Componentes de Una Fuerza en 2 y 3 Dimensiones

MECÁNICA DE SÓLIDOS
Ing. Carlos Orozco Aguinaga
Universidad de la Costa - CUC

Componentes rectangulares de una fuerza en
el plano 2D
Una fuerza F que actúa sobre una partícula puede reemplazarse por dos o mas
fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partícula. De igual manera,
dos o mas fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una
fuerza F que produce el mismo efecto sobre ésta. Las fuerzas que reemplazan a F
se les llama componentes de F (Mecanica vectorial para ingenieros, Beer and Johnston.
9 edición).
En este curso se trabajará con las componentes Fx y Fy de la fuerza F. Estas componentes
se conocen como componentes rectangulares de F
Fx Fx
𝐹𝑥 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝛽 𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃
Fy
𝐹𝑦 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽 𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃
Fy
Fy
Fy
Fx Fx
Adición de fuerzas sumando sus
componentes
Para este caso aplica el concepto de reemplazar dos o mas fuerzas por una que
produce el mismo efecto llamada fuerza resultante FR.
Ejemplo:
Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga AB que se muestra en la figura.
Determine la magnitud y la dirección de su resultante. (Mecanica vectorial para
ingenieros, Beer and Johnston. 9 edición).
Solución
 Para solucionar el ejercicio se procederá a analizar de forma
independiente cada una de las fuerzas.
 Denominaremos F1 = 2kN y F2 = 3kN
F1x y F1y son negativos por

apuntar hacia la izquierda y
40° hacia abajo respectivamente. 60°
F1y Mientras que, F2x y F2y son F2y
positivo y negativo por
apuntar a la derecha y hacia
F1x abajo respectivamente. F2x
F1x = 2kN sen 40° = −1.29 kN F2x = 3kN sen 60° = 2.6 kN
F1y = 2 kN cos 40° = − 1.53 kN F2y = 3 kN cos 60° = − 1.5 kN

Ahora, para encontrar las componentes del nuevo vector se suman las componentes X
y Y de cada una de las fuerzas calculadas.
෍ 𝐹𝑥 = 𝐹𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 = −1.29 𝑘𝑁 + 2.6 𝑘𝑁 = 1.31 𝑘𝑁
෍ 𝐹𝑦 = 𝐹𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 = −1.53 𝑘𝑁 − 1.5 𝑘𝑁 = −3.03 𝑘𝑁
Vector Resultante 𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑥 𝑖 + 𝐹𝑅𝑦 𝑗 = 𝟏. 𝟑𝟏 𝒌𝑵𝒊 − 𝟑. 𝟎𝟑 𝒌𝑵𝒋
𝐹𝑅 = (1.31 𝑘𝑁)2 +(−3.03 𝑘𝑁)2
Magnitud 𝑭𝑹 = 𝟑. 𝟑 𝒌𝑵
Dirección: para calcular la dirección del vector resultante (FR) se hace necesario
realizar la grafica del mismo con sus componentes. Tenga en cuenta que FRx es
positiva y graficará hacia la derecha, mientas que, FRy es negativa y graficara hacia
abajo. Luego formamos el rectángulo y trazamos la diagonal que corresponde a la
magnitud de FR.
𝜽
La dirección 𝜃 es igual a 270° mas 𝛽
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝛽 = arctan
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
1.31 𝑘𝑁
𝛽 = arctan = 23.38°
3.03 𝑘𝑁
𝜽 = 270° + 23.38° = 𝟐𝟗𝟑. 𝟑𝟖°

Componentes rectangulares de una fuerza
en 3D
Para el plano tridimensional o el espacio se tienen tres componentes Fx, Fy y Fz, por lo
que 𝐅 = 𝐹𝑥𝒊 + 𝐹𝑦𝒋 + 𝐹𝑧𝒌, estas componentes se calculan multiplicando la norma de F
por un vector unitario o vector de cosenos directores, de tal manera que:
𝐅 = 𝐹𝑥𝒊 + 𝐹𝑦𝒋 + 𝐹𝑧𝒌 𝐹𝑥 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = =
𝐹 𝑑
𝐅 = 𝐹(𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 𝒋 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 𝒌)
𝐹𝑦 𝑑𝑦
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = =
𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 Vector unitario que define la dirección 𝐹 𝑑
𝐹𝑦 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦
𝐹𝑧 𝑑𝑧
𝐹𝑧 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 = =
𝐹 𝑑
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑥 +𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑦 +𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑧 = 1
Al despejar los ángulos con cos-1
obtenemos la dirección del vector
Las imágenes fueron tomadas de: (Mecanica vectorial para ingenieros, Beer and Johnston. 9 edición).
Ejemplo: Problema 2.94
Si se sabe que las tensiones en los cables AB y AC son de 510 lb y de 425 lb respectivamente,
determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos
cables. (Mecanica vectorial para ingenieros, Beer and Johnston. 9 edición).
Solución:
Para darle solución a este ejercicio, debemos

seguir los siguientes pasos:
1. Calcular el vector posición usando para esto

las distancias de A hasta B y desde A hasta C
2. Obtener el vector unitario de cada vector
(posición entre su norma).
3. Multiplicar la norma de cada cable
(tensiones) por el vector unitario
correspondiente.
4. Sumar componente a componente para
obtener el vector resultante.
5. Con el vector unitario de la resultante se
calcula la dirección
Para calcular el vector posición desde A hasta B
debemos desplazarnos desde A, 40 pulgadas
positivas en X; 45 pulgadas negativas en Y; 60
pulgadas positivas en Z, de lo. que se obtiene lo
siguiente.
d=distancia
𝑑𝐴𝐵 = 40 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒊 − 45 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒋 + 60 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒌
𝑑𝐴𝐵 = (40 𝑝𝑢𝑙𝑔 )2 +(−45 𝑝𝑢𝑙𝑔 )2 +(60 𝑝𝑢𝑙𝑔)2
𝑑𝐴𝐵 = 85 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝐵)
40 45 60
Vector unitario 𝑉𝑢𝐴𝐵 = 𝒊− 𝒋+ 𝐤
85 85 85
Para calcular el vector posición desde A hasta B
debemos desplazarnos desde A, 100 pulgadas
positivas en X; 45 pulgadas negativas en Y; 60
pulgadas positivas en Z, de lo. que se obtiene lo
siguiente.
d=distancia
𝑑𝐴𝐶 = 100 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒊 − 45 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒋 + 60 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒌
𝑑𝐴𝐶 = (100 𝑝𝑢𝑙𝑔 )2 +(−45 𝑝𝑢𝑙𝑔 )2 +(60 𝑝𝑢𝑙𝑔)2
𝑑𝐴𝐶 = 125 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒐 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑨𝑩)
100 45 60
Vector unitario 𝑉𝑢𝐴𝐶 = 𝒊− 𝒋+ 𝐤
125 125 125
Componentes rectangulares
Para AB = 510 lb Para AC = 425 lb
40 45 60 100 45 60
𝐹𝐴𝐵 = 510 𝑙𝑏 𝒊− 𝒋+ 𝐤 𝐹𝐴𝐶 = 425 𝑙𝑏 𝒊− 𝒋+ 𝐤
85 85 85 125 125 125
Aplicando la propiedad distributiva Aplicando la propiedad distributiva
𝐹𝐴𝐵 = 240 𝑙𝑏 𝒊 − 270 𝑙𝑏 𝒋 + 360 𝑙𝑏 𝒌 𝐹𝐴𝐶 = 340 𝑙𝑏 𝒊 − 153 𝑙𝑏 𝒋 + 204 𝑙𝑏 𝒌

Para obtener el vector resultante se suman las componentes de ambos
vectores
𝐹𝐴𝐵 = 240 𝑙𝑏 𝒊 − 270 𝑙𝑏 𝒋 + 360 𝑙𝑏 𝒌 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑅

𝐹𝐴𝐶 = 340 𝑙𝑏 𝒊 − 153 𝑙𝑏 𝒋 + 204 𝑙𝑏 𝒌
580 423 564
𝑉𝑢𝐹𝑅 = 𝒊− 𝒋+ 𝐤
912.9 912.9 912.9
𝐹𝑅 = 580 𝑙𝑏 𝒊 − 423 𝑙𝑏 𝒋 + 564 𝑙𝑏 𝒌
580
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 =
Norma de FR 912.9
− 423
𝐹𝑅 = (580 𝑙𝑏)2 +(−423 𝑙𝑏 )2 +(564 𝑙𝑏)2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 =
912.9
𝑭𝑹 = 𝟗𝟏𝟐. 𝟗 𝒍𝒃 564
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 =
912.9
Calculo de la dirección
580 − 423 564

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 =
912.9 912.9 912.9
580 − 423
𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −1 564
912.9 912.9 𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 −1
912.9
𝜽𝒙 = 𝟓𝟎. 𝟓𝟓° 𝜽𝒚 = 𝟏𝟏𝟕. 𝟔°
𝜽𝒛 = 𝟓𝟏. 𝟖𝟒°

Componentes de Una Fuerza en 2 y 3 Dimensiones

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MECÁNICA DE SÓLIDOS

Ing. Carlos Orozco Aguinaga

Universidad de la Costa - CUC

F1x y F1y son negativos por

F1y = 2 kN cos 40° = − 1.53 kN F2y = 3 kN cos 60° = − 1.5 kN

෍ 𝐹𝑥 = 𝐹𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 = −1.29 𝑘𝑁 + 2.6 𝑘𝑁 = 1.31 𝑘𝑁

෍ 𝐹𝑦 = 𝐹𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 = −1.53 𝑘𝑁 − 1.5 𝑘𝑁 = −3.03 𝑘𝑁

Vector Resultante 𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑥 𝑖 + 𝐹𝑅𝑦 𝑗 = 𝟏. 𝟑𝟏 𝒌𝑵𝒊 − 𝟑. 𝟎𝟑 𝒌𝑵𝒋

𝐹𝑅 = (1.31 𝑘𝑁)2 +(−3.03 𝑘𝑁)2

La dirección 𝜃 es igual a 270° mas 𝛽

𝜽 = 270° + 23.38° = 𝟐𝟗𝟑. 𝟑𝟖°

𝐅 = 𝐹𝑥𝒊 + 𝐹𝑦𝒋 + 𝐹𝑧𝒌 𝐹𝑥 𝑑𝑥

Para darle solución a este ejercicio, debemos

1. Calcular el vector posición usando para esto

𝑑𝐴𝐵 = 40 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒊 − 45 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒋 + 60 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒌

𝑑𝐴𝐵 = (40 𝑝𝑢𝑙𝑔 )2 +(−45 𝑝𝑢𝑙𝑔 )2 +(60 𝑝𝑢𝑙𝑔)2

𝑑𝐴𝐵 = 85 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝐵)

𝑑𝐴𝐶 = 100 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒊 − 45 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒋 + 60 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝒌

𝑑𝐴𝐶 = (100 𝑝𝑢𝑙𝑔 )2 +(−45 𝑝𝑢𝑙𝑔 )2 +(60 𝑝𝑢𝑙𝑔)2

𝑑𝐴𝐶 = 125 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒐 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑨𝑩)

Para AB = 510 lb Para AC = 425 lb

Aplicando la propiedad distributiva Aplicando la propiedad distributiva

𝐹𝐴𝐵 = 240 𝑙𝑏 𝒊 − 270 𝑙𝑏 𝒋 + 360 𝑙𝑏 𝒌 𝐹𝐴𝐶 = 340 𝑙𝑏 𝒊 − 153 𝑙𝑏 𝒋 + 204 𝑙𝑏 𝒌

𝐹𝐴𝐵 = 240 𝑙𝑏 𝒊 − 270 𝑙𝑏 𝒋 + 360 𝑙𝑏 𝒌 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑅

580 − 423 564

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