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Resumen Apunte de Clases
Resumen Apunte de Clases
Resumen Apunte de Clases
ICO 255
1er SEMESTRE 2007
RESUMEN
APUNTES DE CLASE
CLASE 1.
Objetivos y reglas del curso.
Respeto, participacin en clase, mostrar inters.
No fumar, apagar celulares.
Se puede ingresar con caf, bebida o alimentos livianos, siempre que no produzcan ruidos
ni olores que puedan molestar a otros.
tica. No copiar. Reconocer crditos.
Evaluacin.
1. Introduccin.
1.1. Concepto Diseo Estructural.
Qu es el diseo estructural? (Generar breve discusin en general para cualquier
material).
McCormac:
El proyectista estructural distribuye y dimensiona las estructuras y las partes de stas
para que soporten satisfactoriamente las cargas a que quedarn sometidas. Sus funciones
son: el trazado general de la estructura, el estudio de las formas estructurales posibles, la
consideracin de las condiciones de carga, el anlisis de esfuerzos, deflexiones, etc., el
diseo de los elementos y la preparacin de los planos. Ms precisamente, la palabra
diseo se refiere al dimensionamiento de las partes de una estructura despus de que se
han calculado las fuerzas.
El diseo estructural es un proceso mediante el cual se define la forma, material, tipo y
dimensiones de una estructura sometida a ciertas condiciones de carga, para satisfacer
una cierta funcin bajo condiciones esperadas de seguridad, economa esttica y armona
con el entorno.
Conceptos:
Forma, Calidad, Tipo, Dimensiones.
Funcionalidad.
Seguridad, Economa, Factibilidad.
Esttica y armona con el entorno.
CLASE 2.
1.3. Consumo de Acero en Chile y el mundo.
Principal consumidor de acero en el mundo: China 27% en 2004
Consumo de acero mundial en 2000 758 millones de toneladas
Consumo de acero mundial en 2006 1016 millones de toneladas
Consumo de acero en Chile 2006
1.8 millones de toneladas (0.17 % consumo
mundial)
Consumo per cpita en Chile: 155 Kg/hab/ao (mayor en Latinoamrica)
Consumo per cpita en Brasil: 101 Kg/hab/ao
Consumo per cpita en China: 209 Kg/hab/ao
Consumo per cpita en Estados Unidos: 411 Kg/hab/ao
Consumo per cpita en Japn: 602 Kg/hab/ao
Consumo de carne en Chile: 73 Kg/hab/ao (2002)
Consumo de alcohol: 45,4 lt/hab/ao (2000)
55% Extraccin de hierro como recurso natural.
45% Reciclaje de chatarra.
1.4. Ventajas y Desventajas del Acero Como Material Estructural.
Ventajas
Alta Resistencia en relacin al peso.
(Importante para puentes, edificios de
altura, zonas ssmicas).
Estructuras livianas.
Fundaciones ms econmicas que en
estructuras de Hormign.
Elasticidad.
Aplicabilidad de la ley de Hooke hasta
elevados valores de esfuerzo.
Desventajas
Alto Costo de Mantenimiento.
Requiere pinturas aticorrosivas, las que
deben mantenerse peridicamente.
Ductilidad.
Capacidad de experimentar grandes
deformaciones sin perder resistencia ni
estabilidad. Da seales de problemas
liviana.
Fatiga
Prdida de resistencia debido a la
aplicacin repetida de variaciones en las
cargas.
Adaptacin a la Prefabricacin.
Elementos fabricados en taller permiten
mejor control de calidad. Diferentes
sistemas de conexin (soldadura, pernos,
remaches) facilitan el montaje.
Rapidez de Montaje.
Permite un rpido avance de la obra.
Reciclaje.
Reutilizacin de elementos luego de
desmontarlos.
Venta del material como chatarra para
reciclaje.
2.2.
CLASE 3.
2.3. Tipos de Acero.
Acero.
Aleacin de varios elementos, principalmente hierro (98%) y pequeas proporciones de
carbono y otros elementos como silicio, manganeso, azufre y fsforo.
Propiedades del acero dependen principalmente de Composicin qumica.
Clasificacin
Aceros al carbono.
Principales elemento de resistencia: Carbono y manganeso.
Contenido de carbono entre 0.15% y 1.7%.
Aceros ms utilizados en estructuras tpicas.
Aceros de alta resistencia y baja aleacin.
Mayor resistencia por aleacin, adems del carbono, de elementos como vanadio, cromo,
nquel, cobre, silicio y otros.
Baja aleacin aleantes < 5% del total.
Aceros de alta resistencia, baja aleacin y resistentes a la corrosin.
Mayor contenido de cobre Mayor resistencia a la corrosin.
Uso en estructuras expuestas a la intemperie o de difcil mantenimiento.
Aceros templados y revenidos.
Mayor contenido de agentes aleantes.
Tratamiento trmico de enfriamiento rpido (revenido) y recalentamiento (templado)
Mayor resistencia y dureza. Fluencia no tan definida.
Aceros Chilenos
Norma NCh 203 Of.77
A37-24ES (Al carbono corriente. Fy =2.400 Kg/cm2).
A42-27ES (Al carbono corriente. Fy =2.700 Kg/cm2 ).
A52-34ES (Al carbono de alta resistencia. Fy =3.400 Kg/cm2 ).
COR-CAP-R (Alta resistencia a la corrosin ASTM A242).
COR-CAP-S (Alta resistencia a la corrosin ASTM A242).
A37-20 (Pernos corrientes)
A42-23 (Pernos corrientes)
Aceros Norteamericanos
Normas ASTM (American Standard for Testing & Materials).
ASTM A36 (Acero al carbono Fy = 36 Ksi).
ASTM A572M Gr50 (Acero de alta resistencia y baja aleacin. Fy = 50 Ksi).
ASTM A441 (Acero de alta resistencia y baja aleacin).
ASTM A242 (Acero de alta resistencia, baja aleacin y alta resistencia a la corrosin).
ASTM A992 (Para estructuras sismorresitentes).
2.4.
Tipos de Perfiles
Laminados en Caliente.
Secciones Cajn, Tubo, Te, Doble Te o I, C, ngulos L.
Barras y placas.
Uso en estructuras tpicas como vigas, columnas, costaneras, etc.
El acero fundido se vierte en forma continua y se hace pasar a travs de un sistema de
rodillos y prensas que le van dando forma sin permitir que se enfre sino hasta el final del
proceso.
Doblados en Fro.
Secciones de pequeo espesor ( <3 mm) dobladas en fro, con forma C, CA, S, y en
general, cualquier otra.
Se utilizan normalmente en paneles estructurales sometidos a cargas livianas y/o no
estructurales (por ejemplo, sistema Metalcon de Cintac, Vulcometal).
Debido al proceso de doblado en fro, tienen mayor punto de fluencia, pero menor
ductilidad.
La esbeltez de los elementos hace que el pandeo sea un factor muy importante a
considerar en el diseo.
Soldados.
Formados al unir placas mediante aplicacin de soldadura.
Vigas o Columnas de secciones especiales.
Se incluye las secciones compuestas.
2.5.
Nomenclatura
Estandarizacin de perfiles
2.5.1
Perfiles Norteamericanos
Secciones ngulo.
L 4x3x 1/2
Seccin (L o ngulo) Longitud lado1 en pulg. x Longitud lado2 en pulg. x Espesor en
pulg.
Secciones Te. (Fabricadas cortando por la mitad las secciones doble te).
WT12x27.5 (Obtenida de una W24x55)
Seccin (WT, ST, MT)
Altura en pulgadas x Peso en libras/pie
2.5.2
Perfiles Nacionales
NCh 203 Of.77 y modificaciones.
Manual de Diseo Para Estructuras de Acero ICHA 2001
4x3
Seccin circular Dimetro en pulgadas x Espesor en mm
2.5.3
Perfiles Europeos
CLASE 4.
Repaso
Definicin de zonas de la curva.
Zona lineal-elstica.
Zona de transicin.
Zona de flujo plstico o fluencia.
Zona de endurecimiento por deformacin.
Zona de rotura o estriccin.
Mdulos:
De Elasticidad E = 2.1 x 106 Kg/cm2.
De Poisson = l / t = 0.25
De Corte G = / = E / 2(1+ ) = 840.000 Kg/cm2.
3.
CLASE 5.
Enfoques o Mtodos de diseo:
3.1
3.2
1.4 D
1.2 D + 1.6 L + 0.5 (Lr S R)
1.2 D + 1.6 (Lr S R) + (0.5 L 0.8 W )
1.2 D + 1.6 W + 0.5 L + 0.5 (Lr S R)
1.2 D 1.0 E + 0.5 L + 0.2 S
0.9 D (1.6 W 1.0 E)
Donde:
D: Carga muerta (permanente).
L : Cargas vivas (sobrecargas)
Lr : Cargas vivas (sobrecargas) de techo.
S : Carga de nieve.
R : Carga de lluvia o hielo (acumulacin).
W : Carga de Viento
E : Carga Ssmica
Factores de minoracin de la resistencia
Traccin
Compresin
Corte
Conexiones
: =0.90
: =0.85
: =0.90
: =0.75
CLASE 6.
Breve repaso de conceptos Diseo por Tensiones Admisibles y Diseo por Factores
de Carga y Resistencia.
Ejemplo.
Una columna del primer piso de un edificio de dos pisos est sometida a las siguientes
cargas:
Carga muerta
Sobrecarga de piso
Sobrecarga de techo
Carga de nieve
: 1.000 Kg
: 2.000 Kg
: 500 Kg
: 300 Kg
i Q i R n
Rn 5471 Kg
Definicin de parmetros
Media: x = 1/n xi
_
Desviacin Standard: = 1/n (xi x) 2
Forma estandarizada de la variable x
_
U = (x x )/
Si se expresa las cargas Q y la resistencia R como funciones de densidad de probabilidad:
QUIZ 1.
CLASE 7.
Forma estandarizada de la funcin de densidad de probabilidad Ln(R/Q)
Ln (R/Q) [ Ln (R/Q ) ]m
U = -------------------------------- Ln (R/Q)
Si la probabilidad de falla PF = P ( Ln (R/Q) < 0 )
PF = P ( U Ln (R/Q) + [ Ln (R/Q ) ]m < 0 )
PF = P ( U < - [ Ln (R/Q ) ]m )
Ln (R/Q)
Definiendo
= [ Ln (R/Q ) ]m
Ln (R/Q)
[ Ln (R/Q ) ]m = Ln (R/Q)
El valor medio de Ln(R/Q) queda expresado como veces la desviacin standard.
es una medida de qu tan lejos est el valor medio de Ln(R/Q) con respecto a cero
(falla).
: Indice de confiabilidad
Mayor Mayor margen o factor de seguridad.
Expresin para el factor de minoracin de la resistencia:
= Rm e -0.55VR
Rn
Rm : Valor medio de la resistencia R.
Rn : Resistencia nominal.
VR : Coeficiente de variacin de R.
D+ (LS )
3.0
4.5
D+L+W
2.5
4.5
D+L+E
1.75
4.5
CLASE 8.
Repaso estados lmite para diseo en traccin.
a) Fluencia en la seccin bruta.
b) Ruptura en la seccin neta.
3.3.3 Esbeltez mxima de elementos en traccin.
Esbeltez = = L/r
L : Longitud del elemento.
r : Radio de giro de la seccin = I/A
Para elementos en traccin 300
Ejemplo de Anlisis.
Si el arriostramiento lateral del marco mostrado en la figura est formado por dos
elementos diagonales L 50x50x3 acero A37-24ES, conectados a la estructura mediante un
perno de de dimetro con agujero Standard en cada extremo, determinar para cada
una de las diagonales:
a) El estado lmite que controla el diseo (slo considerar cargas de traccin).
b) La resistencia nominal en traccin.
c) La resistencia de diseo en traccin.
d) La esbeltez del elemento. Cumple con el lmite mximo?
Considerar Ae = 0.8 An
Solucin
Estado lmite de fluencia.
Se verifica en la seccin total.
Para el perfil L 50x50x3:
Ag = 2,98 cm2
Pn = Fy Ag = 2.400 x 2,98 = 7.152 Kg
t Pn = 0,9 x 7.152 = 6.437 Kg
CLASE 9
Ejemplo de Diseo.
Un elemento de 2,0 m de longitud y seccin rectangular (pletina) debe resistir las
siguientes cargas:
Carga Muerta: 3.000 Kg (Traccin)
Sobrecarga : 9.000 Kg (Traccin)
El material es A37-24ES y el elemento est conectado con una lnea de pernos de 7/8 de
dimetro con agujeros Standard en cada extremo.
Determine la seccin adecuada del elemento.
Solucin
1) Determinacin de cargas mayoradas.
Combinaciones de carga:
1,4 D
= 1,4 x 3.000
= 4.200 Kg
1,2 D + 1,6 L = 1,2 x 3.000 + 1,6 x 9.000 = 18.000 Kg
Pu = 18.000 Kg
Ecuacin de diseo:
i Qi Rn
18.000 Rn
2) Estado lmite de fluencia
= t = 0.9
Rn = Fy Ag
18.000 0.9 x Fy Ag
Ag (fluencia) 18.000/(0.9 x 2.400) = 8,33 cm2 (Area bruta requerida por E.L. de
fluencia).
3) Estado lmite de ruptura
= r = 0.75
Rn = Fu Ae
18.000 0.75 x Fu Ae
Ae 18.000/(0.75 x 3.700) = 6,49 cm2
Todos los componentes del elemento estn conectados (un solo componente).
Ae = An
Dimetro pernos = 7/8
Dimetro agujero Standard = 7/8 + 1/16 = 15/16 = 2,38 cm
Dimetro agujero para diseo = 7/8 + 1/8 = 2,54 cm
Ag = An + A agujeros
Ag (ruptura) = 6,49 + 2,54 x e (Area bruta requerida por E.L. de ruptura)
Si e = 4 mm = 0,4 cm
Ag (ruptura) = 7,51 cm2 < 8,33 cm2 Controla E.L. de fluencia. 8,33 cm2
Ancho = 8,33/0,4 = 20,83 cm 21 cm
Area A = 21 x 0,4 = 8,4 cm2
Inercia I = 21 x 0,43/12 = 0,112 cm4
Radio de giro i = (0,112/8,4) = 0,115 cm
Esbeltez = L/r = 200/0,115 = 1.739 >> 300
Si e = 10 mm = 1,0 cm
Ag (ruptura) = 9,03 cm2 > 8,33 cm2 Controla E.L. de ruptura 9,03 cm2
Ancho = 9,03/1,0 = 9,03 cm 10 cm
Area A = 10 x 1,0 = 10,0 cm2
Inercia I = 10 x 13/12 = 0,833 cm4
Radio de giro i = (0,833/10) = 0,289 cm
Esbeltez = L/r = 200/0,289 = 692 >> 300
Si e = 25 mm = 2,5 cm
Ag (ruptura) = 12,84 cm2 > 8,33 cm2 Controla E.L. de ruptura 12,84 cm2
Ancho = 12,84/2,5 = 5,14 cm 5,5 cm
Area A = 5,5 x 2,5 = 13,75 cm2
Inercia I = 5,5 x 2,53/12 = 7,16 cm4
Radio de giro i = (7,16/13,75) = 0,72 cm
Esbeltez = L/r = 200/0,72 = 278 < 300 O.K.
Usar un elemento de 5,5 cm de ancho por 2,5 cm de espesor.
Ag = 5,5 x 2,5 = 13,75 cm2 > Ag (fluencia) = 8,33 cm2
Ae = An = 13,75 2,54 x 2,5 = 7,4 cm2 > An (ruptura) = 6,49 cm2
= 278 < 300
Diseo O.K. en traccin.
Sin embargo, el diseo queda controlado por el estado lmite de ruptura, lo que no es
deseable por ser una falla frgil. Se debiera cambiar el perfil de manera que el diseo
quede controlado por el estado lmite de fluencia.
CLASE 10
3.4
3.4.1
Pendiente = dy/dx
Curvatura = (x) = d2y/dx2 = y (x)
(x) = M(x) / EI
y (x) = M(x) / EI
Para este caso M(x) = - Pcr y
y (x) + Pcr / EI y = 0
El menor valor de la carga Pcr para la cual se produce pandeo elstico se obtiene para n=1.
Pcr = Pe = 2 EI / L2 Carga Crtica de Euler o Carga de Pandeo.
Si no se considera efectos de pandeo local y no hay tensiones residuales, el esfuerzo
crtico resulta:
Fcr = Pcr / A = 2 E I / (L2A)
Reemplazando:
I / A = i2
Fcr = 2 E i2 / L2
Reemplazando:
Esbeltez = = L / i
Fcr = 2 E / 2 = Fe Tensin (Esfuerzo) de Euler
El esfuerzo crtico de pandeo slo depende del mdulo de Elasticidad y de la esbeltez del
elemento, no de la tensin de fluencia del acero.
Por lo tanto, la resistencia al pandeo de un elemento no mejora si utilizamos un acero de
mayor resistencia.
CLASE 11
3.4.1.2 Pandeo Anelstico o Inelstico
Mdulo Tangente = Et < E
Esfuerzo crtico de pandeo inelstico:
Fcr = 2 Et / 2
Ce = Esbeltez lmite entre pandeo elstico e inelstico
Se produce para Fcr = Fy
Para esta esbeltez, la curva de Euler para pandeo elstico todava es aplicable.
Fy = 2 E / Ce2
Ce = (2E/Fy)
Para un acero A37-24ES
Fy = 2.400 Kg/cm2
E = 2,1x106 Kg/cm2
Ce = 131,4
Para columnas cortas con < Ce Pandeo inelstico.
Algunas o todas las fibras de la seccin alcanzan fluencia antes de alcanzar la tensin
crtica de pandeo de Euler.
Para columnas esbeltas con > Ce Pandeo elstico.
La seccin sufre inestabilidad debido a pandeo por flexin a cargas menores que las que
producen fluencia. Pandeo elstico.
En general, la expresin de la carga crtica de Euler puede ser generalizada para cualquier
condicin de borde utilizando la Longitud Equivalente en lugar de la Longitud Real.
Le = K L
Pcr = 2 EI / (Le2)
Fcr = 2 E / e2
e = Le / i = K L/ i
Longitud efectiva: Distancia entre puntos de inflexin de la elstica.
Quiz 2
CLASE 12
Repaso Ecuaciones de Diseo en Compresin.
Requisitos de Diseo (AISC)
Ecuacin de diseo:
i Qi Rn
Para elementos en compresin simple (sin momento).
= 0.85
Rn = Pn = Ag Fcr
Cmo se calcula el esfuerzo crtico en compresin?
Coeficiente de longitud efectiva de pandeo = K
Parmetro de esbeltez de columna c = KL (Fy/E) = e (Fy/E)
r
3.4.3
Pandeo Local
a) Seccin compacta
Las alas de la seccin deben estar unidas en forma continua al alma o almas del
elemento.
p para todos los elementos comprimidos que componen la seccin.
b) Seccin no compacta
c) Seccin esbelta
CLASE 13
Repaso Pandeo Local
Relacin ancho-espesor.
Limites r y p.
Secciones compactas, no compactas y esbeltas
Para elementos que resisten cargas ssmicas:
Columnas o diagonales de marcos arriostrados r para todos sus elementos
Columnas o vigas de marcos rgidos
p para todos sus elementos
Para elementos que no resisten cargas ssmicas:
No hay restricciones, pero se debe reducir la resistencia mediante el factor Q para
secciones esbeltas..
Ejemplo de Clasificacin de Seccin.
Seccin L 50x50x3 Laminada, acero A37-24ES, cargada en compresin.
Clculo de relacin ancho-espesor :
Para ambas alas = b/t = (B e R)/t = (50-3-7)/3 = 13.33
Valores lmites de la relacin ancho-espesor:
p No existe, porque un perfil ngulo no puede ser compacto.(No tiene todos sus
elementos con bordes atiesados).
r =
0.64 Ekc/Fy
4
h tw
4
280 5
0.535
r 0.64
2.1x10 6 x 0.535
13.85
2400
Alma
p = No es relevante para compresin simple. (Es relevante para flexin).
r =
CLASE 14
Efecto del Pandeo Local en el Diseo.
Ecuacin de diseo:
i Qi Rn
= 0.85
Rn = Pn = Ag Fcr
Coeficiente de longitud efectiva de pandeo = K
Parmetro de esbeltez de columna c = KL (Fy/E) = e (Fy/E)
r
b Fy
Qs 1.34 0.76( )
t
E
Si 0.45 F t 0.91 F
y
y
b
Q s 0.53E / Fy
t
E
b
Fy
t
Si 0.91
b) Para alas y placas que se proyectan desde vigas o columnas laminadas o desde
otros elementos comprimidos laminados:
E
b Fy
Qs 1.415 0.74( )
t
E
Si 0.56 F t 1.03 F
y
y
b
Qs 0.69 E / Fy
t
b
E
Si t 1.03 F
y
c) Para alas y placas que se proyectan desde vigas o columnas soldadas o armadas o
desde otros elementos comprimidos soldados:
Si
0.64
Fy
k c
b
E
1.17
t
Fy
k c
Fy
b
Qs 1.415 0.65( )
t
kc E
b
E
1.17
Si t
Fy
k c
b
Qs 0.90 Ek c / Fy
t
k c 0.763
kc
4
h tw
0.35 k c 0.763
Si 0.75 F t 1.03 F
y
y
d
Fy
d
Qs 1.908 1.22( )
t
E
d
Qs 0.69 E / Fy
Si t 1.03 F
y
Si
b
1.40
t
E
f
be 1.91t
E
f
0.38
1
b
De lo contrario be = b
b) Para otros elementos en compresin uniforme:
Si
b
1.49
t
E
f
be 1.91t
E
f
0.34
1
b
De lo contrario be = b
Donde:
b = Ancho real del elemento atiesado.
be = Ancho efectivo (reducido) del elemento.
t = Espesor del elemento.
f = Esfuerzo elstico de compresin, calculado con propiedades en las que se considera el
ancho efectivo be en lugar del ancho real b.
El factor de reduccin Q se calcula con la siguiente expresin:
Q = Qa = Area efectiva / Area real
CLASE 15
Repaso pandeo local
d= 35 cm
bf = 20 cm
tf = 1 cm
tw = 0.5 cm
Ag = 56.5 cm2
rx = 15.2 cm
ry = 4.86 cm
Anlisis del pandeo por flexin.
K = 1.0
L = 500 cm
kc
h tw
4
33 0.5
0.492
r 0.64
2.1x10 6 x0.492
13.28 > 10
2400
alas< r
Alma:
p =No es relevante para compresin simple. (Es relevante para flexin).
r =
1.49 E/Fy
r 1.49
2.1x10 6
44.07 < 66
2400
alma > r
Seccin esbelta. Afecta a pandeo local en el alma. Es necesario reducir su
resistencia con el factor Q.
Clculo del factor de reduccin por pandeo local Q.
Q = Qs Qa
Elementos no atiesados (alas). < r Qs=1.0 (no afectas a pandeo local)
Elementos atiesados (alma). Calcular ancho efectivo be.
alma = 66
be 1.91t
E
f
0.34
1
b
be 1.91x 0.5
2.1x10 6
0.34
1
0.85 x1433
66
2.1x10 6
31.2cm h 33cm
0.85 x1433
he
E
1.91
1
tw
f
0.34
h
tw
E
f
La tabla entrega el valor de la esbeltez efectiva del alma (he/tw) para diferentes relaciones
ancho-espesor y esfuerzos elsticos f.
Para el ejemplo anterior:
alma = h / tw = 66
(Relacin ancho-espesor)
f = 0.85 x 1433 = 1218 Kg/cm2 = 119 MPa
De la tabla, para h/tw = 66 y f=120 MPa se lee el valor he/tw = 61.6.
El ancho efectivo resulta be = he = 61.6 x tw = 61.6 x 0.5 = 30.8 cm
El valor calculado anteriormente desarrollando la frmula del ancho efectivo fue de 31.2
cm. El error es de 1.3%.
CLASE 16
3.4.4. Pandeo Torsional y Flexo-Torsional.
3.4.4.1 Pandeo Torsional.
Inestabilidad en que una carga axial de compresin genera torsin del elemento en
torno a su eje longitudinal.
Slo se produce en elementos con secciones doblemente simtricas como cruces
con alas de espesores muy pequeos.
3.4.4.2 Pandeo Flexo-Torsional.
Inestabilidad en que una carga axial de compresin genera pandeo por flexin del
elemento en torno a su eje dbil (con menor radio de giro) y al mismo tiempo
torsin en torno al eje longitudinal.
Este tipo de inestabilidad se produce en elementos con secciones con un eje de
simetra (secciones T, ngulos dobles, secciones C, ngulos simples) y en
elementos con secciones sin ejes de simetra (Z, ngulos de alas desiguales).
3.4.4.3 Efecto del pandeo Torsional y Flexo-Torsional en el diseo.
Se define el parmetro de esbeltez del elemento e
Fy
Fe
Fy
E
( KL / r ) e2 Fy
2E
2 EFy
2 EFe
Fy
Fe
Apunte Complementario
Fecha 16/05/07
Clculo del Esfuerzo Crtico por Pandeo Torsional y Flexo-Torsional Fe .
a) Para secciones con dos ejes de simetra.
Secciones cruz, H, cajn, tubos, etc.
(Pandeo torsional).
2 EC w
GJ
2
( K z L)
Ix Iy
Fe
Fey Fez
4 Fey Fez H
2H
( Fey Fez ) 2
1 1
2E
( K y L / ry ) 2
2 EC w
1
Fez
GJ
2
2
( K z L)
Ar0
r02 x02 y 02
Ix Iy
A
x02 y 02
2
r
0
H 1
x
( Fe Fex )( Fe Fey )( Fe Fez ) F ( Fe Fey ) 0
r0
2
e
Fex
Fey
2E
( K x L / rx ) 2
2E
( K y L / ry ) 2
y
F ( Fe Fex ) 0
r0
2
e
Para cualquier seccin de esta viga, el diagrama de cuerpo libre muestra que
existe un momento y un corte, pero no carga axial.
CLASE 17
3.5 Diseo de Elementos en Flexin
3.5.1 Teora Bsica de Flexin
Viga simplemente apoyada sometida a una carga distribuida.
Para cualquier seccin de esta viga, el diagrama de cuerpo libre muestra que
existe un momento y un corte, pero no carga axial.
Hiptesis:
M ( x)
dM
2. Compatibilidad de desplazamientos
Secciones planas permanecen planas El perfil de la seccin deformada es
una lnea recta.
Dicho de otra forma, la deformacin unitaria es directamente proporcional
a la distancia de la fibra con respecto al eje neutro. La constante de
proporcionalidad es tan().
= y tan
Para pequeas deformaciones, tan
=y
ydF
ydA
=E y
Reemplazando en la integral:
M ( x)
yEydA
a) Mdulo de seccin.
S = I/c
En este caso, por ser una seccin simtrica respecto al eje de flexin (x), el eje
neutro pasa por el eje de simetra.
c = d/2 = 30/2 = 15 cm
I = 6.070 cm4 (De tabla)
S = I / c = 6.070 / 15 = 404.7 cm3 (405 cm3 segn tabla).
b) Esfuerzo mximo de traccin.
El esfuerzo es proporcional al momento externo. Por lo tanto, el esfuerzo mximo se
producir en la seccin donde el momento es mximo, lo que ocurre para x = L/2.
Mmax = qL2/8 = 400 x 102/8 = 5.000 Kg m
Para esta seccin, el esfuerzo mximo de traccin se producir en la fibra traccionada
ms alejada del eje neutro (bajo l).
maxt = M / S = 5000 x 100 Kg cm / 405 cm3 =1.235 Kg/cm2 < Fy Resultado es
vlido.
c) Esfuerzo mximo de compresin.
Como la seccin es simtrica respecto al eje neutro, la fibra ms alejada en
compresin est a la misma distancia que la fibra ms traccionada. Por lo tanto el
valor del esfuerzo mximo de compresin es igual al de traccin.
maxc = M / S = 5000 x 100 Kg cm / 405 cm3 =1.235 Kg/cm2
d) Esfuerzo en x=4.0 m e y = 10 cm sobre el eje neutro.
El momento en x=4,.0 m es:
M(x=4) = qL/2 x qx2/2 = 400x10/2 x 4 400 x 42/2 = 4800 Kg m.
El esfuerzo en un punto ubicado a una distancia y del eje neutro es:
(y) = M y / I
(y=10) = 4.800 x 100 Kg cm x 10 cm / 6070 cm4 = 791 Kg/cm2
El esfuerzo es de compresin por estar sobre el eje neutro.
CLASE 18
y max
y 0
dA
y min
y 0
dA
=E=Ey
y max
y max
y 0
y 0
EydA
ydA
y min
y 0
y min
y 0
EydA
ydA
orden de las reas ubicadas a ambos lados del eje neutro deben igualarse en valor
absoluto.
y 0
y min
ydA
y max
y 0
ydA 0
y max
ydA 0
y min
Ai 0
y A
i
*
i
(y
*
i
*
y EN
) Ai
*
i
*
Ai y EN
Ai =
*
Ai y EN
Ai 0
*
y EN
Ag
*
y EN
*
i
Ag
Ai
*
i
Ai
y CG
centro de gravedad.
Por lo tanto, para el rango elstico y con las hiptesis usadas, el eje neutro pasa por
el centro de gravedad de la seccin.
3.5.2
Para una viga simplemente apoyada con una carga puntual en el centro de la luz, si esta
carga comienza de cero y aumenta gradualmente hasta producir el colapso, se pueden
distinguir las siguientes etapas:
a) Durante la primera parte del proceso de carga, ninguna de las fibras alcanzar el
esfuerzo de fluencia Rango lineal-elstico Es aplicable la ecuacin de Navier.
(y) = M y / I < Fy
b) Al aumentar la carga, en algn momento se alcanzar la tensin de fluencia en traccin
o compresin en la fibra ms alejada del eje neutro. (Si el eje neutro es un eje de
simetra, se alcanzar fluencia en traccin y compresin al mismo tiempo). El resto de
las fibras de la seccin permanece en el rango elstico.
Fin del rango lineal-elstico Es el ltimo nivel de carga para el cual es aplicable la
ecuacin de Navier.
(y=c) = Mc/I = Fy
M = My = Fy Sx Momento de Fluencia. Momento que produce que la
primera fibra alcance la tensin de fluencia.
c) Si la carga sigue aumentando, la fibra que alcanz fluencia no puede seguir tomando
tensiones mayores, y se deforma sin aumentar el esfuerzo. La carga debe ser
redistribuida hacia las fibras interiores que an permanecen en el rango elstico y
hacia las secciones contiguas a la seccin de mximo momento.
Fluencia avanza. La ecuacin de Navier ya no es aplicable.
max = Fy
M = ? Es necesario descomponer la seccin y determinar qu porcin del rea
permanece en el rango lineal elstico y qu porcin est en fluencia.
d) A pesar de haberse alcanzado la fluencia en varias fibras, la viga todava puede seguir
resistiendo cargas mayores, ya que algunas de las fibras de la seccin ms exigida an
estn en el rango lineal-elstico.
A medida que aumenta la carga, las fibras que han entrado en fluencia estn ms cerca
del eje neutro, hasta que todas las fibras alcanzan fluencia.
La seccin no puede resistir ms carga y comienza a deformarse sin aumentar la carga,
hasta que se produce la ruptura o colapso.
Se ha formado una rtula plstica.
Momento plstico
Mp = Fy Zx
CLASE 19
Repaso etapas en la formacin de una rtula plstica.
a) Rango lineal elstico.
= M y / I < Fy
= y < y
b) Primera fluencia.
max = Fy
max = y
M = My = Fy Sx
c) Fluencia.
max = Fy
max > y
My < M < Mp
d) Formacin de Rtula Plstica.
max = Fy
max >> y
M = Mp = Fy Zx
Equilibrio:
C=T
y max
y max
y max
y 0
y 0
y 0
dA
F y dA
dA
y 0
dA
y min
y 0
y min
y 0
Fy dA
dA
y min
Ai 0
Resultante de compresiones:
C = Ac x Fy
Brazo = ac desde el eje neutro plstico.
Resultante de tracciones:
T = At x Fy
Brazo = at desde el eje neutro plstico.
Momento resultante = Mp = Ac x Fy x ac + At x Fy x at
Por definicin del eje neutro plstico Ac = At = Ag/2
Mp = Ag/2 Fy (ac + at) = Fy Ag/2 a
Si se define Zx = Ag/2 x a
Mp = Fy Zx Es el Momento Plstico.
Zx = Mdulo de Seccin Plstico.
Por lo tanto:
Momento de fluencia My = Fy Sx
Momento plstico
Mp = Fy Zx
Ejemplo.
Para la seccin de viga mostrada en la figura, Fy=2400 Kg/cm2. Calcule:
a) El mdulo de seccin elstico Sx.
b) El mdulo de seccin plstico Zx.
c) El momento de fluencia My.
d) El momento plstico Mp.
e) El aumento porcentual de resistencia desde el instante en que se produce la primera
fluencia hasta que se produce la rtula plstica.
Solucin
a) Mdulo de seccin elstico.
Por tratarse de una seccin simtrica respecto al eje de flexin y un material homogneo,
sabemos que el eje neutro elstico pasa por el eje de simetra.
Sx = Ix/c
Ix = Inercia alma + Inercia alas
Ix = 0.5 x 28.43 /12 + 2 x (15 x 0.83 /12 + 15 x 0.8 x 14.62) = 6072 cm4.
Segn tabla Ix = 6070 cm4.
c = 30/2 = 15 cm
Sx = 6072 / 15 = 405 cm3.
Segn tabla Sx = 405 cm3.
b) Mdulo de seccin plstico.
Por tratarse de una seccin simtrica respecto al eje de flexin y un material homogneo,
sabemos que el eje neutro plstico pasa por el eje de simetra ya que las reas a ambos
lados deben ser iguales.
Zx = A/2 x a
a : Distancia entre las resultantes de traccin y compresin cuando todas las fibras estn
en fluencia Distancia entre los centroides de las reas a cada lado del eje neutro.
rea total A = Ag = 0.5 x 28.4 + 2 x 15 x 0.8 = 38.2 cm2. (38.2 cm2 segn tabla).
Clculo del centroide del rea en compresin (ubicacin de la resultante).
y CG
Ai
AT
yi cm
12
7.1
19.1
14.6
7.1
yi Ai cm3
175.2
50.41
225.61
CLASE 20
3.5.3 Estados Lmite Para Elementos en Flexin.
Una viga puede fallar de las siguientes formas (Estados lmite):
a) Fluencia.
b) Pandeo Lateral Torsional.
c) Pandeo Local del Ala.
d) Pandeo Local del Alma.
a) Fluencia.
La viga es capaz de desarrollar una rtula plstica en la seccin de momento
mximo sin que se produzca inestabilidad global o local.
Mn = Mp = Fy Zx < 1.5 My Para evitar deformaciones excesivas en estado de
servicio.
b) Pandeo Lateral Torsional.
El pandeo lateral torsional es una inestabilidad que afecta al elemento a nivel
global. Est directamente relacionado con la Longitud no arriostrada, que es la
distancia entre puntos donde la viga est impedida de girar con respecto a su eje
longitudinal (arriostramientos laterales del ala comprimida).
Lb = Longitud no arriostrada.
Longitudes lmite: Lp, Lr
Si Lb Lp
Si Lp < Lb Lr
Si Lb > Lr
CLASE 21
Continuacin Pandeo Lateral Torsional
Lr
X1
ry X 1
FL
Sx
E
Fyf
1 1 X 2 FL2
EGJA
2
X2 4
Cw S x
I y GJ
Mp = Fy Zx
CLASE 22
Lr
0.13ry E
Mp
JA
2ry E JA
Mr
Lb L p
M n C b M p ( M p M r )
L L
p
r
Mp
Esta es la ecuacin de una recta que pasa por los puntos (Lp, Mp) y (Lr, Mr).
Cb: Factor de modificacin para diagramas de momento no uniformes.
Vigas con Lb > Lr
Se produce pandeo lateral torsional antes de llegar a la fluencia de la fibra ms extrema
(pandeo lateral torsional elstico).
Mn = Mcr Mp
Momento Crtico para vigas doble te y canales:
M cr
Cb
Lb
E
C S X 2
X 12 X 2
I y C w b x 1
EI y GJ
1
2
Lb ry
2 Lb ry
Lb
2 EC b JA
Lb ry
Esta es la ecuacin del momento crtico que produce el pandeo lateral torsional elstico.
La menor distancia no arriostrada (Lb) para la cual esta ecuacin es vlida es para L b=Lr.
Para este caso, el momento crtico Mcr es igual al momento Mr calculado anteriormente.
Si la viga est sometida a un momento constante, todas las secciones tienen la misma
demanda y por lo tanto, llegarn al momento de fluencia o el momento plstico o algn
CLASE 23
Cb
2.5M max
12.5M max
3M A 4 M B 3M C
Por ejemplo, para la viga simplemente apoyada con carga puntual en el centro de la luz:
Mmax = PL / 4
MA = PL / 8
MB = PL / 4
MC = PL / 8
Cb
12.5 PL / 4
25
1.32
2.5 PL / 4 3PL / 8 4 PL / 4 3PL / 8 19
12.5M
12.5
1.00
2.5M 3M 4 M 3M 12.5
M n M p ( M p M r )
r
p
CLASE 24
0.69 E
2
Fcr
0.90 Ek c
Donde:
kc
4
h tw
0.35 kc 0.763
Para pandeo local del alma en secciones esbeltas existen otras frmulas que tratan el
alma como si fuera una placa. Es preferible evitar secciones con almas cuya relacin
ancho-espesor sea mayor que r.
Resumen Diseo en Flexin.
Ecuacin de Diseo (LRFD):
i Mi M n
= 0.9 en flexin.
Para calcular el momento resistente Mn, considerar el menor de los siguientes estados
lmite:
Estados lmite:
a) Fluencia: Mn=Mp
b) Pandeo lateral torsional: Lb Lp
Mn = Mp
(Se considera Cb)
Lp < Lb Lr Mn = Interpolacin lineal entre Mp y Mr.
Lb > Lr
Mn = Mcr (PLT elstico).
c) Pandeo local del ala:
(No se considera Cb)
p
p < r
> r
Mn = Mp
Mn = Interpolacin lineal entre Mp y Mr.
Mn = Mcr = Sx Fcr.
p
p < r
> r
Mn = Mp
Mn = Interpolacin lineal entre Mp y Mr.
No aplica (evitar almas esbeltas).
V = q x + V + V
V = - q x
Por equilibrio de momentos:
M + V x = q x x/2 + M + M
V x = q x2 / 2 + M
Si x es muy pequeo ( tiende a cero) x2 0
V x = M
Vdx = dM
V = dM/dx
El valor del corte es igual a la pendiente del diagrama de momentos. Por esta razn
cuando el momento es mximo (dM/dx = 0), el valor del corte es V=0.
CLASE 25
Para la misma viga simplemente apoyada, tomando solamente la parte superior del tramo
de longitud x:
dA
y
vbdx
dA
y
y max
b vdx
dA
Por la ecuacin de Navier deducida anteriormente (se cumplen todas las hiptesis).
(y) = M y / I
x
y max
b vdx
My
dA
I
M
b vdx
I
0
y max
ydA
y
y max
La integral
ydA
comprendida entre la fibra de inters (y) y la fibra extrema (ymax), con respecto al eje
neutro.
Reemplazando en la ecuacin anterior:
x
vdx
0
MQ
Ib
d MQ
dx Ib
dM Q
dx Ib
Pero previamente habamos demostrado que la pendiente del diagrama de momentos era
igual al corte total actuando en la seccin.
dM
V
dx
VQ
Ib
Donde:
v: Esfuerzo (tensin) de corte en la fibra de inters.
V: Fuerza de corte resultante en la seccin.
Q: Momento de rea de primer orden de la porcin de seccin comprendida entre la fibra
de inters (y) y la fibra extrema (ymax), con respecto al eje neutro.
I : Momento de Inercia de la seccin transversal total.
b : Ancho de la seccin a la altura de la fibra de inters.
Para una seccin rectangular slida:
Para determinar el esfuerzo de corte en la fibra ubicada a una distancia y del eje neutro:
Q(y) = b (h/2-y) (h/2+y) / 2 = b( h2/4 - y2) / 2
Q es una funcin cuadrtica de y. Por lo tanto la distribucin del esfuerzo de corte
tambin es una funcin cuadrtica de y.
Para la fibra ms extrema y = h/2 Q = 0 v = 0
Para el eje neutro
v
y=0
Q = bh2/8 v
V (bh 2 / 8) V (bh 2 / 8)
Ib
bh 3 / 12b
3V
V
1.5
2bh
A
El esfuerzo de corte mximo es igual a 1.5 veces el esfuerzo de corte medio V/A
CLASE 26
Para una seccin doble te:
c) Si h / t w 1.37 k v E / Fyw
El alma es esbelta y por lo tanto, la resistencia queda controlada por pandeo elstico
por corte en el alma.
Vn Aw (0.91Ek v ) /( h / t w ) 2
Donde:
kv = 5 cuando a/h > 3 a/h>[260/ (h/t)]2
kv = 5 + 5/(a/h)2
a = Distancia entre atiesadores transversales.
h= Altura recta del alma (descontar radios de giro en secciones laminadas)
Si h/tw 260 No se requiere de atiesadores de corte a infinito, kv = 5.
En este caso, las ecuaciones se transforman en:
a) Si h / t w 2.45
Vn = 0.6 Fyw Aw
b) Si
E / Fyw
Vn 0.6 F yw Aw (2.45 E / F yw ) /( h / t w )
c) Si
Vn Aw (4.52 E ) /(h / t w ) 2
Ejemplo:
Para la viga de la figura:
L= 6.0 m y qpp = 1000 Kg/m (incluyendo el peso de la viga) y qsc = 2000 Kg/m
Seccin H300x350x30
No hay atiesadores de corte.
Determine:
a) El valor del corte mximo correspondiente al estado de cargas de servicio.
b) La ubicacin de la seccin donde el corte es mximo.
c) Para la seccin donde el corte es mximo, calcular el esfuerzo de corte producido por
las cargas de servicio en la unin del ala con el alma.
d) Determinar si la viga ha sido correctamente diseada al corte.
a) Cargas de servicio:
Peso propio: qpp = 1000 Kg/m
Sobrecarga: qsc = 2000 Kg/m
Total q = 3000 Kg/m
Corte mximo de servicio = 0.6 qL = 0.6 x 3000 x 6 = 10800 Kg
b) Ubicacin de seccin con corte mximo.
En los dos apoyos intermedios.
c) Esfuerzo en unin ala-alma
Por la ecuacin de distribucin de corte en la seccin:
v
VQ
Ib
10.800 x175.2
20.78kg / cm 2
6.070 x15
Considerando el alma:
v
10.800 x175.2
623.4kg / cm 2
6.070 x0.5
h / t w 2.45 E / Fyw
La resistencia no estar controlada por pandeo por corte del alma, sino por fluencia por
corte.
Vn = 0.6 Fyw Aw = 0.6 x 2400 x 0.5 x 30 = 21.600 Kg
= 0.9
Vn = 0.9 x 21.600 = 19.440 Kg > Vu = 15.840 Kg
El diseo es adecuado.