Krane, K. S. Física, vol. I 5ª ed., Compañía
Editorial Continental, S.A. México, 1994.
 Serway, Raymond. A., Física, Tomo 1, 5ª ed. McGraw-Hill, Bogotá,
1999.
 Guerrero, Alicia., Oscilaciones y Ondas. Colección nota de clase,
Editorial Universidad Nacional de Colombia, (2005 primera edición,
2008 reimpresión).
 Crawford, Jr., Ondas, Berkeley Physics Course. Editorial Reverte,
(1977).
 Hecht, E. and Zajac, A., Óptica. Editorial Addison-Wesley, tercera
edición, (2000).
 Giancoli, Douglas c. física para ciencias e ingeniería. Cuarta edición.
Pearson educación, México, 2008. Vol. I y II.
15

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1. Establecer una analogía entre los elementos de un oscilador forzado

Esquema del laboratorio y Materiales

Esquema 1. Montaje de laboratorio

Equipo requerido Cantidad Observaciones

El análisis de cualquier sistema mecánico clásico debe partir de las ecuaciones de

Figura 1. Circuito RLC en serie con una fuente de voltaje y su equivalente

La Figura 1, ilustra la conexión en serie de dichos elementos de circuito con una

La fuente de voltaje en serie con los elementos de circuito R, L y C, genera un

Estas cargas producen una fuerza electromotriz

En la inductancia se genera otra fuerza electromotriz

Consideremos primero el caso en que no hay fuerza electromotriz 𝑉𝐸 externa en el

Donde el singo menos en la fuerza electromotriz del capacitor se debe a la

Derivando la ecuación anterior respecto del tiempo y reorganizando términos,

La anterior ecuación es idéntica a la ecuación de las oscilaciones amortiguadas de

De donde se establecen las siguientes correspondencias:

La ecuación diferencial descrita tiene diferentes soluciones dependiendo del valor

𝐼 = 𝐼0 𝑒 −𝛾𝑡 sin(𝜔𝑡 + 𝛼), (5.7)

La ecuación para la frecuencia indica que el amortiguamiento tiene el efecto de

O su equivalente en el caso mecánico del oscilador no amortiguado

Las oscilaciones forzadas se obtienen en el caso eléctrico adicionando una fuerza

O en el caso mecánico, impulsando la masa a través de una fuerza externa de la

En este caso la ley de Kirchhoff nos permite obtener la ecuación diferencial

𝐼 = 𝐼0 sin(𝜔𝑓 𝑡 − 𝛼), (5.14)

donde la amplitud de la corriente se obtiene como

y la diferencia de fase 𝛼 entre el voltaje y la corriente viene dada por

se expresa como 𝑍 = √𝑅 2+ 𝑋2. Es útil definir también la reactancia capacitiva

Cuando la reactancia inductiva se hace igual a la reactancia capacitiva, la

En el circuito del experimento contamos con dos capacitancias

Figura 2. Frecuencia de resonancia

Estas preguntas deben desarrollarse antes de la realización de la práctica y debe entregarse

1. ¿Qué es resistencia, reactancia e impedancia?

Primera parte: Verificación conexiones equipo de laboratorio, para la

1. Conectar la interface Science Workshop 750 al computador y a la fuente

2. Conecte la señal de salida de la interface Science Workshop 750, con la

3. Conectar los tres cables de los canales (A, B, C) de la interface para

Canal A: voltaje a través de la resistencia eléctrica (10 Ω).

Montaje 1. Conexiones interface Science Workshop 750, con el circuito RLC

Segunda parte: Manejo del software DataStudio para la medición de las

1. Encienda el computador y la interface Science Workshop 750 con el botón

de Señal dando doble clic en el icono de señal seno, se despliega un

Montaje 2. Selección de sensores de voltaje software DataStudio

6. En la opción pantallas (ver montaje 3) ubicada en la parte inferior

Montaje 3. Selección de gráficos para visualizar los datos

7. Repita el paso anterior seleccionando “Voltage, ChB [V]” y “Voltage, ChC

Montaje 4. Distribución de los gráficos para la toma de datos

8. En la parte superior de clic en el botón inicio, y dejé correr el tiempo de

9. Si no se logra visualizar la señal seno en los gráficos, ubique el mouse

Montaje 5. Señales de voltaje en función del tiempo en el resistor,

12. De clic en Output Voltage (V) en la sección de datos en la parte superior

13. Repita el paso anterior para: “Voltage ChA(V)”, “Voltage ChB(V)” y

Montaje 6. Selección de los sensores para borrar los datos

14. De doble clic en Output Voltage (V), aparece el cuadro generador de

Frecuencia Frecuencia Amplitud de Amplitud de Amplitud de

Tercera parte: Manejo del software DataStudio para la medición de las