Levantamiento Por Poligonales

Topografía
Ingeniería de Transporte y Vías – Grupo 2
3.2.3 LEVANTAMIENTO POR POLIGONALES
POLIGONAL: línea que une los vértices de un polígono y para determinarla es necesario
medir sus lados y los ángulos en los vértices. Es un encadenamiento de radiaciones
sucesivas.
Las poligonales cerradas se usan para medición de lotes y las poligonales abiertas tienen
aplicación en trazado de carreteras, localización de acueductos, alcantarillados,
oleoductos.
De acuerdo con el método empleado para la medición de ángulos, las poligonales se

pueden clasificar en:
 Ángulos externos
 Ángulos internos
 Ángulos de deflexión
 Lectura directa de azimuts
UPTC Miguel Ángel Romero F., Ing. Esp.

1er semestre de 2019 miguel.romeroa@uptc.edu.co 1
Topografía
 LEVANTAMIENTO POR POLIGONALES ABIERTAS: RADIACIÓN MÚLTIPLE
La radiación múltiple consiste en tomar ángulos y distancias horizontales a cada uno de

los detalles que componen un lote desde varios puntos de armado (estaciones). El
procedimiento de campo es igual al de radiación simple para cada estación, la diferencia
radica en el amarre entre puntos de armado. Se puede hacer por dos métodos:
 Por conservación de azimut: cuando se arme el equipo en la segunda estación (ΔB),

se marca sobre el limbo horizontal el acimut entre estaciones (el acimut AB); se da
visual al punto de armado anterior (ΔA) se transita (dar vuelta de campana) y se
suelta el limbo, de esta forma se toma directamente acimut a cada detalle del lote.
Los cálculos son iguales a radiación simple, se debe tener en cuenta la estación
desde la cual fue detallado el punto para el cálculo de las coordenadas.
 Por ángulos de derecha: el amarre entre estaciones se hace dando visual al punto de
armado anterior, se coloca en ceros el limbo horizontal y se leen ángulos externos y
distancias a cada punto. Los cálculos de acimut a cada punto (para detalles tomados
en las estaciones diferentes a ΔA se deduce de la siguiente gráfica:
Acimut al punto = Contra Acimut AB + Ángulo de derecha
Se convierte por lo tanto en una radiación múltiple por conservación de acimut y los
cálculos son iguales.
 LEVANTAMIENTO POR POLIGONALES CERRADAS
Se utilizan para levantar terrenos más extensos, donde no se pueden aplicar los
procedimientos anteriores de radiación o intersección de visuales.
Básicamente consiste en trazar una poligonal cerrada, casi siempre irregular que se ciña
o se ajuste al máximo a los linderos del terreno a medir. A esta poligonal se le conoce
como poligonal base, ya que se utiliza como esqueleto para las mediciones de todos los
detalles dentro del lote.
El procedimiento consiste en hacer las mediciones de las longitudes de todos los lados
de la poligonal y los ángulos en los vértices de la misma. Los puntos del lindero y demás
detalles se pueden tomar por izquierdas y derechas, por radiación o por intersección de
visuales (doble radiación).

Topografía
 MEDICIÓN DE ÁNGULOS EN POLIGONALES CERRADAS
En una poligonal cerrada se pueden medir diferentes tipos de ángulos: ángulos internos,
ángulos externos o ángulos de deflexión en cada uno de los vértices o también
directamente los azimutes de cada uno de los lados de la poligonal base.
Medición de Ángulos internos
Para medir ángulos internos, se debe recorrer la poligonal en el

sentido contrario a las manecillas del reloj (antihorario), con el
fin de leer siempre ángulos de derecha. El procedimiento
normal consiste en centrar u nivelar el aparato en el vértice, dar
visual al vértice inmediatamente anterior con el círculo
horizontal en ceros y barrer los ángulos en el sentido horario.
Para el chequeo de los ángulos medidos en campo, se debe
tener en cuenta el valor
de la suma teórica.
Suma de los ángulos internos de una poligonal cerrada de “n” lados = 180° * (n – 2)
Medición de ángulos externos
Para medir ángulos externos se debe recorrer la poligonal

base en el sentido horario o de las manecillas del reloj,
también con el fin de leer siempre ángulos de derecha,
debido a las razones dadas para ángulos internos. La suma
teórica para este tipo de ángulos que se debe tener en cuenta
para el chequeo de campo viene dada por la expresión:
Suma de los ángulos externos de una poligonal cerrada de “n” lados = 180° * (n + 2)
Medición de ángulos de deflexión
Cuando se opta por medir los ángulos de deflexión en los

vértices de una poligonal cualquiera, no interesa el sentido en
que se recorra la poligonal durante los trabajos de campo,
pero es absolutamente indispensable, el registro del sentido
de la deflexión, ya sea izquierda (I) ó (-) o derecha (D) ó (+).

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Para su medición se centra y nivela el aparato en el vértice, se da visual al vértice anterior

con el anteojo invertido y el círculo horizontal en ceros, se transita el anteojo, el cual
quedará orientado sobre la prolongación del alineamiento anterior, y luego si se mide el
ángulo hasta el vértice siguiente. El ángulo que se lea en el limbo horizontal es el valor
de la deflexión, el cual debe estar entre 0 y 180°; se completa el registro con el sentido
de giro del plato horizontal del aparato (D ó I). La suma algebraica de los ángulos de
deflexión en una poligonal cerrada de cualquier
número de lados siempre es igual a 360°.
Método de conservación de azimutes
El azimut del primer alineamiento se lee

directamente en el campo, tomando como base
un meridiano de referencia o Norte, ya sea
magnético, arbitrario o verdadero. A partir del
segundo alineamiento, se procede como en un
levantamiento por radiación múltiple. Se centra y
nivela el aparato en el vértice, se da visual al
vértice anterior con el anteojo invertido y marcando previamente en el círculo
horizontal, el azimut de ese alineamiento, se transita el anteojo, el cual quedará
orientado sobre la prolongación del alineamiento anterior, y luego se mide el ángulo
hasta el vértice siguiente. La lectura del ángulo que se haga en el limbo horizontal del
aparato es directamente el azimut de este nuevo alineamiento. Este método
aparentemente elimina las operaciones de cálculo de azimutes, pero tiene el
inconveniente, de que los errores angulares se van acumulando.
P4: PRÁCTICA 4: martes 21 y jueves 23 de mayo de 2019:
 LEVANTAMIENTO POR POLIGONAL CERRADA MEDIDA MEDIANTE ÁNGULOS

EXTERNOS
Para nuestro caso: POLIGONAL CERRADA LEVANTADA POR ÁNGULOS EXTERNOS.
Se traza una poligonal que siga aproximadamente los linderos del terreno y desde
puntos sobre este polígono se toman los demás detalles complementarios para la
determinación del área que se desea conocer y de los accidentes u objetos que es
necesario localizar.

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Entonces: Polígono base y luego detalles por radiación (o por derechas e izquierdas, o
por doble radiación)
 Procedimiento de campo
a. Centramos y nivelamos el aparato en la estación 1. Ubicamos la norte (verdadera,

magnética o arbitraria), colocamos en ceros el aparato e iniciamos a radiar detalles
midiendo la distancia a la estación y el respectivo azimut. Luego damos vista a la
estación 2 y medimos su azimut y la distancia de 1-2.
b. Localizamos la estación 2 y damos vista a la estación 1, fijando ceros. Radiamos los

detalles respectivos midiendo el ángulo horizontal (positivo) y la distancia hasta la
estación 2. Damos vista a la estación 3, medimos su ángulo 1-2-3 y su distancia 2-3.
c. Llevamos al aparato a ∆3, lo centramos y nivelamos. Colocamos ceros con respecto

al punto 2. Radiamos los detalles respectivos midiendo su distancia hasta la estación
3 y su ángulo horizontal. Localizamos la estación 4, medimos el ángulo 2-3-4 y la
distancia 3-4.
d. Llevamos luego el aparato a ∆4 y procedemos tal como lo hicimos en ∆3. Esta

operación se repite en los vértices 5, 6, 7, 8, 9, 10.
e. Al final, volvemos a centrar y nivelar el aparato en ∆1 y leemos el ángulo 10-1-2 (tal

como se hizo en los otros vértices).
f. Antes de abandonar el sitio de trabajo comprobamos que el polígono tenga bien

determinados sus ángulos en los vértices, teniendo en cuenta lo siguiente:

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Como los ángulos fueron externos (recorrido de la poligonal en sentido horario;

recordar que interiores si la recorriéramos en sentido contrario), la suma de los
ángulos es:
(n+2)*180, n: # lados de la poligonal
 Modelo de Cartera de campo
La cartera de tránsito se puede llevar de abajo hacia arriba, con el fin de facilitar y llevar
mentalmente la secuencia y la posición relativa de los detalles y mediciones realizadas,
de esta manera, la cartera se va diligenciando en el mismo sentido de avance del
alineamiento.
Los datos tomados se pueden consignar en una cartera como la mostrada a

continuación:
ÁNGULO DISTANCIA
∆ ʘ AZIMUT OBSERVACIONES ESQUEMA
HORIZ. (m)
Si la toma de detalles se hiciera por izquierdas y derechas, la cartera de campo incluiría la

siguiente modificación:
ÁNGULO DISTANCIA ESQUEMA DE

∆ ʘ AZIMUT IZQ. DER. OBSERVACIONES
HORIZ. (m) ALINEAMIENTOS
Es apenas lógico que al sumar los ángulos no se encuentre exactamente el valor teórico
antes enunciado, sino que exista una pequeña diferencia, debido a que el valor de cada
ángulo no es el valor exacto sino el valor más aproximado que fue posible determinar.
o ERROR DE CIERRE PERMITIDO (chequear en terreno)
La discrepancia entre la suma teórica y la encontrada se denomina ERROR DE CIERRE

EN ÁNGULO y debe ser menor que la cantidad máxima permitida:

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Para levantamientos de poca precisión: ɛp = a*n

Para levantamientos de precisión: ɛp = a*√n (usamos éste)
En donde n: número de vértices de la poligonal (# de estaciones); a: aproximación del

aparato.
o ERROR DE CIERRE COMETIDO (chequear en terreno)
El error de cierre cometido se obtiene a partir de la diferencia entre la suma teórica de

ángulos y la suma observada. La suma teórica depende del método empleado en la
medición de ángulos, según se observa a continuación:
ÁNGULOS MEDIDOS SUMA TEÓRICA

Externos (n+2)*180
Internos (n–2 )*180
Deflexión 360º
De esta forma el error de cierre cometido se calcula como:
En donde: Σt : suma teórica

Σo : suma observada
Entonces: ɛ c ≤ ɛp OK .
Si el error de cierre en ángulo resulta superior al valor permitido se deben rectificar los
ángulos observados.
Si el error de cierre es menor al valor especificado, en los cálculos posteriores

procederemos a repartirlo por partes iguales entre todos los ángulos de los vértices.
 Cálculo y ajuste de la poligonal
o Corrección angular (de aquí en adelante oficina…)
La corrección que debe aplicarse a cada ángulo es:

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Cuando el error se comete por defecto, el signo de la corrección es positivo (+), si en

cambio el error se comete por exceso, el signo de la corrección es negativo (–).
Un caso especial se presenta en el levantamiento por ángulos de deflexión, donde el

signo de la corrección varía según el ángulo sea izquierda o derecha.
ERROR COMETIDO EN CORRECCIÓN

ÁNGULO POR DEFLEXIÓN G
Por defecto Suma a los ángulos de D
Resta a los ángulos de I
Por exceso Resta a los ángulos de D

Suma a los ángulos de I
o Cálculo de Azimutes y Rumbos
El cálculo del azimut de cada alineamiento, se hace en función del azimut del
alineamiento inmediatamente anterior.
Cuando se trabaja con ángulos internos o externos se debe calcular primero el

contraazimut del alineamiento inmediatamente anterior, así:
Cuando el azimut es < 180º contraazimut = azimut + 180º

Cuando el azimut es > 180º contraazimut = azimut – 180º
A continuación se muestra cómo se calcula el azimut de un alineamiento:
TIPO DE ÁNGULO CÁLCULO DEL AZIMUT

Ángulo interno Contraazimut del alineamiento anterior + interno
Ángulo externo Contraazimut del alineamiento anterior + externo
Ángulo de deflexión Azimut del alineamiento anterior + deflexión De
- – deflexión Iz
Si en cualquiera de los casos anteriores se obtiene un azimut superior a 360º debe

restarse del azimut encontrado 360º PARA HALLAR EL AZIMUT VERDADERO.
Después de tener los azimutes, se calculan los rumbos como ya se hizo anteriormente.

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o Ajuste de la Poligonal
Como en este levantamiento de poligonal cerrada se midió el terreno partiendo de un

punto y haciendo el recorrido hasta llegar al mismo punto, es apenas lógico que al
avance realizado hacia el norte debe coincidir con el recorrido hacia el sur y,
análogamente, el recorrido hacia el este debe ser igual hacia el oeste.
De esta forma se deduce que la sumatoria de proyecciones norte debe ser igual a la
sumatoria de proyecciones sur y que la sumatoria de proyecciones este debe ser igual a
la suma de proyecciones oeste.
Sin embargo, debido a los errores e imprecisiones en las medidas tanto lineales como
angulares, siempre se presenta un error, que es más pequeño cuanto más preciso se
hayan hecho las mediciones.
Este error indica que la poligonal no cierra perfectamente, es decir que el extremo final
del último alineamiento no llega exactamente al punto inicial del primer alineamiento.
Las componentes de longitud y latitud de ese error de cierre en distancia se expresan

por las siguientes expresiones. Si se toman los valores absolutos de la sumatoria de cada
una de las proyecciones, los errores de cierre en proyecciones son los siguientes:
Error en las proyecciones de latitud: NS   N   S

Error en las proyecciones de longitud: EW   E  W
Entonces es necesario corregir la poligonal así:

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CNS = kNS * la respectiva proyección de latitud
CEW = kEW * la respectiva proyección de longitud
Para las proyecciones cuya suma ha dado mayor, la corrección es negativa y para las
que ha sumado menos su corrección es positiva.
Después se calculan las coordenadas partiendo de las coordenadas dadas al primer

vértice y sumando o restando las proyecciones corregidas.
o Cálculo de los alineamientos corregidos
Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos se encuentra la longitud de los

alineamientos a partir de las proyecciones o coordenadas corregidas
o Cálculo del grado de precisión
La magnitud en distancia del error de cierre lineal de la poligonal se obtiene aplicando la

fórmula de Pitágoras:
L  NS 2  EW 2
Este error de cierre corresponde al error medio obtenido en la medición del perímetro
de toda la poligonal y se puede utilizar para calcular el grado de precisión obtenido en el
levantamiento.
Si en toda la longitud (D) de la poligonal (m)  Se comete un error medio (L) en m.

En qué distancia X  ¿Se cometerá un error de 1 metro?
D
X 

Donde:
n
D   d i Sumatoria de las longitudes de todos los lados de la poligonal base
1
(PERÌMETRO, SIN CORREGIR).
X: Grado de precisión, el cual se expresa como 1:X

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Error máximo Clase de levantamiento d

1:800 Terrenos quebrados de poco valor
1:1000 a 1:1500 Terrenos de poco valor
1:1500 a 1:2500 Terrenos agrícolas de valor medio
1:2500 a 1:4000 Levantamientos urbanos, terrenos rurales de cierto valor
1:4000 en adelante Levantamientos urbanos y terrenos bastante valiosos
1:10000 y más Levantamientos geodésicos
o Cálculo de las coordenadas de los detalles

Las coordenadas de los detalles se obtienen de la suma algebraica entre las
COORDENADAS DEL VÉRTICE A PARTIR DEL CUAL SE TOMARON y la proyección al
punto observado.
- Por radiación: azimut o rumbo del detalle y proyecciones con las distancias
medidas
- Por doble radiación: azimut o rumbo y distancia a partir de algún punto de la
Base medida
- Por izquierdas y derechas:
Donde:
NB y EB: coordenadas del vértice base
D: distancia longitudinal
Az: azimut del alineamiento base
d: distancia perpendicular al detalle
En el factor el signo será positivo si el detalle es a la derecha y negativo si el

detalle es a la izquierda.
o Cálculo del área del lote
o Cálculo de la escala

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EJEMPLO DE CARTERA: Levantamiento por poligonal cerrada: ángulos externos
En el cuadro siguiente se observan los datos tomados en un levantamiento por poligonal cerrada,
ángulos externos.
 O Angulo Hz Distancia Observaciones

1 N 00° 00’ Norte Magnética
1ª 225° 40’ 22.29 Poste cerca Lindero
1b 160° 12’ --- Poste cerca lindero.
Intersección visuales
2 26° 10’ 86.90
2 1 00° 00’ Angulos Derecha

2a 89° 15’ 18.50 Poste cerca Lindero
2b 138° 20’ 25.20 Muro en Bloque Lind
2c 189° 50’ 17.10 Muro en Bloque Lind
3 258° 25’ 186.06 A 100 m de 2 a 3, se
tomó un detalle de
Izquierda al lindero.
d = 15.70 m
3a 92° 10’ 15.50 Muro en Bloque Lind
3b 157° 13’ 21.35 Muro en Bloque Lind
3c 220° 01’ 26.32 Borde carretera 10m
4 270° 55’ 219.60

4a 35° 18’ 27.50 Borde carretera 10m
4b 85° 47’ 12.74 Intersección. Carretera y
cerca lindero
5 342°48’ 61.87

5a 68° 10’ 64.71
1b 91° 36’ --- Poste cerca lindero.
Intersección visuales

1 128° 34’ 197,21 Para el cierre Poligonal
1 5 00° 00’ Para ángulo externo final

2 259°16’ Angulo externo (derecha)
Calcular:
 Cálculo y ajuste de la poligonal
 Cálculo de alineamientos corregidos
 Cálculo de coordenadas para los detalles (tomados por radiación, por base medida y por
izquierdas y derechas).
 Cálculo del área del lote
 Cálculo de escala de dibujo (tamaño de papel: medio pliego)


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3.2.3 LEVANTAMIENTO POR POLIGONALES

De acuerdo con el método empleado para la medición de ángulos, las poligonales se

UPTC Miguel Ángel Romero F., Ing. Esp.