2-4 Covectores PDF

Relatividad
Covectores
Ya tenemos definidos al espacio-tiempo como una variedad diferencial y a los vectores vivien-
do en ahı́, pareciera que estamos listos para empezar a hacer fı́sica. Sin embargo, aún nos falta
definir a otros objetos antes de poder proseguir. En particular los siguientes objetos matemáticos
parecerán completamente innecesarios al inicio, pero son cruciales para nuestro formalismo.
De sus cursos de cálculo recordarán que si tienen una función f , su gradiente es el vector
∇f = ∂x f x̂ + ∂y f ŷ + ∂z f ẑ, (1)
que con lo que sabemos ahora de de vectores, se escribirı́a
∇f = ∂x f ∂x + ∂y f ∂y + ∂z f ∂z . (2)
¿Es esto correcto? El gradiente de una función no nos servı́a para derivar funciones, que es
nuestra definición actual de un vector. El gradiente ya es la derivada de una función, una muy
útil: dado un vector
~v = v x x̂ + v y ŷ + v z ẑ, (3)
el gradiente de f nos decı́a cómo cambiaba la función en esa dirección mediante la cantidad
∇f · v = (v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z )f
(4)
= v(f ).
Más bien parece que el gradiente no es un vector, sino un objeto que se alimenta de vectores
y arroja funciones de forma lineal. Esto motiva a definir a un covector ω como un mapeo de
vectores en funciones, tal que si v y u son vectores y g una función, se cumple que
1. ω(v + u) = ω(v) + ω(u)
2. ω(gv) = gω(v)
Definiendo la suma y producto por escalares de forma natural
(ω + µ)(v) = ω(v) + µ(v), (5)
(f ω) = f ω(v), (6)
con ω y µ covectores, se puede demostrar que éstos forman un espacio vectorial de dimensión d,
la misma que la de los vectores y la variedad. En el lenguaje de álgebra lineal, el espacio de los
covectores es el espacio dual a los vectores.
Todo esto suena suficientemente abstracto como para no ser útil. Igual que hicimos con los
vectores, veamos cómo operar con estos objetos si usamos coordenadas. Empecemos por escribir
al gradiente ∇f como un covector (esa fue nuestra motivación después de todo). Denotaremos
a este covector como df , definido de forma operacional como el covector que a todo vector v lo
manda a la función
df (v) = v(f ). (7)
1
La notación no es casualidad, pues esto sı́ calcula la ”diferencial”de la función f , formalmente se
conoce como derivada exterior. A los covectores también se les conoce como formas diferen-
ciales. Nosotros no abundaremos más sobre esto en el curso, pero pueden revisar la bibliografı́a
si les interesa.
Volviendo a lo que nos ocupa, esta nueva definición nos permite escribir una base para los
covectores. Usaremos la base coordenada {dxµ }, cuya acción sobre cualquier vector es
dxµ (v) = v(xµ ). (8)
En el lenguaje de álgebra lineal, se dice que {dxµ } y {∂ν } son bases duales pues cumplen con
dxµ (∂ν ) = ∂ν xµ = δ µ ν . (9)
Se puede demostrar que {dxµ } son linealmente independientes y que generan al espacio, de
modo que forman una base. Cualquier covector se puede escribir ası́ como una combinación
lineal (noten la posición de los ı́ndices)
ω = ωµ dxµ . (10)
En términos de sus compenentes, un vector y un covector no parecen objetos diferentes
Un vector son d-componentes.
Un covector son d-componentes.
La única diferencia parece ser estética: las primeras tienen su ı́ndice arriba y las segundas abajo.
Esto no es casualidad. La notación es consistente con el cómo transforman dichas componentes
ante un cambio de coordenadas. Recuerden que para los vectores
∂x0ν 0
∂µ = ∂ covariante, (11)
∂xµ ν
∂xµ 0ν
vµ = v contravariante. (12)
∂x0ν
Los covectores y sus componentes obedecen estas reglas. Vamos a probar eso.
Tomemos dos sistemas coordenados arbitrarios, y construyamos las bases de covectores {dxµ }
y {dx0ν }. Como ambas son bases, en particular se puede escribir a cada elemento de una como
una combinación lineal de la otra, es decir
dxµ = T µ ν dx0ν . (13)
Nuestro objetivo es determinar T µ ν . Para eso evaluamos la expresión (13) en el vector ∂α0 . Del
lado derecho tenemos
T µ ν dx0ν (∂α0 ) = T µ ν δ ν α
(14)
= T µα.
Para evaluar el lado izquierdo usamos que
∂xβ
∂α0 = ∂β , (15)
∂x0α
2
con lo que
∂xβ

dx µ
(∂α0 ) = dx µ
∂β
∂x0α
∂xβ µ
= dx (∂β )
∂x0α (16)
∂xβ µ
= δ β
∂x0α
∂xµ
= .
∂x0α
Dado que la igualdad en (13) debe ser válida al evaluarse en cualquier vector, de esto concluı́mos
que
∂xµ
T µα = , (17)
∂x0α
y nuestra regla de transformación finalmente queda como
∂xµ 0ν
dxµ = dx , (18)
∂x0ν
es decir, los covectores son objetos contravariantes (cumplen (12)). Con un cálculo similar pueden
demostrar que las componentes de covectores son covariantes
∂x0ν 0
ωµ = ω . (19)
∂xµ ν
Estas reglas de transformación son la diferencia entre vectores y covectores en términos

de sus componentes. En la literatura pueden llegar a encontrar dichas reglas de transformación
como las definiciones de vectores y covectores. Para nosotros son consecuencia de sus definiciones
operacionales.
Además, la definición operacional nos permite introducir de manera más natural al protago-
nista de nuestra historia: la métrica.

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que con lo que sabemos ahora de de vectores, se escribirı́a

(ω + µ)(v) = ω(v) + µ(v), (5)

dxµ (v) = v(xµ ). (8)

dxµ (∂ν ) = ∂ν xµ = δ µ ν . (9)

En términos de sus compenentes, un vector y un covector no parecen objetos diferentes

Un vector son d-componentes.

Un covector son d-componentes.

dxµ = T µ ν dx0ν . (13)

Para evaluar el lado izquierdo usamos que

Estas reglas de transformación son la diferencia entre vectores y covectores en términos

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