TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas

MATERIA: Mecánica de materiales

3.4 SISTEMAS HIPERESTATICOS

ALUMNO: Orozco Díaz José Antonio

CARRERA: Ing. Electromecánica

GRUPO: 62E

NUMERO DE CONTROL: 16560219

DOCENTE: Ing. León Álvarez J. Jesús

FECHA DE ENTREGA: 24 de junio del 2020

PROBLEMA 10.19: Una flecha circular de acero de, 2 m de longitud, ABC, empotrada
en ambos extremos, está sujeta a un par de torsión T=48 N*m en su punto medio. La mitad
de la flecha, desde A hasta B, es una sección maciza de 90 mm de diámetro, y la otra mitad,
de B a C es hueca, con un diámetro exterior de 90 mm y un diámetro interior de 60 mm.
Determine los esfuerzos cortantes en las secciones AB y BC, y el ángulo de rotación en B.

Desarrollar ecuaciones fundamentales

Firmar convenciones.
Antes de desarrollar las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad, es útil establecer una
convención de signos consistente para el par interno, el ángulo de giro y el ángulo de rotación.
•Un par interno positivo actúa en el sentido de la regla de la mano derecha sobre el normal
exterior a una sección transversal.
•Un ángulo de giro positivo en un elemento de eje actúa en un sentido de la regla de la mano
derecha sobre el normal exterior a una sección transversal.
•Un ángulo de rotación positivo es una rotación de la sección transversal en sentido de la
regla de la derecha sobre el eje x positivo definido para el eje.
• Para el eje compuesto, establezca el origen de los ejes de coordenadas en A. El eje x positivo
se extiende desde A hasta C.
Estas convenciones nos ayudarán a resolver problemas estáticos indeterminados como este
de manera sistemática. Tal enfoque minimizará nuestra confusión y reducirá las
oportunidades de error.
Equilibrio
Comience cortando un diagrama de cuerpo libre (FBD) a través del eje compuesto alrededor
de la brida en B. La ecuación de equilibrio para la suma de pares sobre el eje del eje se puede
escribir como:
𝑺𝑴𝒐 = 𝑻 – 𝑻𝟏 + 𝑻𝟐 = 𝟎
Tenga en cuenta que nos aseguramos de asumir siempre pares internos positivos, incluso
cuando el sentido común pueda dictar lo contrario.
La ecuación de equilibrio se simplifica a:
𝑻 = 𝑻𝟏 – 𝑻𝟐
Como esta es la única ecuación de equilibrio independiente, este tipo de problema es
estáticamente indeterminado. Debemos desarrollar una segunda ecuación.
Relación Torque-Torsión
La relación entre el par en un eje y su ángulo de giro resultante está dada por:
𝑻𝑳
𝒇=
𝑮𝑱
Podemos escribir una relación torsión-giro para cada eje. Para eje (1):
(𝑻𝟏)(𝑳𝟏)
𝒇𝟏 =
(𝑮𝟏)(𝑱𝟏)
Para eje (2):
(𝑻𝟐)(𝑳𝟐)
𝒇𝟐 =
(𝑮𝟐)(𝑳𝟐)

Ecuación de Geometría de Deformaciones

Para desarrollar la ecuación de geometría de deformaciones, queremos trabajar de forma
secuencial y sistemática a lo largo del eje compuesto, moviéndonos en una dirección + x.
Para determinar el ángulo de giro en un eje, encontramos los ángulos de rotación en los
extremos delantero y trasero del segmento y los restamos. El ángulo de giro en el eje (1) es
la diferencia entre el ángulo de rotación en la brida B (es decir, el extremo delantero) y el
ángulo de rotación en el soporte A (es decir, el extremo posterior):
𝒇𝟏 = 𝒇𝑩 − 𝒇𝑨
Como A es un soporte fijo, fA = 0. Por lo tanto:
𝒇𝟏 = 𝒇𝑩
De manera similar, el ángulo de giro en el eje (2) es la diferencia entre el ángulo de rotación
en el soporte C y el ángulo de rotación en la brida B:
𝒇𝟐 = 𝒇𝑪 − 𝒇𝑩
Como C es un soporte fijo, fC = 0. Por lo tanto:
𝒇𝟐 = −𝒇𝑩
Agregue las dos ecuaciones para obtener la geometría de la ecuación de deformaciones para
ejes de extremo a extremo:
𝒇𝟏 + 𝒇𝟐 = 𝟎
Ecuación de compatibilidad
Sustituya las relaciones torsión-torsión en la geometría de la ecuación de deformación:
(𝑻𝟏)(𝑳𝟏) (𝑻𝟐)(𝑳𝟐)
+
(𝑮𝟏)(𝑱𝟏) (𝑮𝟐)(𝑱𝟐)

Observe que la ecuación de compatibilidad tiene las mismas dos variables, T1 y T2, que la
ecuación de equilibrio. Usando tanto la ecuación de equilibrio como la ecuación de
compatibilidad, podemos resolver el problema de eje extremo a extremo estáticamente
indeterminado.
Antes de comenzar, necesitaremos calcular las propiedades de sección para los dos ejes. Para
el eje (1), la distancia radial a la superficie exterior del eje (donde se produce el mayor
esfuerzo cortante) es c1 = 45,0 mm y el momento polar de inercia J1 se calcula como:
𝒑 𝑷
𝑱𝟏 = ( ) (𝑫𝟏)(𝟒) = (𝟒 ) (𝟗𝟎 𝒎𝒎)(𝟒) = 𝟔, 𝟒 𝑬 + 𝟔 𝒎𝒎𝟒
𝟑𝟐 𝟑𝟐
Para el eje (2), la distancia radial a la superficie exterior del eje es c2 = 45,0 mm y el momento
polar de inercia J2 se calcula como:
𝒑 𝒑
𝑱𝟐 = ( ) (𝑫𝟐𝟒 − 𝒅𝟐𝟒) = ( ) ((𝟗𝟎𝒎𝒎)(𝟒) − (𝟔𝟎𝒎𝒎)(𝟒)) = 𝟓, 𝟐𝑬 + 𝟔 𝒎𝒎𝟒
𝟑𝟐 𝟑𝟐
Cálculo
En este problema, se conoce el par externo T, y se nos pide que calculemos los esfuerzos
cortantes resultantes en los ejes (1) y (2). De la ecuación de compatibilidad, podemos derivar
una expresión para T1:
𝑮𝟏 𝑱𝟏 𝑳𝟐
𝑻𝟏 = (( ) ( ) ( )) (𝑻𝟐)
𝑮𝟐 𝑱𝟐 𝑳𝟏
Sustituya esta expresión en la ecuación de equilibrio:
𝑮𝟏 𝑱𝟏 𝑳𝟐
𝑻 = −(( )( )( ))(𝑻𝟐 − 𝑻𝟐)
𝑮𝟐 𝑱𝟐 𝑳𝟏
Resuelva esta ecuación para T2:
𝑻
𝑻𝟐 = − +𝟏
𝑮𝟏 𝑱𝟏 𝑳𝟐
(𝑮𝟐) (𝑱𝟐) (𝑳𝟏)

−𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎𝑵 ∗ 𝒎
𝟎𝟔𝑷𝑺𝑰 𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒 𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝒎
((𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝑬 + 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝑬 + 𝟎𝟔𝑷𝑺𝑰) (𝟔, 𝟒𝑬 + + 𝟎𝟔 𝒎𝒎𝟒) ( 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎 ) + 𝟏
𝟓, 𝟐𝑬
= −𝟐𝟏, 𝟑𝟕𝟎 𝑵 − 𝒎
Sustituyendo a la ecuación de equilibrio, determinamos T1:
𝑻𝟏 = 𝑻 + 𝑻𝟐 = (𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎𝑵 − 𝒎) + (−𝟐𝟏𝟑𝟕𝟎𝑵 − 𝒎) = 𝟐𝟔, 𝟔𝟑𝟎 𝑵 − 𝒎
Ahora que conocemos T1 y T2, podemos calcular el esfuerzo cortante en cada eje. Para eje
(1):
𝑻𝟏𝑪𝟏 (𝟐𝟔𝟔𝟑𝟎𝑵 − 𝒎)(𝟒𝟓, 𝟎𝒎𝒎)
𝑻𝟏 = = = 𝟏𝟖𝟔, 𝟎 𝑲𝑷𝒂
𝑱𝟏 𝟔, 𝟒𝑬 + 𝟎𝟔 𝒎𝒎𝟒
Nota: Haga que las unidades sean consistentes antes de realizar el cálculo manual.
y para el eje (2):
𝑻𝟐𝑪𝟐 (−𝟐𝟏, 𝟑𝟕𝟎𝑵 − 𝒎)(𝟒𝟓, 𝟎𝒎𝒎)
𝑻𝟐 = = (𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒) = −𝟏𝟖𝟔, 𝟎𝑲𝑷𝒂
𝑱𝟐 𝟓, 𝟐𝑬
Nota: Haga que las unidades sean consistentes antes de realizar el cálculo manual.
El ángulo de giro del eje compuesto se puede calcular desde el eje (1):

𝑻𝟏𝑳𝟏 (𝟐𝟔, 𝟔𝟑𝟎𝑵 − 𝒎)(𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎)

𝑭𝟏 = ( )=( )
𝑮𝟏𝑱𝟏 (𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝑬 + 𝟎𝟔𝑷𝒔𝒊(𝟓, 𝟐𝑬) + 𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟏𝟐𝟑 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔
Nota: Haga que las unidades sean consistentes antes de realizar el cálculo manual.
o del eje (2):
𝑻𝟐𝑳𝟐 (−𝟐𝟏, 𝟑𝟕𝟎𝑵 − 𝒎)(𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎)
𝑭𝟐 = ( )= = −𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟏𝟐𝟑 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔
𝑮𝟐𝑱𝟐 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝑬 + 𝟎𝟔𝑷𝒔𝒊(𝟓, 𝟐𝑬) + 𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒
Nota: Haga que las unidades sean consistentes antes de realizar el cálculo manual.
(Estos dos ángulos deben ser de la misma magnitud, pero de signos opuestos. Si nuestros
cálculos no producen este resultado, hemos cometido un error en alguna parte).
Resumen
Planteamiento del problema
Calcule el esfuerzo cortante en los dos ejes debido a un par externo aplicado en la brida.

Entrada

Eje (1)
Diámetro exterior 90,0 mm.
Diámetro interior 0,0 mm.
Longitud del eje 1,000 m
Módulo de corte 11,00E + 06 psi

Eje (2)
Diámetro exterior 90,0 mm.
Diámetro interior 60,0 mm.
Longitud del eje 1,000 m
Módulo de corte 11,00E + 06 psi
Par externo 48,000 N-m
Salida
Eje (1)
Radio exterior 45,0 mm
Momento polar de inercia 6,4E + 06 mm4
Par interno 26,630 N-m
Esfuerzo cortante 186,0 kPa

Eje (2)
Radio exterior 45,0 mm

Momento polar de inercia 5,2E + 06 mm4

Par interno -21,370 N-m
Esfuerzo cortante -186,0 kPa
Ángulo de giro en la brida 0,003123 grados

PROBLEMA 10.21: Una flecha maciza de aluminio de 30 mm de diámetro y de 1.4 m de

longitud está sujeta a un par de torsión desconocido en un punto medio. en el punto a, en el
extremo de un apuntador de 60 mm de longitud, se mueve a través de una distancia de 2
mm. Determinar la magnitud del par de torsión.
Desarrollar ecuaciones fundamentales
Firmar convenciones
Antes de desarrollar las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad, es útil establecer una
convención de signos consistente para el par interno, el ángulo de giro y el ángulo de rotación.
• Un par interno positivo actúa en el sentido de la regla de la mano derecha sobre el normal
exterior a una sección transversal.
•Un ángulo de giro positivo en un elemento de eje actúa en un sentido de la regla de la mano
derecha sobre el normal exterior a una sección transversal.
•Un ángulo de rotación positivo es una rotación de la sección transversal en sentido de la
regla de la derecha sobre el eje x positivo definido para el eje.
• Para el eje compuesto, establezca el origen de los ejes de coordenadas en A. El eje x positivo
se extiende desde A hasta C.
Estas convenciones nos ayudarán a resolver problemas estáticos indeterminados como este
de manera sistemática. Tal enfoque minimizará nuestra confusión y reducirá las
oportunidades de error.
Equilibrio
Comience cortando un diagrama de cuerpo libre (FBD) a través del eje compuesto alrededor
de la brida en B. La ecuación de equilibrio para la suma de pares sobre el eje del eje se puede
escribir como:
𝑺𝑴𝒐 = 𝑻 – 𝑻𝟏 + 𝑻𝟐 = 𝟎
Tenga en cuenta que nos aseguramos de asumir siempre pares internos positivos, incluso
cuando el sentido común pueda dictar lo contrario.
La ecuación de equilibrio se simplifica a:
𝑻 = 𝑻𝟏 – 𝑻𝟐
Como esta es la única ecuación de equilibrio independiente, este tipo de problema es
estáticamente indeterminado. Debemos desarrollar una segunda ecuación. Relación Torque-
Torsión
La relación entre el par en un eje y su ángulo de giro resultante está dada por:
𝑻𝑳
𝒇=
𝑮𝑱
Podemos escribir una relación torsión-giro para cada eje. Para eje (1):
(𝑻𝟏)(𝑳𝟏)
𝒇𝟏 =
(𝑮𝟏)(𝑱𝟏)
Para eje (2):
(𝑻𝟐)(𝑳𝟐)
𝒇𝟐 =
(𝑮𝟐)(𝑳𝟐)
Ecuación de Geometría de Deformaciones
Para desarrollar la ecuación de geometría de deformaciones, queremos trabajar de forma
secuencial y sistemática a lo largo del eje compuesto, moviéndonos en una dirección + x.
Para determinar el ángulo de giro en un eje, encontramos los ángulos de rotación en los
extremos delantero y trasero del segmento y los restamos. El ángulo de giro en el eje (1) es
la diferencia entre el ángulo de rotación en la brida B (es decir, el extremo delantero) y el
ángulo de rotación en el soporte A (es decir, el extremo posterior):
𝒇𝟏 = 𝒇𝑩 − 𝒇𝑨
Como A es un soporte fijo, fA = 0. Por lo tanto:
𝒇𝟏 = 𝒇𝑩
De manera similar, el ángulo de giro en el eje (2) es la diferencia entre el ángulo de rotación
en el soporte C y el ángulo de rotación en la brida B:
𝒇𝟐 = 𝒇𝑪 − 𝒇𝑩
Como C es un soporte fijo, fC = 0. Por lo tanto:
𝒇𝟐 = −𝒇𝑩
Agregue las dos ecuaciones para obtener la geometría de la ecuación de deformaciones para
ejes de extremo a extremo:
𝒇𝟏 + 𝒇𝟐 = 𝟎
Ecuación de compatibilidad
Sustituya las relaciones torsión-torsión en la geometría de la ecuación de deformación:
(𝑻𝟏)(𝑳𝟏) (𝑻𝟐)(𝑳𝟐)
+
(𝑮𝟏)(𝑱𝟏) (𝑮𝟐)(𝑱𝟐)
Observe que la ecuación de compatibilidad tiene las mismas dos variables, T1 y T2, que la
ecuación de equilibrio. Usando tanto la ecuación de equilibrio como la ecuación de
compatibilidad, podemos resolver el problema de eje extremo a extremo estáticamente
indeterminado.
Antes de comenzar, necesitaremos calcular las propiedades de sección para los dos ejes. Para
el eje(1), la distancia radial a la superficie exterior del eje (donde se produce el mayor
esfuerzo cortante)es c1 = 15,0 mm y el momento polar de inercia J1 se calcula como:
𝑷 𝑷
𝑱𝟏 = ( ) (𝑫𝟏)(𝟒) = ( ) (𝟑𝟎, 𝟎𝑴𝑴)(𝟒) = 𝟕𝟗. 𝟓𝟐𝟏, 𝟔 𝒎𝒎𝟒
𝟑𝟐 𝟑𝟐
Para el eje (2), la distancia radial a la superficie exterior del eje es c2 = 15,0 mm y el momento
polar de inercia J2 se calcula como:
𝒑 𝒑
𝑱𝟐 = ( ) (𝑫𝟐)(𝟒) = ( ) (𝟑𝟎, 𝟎𝒎𝒎)(𝟒) = 𝟕𝟗. 𝟓𝟐𝟏, 𝟔𝒎𝒎𝟒
𝟑𝟐 𝟑𝟐
Cálculo
Se especifica el ángulo de torsión f en la brida B. Como se conoce fB, podemos determinar
los ángulos de giro en los ejes (1) y (2) a partir de la geometría de las ecuaciones de
deformaciones. Para eje (1):
𝒇𝟏 = 𝒇𝒃
Usando la relación torsión-giro para el eje (1), resuelva para T1:
(𝒇𝟏)(𝑮𝟏)(𝑱𝟏) (−𝟏𝟖𝟎, 𝟎𝟎𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔)(𝟒, 𝟎𝟎𝑬 + 𝟎𝟔 𝒑𝒔𝒊)(𝟕𝟗. 𝟓𝟐𝟏, 𝟔𝒎𝒎𝟒)
𝑻𝟏 = =
𝑳𝟏 𝟎, 𝟕𝟎𝟎𝟎𝒎
= 𝟗. 𝟖𝟒𝟐, 𝟕𝟑𝟏𝑵 − 𝒎
Nota: Haga que las unidades sean consistentes antes de realizar el cálculo manual.
Para eje (2):
𝒇𝟐 = −𝒇𝑩
De la relación torsión-giro para el eje (2):
𝑮𝟐𝑱𝟐 (−𝟏𝟖𝟎, 𝟎𝟎𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 )(𝟒, 𝟎𝟎𝑬 + 𝟎𝟔𝒑𝒔𝒊)(𝟕𝟗. 𝟓𝟐𝟏, 𝟔𝒎𝒎𝟒)
𝑻𝟐 = (𝒇𝟐) (( )) =
𝑳𝟐 𝟎, 𝟕𝟎𝟎𝟎𝒎

= −𝟗. 𝟖𝟒𝟐, 𝟕𝟑𝟏𝑵 − 𝒎

Nota: Haga que las unidades sean consistentes antes de realizar el cálculo manual.
Sustituya estos valores en la ecuación de equilibrio para determinar el par externo que se
puede aplicar al eje compuesto.
𝑻 = 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 = (𝟗. 𝟖𝟒𝟐, 𝟕𝟑𝟏𝑵 − 𝒎) − (−𝟗. 𝟖𝟒𝟐, 𝟕𝟑𝟏𝑵 − 𝒎) = 𝟏𝟗. 𝟔𝟖𝟓, 𝟒𝟔𝟐𝑵 − 𝒎
PROBLEMA 10.23: Determinar el par de torsión máximo, T, que puede aplicarse a la
estructura de la figura p10.22 cuando el esfuerzo cortante admisible en el acero es de 54 MPa
y el esfuerzo cortante en el latón de 27 MPa.

Equilibrio
Comience cortando un diagrama de cuerpo libre (FBD) a través del eje compuesto alrededor
de la brida en B. La ecuación de equilibrio para la suma de pares sobre el eje del eje se puede
escribir como:
𝑺𝑴𝒐 = 𝑻 – 𝑻𝟏 + 𝑻𝟐 = 𝟎
Tenga en cuenta que nos aseguramos de asumir siempre pares internos positivos, incluso
cuando el sentido común pueda dictar lo contrario.
La ecuación de equilibrio se simplifica a:
𝑻 = 𝑻𝟏 – 𝑻𝟐
Como esta es la única ecuación de equilibrio independiente, este tipo de problema es
estáticamente indeterminado. Debemos desarrollar una segunda ecuación. Relación Torque-
Torsión
La relación entre el par en un eje y su ángulo de giro resultante está dada por:
𝑻𝑳
𝒇=
𝑮𝑱
Podemos escribir una relación torsión-giro para cada eje. Para eje (1):
(𝑻𝟏)(𝑳𝟏)
𝒇𝟏 =
(𝑮𝟏)(𝑱𝟏)
Para eje (2):
(𝑻𝟐)(𝑳𝟐)
𝒇𝟐 =
(𝑮𝟐)(𝑳𝟐)
Ecuación de Geometría de Deformaciones
Para desarrollar la ecuación de geometría de deformaciones, queremos trabajar de forma
secuencial y sistemática a lo largo del eje compuesto, moviéndonos en una dirección + x.
Para determinar el ángulo de giro en un eje, encontramos los ángulos de rotación en los
extremos delantero y trasero del segmento y los restamos. El ángulo de giro en el eje (1) es
la diferencia entre el ángulo de rotación en la brida B (es decir, el extremo delantero) y el
ángulo de rotación en el soporte A (es decir, el extremo posterior):
𝒇𝟏 = 𝒇𝑩 − 𝒇𝑨
Como A es un soporte fijo, fA = 0. Por lo tanto:
𝒇𝟏 = 𝒇𝑩
De manera similar, el ángulo de giro en el eje (2) es la diferencia entre el ángulo de rotación
en el soporte C y el ángulo de rotación en la brida B:
𝒇𝟐 = 𝒇𝑪 − 𝒇𝑩
Como C es un soporte fijo, fC = 0. Por lo tanto:
𝒇𝟐 = −𝒇𝑩
Agregue las dos ecuaciones para obtener la geometría de la ecuación de deformaciones para
ejes de extremo a extremo:
𝒇𝟏 + 𝒇𝟐 = 𝟎
Ecuación de compatibilidad
Sustituya las relaciones torsión-torsión en la geometría de la ecuación de deformación:
(𝑇1)(𝐿1) (𝑇2)(𝐿2)
+
(𝐺1)(𝐽1) (𝐺2)(𝐽2)
Observe que la ecuación de compatibilidad tiene las mismas dos variables, T1 y T2, que la
ecuación de equilibrio. Usando tanto la ecuación de equilibrio como la ecuación de
compatibilidad, podemos resolver el problema de eje extremo a extremo estáticamente
indeterminado
Propiedades de la sección
Antes de comenzar, necesitaremos calcular las propiedades de sección para los dos ejes. Para
el eje exterior (1), la distancia radial a la superficie exterior del eje (donde se produce el
mayor esfuerzo cortante) es c1 = 60,0 mm y el momento polar de inercia J1 se calcula como:
𝒑 𝒑
𝑱𝟏 = ( ) (𝑫𝟐)(𝟒) = ( ) ((𝟏𝟐𝟎, 𝟎𝒎𝒎)(𝟒) − (𝟖𝟎, 𝟎𝒎𝒎)(𝟒)) = 𝟏𝟔, 𝟑𝑬 + 𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒
𝟑𝟐 𝟑𝟐
Para el eje interno (2), la distancia radial a la superficie externa del eje es c2 = 30,0 mm y el
momento polar de inercia J2 se calcula como:
𝒑 𝒑
𝑱𝟐 = ( ) (𝑫𝟐)(𝟒) = ( (𝟔𝟎, 𝟎𝒎𝒎)(𝟒) = 𝟏, 𝟑𝑬 + 𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒
𝟑𝟐 𝟑𝟐
Cálculo
En este problema, se conocen los esfuerzos cortantes permisibles en los ejes (1) y (2), y se
nos pide que calculemos el par externo máximo que puede aplicarse al eje sin exceder
ninguno de esos límites de esfuerzo. La relación entre el par y el esfuerzo cortante se expresa
como:
𝑻𝑪
𝒕=( )
𝑱
Usando esta relación, podemos escribir expresiones para T1 y T2:
𝑻𝟏 = 𝒕𝟏𝑱𝟏𝒄𝟏𝑻𝟐 = 𝒕𝟐𝑱𝟐𝒄𝟐
Sustituya estas expresiones en la ecuación de compatibilidad y simplifique para obtener:
𝒕𝟏 𝒕𝟐
=
𝒄𝟏𝑮𝟏 𝒄𝟐𝑮𝟐
Tenga en cuenta que existe una relación entre el esfuerzo cortante en los dos ejes que es
necesaria si el ángulo de giro debe ser el mismo en cada eje. Por lo tanto, no es probable que
el esfuerzo cortante en cada eje sea igual a su límite de esfuerzo permisible cuando se aplica
el par externo al miembro compuesto. Uno de los ejes controlará el diseño (es decir, el
esfuerzo cortante en un eje alcanzará su esfuerzo permitido y el esfuerzo cortante en el otro
eje será menor que su esfuerzo permitido). No podemos saber de antemano si el eje externo
o interno controlará; por lo tanto, debemos adivinar. Escogeremos uno de los ejes y
asumiremos que su esfuerzo de corte es igual al esfuerzo de corte permitido. Usando la
relación que acabamos de derivar:
𝒕𝟏 𝒕𝟐
=
𝒄𝟏𝑮𝟏 𝒄𝟐𝑮𝟐
Calcularemos el esfuerzo cortante en el otro eje. Si su esfuerzo cortante es menor que el
esfuerzo permisible, hemos adivinado correctamente y podemos proceder a resolver el
problema. Si su esfuerzo cortante es mayor que el esfuerzo permisible, hemos adivinado
incorrectamente y debemos revisar nuestros cálculos de esfuerzo antes de poder continuar.
Asumamos que el eje interno (2) controla. Asumiremos que el esfuerzo cortante en el eje (2)
es igual a su esfuerzo permisible (27,000 MPa). En base a esta suposición, el esfuerzo
cortante en el eje exterior (1) debe ser:
𝒄𝟏 𝑮𝟏 𝟖𝟎, 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂
𝒕𝟏 = ( ) ( ) (𝒕𝟐) = (𝟔𝟎, 𝟎𝒎𝒎)(𝟑𝟎, 𝟎𝒎𝒎) ( ) (𝟐𝟕, 𝟎𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂)
𝒄𝟐 𝑮𝟐 𝟏𝟖, 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂
= 𝟐𝟒𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂
Dado que el esfuerzo cortante resultante de 240,000 MPa es mayor que el esfuerzo cortante
permisible de 54,000 MPa para el eje externo, reconocemos que hemos hecho una suposición
incorrecta. El eje exterior (1) controlará realmente la capacidad de este eje compuesto. El
esfuerzo cortante en el eje (1) será igual a su esfuerzo permisible (54,000 MPa). En
consecuencia, el esfuerzo cortante en el eje interno (2) debe ser:
𝒄𝟐 𝑮𝟐 𝟑𝟎, 𝟎𝒎𝒎 𝟏𝟖, 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂
𝒕𝟐 = ( ) ( ) (𝒕𝟏) = ( )( ) (𝟓𝟒, 𝟎𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂) = 𝟔. 𝟎𝟕𝟓𝑴𝒑𝒂
𝒄𝟏 𝑮𝟏 𝟔𝟎, 𝟎𝒎𝒎 𝟖𝟎, 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂
Ahora que conocemos t1 y t2, podemos calcular el par interno que lleva cada eje. Para eje
exterior (1):
𝑻𝟏𝑱𝟏 (𝟓𝟒, 𝟎𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂)(𝟏𝟔, 𝟑𝑬 + 𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒)
𝑻𝟏 = ( )= = 𝟏𝟒. 𝟕𝟎𝟐, 𝟔𝟓𝟎𝑵 − 𝒎
𝒄𝟏 𝟔𝟎, 𝟎𝒎𝒎
Nota: Haga que las unidades sean consistentes antes de realizar el cálculo manual.
y para el eje interior (2):
𝒕𝟐𝑱𝟐 (𝟔. 𝟎𝟕𝟓𝑴𝒑𝒂)(𝟏, 𝟑𝑬 + 𝟎𝟔𝒎𝒎𝟒)
𝑻𝟐 = = = 𝟐𝟓𝟕, 𝟔𝟓𝟎𝑵 − 𝒎
𝒄𝟐 𝟑𝟎, 𝟎𝒎𝒎

Nota: Haga que las unidades sean consistentes antes de realizar el cálculo manual.
Sustituya estos valores en la ecuación de equilibrio para determinar el par externo que se
puede aplicar al eje compuesto.
𝑻 = 𝑻𝟏 + 𝑻𝟐 = (𝟏𝟒. 𝟕𝟎𝟐, 𝟔𝟓𝟎𝑵 − 𝒎) + (𝟐𝟓𝟕, 𝟔𝟓𝟎𝑵 − 𝒎) = 𝟏𝟒. 𝟗𝟔𝟎, 𝟑𝟎𝟎𝑵 − 𝒎