UNIDAD 2 TAREA 3

CALCULO DIFERENCIAL

PRESENTADO POR:
Estudiante 1: YENYFER ASTRID SAMACA COD: 1051210374
Estudiante 2: BIANCA GISELLE CACERES COD
Estudiante 3: KAREN YINETH HERNANDEZ COD:1049620322
Estudiante 4: JENNY ELISBETH PEREZ COD: 52525745
Estudiante 5: SONIA AMPARO VELASQUEZ COD

GRUPO: 100410_712

TUTOR: LUZ MERY RODRIGUEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD
SOGAMOSO
24 de noviembre 2018
 INTRODUCCIÓN

El propósito de este trabajo es con el fin de que los estudiantes analicen la

temática de la unidad 3 de cálculo diferencial y realizar un trabajo individual
y colaborativo, donde cada estudiante selecciona una serie de ejercicios,
dando solución a ejercicios planteados en el curso con el procedimiento
paso a paso de dicha actividad, los conceptos e interpretar sus resultados,
haciendo un uso correcto del editor de ecuaciones de Word y usando las
herramientas informáticas GeoGebra, donde se podrá graficar los
resultados y analizando estas graficas obtenidas estableciendo claramente
tipo de función, rango y dominio, puntos mínimos, máximos y de inflexión.
 ESTUDIANTE 1: YENYFER ASTRID SAMACA

Ejercicio 1: Calcula por L’hopital

¿ x2
lim
x →1 x 2−1

¿ x2 ¿ 12 0
lim = =
x →1 x 2−1 12−1 0

Para encontrar la solución del límite debemos usar la regla de L’Hopital.

Debemos derivar el numerador y el denominador de manera independiente

1 2 1 2
2 2
x 2x 2 x 2
¿x x x x
lim 2 = 2 = 2
=
x →1 x −1 x −1 −1+ x 2 x

Sacando la constante 2 del denominador

2
lim x
x→ 1 x2 1 2 1 2
= . 2 remplando x por 1= . 2 =1
2x 2 x 2 1

Aplicando las reglas de la derivación calcule, las derivadas de las siguientes

funciones:

Ejercicio 2
f ( x )=¿ ¿
f ( x )=¿ ¿
f ' f ' . g−g' . f
()g
=
g2
f ' d
()g
= ¿¿
dx
d
¿
dx

d 2
( x −3 x )=2 x−3
dx
f ( x )=2 ( x 3−x 2−2 ) ( 3 x 2−2 x ) ( x 2−3 x )−(2 x−3)¿ ¿

4 x7 −21 x 6 +26 x 5−13 x 4 +24 x 3−12 x 2−8 x+ 12

f ' ( x )= 2
( x2 −3 x )

Ejercicio 3

f ( x )=x 3 ¿

f ( x )=x 3 ¿

d 3
( x )¿
dx

d 3
( x )=3 x 2
dx

d
(( 5 x +4 x 2 ¿ ¿ ¿ 2 )=2 ( 5 x+ 4 x 2 ) ( 5 x +8 x )
dx

f ' ( x )=3 x 2 ¿

3 x2¿
2 ( 5 x+ 4 x 2 ) ( 5 x +8 x ) x 3=50 x 4 +120 x 5+ 64 x 6

f ' ( x )=75 x 4 +120 x5 + 48 x6 +50 x 4 +120 x 5+ 64 x 6

Simplificando

f ' ( x )=112 x 6 +240 x5 +125 x 4

dy
Ejercicio 4: Calcular la derivada implícita
dx

6 x 2 y +5 y 3 +3 x 2=12−x 2 y
d
6 x 2 y +5 y 3 +3 x2 =12−x 2 y
dx
d
( 6 x 2 y +5 y 3 +3 x 2) = d ( 12−x 2 y )
dx dx

d ( 2 d ( ) 2 d
dx
3 2
6 x y +5 y +3 x =6 2 xy +
)
dx (
y x +15 y 2 ( y ) +6 x
dx )
d
( 12−x 2 y )=−x 2 d ( y ) −2 xy
dx dx
d d d
(
6 2 xy +
dx )
( y ) x2 +15 y 2 ( y ) +6 x=−x 2 ( y )−2 xy
dx dx
2

6 ( 2 xy + y ' x ) +15 y 2 y ' +6 x=−x 2 y ' −2 xy

Despejar
−14 xy −6 x
y' : y'=
7 x2 +15 y 2

Ejercicio 5: Derivadas de orden superior

f ( x )=4 x 3 +3 x + √ x

f ' ' ( x ) =?

f ( x )=4 x 3 +3 x + √ x
1
f ' ( x )=12 x 2+ 3 x +
2 √x
1
f ' ' (x )=24 x− 3
4 x2
3
f ' ' ' ( x)=24− 5
2
8x
Graficar las siguientes funciones en Geogebra de acuerdo con los
lineamientos del contenido “Derivadas en Geogebra”

a . f ( x )=xsenx + cosx

f ' (x )=x cosx

Interpretación: En la grafica realizada de la derivada se observa una función
trigonometrica donde su derivada corta en el punto 0.

b . f ( x )=c ot 2 5 x
f ' ( x )=c ot 2 5
Interpretación: En la grafica de la derivada realizada se observa una función
lineal (-∞, ∞), donde corta con su derivda en el punto (0,0)

Graficas en Geogebra de acuerdo con las indicaciones del contenido

“Derivadas en Geogebra”

a) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x)=( x 2)( x +2)

f ' (x)=3 x 2−4 x

3 x 2−4 x =0

Máximos y mínimos
x (3 x−4 )=0

x 1=0
Punto de inflexión

3 x−4=0 f ' ' ( x ) =6 x+ 4

−4 6 x +4=0
x 2=
3
 −4
x=
6

−2
x 3=
3
 −5 3
b) Una empresa tiene la siguiente función de producción: C= p +5 p2 , donde 𝑃
4
representa el número de horas de trabajo efectuadas por la empresa diariamente, y 𝐶 el
número de kilos obtenidos de un determinado producto industrial.

Calcule el valor de 𝑃 para el cual el producto total es máximo.

p=de horas de trabajo

c=¿ de kilos
−5 3
C= p +5 p2
4
−15 2
c'= p +10 p
4
−30
c' '= p+10
4
Igualamos la primera derivada a cero
−15 2
p +10 p=0
4
10 8
p= =
15 3
4
8
El punto máximo es
3
3 2
−5 8 8 320
C=
4 3 () ()
+5
3
=
27
=11,85

Entonces en este caso se debe trabajar 8/3 de horas en una producción máxima de
11,85 kilogramos.
 ESTUDIANTE 2: BIANCA GISELLE CACERES

ESTUDIANTE 3: KAREN YINETH HERNANDEZ

EJERCICIOS ESTUDIANTE #3

1. lim
√ t−t 2 = 1−1 = 0 la ecuación da una forma indeterminada
t →1 lnt ιn ( 1 ) 0

Para encontrar la solución del límite debemos usar la regla de L’Hopital.

Debemos derivar el numerador y el denominador de manera independiente:
1 1
2
−2 t −2
lim √ t−t =lim
2 √t
=
2
t →1 lnt t→1 1 1
t 1
1 −3
−2=
2 2

2. f ( x )=¿ ¿

¿ ( 3 x 4 +12 ) ¿ ¿

3. x 3+ y 4 + y 3 + x 4 =xy ecuación implícita

 f ' g ( x ) f ' ( x )−f ( x ) g ´ ( x )
Debemos usar la regla derivada del cociente de dos funciones
g
( x ) ()
=
g(x)
2

la regla de la derivada del producto de dos funciones: ( fg )' =f ' ( x ) g ( x )+ f ( x )g´(x)

d n
y la regla: x =nx n−1
dx
d ¿ d
( x ¿ 3+ y 4 + y 3+ x 4)= (xy )¿
dx dx

dy dy dy
3 x 2+ 4 y 3
dx
+3 y 2 + 3 x 3=1 y + x (1)
dx ( )
dx

dy dy dy
4 y3 + 3 y2 + x = y +3 x 2−4 x 3
dx dx dx

dy
( 4 y 3 +3 y 2−x )= y −3 x 2−4 x 2
dx

dy y−3 x 2−4 x 2
dx 4 y 3 +3 y 2−x

4. f ( x )=¿ para resolver la ecuación debemos usar la regla de la derivada del producto de dos funciones
Lo primero es sacar la derivada de f y de g

f ' =2 ( 3 x 2 + x ) ( 6 x )

g' =(3 x2 )

f ' ( x )=¿
Lo siguiente es factorizar el factor común:

f ' ( x )=¿
 f ' ( x )=¿

f ' ( x )=¿

f ' ( x )=(3 x 2 + x)(21 x 4 +3 x 3)

5. f (x)=3 x 3 + x 2+ ∛ (x +1)f ' ' ' ( x)=?

1
f ' ( x )=9 x 2+ 2 x + ¿
3
2
f ' ' ( x )=18 x+ 2− ¿
9
10
f ' ' ' ( x )=18 x+ ¿
27
GRAFICAS ESTUDIANTE #3
GRAFICAS EN GEOGEBRA “DERIVADAS EN
GEOGEBRA”
En la gráfica se observa que la
derivada de la función f(x) nos da
como resultado una parábola, la
recta corta al eje x en el mismo punto
de la función original.
En la grafica podemos comprovar que la derivada de la ecuacion que su punto maximo esta en
(0,0 )y el minimo se encuentra(0.67, -0.15).
  En la grafica podemos ver que tiene un máximo de (0,0) y un mínimo de (2/3,4/27), y sus puntos de inflexión y su
volumen es de 110.592cm^3.

ESTUDIANTE 4 JENNY ELISBETH PEREZ

1.
ln (cos 2 x)
lim
x →0 7 x2
Evalué el limite en el numerador y el denominado.
ln (cos 2 x) 0
lim =
x →0 7 x2 0

Dado que 0/0 tiene forma indeterminada, aplique La regla de l'Hopital. La regla de l'Hopital establece que el límite del
cociente de una función es igual al límite del cociente de las derivadas.
 ln (cos 2 x) d
lim 2
=lim ¿¿¿
x →0 7x x→ 0 dx

Buscamos la derivada del numerador y denominador.

−2 sec ( 2 x ) sen ( 2 x ) 0
lim =
x →0 14 x 0
Dado que 0/0 tiene forma indeterminada, aplique La regla de l'Hopital. La regla de l'Hopital establece que el límite del
cociente de una función es igual al límite del cociente de las derivadas.
−2 sec ( 2 x ) sen ( 2 x ) d /dx (−2 sec ( 2 x ) sen ( 2 x ) )
lim =lim
x →0 14 x x→ 0 d /dx (14 x )
−4 cos (2 x ) sec (2 x)−4 sec (2 x ) sen(2 x) tan(2 x )
lim
x →0 14

Tomo el límite de cada término.

−4 cos(2 lim x ) sec (2 lim x )−4 sec (2 lim x ) sen(2 lim x) tan(2 lim x )
x→ 0 x→ 0 x→ 0 x →0 x→ 0
lim 14
x→ 0

Evalúe los límites evaluando 0 para todas las apariciones de x.

−4 cos(2 . 0) sec (2 .0)−4 sec (2 .0)sen (2 .0)tan(2. 0)
14
Se simplifica y como resultado
−2
7
 2.
( x 2 +2 x+ 6) 4
f ( x )=
x+1
Diferencie usando la regla del cociente
d 2 4 d

f ´ ( x )=
dx
((x +2 x +6) ¿ ¿ 4) ( x+1 )−( x 2+ 2 x +6 )
dx (
( x+ 1 )
¿
)
(x+1)2

Diferencie usando la regla de la cadena

d 2
( x +2 x +6 ) ) ( x +1 )−( x 2 +2 x +6 ) d ( x +1 )
4

f ´ ( x )=
( 4 (x2 +2 x+ 6)¿ ¿3 ( dx ) ( dx ) ¿
2
(x +1)

Diferencie
4
4 ( x+1 ) ( x 2 +2 x +6)3 (2 x+ 2)−( x 2+2 x +6 )
f ´ ( x )=
(x +1)2

Factorice ( x 2+ 2 x +6)3 y simplifique

3 4
( x 2+ 2 x +6 ) ( ( 4 x +4 ) ( 2 x +2 ) )−( x 2+ 2 x +6 )
f ´ ( x )=
(x+1)2

3.
f ( x )=(3 x 2)( x 5−8)2
Dado que 3 es constante lo sacamos de la derivación. Y diferenciamos por la regla del producto.

d d
( dx )
(
3 x2 ( x −8 5
) ) +
2
( x −8 )5
( dx )
x
2 2

Diferencie usando la regla de la cadena

3¿
Diferenciamos
2
3 ( 10 x 2( x5 −8)x 4 ) + ( x5 −8 ) (2 x)

Multiplicamos exponentes
2
3 ( 10 x 6 (x5 −8) ) +2 ( x 5−8 ) x

Simplificamos

f ' ( x )=( 30 x 11 ) −240 x 6 +6 x (x 5−8)2

4.
7 x 3 y 2 +5 y 2 +3 x=x2 + y
Diferenciamos ambos lados de la ecuación.
d d
(7 x 3 y 2+5 y 2 +3 x)= ( x 2+ y)
dx dx
Resolvemos la ecuación en base a la diferenciación
d d d d d
(7 x 3 y 2 ) +(5 y 2) +(3 x ) =( x 2 ) +( y )
dx dx dx dx dx
d d d d d
(7 x 3 y 2 ) +(5 y 2) +(3 x ) =( x 2 ) +( y )
dx dx dx dx dx

d 3 d
3 2
Diferenciamos (7 x y ) con la regla de la cadena 7 x ( y 2) + y 2 d ( x 3 )
(( ) ( ))
dx dx dx

d
3
Por lo tanto 7 x 2 y (( dx )
( y ) + y 2 (( 3 x 2 ) ) )
d d
3
Organizamos 7 2 x y ( dx )(
( y ) +3 x 2 y 2 = 14 x 3 y ( y ) +21 x2 y 2
dx )
( 14 x 3 y ( dxd ( y ))+21 x y )+ 10 y ( dxd ( y ) )+3=2 x +( dxd ( y ) )
2 2

Separamos los términos ( dxd ( y ) )

( 14 x 3 y ( dxd ( y )))+10 y ( dxd ( y ))−( dxd ( y ) )=−21 x y +2 x−3
2 2

Factorizamos ( dxd ( y ) )
( dxd ( y ) )((14 x y )+10 y −1)=−21 x y +2 x−3
3 2 2
( dxd ( y ) )= y '
( y ' )( ( 14 x 3 y )+ 10 y −1)=−21 x 2 y 2+ 2 x−3
2 2
( y ' )= −21 x3 y +2 x−3
( 14 x y ) +10 y−1

5.
f ( x )=5 x 5 + x 4 + √4 x+1
Hallar F’’’(x)
1
Derivamos termino a término y bajamos el exponencial de la raíz √4 x+1=(x +1) 4 si n=1/4
1
4 4
f ( x )= √ x +1=( x+1)
1 −3
−1 1
f ´ ( x )=(x+ 1) 4 = (x+ 1) 4
4
−3
1
( x +1) 4 = 3
4
4( x+1)
1
f ' ( x )=25 x 4 + 4 x 3 + 3
4
4(x +1)
Encuentro la segunda derivada
1
Resolvemos la derivada de 3
4 (x+1) 4
 1
f ' ( x )=
( )
4 ( x +1 )
3
4
d /dx

1 1
f ' ( x )=
4 ( ) ( x +1 )
3
4
d /dx

Subimos el termino con exponente negativo

3 −1
1
f ' ( x )=
4
(
( x +1 ) 4 ) d /dx

Derivamos con regla de la cadena

1
f ' ( x )= ¿
4
1
f ' ( x )= ¿
4
Multiplicar los exponentes
1
f ' ( x )= ¿
4
−3
1 ( ) 3
f ' ( x )=
4
(
−( x +1 ) 2

( 1
4 ( x+1 ) 4 ))
−3

1
f ' ( x )= −
4 (( )
3 ( x +1 ) 2
1
4 ( x+ 1 ) 4
 1 3
f ' ( x )=
4
((
− 1
4 ( x+ 1 ) 4 ( x +1 ) 2
3
))
1 3
f ' ( x )=
4
((
−
4 ( x+ 1 ) 4
7
))
3
f ' ( x )=−
((
4 4 ( x +1 ) 4
7
) )
Añadimos el termino derivado

3
f ' ' ( x )=100 x 3+ 12 x 2− 7
16( x +1) 4
Buscamos la tercera derivada
3
Resolvemos la derivada de 7
16(x +1) 4
3
f ' ( x )= 7
d /dx
4
16(x +1)
7 −1
3
'
f ( x )=
16
(
( x +1 ) 4 ) d /dx

Derivamos por regla de la cadena

 7 −2 7
3
'
f ( x )=
16
(
− ( x +1 ) 4 ) 4
( x +1 ) d /dx

7 −2
3 7 7
'
f ( x )=
16
(
− ( x +1 ) 4 ) ( ( x+1 ) ¿¿ −1)( x +1)d /dx ¿
4 4
3 −7 7 3
f ' ( x )= (−( x+ 1 )¿ ¿ )( ( x +1 ) ¿ ¿ )(1) ¿ ¿
16 2 4 4
−7 3

f ' ( x )=
16 (
3 −7 ( x +1 ) 2 ( x+ 1 ) 4
4 )
−11

f ' ( x )= (
3 −7 ( x +1 )
16 4
4

)
3 −7
f ' ( x )=
16
( 4 ( x +1 )
11
4 )
−21
f ' ( x )=
( 64 ( x +1 )
11
4 )
Derivamos y agregamos el termino derivado de forma aislada

21
f ' ' ' ( x )=300 x 2 +24 x + 11
4
64 ( x+1 )

Graficar las siguientes funciones en GeoGebra de acuerdo con los lineamientos del contenido “Derivadas en GeoGebra”
a) f ( x )=ln ⁡(cos ⁡( x ))
Derivada

b) f ( x )=Sen( ln ( x ) )
Derivada
El punto maximo de la funcion es A (0,0)
El punto minimo de la funcion es D (1.3 ,-1.18)
Ccalcula el area maxima que puede tener un triangulo rectangulo de tal manera que la suma de las longitudes de sus
catetos vale 8cm

x + y=8 cm
y=8−x
xy
AreaTriangulo=
2
x (8−x)
AreaTriangulo=
2

8 x−x 2
AreaTriangulo=
2
( 8−2 x ) 2−0(8 x −x2 )
( AreaTriangulo)'=
2.2
( 8−2 x )
( AreaTriangulo)' =
2
( 8−2 x )
0=
2
0 . 2=( 8−2 x )
0=( 8−2 x )
2 x=8
8
x=
2
x=4

4 + y=8 y=4

4∗4
AreaTriangulo= =8 cm 2
2

ESTUDIANTE 5: SONIA AMPARO VELASQUEZ

 CONCLUSIONES

1-el uso de las herramientas informáticas son claves para facilitarnos el proceso de graficacion de los ejercicios y así
plasmar mejor los resultados
2-La realización del proceso del curso en trabajos colaborativos nos invita a tener mejor cercanía con la temática del
curso y la verificación de procesos matematicos

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
 García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 6 – Razones de Cambio. Pág. 102.
Derivadas Elementales. Pág. 104. Propiedades de la Derivada. Pág. 109-118. Derivación Implícita. Pág.
Derivadas de Orden Superior. Pág. 125. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional.

 Cabrera, J. (2018). Solucuón Ejercicios Derivadas.