0.2. Análisis Gráfico

No
LABORATORIO DE MECÁNICA
0.2 ANÁLISIS GRÁFICO
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA Y GEOLOGÍA UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Objetivos
1. Aprender a identificar las variables que intervienen en un experimento de

física. Así mismo relacionar las variables representadas mediante una
función matemática.
2. Aprender a elaborar correctamente gráficas en papel milimetrado, a fin de
facilitar la interpretación y cálculo de las constantes físicas de interés.
3. Linealizar el comportamiento de las gráficas para facilitar el estudio de las
constantes físicas de interés, a partir de la obtención de la pendiente y
término independiente producto de la linealización.
Esquema del laboratorio y Materiales
Equipo requerido Cantidad Observaciones

Papel milimetrado. 4
Escuadras. 2 Suministrados por el estudiante
Calculadora 1
Marco teórico
ANÁLISIS GRÁFICO
En física es muy importante, además de predecir el error que tiene una medición,
formular la ley que rige el fenómeno en estudio, o sea, que las experiencias
realizadas permitan determinar la tendencia o relación entre las variables que
influyen en el evento estudiado. Estas leyes físicas expresadas en forma
matemática es lo que constituye una “relación funcional”.
Uno de los objetivos del experimentador es tratar de expresar la relación entre las
diferentes variables en su experimento en la forma de una ecuación matemática.
Así, cuando una cantidad se relaciona con otra por medio de alguna ecuación, se
dice que una de las cantidades es función de la otra. Si la variable observable “𝑦”
está relacionada con la variable “𝑥”, se dice que 𝑦 es una función de 𝑥.
Generalmente, esta relación se escribe, en notación abreviada, como 𝑦 = 𝑓(𝑥) la
cual se lee: “𝑦 es una función de 𝑥”. Cuando los valores de 𝑦 dependen de los de
𝑥, la variable 𝑦 se denomina variable dependiente y 𝑥 es la variable independiente.
ANÁLISIS GRÁFICO
La tarea que nos ocupa ahora es analizar las diferentes formas que puede adoptar
la función 𝑓(𝑥) obtenida a partir de una serie de datos experimentales.
Una de las mejores maneras de llegar al tipo de dependencia funcional que existe
entre dos variables, es dibujar una gráfica de las variables en un sistema
cartesiano de coordenadas. Así los valores experimentales de la variable
independiente se marcan en el eje horizontal (abscisa) y la variable dependiente
se marca sobre el eje vertical (ordenada). Después de analizar si la tendencia de
los puntos en el gráfico se ajusta a una línea recta o a una curva, se puede
determinar la naturaleza de la función que relaciona las variables, especialmente
si esta función tiene una forma sencilla.
Uno de los requisitos más importantes del gráfico, es la elección de escalas para
los dos ejes de coordenadas. Debe tenerse presente que el gráfico de datos de
laboratorio carece de significado, si no se identifica cada eje con la cantidad
medida y las unidades utilizadas para medir. A continuación, se presentan algunas
sugerencias para la elaboración de gráficas:
• Poner un título al gráfico que sea conciso y claro. Ejemplo: distancia vs.
tiempo (ó "𝑥 𝑣𝑠. 𝑡”). Para la realización del grafico use, papel milimetrado.
• Seleccionar una escala que facilite la representación y la lectura. Se deben
elegir escalas que puedan subdividirse fácilmente. No es necesario
representar ambas cantidades en la misma escala, ni que comience en cero.
• Representar todos los datos observados. Demarcar claramente los puntos
experimentales con un punto dentro de un pequeño círculo, o dentro de un
triángulo, o algún otro símbolo semejante.
• Unir el mayor número de puntos con una curva suave, de modo que aquellos
que queden por fuera de la curva queden igualmente repartidos por encima y
por debajo. Si el gráfico no es una recta, puede utilizarse para el trazado una
plantilla especial llamada curvígrafo.
• Un gráfico quedará más claro y adquirirá una mejor presentación si se hace
uso de carteles interiores al gráfico, con información complementaria relevante
para entender en qué contexto se muestran los datos o sobre las condiciones
experimentales particulares bajo las que se los han obtenido.
En el análisis de un problema de física se puede partir de la teoría que predice una
cierta ley física la cual se expresa con una ecuación cuya forma matemática nos
guiará al analizar la forma del gráfico. La función matemática más simple es la
línea recta y es por ello que tiene gran importancia en el análisis de datos
experimentales. Por lo tanto, es útil linealizar la curva cuando ésta no sea una
recta. Y determinando la pendiente y la intersección con el eje “𝑦”, se puede
deducir valores numéricos de la pendiente y el termino independiente.
A continuación, se muestran las funciones más comunes con la respectiva

ecuación que la define y la manera de obtener la pendiente. (Para los casos
potencial y exponencial, se muestra como linealizar para obtener la pendiente
fácilmente).
2
ANÁLISIS GRÁFICO
FUNCIÓN LINEAL (𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 )
Toda ecuación que este dada de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (donde 𝑎 y 𝑏 son constantes)
representa una recta, lo cual se puede verificar si se asignan valores a las
constantes “𝑎 ” y “𝑏” y se realiza una asignación de valores a “𝑥”. Un ejemplo de
una ecuación que está dada de esta forma es la expresión de la velocidad en el
caso del lanzamiento vertical hacia abajo:
Como se puede notar la ecuación para la velocidad cumple con la forma de una
función lineal. En toda ecuación de la forma y = ax + b, “a” representa la pendiente
de la recta, luego para el caso de la velocidad, la pendiente estaría representada
por el valor de la gravedad (g). Este valor de la pendiente para la ecuación de la
recta y = ax + b se puede calcular de la siguiente manera:
∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1
𝑎 = = (0.2,1)
∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1
FUNCIÓN POTENCIAL ( 𝒚 = 𝒄𝒙𝒏 )
Toda ecuación que está dada de la forma y = cx n (donde c y n son constantes)
representa una función potencial, la cual se puede linealizar aplicando logaritmo a
ambos lados de la igualdad de la siguiente manera:
Al aplicar logaritmo a los términos que definen la función potencial cumpliendo la

ecuación presentada, se puede obtener una representación lineal (ecuación de la
recta). Luego de convertir función potencial a una forma de recta se puede obtener
la pendiente aplicando la ecuación (0.2,1).
FUNCIÓN EXPONENCIAL (𝒚 = 𝒌𝒂𝒃𝒙 )

Toda ecuación que está dada de la forma 𝒚 = 𝒌𝒂𝒃𝒙 (donde 𝑘, 𝑏 y 𝑎 son constantes)
representa una función exponencial la cual se puede linealizar aplicando logaritmo
a ambos lados de la igualdad de la siguiente manera:
log 𝑦 = 𝑏𝑥 (log 𝑎) + log(𝑘)
Si “𝑎” vale 10, debe aplicarse logaritmo en base diez. Si “𝑎” tiene cualquier valor,
debe aplicarse logaritmo en base a ese valor. Ejemplo: 𝑎 = 2, se aplica logaritmo
en base 2 luego se tiene:
3
ANÁLISIS GRÁFICO
𝒍𝒐𝒈 𝒚 = 𝒃 𝒙 + 𝒍𝒐𝒈 𝒌
Al aplicar logaritmo a los términos que definen la función exponencial cumpliendo

la ecuación presentada, se puede obtener una representación dada de la forma de
una ecuación de la recta. Luego de convertir función exponencial a una forma de
recta se puede obtener la pendiente aplicando la ecuación (0.2,1).
Figura 1. Funciones: Lineal, potencial y exponencial.
TRAZADO DE UNA RECTA QUE PASE ENTRE VARIOS PUNTOS
Cuando se grafican puntos experimentales y por ejemplo se obtiene una línea

recta como gráfico, ésta usualmente no pasará por todos los puntos graficados.
Los métodos estadísticos demuestran que siempre que la dispersión de los puntos
experimentales se deba a los errores casuales de medición, la mejor recta pasará
por el centroide de los puntos experimentales que es el punto con las coordenadas
(𝑥, 𝑦), donde “𝑥” es el valor medio de las coordenadas “𝑥 ” de todos los puntos, y
“𝑦” el promedio de las coordenadas “𝑦”. Así, es posible dibujar otras rectas
alternativas. La pendiente y la intersección pueden ser obtenidos de la mejor recta
que se pueda dibujar, o sea, la recta que mejor se ajuste: con igual peso en lo
posible, esto es, igual número de puntos por encima y por debajo de la recta. El
centroide se calcula entonces como:
∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖
𝑥̅ = 𝑦̅ = (0.2,2)
𝑛 𝑛
Una vez definido el centroide, la recta de máxima pendiente se construye, como la
recta que pasa por el centroide y por la mayoría de los puntos situados en la parte
superior derecha del centroide y en la parte inferior izquierda de éste como se
muestra en la figura 2. La recta de pendiente mínima debe pasar por el centroide y
por la mayoría de puntos situados en la parte inferior derecha del centroide y en la
parte superior izquierda de él. La ecuación de la recta óptima es la recta
equidistante a ambas rectas y que pasa por el centroide. Así la recta óptima será:
4
ANÁLISIS GRÁFICO
𝑦 = 𝑎ó𝑏𝑡 𝑥 + 𝑏ó𝑏𝑡 , (0.2,3)
donde 𝑎ó𝑏𝑡 es la pendiente óptima y 𝑏ó𝑏𝑡 es el punto de corte óptimo con el eje “𝑦”.
Figura 2. Recta óptima.
Cuestionario
Este cuestionario debe desarrollarse antes de la realización de la práctica y debe entregarse

en el pre informe según indicaciones del docente.
1. Investigar las propiedades de los logaritmos (muestre varios ejemplos).

2. Investigar el comportamiento de las funciones: exponencial, logarítmica y
potencial.
3. Investigar el comportamiento físico de: fuerza vs. aceleración, voltaje vs.
resistencia, voltaje vs. corriente, potencia vs. velocidad.
4. Investigar y mencionar al menos 4 expresiones matemáticas (ecuaciones)
que definan un fenómeno físico y que a su vez satisfagan la ecuación de la
recta.
Análisis
1. Para un objeto con movimiento uniformemente acelerado se hicieron las

siguientes mediciones.
𝒕(𝒔) 1 2 3 4
𝒗(𝒎/𝒔) 8 11 14 17
Tabla 1. Velocidad de un objeto con movimiento uniformemente acelerado.
• Grafique sobre papel milimetrado los datos de la tabla 1.
5
ANÁLISIS GRÁFICO
• Compare la gráfica obtenida, con las estudiadas anteriormente. ¿Con

cuál tiene mayor semejanza?
2. Al soltar un objeto en caída libre, se hicieron las mediciones que se
indican en la tabla 2.
𝒕(𝒔) 1 1.5 2 2.5
𝒅(𝒎) 4.9 11 19.6 30.6
Tabla 2. Distancia en función del tiempo para un objeto que cae libremente.
• Grafique en el papel milimetrado los datos de la tabla 2.

• Compare la curva obtenida con las estudiadas anteriormente. ¿Con
cuál tiene mayor semejanza?
3. Se tiene una cierta cantidad del elemento químico polonio, el cual al
transcurrir los días comienza a desintegrarse, tal como se indica en la tabla
3.
𝒕(𝒅í𝒂𝒔) 0 138 276 414
𝑷(%) 100 50 25 12.5
Tabla 3. Porcentaje de Polonio en función del tiempo.
• Grafique el porcentaje “𝑃” en función del tiempo “𝑡”.
• Compare la gráfica obtenida, con las estudiadas anteriormente. ¿Con
cuál de ellas tiene mayor semejanza?
4. Se aplica una fuerza constante 𝐹 a un carrito de masa 𝑚 y se mide su
aceleración 𝑎 del movimiento producido. Se repite el procedimiento para
otros valores de masa manteniendo siempre la misma fuerza. Los resultados
se consignan en la tabla 4.
𝒎 (𝒌𝒈) 1 2 3 4 5 6
𝒂 (𝒎/𝒔𝟐 ) 24.30 13.17 8.25 6.30 4.90 4.25
Tabla 4. Aceleración en función de la masa (segunda ley de Newton).
• Dibujar la gráfica 𝑎 en función de 𝑚.
• Se sabe qué: 𝐹 = 𝑚𝑎. Deducir gráficamente la constante 𝐹 .
• Encuentre la aceleración, cuando la masa del carrito es 𝑚 = 100𝑘𝑔.
5. En los problemas que siguen, enuncie el cambio de variables que debe
hacerse para linealizar la gráfica de las variables medidas y diga cómo
puede encontrarse la incógnita que se pide.
• La velocidad de flujo de salida de un fluido ideal por un orificio en el

2𝑃
lado de un tanque está dada por: 𝑣 = √ 𝜌 . Donde 𝑣 y 𝑃 son las
variables medidas. Determine el valor de 𝜌.
6
ANÁLISIS GRÁFICO
• La frecuencia de resonancia de un circuito L-C en paralelo está dada

1
por 𝜔 = . Donde 𝜔 y 𝐶 son variables conocidas. Determine el
√𝐿𝐶
valor de 𝐿.
Preguntas de control
1. En el inciso 1, de la sección análisis, ¿La recta pasa por el origen de

coordenadas? ¿Qué indica esto? ¿Cuál es la ley que rige el movimiento?
2. En el inciso 2, de la sección análisis según el tipo de función, ¿puede
obtener una línea recta? ¿cómo lo haría? Sustente su respuesta. Si su
respuesta es sí, encuentre la pendiente de la recta. Sustituya los valores
encontrados en la ecuación correspondiente y encuentre la ley que rige el
movimiento.
3. La relación funcional entre las variables del inciso 3 del procedimiento es:
lineal, potencial ó exponencial. ¿Por qué? Según el tipo de función, ¿se
puede obtener una línea recta? ¿Cómo lo haría? Sustente su respuesta. Si
su respuesta es sí, encuentre la pendiente de la recta. Sustituya los valores
encontrados en la ecuación correspondiente y encuentre la ley que rige el
fenómeno físico.
4. Realice la regresión lineal de la tabla 3 y encuentre la ecuación del
porcentaje de polonio dependiente del tiempo. ¿Qué cantidad de polonio
quedará después de un año?
Conclusiones y observaciones
Las conclusiones se deben formular de los resultados obtenidos en la práctica.
Bibliografía
Puede consultar el tema en la siguiente bibliografía:
 Bertha Oda Noda, “Introducción al análisis grafico de datos

experimentales”, Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad
de Ciencias (UNAM, 2005), 212 páginas.

0.2. Análisis Gráfico

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1. Aprender a identificar las variables que intervienen en un experimento de

Esquema del laboratorio y Materiales

Equipo requerido Cantidad Observaciones

A continuación, se muestran las funciones más comunes con la respectiva

Al aplicar logaritmo a los términos que definen la función potencial cumpliendo la

FUNCIÓN EXPONENCIAL (𝒚 = 𝒌𝒂𝒃𝒙 )

log 𝑦 = 𝑏𝑥 (log 𝑎) + log(𝑘)

Al aplicar logaritmo a los términos que definen la función exponencial cumpliendo

Figura 1. Funciones: Lineal, potencial y exponencial.

TRAZADO DE UNA RECTA QUE PASE ENTRE VARIOS PUNTOS

Cuando se grafican puntos experimentales y por ejemplo se obtiene una línea

𝑦 = 𝑎ó𝑏𝑡 𝑥 + 𝑏ó𝑏𝑡 , (0.2,3)

Figura 2. Recta óptima.

Este cuestionario debe desarrollarse antes de la realización de la práctica y debe entregarse

1. Investigar las propiedades de los logaritmos (muestre varios ejemplos).

1. Para un objeto con movimiento uniformemente acelerado se hicieron las

• Grafique sobre papel milimetrado los datos de la tabla 1.

• Compare la gráfica obtenida, con las estudiadas anteriormente. ¿Con

• Grafique en el papel milimetrado los datos de la tabla 2.

• La velocidad de flujo de salida de un fluido ideal por un orificio en el

• La frecuencia de resonancia de un circuito L-C en paralelo está dada

1. En el inciso 1, de la sección análisis, ¿La recta pasa por el origen de

Las conclusiones se deben formular de los resultados obtenidos en la práctica.

Puede consultar el tema en la siguiente bibliografía:

 Bertha Oda Noda, “Introducción al análisis grafico de datos

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