Teorema de Residuo
Teorema de Residuo
Teorema de Residuo
TRABAJO DE MATEMATICAS
PARALELO: Sptimo
FECHA: 13/09/2012
1.- Usar la divisin sinttica y el teorema del residuo en cada uno de los siguientes casos para:
a) Encontrar P(2) si P(x) =
2 -5 7 -7
4 -2 10
2 -1 5 3
P(2)=3
b) Encontrar P(-7) si P(x) =
1 5 -13 0 -30 -7
-7 14 -7 49
1 -2 1 -7 19
P(-7)=19
c) Encontrar P(3) si P(x) =
1 0 -10 0 7 6
3
9 -3 -9 -6
1 3 -1 -3 -2 0
P(3)=0
2.- Determine el valor de
3.- En cada uno de los siguientes casos dividir P(x) por Q(x) y utilizando dicho resultado , factorizar
P(x).
( )
a) P(x) =
P(x)= (x +5)(x-1)
( )
b) P(x) =
( )
)(
)
( )
c) P(x) =
( )
)(
( )
)(
( )
)(
)
)(
)] [
( )
( )
)]
Hallar P(x).
5.- Determinar un polinomio P(x) de cuarto grado que tiene dos races reales: -3 y 1/2 y tal que
P(1) = 20, P(5) = 1080 y P(O) = 6
a
c
- 3b+9a
- 3c+9b-27
b-3a
c-3b+9
d-3c+9b-27
- a
b+ a
- a
e-3d+9c-27b+81a
b+ a
a+b
a+b
a+b+c
a+b+c+d
5a
25a+b+c
-3
1/2
-3d+9c-27b+81a
-3a
5a+b
a+b+c+d
a+b+c+d+e
a+b+c+d+e
5c+125a+25b
c+25+5b
d+5c+125a+5b
5d+25c+625a+125b
e+5d+25c+625+125b
e
0
e
6.- En cada uno de los siguientes casos determinar el valor de m para que el polinomio P(x) sea
divisible por Q(x).
( )
a) P(x) =
( )
b) P(x) =
7.- En cada uno de los siguientes casos escoja el nmero real k para que el nmero real a sea una
raz del polinomio P(x). Adems factorice P(x) en la forma Q(x) (x a).
a) P(x) = 2
( )
)(
)(
b) P(x) = 3
K=2
( )
c) P(x) = k
K=4
( )
)(
d) P(x) = 2
K=9
( )
)(
8.- Determinar a y b para que el polinomio P(x) sea divisible por Q(x).
( )
a) P(x) =
(
(
)
((
))
( )
b) P(x) =
(
(
a=8,
)
)
b=-24
para que a y b sean dos races del polinomio P(x). Factorice luego P(x)
a) P(x) =
1
2
-27+9k=0
( )
)(
b) P(x) =
-2-2k=0
K=-1
( )
)(
)(
-2
-6
-9
3m-27
-3
m-9
n+3m-27
-2
-6
-1
-m-3
-n+m+3
n-m-3
k-n+m+3
-3
-3
m+3
3n+9m-81
k+ 3n+9m-81
k
-1
-2
-6
-1
-7
m-7
m-7
n+m-7
-1
-7
k
n+m-7
k+n+m-7
1
2
3
4
5
4
1
m=8
k = -6
n=5
11.- Demostrar que el nmero real t es una raz del polinomio P(x) =
(
)
. Cules son los otros ceros de esta funcin?.
1
-3-t
2+3t
-2t
-3t
2t
-3
)(
)(
)
)(
2a
4a
8a+2b
2a
4a+b
8a+2b+c
c
1/3
-2a
4a
- 8a-2b
-2a
4a+b
- 8a-2b+c
1
2
2c = 4
C=2
1
-2
13.- El polinomio P(x), al dividirlo por (x -2) da de resto 6. Adems P(-1) = -3 y el resto al dividirlo
por (x-1) es -5.
( )
a
2a
2b+4a
b+2a
4a+2b+c
-a
a-b
-a+b
a+b
a+b
1
2
3
( )
-1
a-b+c
a+b+c
14.- Pruebe que todos los polinomios de segundo grado que admiten a 3 y -4 como races son de
), donde a es un nmero real no nulo.
la forma P(x) = (
15.- Dado el polinomio P(x) = (
(
) (
).
)(
)
16.- Mostrar que el polinomio P(x) = (
)(
) ( ) donde Q(x) es un polinomio 2n -4 .
= x(
17.- Probar que para que un polinomio de grado n sea el polinomio nulo, es necesario y suficiente
que se tenga n+1 ceros distintos.
18.- Sean P(x) y Q(x) polinomios de grados m y n respectivamente . Si a es una raz de P y Q ,
muestre que P(x) + Q(x) es divisible por (x-a) y recprocamente.
19.- Los polinomios P(x) y Q(x) de grado 3 tienen una sola raz real. Si P(x) = (x-2) f(x) y Q(x) = (x-2)
g(x), donde f y g son polinomios de grado 2 tales que f(2) = 5 y g(2) = 15 y si P(O) =-2, Q(O) = -10,
P(1) = -2 y Q(1) = -8, Halle r(x) = P(x) + Q(x).
20.- Un polinomio P(x) de grado 3 es tal que P(x) =
( )
. /
y P(O) = 2.
)(
1-3+2=0
Tiene como raz (x-1)
22.- Muestre que un polinomio es factorizable por x+1 , si y solamente si la suma de los
coeficientes de sus trminos de grados pares es igual a la suma de los coeficientes de sus
trminos de grados impares.
(
4+1=5
Tiene como raz x+1
)(
23.- Encontrar todos los ceros racionales para cada polinomio P(x):
a) P(x) =
3
-11
-10
-4
-5
-2
3
( )
)(
( )
)(
)
)(
X = 2 o x =-1/3
b) P(x) =
2
-5
-2
15
-3
12
-15
-8
10
( )
/(
( )
/(
-3/2
)
)(
X = 3/2 o x = 5 o x= 4
c) P(x) =
1
-2
-2
-8
-4
-2
1
( )
1
)(
)
-2
-2
-4
-2
-2
( )
)(
)(
( )
)(
)(
X = 2 o x =-2
d) P(x) =
1
-16
25
45
225
45
1
( )
1
( )
)(
9
45
-5
-45
-225
)(
)(
-5
X = 5 o x =-5
24.- Determine las races de los siguientes polinomios:
a)
2
-3
-3
+3
-2
2
( )
( )
/(
( )
/(
-3/2
/(
)
)
X = 0 o x =-3/2
b)
5
-2
-8
-3
-3
-3
-5
-5
-3/5
( )
/(
-5
-5
-5
0
( )
-5
/(
X = -3/5
-1
)(
o x =-1
c)
1
-2
1
( )
)(
X = 1
d)
e)
1
-4
-3
18
-3
18
-1
-6
( )
)(
( )
)(
)
)(
X = 3 o x =-3 o x =-2
f)
(
(
X = 1
)(
)(
)
)(
x = -1
g)
1
-2
-10
10
1
( )
)(
72
-72
-36
-2
-10
-36
-36
-2
-2
-5
-10
-9
30
-46
33
-18
36
-30
-6
12
-10
h)
1
( )
( )
)(
12
-10
-5
-3
-5
-3
X=1 o
)(
-6
-9
)(
x =3
)(
)(
)(
)(
)
)
-
x-3
x-2
X+1
x-2
x-3
X^2 +1
(
(
)(
)(
)(
)(
-1
+
-
)
)
2
+
+
+
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Sol: ]- ,-1]
b)
(
(
)(
)(
)
)(
)
-
x-4
x-1
x-1
X+1
X^2 +1
(
(
)(
)(
+
+
)
)(
-1
1
+
+
-
4
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
Sol:]-1,+4]-{1}
c)
)(
)(
(
)(
)(
)
)
-
(
(
)
)
)
(
(
)(
(
)
)
)(
)(
)
)
-1
+
+
+
+
2
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
d)
)(
(
)(
(
-
x-1
X+1
2-x
2+x
x-3
X+3
2x-1
2x+1
2x-3
2x+3
-
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
-3
-2
-3/2
+
,
+
+
+
-
)(
)
+
+
+
,
-1
-1/2
+
+
+
+
+
,
1/2
+
+
+
+
+
-
1
+
+
+
+
+
+
+
3/2
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.- Determinar el dominio de definicin de cada una de las funciones racionales que se indican a
continuacion:
(
( )
a)
) (
Domf(x): R-{3,1}
( )
b)
)(
Domf(x): R - {3,-3/2}
( )
c)
Domf(t): R-{3}
( )
d)
(
( )
( )
e)
( )
( )
f)
DomF(y)=R
( )
g)
( )
( )
( )
)
(
(
(
)(
)(
)
)
)(
( )
(
b) ( )
( )
( )
( )
( )
)(
(
(
)
)
(
( )
,(
)(
) -,(
-,
(
(
(
)
(
(
)(
)(
)
)
)(
(
)
)(
)(
)(
)(
)
)
e) ( )
[
)
, (
)]
)-
, (
)-
) -
)
)
-,
( )
f) ( )
)
)
d) ( )
( )
) (
( )
( )
)(
c) ( )
)(
3.- Completar:
a)
b)
c)
)(
)(
)(
d)
)(
) (
) (
) (
b)
(
)(
(
)(
)(
)(
c)
(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)
)
(
b)
(
(
)
) (
)(
) (
)(
)(
(
(
)(
) (
)
)
(
(
)
) (
c)
(
(
) (
) (
)(
) (
)(
)(
)
(
) (
)(
) (
)
)(
d)
(
(
)
) (
(
(
)(
) (
)
)
))
((
(
) (
)(
)(
(
(
)
)
)(
b)
(
(
)(
)(
(
)
)
)
c) .
x/a
d)
)(
(
)
)
)(
(
)
)
e)
(
)(
)(
(
(
)(
)(
)(
)(
f) 0
(
(
)(
(
) (
) (
)(
)
g) ) 0
)(
)(
10
h)
)
(
)(
) (
)
)
1/2
.
i)
(
(
(
)(
)(
(
(
(
)(
) (
)
)
)
)
)
+
) .
j) (
)(
)
))(
a)
b)
c) (
)(
)
7.- Simplificar:
d)
1
e) 1+
1+
1+
)(
).
).
Escribir bajo la forma ms simple posible f(x) g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x). Precisar adems para que
valores de x esos nmeros existe.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)(
(
)(
)(
( )
*
( )
)(
(
)
)(
)(
)(
)(
).
)(
/(
( )
( )
)(
(
(
( )
( )
( )
( )
( )
).
)(
/ .
)
)
*
( )
)
)(
)(
)(
( ) ( )
( )
( )
( )
/(
X
1/2x
Sol: ]0,+ [
+
+
b)
)(
-
X
x-1
X+1
X+2
)(
-2
+
-1
+
-
0
+
+
+
1
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
)(
)(
)
)
-
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)(
)(
)
)
-3
+
-2
+
-
2
+
+
+
Sol:]-3,-2,[ U ]2,3[
3
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
d)
(
(
)(
)(
)
)
-
+
+
+
(
(
(
-1
)
)(
)(
)
)
1
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
)(
)(
)
(
f)
) (
)(
)(
) (
) (
)(
)(
)(
)
)
)(