11.B. Ecuacion de Bernoulli PDF

Ecuación de Bernoulli
Mecánica de Fluidos I
MG. RODOLFO YANA LAURA
PRINCIPIO DE BERNOULLI
• Hasta ahora hemos hablado de los parámetros de presión,
densidad, y velocidad. Pero hace falta mencionar a la
altura que simbolizaremos con una letra “h”, en
algunos libros de mecánica de fluidos lo hacen con una “z”,
bien a la altura se le toma dependiendo de algún nivel de
referencia. Pues bien, el primero en relacionar éstas
cantidades fue el gran matemático suizo Daniel Bernoulli
(1700 – 1782).
• Daniel Bernoulli nació en Suiza y realizó grandes
contribuciones en la dinámica de fluidos, publicó su obra
más famosa en 1738 titulada “Hidrodinámica“, donde
advertía sobre el estudio teórico y práctico del equilibrio,
la presión y la rapidez en los fluidos. De allí deduce el
“Principio de Bernoulli” un concepto que expresa que a
medida que aumenta la rapidez de un fluido , su
presión disminuye. Con esto la ley de la conservación de
la energía se cumple cuando los líquidos están en
movimiento, de allí deduce el siguiente enunciado:
• En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario,
la suma de aquellas energías como la cinética,
potencial y de presión (o energía de flujo) que
posee cierto líquido en un punto, es igual a la suma
de éstas energías en otro punto cualquiera.
• Esto daba un cambio rotundo al conocimiento que
se tenía de los fluidos en ese tiempo, ya que a pesar
que se dedujo solo para fluidos, en los gases es
aplicable también.
DEDUCION DE LA ECUACION DE BERNOULLI
Para deducir la ecuación de lo que proponía Bernoulli en su libro, es necesario
considerar la siguiente imagen.
Como se basa en la ley de la conservación de la energía, entonces deducimos los

siguientes tres tipos:
1.- Energía cinética: Debido a la velocidad y a la masa del líquido. Denotada por la
siguiente fórmula:
2.- Energía potencial: Debido a la altura del líquido, respecto a cualquier punto de
referencia, y dada por la siguiente fórmula:
3.- Energía de flujo o de Presión: Originada por la presión que las moléculas del
fluido que actúan entre si, por lo que el trabajo realizado para el desplazamiento
de éstas moléculas es igual a la energía ante mencionada.
Así, de acuerdo con el teorema de Bernoulli , la suma de las energías de un punto
inicial, deberá ser igual a las energías obtenidas en la salida. Entonces
matemáticamente tenemos lo siguiente:
Al sustituir las energías, tenemos que:

Vamos a dividir la ecuación por la masa, ya que es una variable que se repite en
todas las expresiones.
Qué vendría a ser la ecuación de Bernoulli, y esta ecuación es aplicable en todos

los aspectos de flujo de fluidos, solo que debemos tener en cuenta que la presión
P debe tomarse como la presión absoluta y no la presión manométrica, todas las
unidades finalmente son en presión.
• Restricciones de la Ecuación de Bernoulli
• Aunque la ecuación de Bernoulli se aplica a muchos problemas prácticos, o
ejemplos hay ciertas limitaciones que se deben de considerar, a fin de
aplicarse con la propiedad adecuada.
• 1.- Es válida solamente para fluidos incompresibles, ya que el peso específico

del fluido permanece constante en la sección inicial y final.
2.- No puede haber sistemas mecánicos que agreguen o retiren energía del
sistema entre la sección inicial y final, ya que la energía del sistema
permanece constante.
• 3.- Al igual que el punto dos, no puede haber transferencia de calor hacia el
fluido o fuera de éste.
• 4.- No debe considerarse la pérdida de energía debido a la fricción.
• Problema 1: Un flujo de agua va de la sección 1 a la sección 2. La sección 1
tiene 25 mm de diámetro, la presión manométrica es de 345 kPa, y la
velocidad de flujo es de 3 m/s. La sección 2, mide 50 mm de diámetro, y se
encuentra a 2 metros por arriba de la sección 1. Si suponemos que no hay
pérdida de energía en el sistema. Calcule la presión “P2”
• Solución:
• Tenemos que analizar nuestros datos, es decir, que es lo que, si tenemos y lo
que nos hace falta por encontrar, así también realizar el despeje de la variable
que vamos a calcular. Entonces procedemos:
• Datos:
• d1 = 25 mm
• d2 = 50 mm
• p1 =345 Kpa
• v1 = 3 m/s
• p2 =?
• Si leemos bien el problema, nos daremos cuenta que
tenemos la altura, ya que si hacemos h2 – h1 = 2 metros.
Por lo que nos ahorramos algo de cálculo. Finalmente
procedemos a despejar a p2 de la fórmula que ya tenemos:
•
• Despejando y para hacer más fácil el proceso,
recordemos que la densidad del agua no tendrá
ninguna variación tanto al inicio como al final,
entonces podemos decir que la densidad será
constante, y la podemos omitir para el cálculo.
• Sin embargo nos hace falta v2, ya que no la tenemos, pero
si tenemos el dato de los diámetros, entonces si
recordamos bien; podemos hacer uso de la ecuación de
continuidad qué es una ecuación que deriva del gasto .
• Así que:
•
• Despejando a “v2”
•
• Calculando ahora las áreas 1 y 2.
•
• La otra área
•
• Ahora de la ecuación de continuidad tenemos que:
• Ahora si podemos utilizar nuestra fórmula despejada de la presión en

2.
• Factorizamos un poco… 😎
•
• Sustituimos todos nuestros datos

• Por lo que el resultado nos da:
•
• Qué sería la presión en la sección 2, recordemos que ésta información

es cierta. Ya que la presión disminuyó.
• Problema 2.- Por la tubería que se muestra en la imagen,
fluyen 0.11 m³/s de gasolina, si la presión antes de la
reducción es de 415 kPa, calcule la presión en la tubería
de 75 mm de diámetro
• Solución:
• A diferencia del problema anterior, podemos
observar que están a la misma altura tanto el punto
1 como el punto 2, es decir que no existe ninguna
variación por la diferencia de las alturas, observe
que se colocó una línea punteada que significa
justamente lo que acabamos de explicar. Por lo
tanto:
•
• Si esto es así, entonces la ecuación principal de Bernoulli, se tendrá
que ver simplificada, de alguna forma, veamos la fórmula original:
• Como hemos dicho, al realizar h1 = h2. Entonces la ecuación se

simplifica de esta forma:
• Como el problema nos pide calcular a la presión 2,
entonces lo despejamos de la fórmula
• Como la densidad 1 y la densidad 2, son las mismas
porque se trata de la misma gasolina entonces la
podemos simplificar también, quedando así:
•
• Ahora si podemos empezar a resolver el ejercicio,

porque ya tenemos la fórmula que usaremos:
• DATOS DEL PROBLEMA
• Resolviendo el ejercicio
• Si analizamos los datos y la fórmula que utilizaremos, nos hace
falta la velocidad inicial y la velocidad final. Para poder obtener la
velocidad inicial basta con entender que el Gasto es el producto de
la velocidad por el área, y afortunadamente estos datos si los
poseemos, entonces tenemos:
• Despejando a la velocidad inicial o velocidad 1

• Solamente tenemos el diámetro uno de la primer sección, pero no
tenemos el área entonces la calculamos:
•
• Para obtener la velocidad final o velocidad 2, aplicamos la ecuación

de continuidad
• Despejando a la velocidad 2
•
• Pero sabemos también que si multiplicamos la velocidad 1

con el área 1, lógicamente obtendremos el Gasto que nos
da el problema, es decir:
• Entonces podemos sustituir nuestros datos, para obtener la
velocidad 2
•
• Ahora que ya tenemos tanto a la velocidad 1, como la velocidad 2.

Podemos sustituir los datos en la fórmula para obtener la presión
2, que es lo que nos pide el problema:
• Aplicando la resta:
• Que vendría a ser nuestro resultado 220.26kPa

• 3. En la figura, el fluido es agua y descarga libremente a la
atmósfera. Para un flujo másico de 15 kg/s, determine la
presión en el manómetro.
• Aplicando la e.c de Bernoulli entre 1 y 2 tenemos

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Ecuación de Bernoulli

Como se basa en la ley de la conservación de la energía, entonces deducimos los

Al sustituir las energías, tenemos que:

Qué vendría a ser la ecuación de Bernoulli, y esta ecuación es aplicable en todos

• 1.- Es válida solamente para fluidos incompresibles, ya que el peso específico

• Ahora si podemos utilizar nuestra fórmula despejada de la presión en

• Sustituimos todos nuestros datos

• Qué sería la presión en la sección 2, recordemos que ésta información

• Como hemos dicho, al realizar h1 = h2. Entonces la ecuación se

• Ahora si podemos empezar a resolver el ejercicio,

• Despejando a la velocidad inicial o velocidad 1

• Para obtener la velocidad final o velocidad 2, aplicamos la ecuación

• Pero sabemos también que si multiplicamos la velocidad 1

• Ahora que ya tenemos tanto a la velocidad 1, como la velocidad 2.

• Que vendría a ser nuestro resultado 220.26kPa

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