SOLUCIONES DE DERIVADAS

Ejercicio nº 2.-

2
Aplicando la definición de derivada, calcula f' ( 1) , siendo f ( x ) = .
x

Solución:

2
−2
f ( 1 + h ) − f (1) +
f ' ( 1) = lim = lim 1 h =
h→0 h h→0 h

2 − 2(1 + h ) 2 − 2 − 2h − 2h
= lim
( 1 + h)
= lim
(1 + h)
= lim
(1 + h)
=
h→0 h h →0 h h →0 h

− 2h −2 −2
= lim = lim = = −2
h→0 ( 1 + h ) h h→0 ( 1 + h ) 1

Ejercicio nº 3.-
2x
f (x) =
Halla, utilizando la definición, la derivada de la función: 3

Solución:

2( x + h ) 2 x
−
f ( x + h) − f ( x ) 3
f ' ( x ) = lim = lim 3 =
h →0 h h → 0 h

2 x + 2h − 2 x 2h
3 2h 2
= lim = lim 3 = lim =
h →0 h h →0 h h →0 3h 3

Ejercicio nº 4.-

Calcula la función derivada de:

a) f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 1  a) f ' ( x ) = 6 x 2 − 2 x
1
b) f ' ( x ) =
b) f ( x ) = lnx x

Ejercicio nº 5.-

Calcula f´(x) en cada caso:

a) f ( x ) =
3x 2 6x ( 2x + 3)− 3x 2 ⋅ 2 12x 2 + 18x − 6x 2 6x 2 + 18x
a ) f ' (x ) = = =
2x + 3  (2x + 3)2 ( 2x + 3)2 (2x + 3)2

b) f ( x ) = 3 x ⋅ sen x  b) f ' ( x ) = x ⋅ sen x

13

1 1
f ' ( x ) = x −2 3 sen x + x 1 3 ⋅ cos x = sen x + 3 x ⋅ cos x
3 3
3 x2

Ejercicio nº 6.-

Calcula la derivada de la función:

1 12 x 2 6x 2
f ' (x) = ⋅ 12 x 2 = =
f (x ) = 4 x 3 + 1 - 2 4x 3 + 1 2 4x 3 + 1 4x 3 + 1

Ejercicio nº 7.-
2
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x + 2x −1 en el punto de abscisa x = 1.

Solución:

• y ' = 2x + 2
• La pendiente de la recta es y ' ( 1) = 4 .
• Cuando x = 1, y = 2
• La recta será:

y = 2 + 4( x − 1) = 2 + 4 x − 4 = 4 x − 2

Ejercicio nº 8.-

Determina los puntos de tangente horizontal de la función:

x3
f (x) =
x +2

Solución:

3 x 2 ( x + 2) − x 3 3x 3 + 6x 2 − x 3 2x 3 + 6 x 2
• f ' ( x) = = =
( x + 2) 2 ( x + 2) 2 ( x + 2) 2
  x = 0 → P u( 0,n0) t o

• f ' ( x ) = 0 ⇒ 2x 3 + 6 x 2 = 0 ⇒ x 2 ( 2x + 6) = 0 
 x = − 3 → P u( − 3n, 2 t) o7

Ejercicio nº 9.-

Estudia dónde crece y dónde decrece la función: f ( x ) = 3 + 12 x − 3 x

2

Solución:

• f ' ( x ) = 12 − 6 x
• Estudiamos el signo de la derivada:

12 − 6 x = 0 ⇒ x=2
12 − 6 x > 0 ⇒ 12 > 6 x ⇒ 6 x < 12 ⇒ x<2
12 − 6 x < 0 ⇒ 12 < 6 x ⇒ 6 x > 12 ⇒ x>2

• La función es creciente en (−∞, 2) y decreciente en (2 +∞) (y tiene un máximo en x = 2).

Ejercicio nº 10.-

Dibuja la gráfica de la función f ( x ) , sabiendo que :

• Su derivada se anula en ( 0, 0 ).
• Solo corta a los ejes en ( 0, 0 ).
• Sus asíntotas son: x = −2, x = 2 e y = 0
• La posición de la curva respecto a las asíntotas es:

• lim− f ( x ) = −∞ ; lim f ( x ) = + ∞; lim f ( x ) = + ∞; lim f ( x ) = −∞

x → −2 x → −2 + x → 2− x → 2+

Solución:
Ejercicio nº 11.-

Dada la gráfica de f(x), di cuáles son sus asíntotas e indica la posición de la curva respecto
a ellas. Halla también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Solución:

• Asíntota vertical: x = 0

Posición de la curva:

lim f ( x ) = −∞ ; lim f ( x ) = + ∞
x → 0− x → 0+

Asíntota horizontal: y = 0

Posición de la curva:

Si
 x →−
∞, y <0


Si x →+
∞, y >0

• La función es decrecient e en ( −∞ , 0) y en ( 0, + ∞) .

Ejercicio nº 12.-

Estudia y representa la función: f ( x ) = x − 2x

4 2
Solución:

• ( )
lim x 4 − 2 x 2 = + ∞;
x→+ ∞
( )
lim x 4 − 2 x 2 = + ∞
x → −∞

• Puntos de corte con los ejes:

x = − 2 → Punto ( − 2 , 0)

Con el eje X → x 4 − 2x 2 = 0 ⇒ (
x2 x2 ) 
−2 = 0  x = 0 → Punto (0, 0)

 x = − 2 → Punto ( − 2, 0)


Con el eje Y → x = 0 → y=0 → Punto (0,0)

• Puntos singulares:
x = −1 → Punto ( −1, −1)

f ' (x ) = 4x 3
(
− 4x = 4x x 2
−1 = 0 ) 
 x = 0 → Punto (0, 0)

 x = 1 → Punto (1, −1)


• Gráfica:

Ejercicio nº 13.-
x2
f (x) =
Estudia y representa la siguiente función: x −2

Solución:

• Dominio = R − {2}

• Puntos de corte con los ejes:

x2
Con el eje X → y=0 → =0 → x=0 → Punto ( 0, 0 )
x−2
 Con el eje Y → x =0 → y =0 → Punto ( 0, 0 )

• Asíntota vertical: x = 2

lim f ( x ) = −∞ ; lim f ( x ) = + ∞
x → 2− x → 2+

Asíntota oblicua:
x2 4
= x +2+ ⇒ y = x + 2 es asíntota oblicua.
x−2 x −2

4
Si x → +∞, >0 ⇒ La curva está por encima de la asíntota.
x −2

4
Si x → −∞ , <0 ⇒ La curva está por debajo de la asíntota.
x −2

• Puntos singulares:

2 x ( x − 2) − x 2 2x 2 − 4x − x 2 x 2 − 4x x ( x − 4)
f ' ( x) = = = =
( x − 2) 2
( x − 2) 2
( x − 2) 2
( x − 2) 2

 x = 0 → P u( 0, n0) t o

f ' ( x ) = 0 ⇒ x( x − 4) = 0 ⇒ 
 x = 4 → P u( 4, n8) t o
• Gráfica:

Ejercicio nº 14.-
x4 −1
f (x) =
Estudia y representa la siguiente función: x
Solución:

• Dominio = R − {0}

• Puntos de corte con los ejes:

x4 −1
Con el eje X → y =0 → =0 → x4 −1= 0 → x = ± 4 1 = ±1
x
→ Puntos ( 1, 0 ) y ( −1, 0 )
Con el eje Y → No corta al eje Y, pues x = 0 no está en el dominio.

• Asíntota vertical: x = 0

lim f ( x ) = + ∞; lim f ( x ) = −∞
x → 0− x ← 0+

Rama parabólica (pues el grado del numerador es tres unidades mayor que el del
denominador).

lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = −∞

x → +∞ x → −∞

• Puntos singulares:

f ' ( x) =
( ) = 4x
4x 3 x − x 4 − 1 4
− x4 +1
=
3x 4 + 1
≠0
x2 x2 x2

No tiene puntos singulares.

• Gráfica:

Ejercicio nº 15.-
x2
f (x) =
Estudia y representa la función: x2 −1
Solución:

• Dominio = R − {−1, 1}

• Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y → x =0 → y =0 → Punto ( 0, 0 )

x2
Con el eje X → y =0 → =0 → x=0 → Punto ( 0, 0 )
x2 −1

• Asíntotas verticales: x = −1, x = 1

lim f ( x ) = + ∞; lim f ( x ) = −∞
x → − 1− x → − 1+

lim f ( x ) = −∞ ; lim f ( x ) = + ∞
x → 1− x → 1+

Asíntota horizontal: y = 1

lim f ( x ) = 1, con y > 1

x → +∞

lim f ( ) = 1, con y > 1

x → −∞

• Puntos singulares: MÁXIMOS, MÍNIMOS,…

f ' ( x) =
( )
2x x 2 − 1 − x 2 ⋅ 2x
=
2x 3 − 2x − 2x 3
=
− 2x
(x 2
−1 ) 2
(x 2
)
−1
2
(x 2
−1 ) 2

f ' ( x) = 0 ⇒ − 2x = 0 → x =0 → Punto ( 0, 0 )

• Gráfica:
Ejercicio nº 16.-

Estudia y representa la siguiente función:

x3
f (x) =
x2 +1

Solución:

• Dominio = R

• Puntos de corte con los ejes:

x3
Con el eje X → y=0 → =0 → x=0 → Punto ( 0, 0 )
x2 + 1
Con el eje Y → x =0 → y =0 → Punto ( 0, 0 )

• Asíntotas verticales: No tiene

Asíntota oblicua:

x3 −x
2
=x+ ⇒ y = x es asíntota oblicua
x +1 x2 +1 .
−x
Si x → +∞, < 0 ⇒ La curva está por debajo de la asíntota.
x +1 2

−x
Si x → −∞ , > 0 ⇒ La curva está por encima de la asíntota.
x +1
2

• Puntos singulares:

f ' ( x) =
( )
3 x 2 ⋅ x 2 + 1 − x 3 ⋅ 2x
=
3 x 4 + 3 x 2 − 2x 4
=
x 4 + 3x 2
=
(
x2 x2 + 3 )
(x 2
+1 ) 2
(x 2
+1 ) 2
(x 2
)
+1
2
(x 2
)
+1
2

f ' ( x) = 0 ⇒ (
x2 x2 + 3 = 0 ) ⇒ x=0 → Punto ( 0, 0 )

• Gráfica:
Ejercicio nº 17.-

Dada la función

x 4 − 2x 2 + 1
f (x) =
x2

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Solución:

• Dominio = R − {0}

• Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X → y =0 → x 4 − 2x 2 +1 = 0

2± 4−4 2
Si x 2 = z → z 2 − 2z + 1 = 0 → z= = =1
2 2
x 2 =1 ⇒ x = ±1 → Puntos ( −1, 0 ) y ( 1, 0 )

Con el eje Y → No corta el eje Y porque x = 0, no está en el dominio.

• Asíntota vertical: x = 0

lim f ( x ) = + ∞; lim f ( x ) = + ∞
x → 0− x → 0+

Rama parabólica (pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del
denominador).

lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = +∞

x → +∞ x → −∞

• Puntos singulares:

f ' (x) =
( )
3 x 2 x 2 + 2 x + 1 − x 3 ( 2 x + 2)
=
3 x 4 + 6 x 3 + 3 x 2 − 2x 4 − 2x 3
=
(x 2
+ 2x + 1 ) 2
(x 2
+ 2x + 1 ) 2

=
x 4 + 4x 3 + 3x 2
=
(
x 2 x 2 + 4x + 3 )
(x 2
+ 2x + 1 ) 2
(x 2
+ 2x + 1 ) 2

f ' (x) = 0 ⇒ (
2 x 4 −1 = 0 ) ⇒ x4 =1 ⇒ x = ± 4 1 = ±1 → Puntos ( − 1, 0 ) y ( 1, 0 )

• Gráfica: