Potencia y Radicación

-Elementos
-Propiedades
Potenciación
 Potenciación y elementos
La potenciación es la operación en el cual un número se multiplica
tantas veces por si mismo, como indica el exponente.

Los elementos de la potenciación se corresponden de la siguiente

manera.
Exponente

Base 𝑎𝑛 = 𝑝 Potencia
 Potenciación y elementos
Ejemplo:
34 = 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 = 𝟖𝟏
3 = Base
4 = Exponente
3x3=9 81= Potencia

9 x 3=27

27x 3=81

Se lee “tres elevado a cuatro es ochenta y uno”

1.) 5 = 5  5  5 = 125
3
(3 factores)

( −2) = ( −2 )( −2 )( −2 )( −2 )( −2 )
5
2.) = −32
(5 factores)

3.) 1 = 111 ... 1 = 1

20
(20 factores)

 −3   −3  −3 
2
9
4.)   =    = (2 factores)
 4   4  4  16
 Consideraciones Especiales
Base Exponente Signo del Ejemplo
resultado
Par Positiva 34 = 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 = 𝟖𝟏
Positiva
Impar Positiva 23 = 2 𝑥 2 𝑥 2 = 𝟖

Par Positiva (−3)4 = −3 𝑥 − 3 𝑥 − 3 𝑥 − 3 = 𝟖𝟏

Negativa
Impar Negativa (−2)3 = −2 𝑥 − 2 𝑥 − 2 = −𝟖

Recordar la regla de los signos que establece que – x – = +

 Consideraciones Especiales
Un signo negativo que precede directamente a una expresión que está
elevada a una potencia tiene el efecto de hacer negativa a toda la
expresión. Entonces,

−x 2
significa − ( x  x)
y no ( − x )( − x )

(−x)
2
siempre será una cantidad positiva mientras que

−x 2 siempre será una cantidad negativa.

Propiedades de la Potenciación
 1. Producto de Potencias con bases iguales

2. Cociente de Potencias con bases iguales

3. Potencia de Potencia

4. Exponente 0

5. Producto de Potencias con exponentes iguales

6. Potencias con exponente negativo

7. Potencias con exponente negativo

 1. Propiedades de la Potencia
Producto de Potencias con bases iguales

 Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su

resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la
suma de las potencias de los factores.

( a )( a ) = a
m n m+ n

 En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales

de la misma base, se conserva la base común y se suman los
exponentes.
 Propiedades de la Potencia
Producto de Potencias con bases iguales
Ejemplos
3+5
1)
x x = x
3 5
=x 8

2) 3 3 = 3
2 4 2+ 4 =36

= ( 3a )
7
( 3a )  ( 3a ) = (3a )
2 5 2+5
3)
 2.Propiedades de la Potencia
Cociente de Potencias con bases iguales

 Cuando se dividen dos potencias de la misma base, su

cociente es la misma base elevada a una potencia igual a
la diferencia entre la potencia del dividendo y la del
divisor.
m
a m−n
n
= a
a
 Es decir, para dividir expresiones exponenciales de la
misma base, se conserva la base común y se resta al
exponente del dividendo el exponente del divisor.
 Propiedades de la Potencia
Cociente de Potencias con bases iguales
Ejemplos
7
x
1.) 4
=x 7−4
=x 3

x
2 −7 −5 1
2.) 5 5 = 5
2 7
=5 = 5
5

−3 + 4
3.) −3
a a = a −4 −3 − ( −4) =a =a
1
=a
 3.Propiedades de la Potencia
Potencia de Potencia

 Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia,

el resultado es un término de la misma base con un exponente
igual al producto de las dos potencias.

(a )
m n
=a m n

 Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base a

otra potencia, se conserva la base y se multiplican los dos
exponentes.
 Propiedades de la Potencia
Potencia de Potencia
Ejemplos

(2 ) =2 = 64
2 6
1.) 3
=2 3 2

2.) (x ) −3 3
=x ( −3)( 3)
=x −9 =
1
x9

(5 )
−6
= 5(
−2 −2 )( −6 )
3.) = 5 = 244,140, 625
12
 4.Propiedades de la Potencia
Exponente 0

 Si a es cualquier número distinto de cero, entonces:

a =10
 Propiedades de la Potencia
Exponente 0
Ejemplos

1.) m0 = 1

2.) - 23,986 0 = 1

3.) 3 =1
0
 5. Propiedades de la Potencia
Producto de Potencias con exponentes iguales

 Cuando un producto de dos o más factores se eleva, todo a la

vez, a una potencia, el resultado es el mismo producto pero
con cada factor elevado a la potencia dada.

( ab ) =a b
m m m
 5. Propiedades de la Potencia
Ejemplos Producto de Potencias con exponentes iguales

1.) Para elevar el producto 3xy

( 3xy )
4
a la cuarta potencia, es decir para obtener
se eleva a la cuarta potencia cada uno de
los factores y se tiene

( 3xy ) =3 x
4 4 4 4
y = 81x y 4 4
6. Propiedades de la Potencia
Potencias con exponente negativo

 Para cualquier número real, a, distinto de cero, y cualquier

número natural m:

 Cuando tenemos una cantidad con exponete negativo en

el numerador, para ponerlo positivo el exponente pasamos
la cantidad al denominador y viceversa, si la cantidad con
exponente negativo se encuentra en el denominador.

−m 1 𝑎 𝑏𝑚
a = m =
a 𝑏−𝑚 𝑎
 Propiedades de la Potencia
Ejemplos
1 1 1
1.) −3
2 = 3 =
222
=
2 8
1
−4
2.) x = 4
x
3 42 16
𝟑. ) −2
= =
4 3 3
Radicación
 Radicación
 La radicación es la operación inversa de la potenciación.
 Al símbolo que sirve para indicar una raíz, se le llama signo
radical.
 El número o expresión dentro del signo radical es el radicando y al
número que sirve para indicar la raíz se le llama índice.

Signo radical

Raiz

r
m
índice
n =

radicando
 Radicación
En la notación de radicales debemos considerar lo siguiente:

significa que x= n n=x 2

significa que y =
3
n n= y 3

y, en general,

a= b m significa que
b=a m
1.) En la expresión 3 8 el radicando es 8 y el índice es 3.

3
88==23 3
significa 8=2 3

que
2.) En la expresión 4 el radicando es 81 y el índice
81 es 4.

3 = 4 81 significa que 34 = 81
.

el radicando es 49 y el índice, que en este

3.) En la expresión 49 caso no se escribe, es 2.

49 = 7 significa que 49 = 7 2
 Propiedades de la Radicación
1 4. Multiplicación
n
a =a n 1. Escribir signo radical como
exponente fraccionario
n m
a= nm
a de índices con
igual radicando

5. Distribución de
m
a a=
n mn
a n+m 2. Multiplicación de raíces con igual
radicando
m
ab = a b
m m
radicando con
igual índice

m
a mn n − m
n
= a 3. Cociente de raíces con igual
radicando
a
 1. Radicación
Escribir signo radical como exponente fraccionario

Si n  0 , se define: 1
n
a =a n

De este modo, una base elevada a un exponente

fraccionario en el que el numerador es 1, es
equivalente a una expresión en notación radical,
en la que la base es el radicando y el
denominador del exponente es el índice.
 Radicación
Escribir signo radical como exponente fraccionario

1.) 1
32= 3

1
2.) x 5
= x
5

3.) 1
4
a =a 4
 2. Radicación
Multiplicación de raíces con igual radicando

 Para el caso de los radicales es necesario tener en cuenta que el

índice del radical es el denominador de un exponente fraccionario.
Por ello, las leyes de exponentes cuando se enuncian y escriben para
la notación radical son: ,

 Cuando se multiplican dos raíces del mismo radicando, su resultado

es una raíz con el índice igual al producto de los índices de los
factores, y el mismo radicando elevado a la suma de los índices
originales.

n+m 12
m
a a=
n mn
a 3
𝑥 4
𝑥= 𝑥7
 3. Radicación
Multiplicación de raíces con igual radicando

Cuando se dividen dos raíces del mismo radicando, su

cociente es una raíz con el índice igual al producto de
los índices de los factores, y el mismo radicando
elevado a la diferencia del índice del divisor menos el
del dividendo.
m
a mn n − m 3
𝑚
n
= a =
15
𝑚2
a 5
𝑚
 4. Radicación
Multiplicación de índices con igual radicando

 Cuando a una raíz de un radicando se le toma otra raíz, su resultado

es una raíz del mismo radicando y un índice igual al producto de los
dos índices de los radicales aplicados.

5
n m
a= nm
a 𝑥= 10
𝑥

 Cuando se toma una raíz de un producto de uno o más factores, su

resultado es el producto de las raíces de cada factor.

m
ab = m a m b 9𝑥 = 9 𝑥
 5. Radicación
Distribución de radicando con igual índice

 Cuando se toma una raíz de un cociente, su resultado es el

cociente de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor.

m 3
a a 3 1 1 1
m =n 8
= 3 =
8 2
b a
Muchas Gracias!!!