Geometría 2D Conica - 2020 PDF

GEOMETRÍA EN EL PLANO
CÓNICAS
FADU CATEDRA DE MATEMATICA

MATEMATICA BÁSICA
MATEMÁTICA BÁSICA – FADU – UNL CÓNICAS
GEOMETRÍA EN EL PLANO
CÓNICAS
En Taller de Matemática hemos presentado las distintas cónicas, ahora haremos un

estudio detallado de las mismas, sus ecuaciones y elementos característicos a partir de
sus definiciones como lugares geométricos.
Circunferencia
Definición: Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo del mismo llamado centro. Es decir:
C = P( x, y) / d ( P, C) = r
Elementos característicos:
Centro: C ( x0 , y 0 )
Radio: r
De la condición d ( P, C ) = r tenemos: ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r , por lo tanto:
( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 Ecuación de la circunferencia de radio r y centro

C ( x0 , y 0 )
Ejemplos
1) La ecuación de la circunferencia con centro en C(-3,5) y radio 4 es:
( x + 3) 2 + ( y − 5) 2 = 16
Y su grafica:
2) La ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento determinado por los

puntos a(-2,1) y b(3,-4) es:
1 3 25
(x − )2 + ( y + )2 =
2 2 2
2
En efecto, el centro de la circunferencia es el punto medio del segmento ab :

 − 2 + 3 1− 4   1 − 3
 , = , 
 2 2  2 2 
Y el radio = d (C , A) = (− 2 − 1 2)2 + (1 + 3 2)2 = 25 4 + 25 4 = 50 4
Elipse
Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del

plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos
llamados focos, es constante. Es decir:
E = P( x, y) / d ( P, F ) + d ( P, F ) = cte
Elementos característicos
En toda elipse tenemos:
a : Longitud del semi - eje mayor

b : Longitud del semi - eje menor
c : Distancia focal
ab
Como V  E  d (V , F ) + d (V , F ) = (a - c) + (a + c) = 2 a = cte
y además, si tomamos B  E , tenemos: d ( B, F ) + d ( B, F ) = 2 a , como se muestra
en la siguiente figura:
Y aplicando Pitágoras tenemos:
a2 = b 2 + c 2
3
Elipse Horizontal
Centro : C ( x0 , y0 )
Vértices : V ( x0 − a, y0 ) V ( x0 + a, y0 )
Focos: F ( x0 − c, y0 ) F ( x0 + c, y0 )
Eje Mayor (horizonta l) : 2 a
Eje Menor (vertical) : 2b
2b 2
Lado recto : l =
a
Cuya ecuación es:
( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2
+ =1
a2 b2
Ejemplo
Dada la ecuación:
(x − 2)2 + ( y − 1)2 =1
9 4
Tenemos:
C ( 2 ,1 )
a 2 = 9  a = 3  E ma = 6
b 2 = 4  b = 2  E me = 4
c 2 = a2 − b 2 = 9 − 4 = 5  c = 5
Por lo tanto:
V (2 − 3,1) ) V (2 + 3,1)  V (− 1,1) ) V (5 ,1)

( ) (
F  2 − 5 ,1) F 2 + 5 ,1 )
24 8
l= =
3 32
4
Elipse Vertical
Centro : C = ( x0 , y0 )
Vértices : V ( x0 , y0 − a) V ( x0 , y0 + a)
Focos: F ( x0 , y0 − c) F ( x0 , y0 + c)
Eje Mayor (vertical) : 2 a
Eje Menor (horizonta l) : 2b
2b 2
Lado recto : l =
a
Cuya ecuación es:
( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2
+ =1
b2 a2
Ejemplo
Dada la ecuación:
(x + 3)2 + ( y − 1)2 =1
4 16
Tenemos:
C ( − 3 ,1 )
a 2 = 16  a = 4  E ma = 8
b 2 = 4  b = 2  E me = 4
c 2 = a 2 − b 2 = 16 − 4 = 12  c = 12
Por lo tanto:
V (− 3 ,1 − 4) ) V (− 3 ,1 + 4)  V (− 3 , − 3) ) V (− 3 , 5)
( ) (
F  − 3 ,1 − 12 ) F − 3 ,1 + 12 )
24 8
l= = =2
4 4
5
Excentricidad de la elipse
c
Se define como: e = y mide el achatamiento de la elipse.
a
Como a  c , tenemos: 0  e  1
Valores de la excentricidad próximos a 0 nos

indican que la elipse es muy parecida a una
circunferencia, y valores muy próximos a 1 nos
indican elipses muy alargadas.
Si e = 0 tenemos que: a = b , entonces la elipse se
reduce al caso particular de una circunferencia.
Ejemplos
x2
• + y 2 = 1  a = 2, b = 1 y c = 4 − 3 = 3
4
3
por lo tanto : e = = 0,866
2
x2 y2
• + = 1  a = 3, b = 8 = 2 2 y c = 9 − 8 = 1
9 8
1 
por lo tanto : e = = 0,3
3
Propiedad reflectora de la elipse
En cualquier punto P de una elipse, la recta tangente forma ángulos iguales con los
segmentos PF y PF  que unen el punto con los focos: ˆ = ˆ
6
Interpretación física:
Toda onda sonora o luminosa emitida desde un foco llegará, tras reflejarse en un
punto P de la elipse, al otro foco.
Por ejemplo, en una sala con el techo en forma de bóveda elíptica, lo que una persona
situada en uno de los focos de esa elipse habla en voz muy baja puede ser oído
perfectamente por otra persona situada en el otro foco. Hay ejemplos de “salas de
susurros” de esta clase en el Capitolio de Washington, en la Catedral de San pablo de
Londres, en museos de la Ciencia de EEUU y en castillos medievales europeos.
Problema de Aplicación de la Elipse
Se desea construir un arco semielíptico horizontal con las siguientes características: 5 mts
de altura máxima y altura a 3m de los extremos de 3m. ¿qué luz deberá tener dicho
arco?
Realizamos en primer lugar la correspondiente figura de análisis:
Tenemos:
Luz = E m a = 2a y b = 5
Elipse Horizontal y C ( 0 , 0 )

2
x y2
+ =1
a2 b2
(a - 3)2 32
Vemos que: P(a - 3 , 3)  E  + 2 =1
a2 5
(a - 3)2 9 16
Despejando: 2
= 1− =  25(a 2 − 6a + 9) = 16a2  9a 2 − 150a + 225 = 0
a 25 25

Aplicando la fórmula resolvente: a1 = 1,6 y a 2 = 15 ,
Por lo tanto, para nuestro problema: a = 15  Luz = 2a = 2  15 = 30m
7
Hipérbola
Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia en valor
absoluto de distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante y menor que la
distancia entre los focos. Es decir:
H = P( x, y ) / d ( P, F ' ) − d ( P, F ) = cte
En toda hipérbola tenemos:
a : Longitud del semi - eje real

b : Longitud del semi - eje imaginario
c : Distancia focal
Como V  H  d (V , F ) − d (V , F ) = (c - a) − (a + c) = − 2 a = 2 a = cte
Además, aplicando Pitágoras, tenemos: c 2 = a2 + b 2
8
Hipérbola Horizontal
Centro : C ( x0 , y 0 )
Vértices : V ( x0 − a, y 0 ) V ( x0 + a, y0 )
Focos: F ( x0 − c, y 0 ) F ( x0 + c, y0 )
Eje real (horizonta l) : 2 a
Eje imaginario (vertical) : 2b
b
Asíntotas : A : y − y0 = ( x − x0 )
a
b
A : y − y0 = − ( x − x0 )
a
2
2b
Lado recto : l =
a
Cuya ecuación es:
( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2
− =1
a2 b2
Ejemplo
Dada la ecuación: ( x − 1) 2 −
( y + 1)2 =1
4
Tenemos:
C ( 1,− 1 )
a 2 = 1  a = 1  E real = 2
b 2 = 4  b = 2  E imag = 4
c 2 = a2 + b 2 = 1 + 4 = 5  c = 5
Por lo tanto:
V (1 − 1, − 1) ) V (1 + 1,−1)  V (0 ,−1) ) V (2 , − 1)

( ) (
F  1 − 5 ,−1) F 1 + 5 ,−1 )
A : y + 1 = 2( x − 1) A : y + 1 = −2( x − 1)
24
l= =8
1
9
Hipérbola Vertical
Centro : C ( x0 , y 0 )
Vértices : V ( x0 , y 0 − a) V ( x0 , y 0 + a)
Focos: F ( x0 , y 0 − c) F ( x0 , y0 + c)
Eje real (vertical) : 2 a
Eje imaginario (horizonta l) : 2b
a
Asíntotas : A : y − y0 = ( x − x0 )
b
a
A : y − y0 = − ( x − x0 )
b
2
2b
Lado recto : l =
a
Cuya ecuación es:
( y − y0 ) 2 ( x − x0 ) 2
− =1
a2 b2
Ejemplo
( y − 2) 2 ( x + 3)
2
Dada la ecuación: − =1
9 4
Tenemos:
C( − 3, 2 )
a 2 = 9  a = 3  E real = 6
b 2 = 4  b = 2  E imag = 4
c 2 = a 2 + b 2 = 9 + 4 = 13  c = 13
Por lo tanto:
V (− 3 , 2 − 3) ) V (− 3 , 2 + 3)  V (− 3 ,−1) ) V (− 3 , 5)

(
F  − 3 , 2 − 13 ) F (− 3 , 2 + 13 )
3 3
A: y − 2 = ( x + 3) A : y − 2 = − ( x + 3)
2 2
24 8
l= =
3 3
10
Excentricidad de la hipérbola
c
Se define como: e = y determina su forma.
a
Como en la hipérbola c  a , siempre se tendrá: e  1.
A medida que la excentricidad crece aumenta la

apertura de la hipérbola. Si la excentricidad es un
número grande, los focos estarán cerca del centro y las
ramas de la hipérbola serán casi rectas verticales. Si la
excentricidad es un número cercano a 1(uno), los focos
estarán lejos del centro y las ramas de la hipérbola
serán más puntiagudas.
Propiedad reflectora de la hipérbola
La hipérbola tiene una propiedad de reflexión similar a la de la elipse:
En cualquier punto P de la hipérbola, la

recta tangente forma ángulos iguales
con los segmentos PF y PF  que
unen el punto con los focos: ˆ = ˆ
Si un foco luminoso F’ emite luz y ésta se refleja en la parte derecha de la

hipérbola, los rayos de luz reflejados parecerán provenir todos de F.
11
Parábola
Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen con la condición
de equidistar de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo, del mismo plano,
llamado foco, tal que el foco no pertenezca a la directriz. Es decir:
P = P( x, y) / d ( P, D) = d ( P, F )
p = d (V , F ) = d (V , D)
Parábola vertical
V ( x0 , y 0 )
F ( x0 , y 0 + p)
D : y =y0− p
Eje : x = x0
Lado recto : l = 4 p
Cuya ecuación es:
( x − x0 )2 = 4 p( y − y0 )
12
Ejemplo
Dada la ecuación: ( x − 2) 2 = 4( y + 1) Tenemos:
V (2 , − 1)
4p = 4  p =1
F (2 ,−1 + 1) = F (2 , 0)
D : y = −1 − 1  y = −2
E:x=2
l = 4.1 = 4
Parábola horizontal
V ( x0 , y 0 )
F ( x0 + p , y 0 )
D : x =x0 − p
Eje : y = y0
Lado recto : l = 4 p
Cuya ecuación es:

( y − y0 )2 = 4 p( x − x0 )
13
Ejemplo
Dada la ecuación: ( y + 3) 2 = −8( x − 1) Tenemos:
V (1, − 3)
4 p = −8  p = −2
F (1 − 2 ,−3) = F (−1, − 3)
D : x = 1 − (−2)  x = 3
E : y = −3
l = 4.(−2) = 8
Propiedad reflectora de la Parábola
En cualquier punto P de la parábola, la

recta tangente forma ángulos iguales con
el segmento PF que une el punto con el
foco y con la recta que pasa por el punto
y es paralela al eje de la parábola: ˆ = ˆ
Toda onda sonora o lumínica proveniente del foco de una parábola se refleja
paralela a su eje de simetría. Inversamente, la onda proveniente de una fuente
lejana y que es paralela al eje de simetría de una parábola, al reflejarse se
concentra en el origen.
Ejemplo de esto son los reflectores parabólicos, que concentran en el foco todos los
rayos incidentes paralelos a su eje. Recíprocamente los rayos que salen del foco de un
reflector parabólico usado como flash salen todos paralelos entre si.
14
Problema de aplicación de la parábola
El puente de Golden Gate enmarca la entrada a la Bahía

de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están
separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está
suspendido de dos grandes cables que forman una
parábola y tocan la calzada en el centro del puente. Bajo
su estructura, deja 220 pies de altura para el paso de los
barcos a través de la bahía.
Se quiere encontrar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del
puente. Para ello, en primer lugar realizamos una figura de análisis:
V (0 , 0) 
  x = 4 py
2
tenemos que:
P. Vertical
4410000
P(2100, 526)  P  (2100 ) 2 = 4 p(526)  4 p = Por lo tanto la ecuación de la
526
 4410000 
parábola es: x 2 =  y .
 526 
 4410000   526 
Si x = 1000  (1000 ) 2 =   y  y = (1000000 )   119,27
 526   4410000 
Es decir, la altura de los cables a 1000 pies del centro es aproximadamente de 119,27
pies.
15
Ecuación general de segundo grado
Toda sección cónica puede describirse como intersección de un plano y un cono de doble
hoja. Dicho plano no puede pasar por el vértice del cono, pues en ese caso la figura
resultante sería una sección cónica degenerada.
Secciones cónicas
Secciones cónicas degeneradas
Veremos que la ecuación general de segundo grado: ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0

puede representar una cónica de acuerdo a el valor del discriminante de la ecuación, que
es el número:  = b 2 − 4ac . Éste discrimina el carácter de la cónica de la siguiente manera:
• Si  = b 2 − 4ac  0 la ecuación es de tipo elíptico y su gráfica puede ser una elipse,

una circunferencia o un punto.
• Si  = b 2 − 4ac = 0 la ecuación es de tipo parabólico y su gráfica puede ser una
parábola o una recta.
• Si  = b 2 − 4ac  0 la ecuación es de tipo hiperbólico y su gráfica puede ser una
hipérbola o dos rectas.
Para las cónicas con ejes paralelos a los ejes coordenados (que son las que nosotros
estudiamos) se tiene: b = 0 .
16
Ejemplos
Vamos a analizar qué tipo de cónica representa la ecuación: x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 1 = 0 .
Tenemos: a = 1, b = 0, c = 1, d = −6, e = 2 y f = 1 , por lo tanto,

 = b 2 − 4ac = −4 x1x1  0 ; entonces, representa una cónica tipo elíptica.
¿Cuál es la grafica de dicha cónica?
Vamos a necesitar expresar la ecuación general dada en su forma canónica, para ello
utilizaremos el procedimiento de “completar cuadrados”:
En primer lugar, se asocian los términos en x y en y : ( x 2 − 6 x) + ( y 2 + 2 y ) = −1
Luego se completan trinomios cuadrados perfectos; para ello tomamos la mitad del
coeficiente de x (lo mismo para y) y lo elevamos al cuadrado; luego, los sumamos a
ambos lados de la ecuación: ( x 2 − 6 x + 32 ) + ( y 2 + 2 y + 12 ) = −1 + 32 + 12
Finalmente, se factoriza: ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 9 y a partir de esta expresión concluimos

que la ecuación dada representa una circunferencia de centro en C (3,−1) y radio r = 3
cuya gráfica es:
Ahora, veremos que cónica representa la ecuación: x 2 + 2 x − y − 3 = 0
Tenemos: a = 1, b = 0, c = 0, d = 2, e = −1 y f = −3 , por lo tanto:

 = b 2 − 4ac = −4 x1x0 = 0 ;entonces, representa una cónica tipo parabólica.
Pasamos la ecuación a la forma canónica completando cuadrados:
Como en este caso el coeficiente de y 2 es cero, tendremos una parábola vertical, por lo
tanto, es conveniente despejar y : y = x 2 + 2 x − 3 .
Agrupamos los términos en x : y = ( x 2 + 2 x) − 3
Completamos el trinomio cuadrado perfecto: y = ( x 2 + 2 x + 12 ) − 3 − 12
Y factorizamos: y = ( x + 1) 2 − 4 , resulta entonces: ( x + 1) 2 = y + 4
17
Tenemos:
V (−1, − 4)
4p =1  p =1 4
F (−1,−4 + 1 4) = F (−1, − 15 4)
D : y = −4 − 1 4  y = − 17 4
E : x = −1
l = 4.1 4 = 1
Por último, analizaremos la ecuación: x 2 + 4 y 2 − 6 x − 8 y + 9 = 0
Tenemos: a = 1, b = 0, c = 4, d = −6, e = −8 y f = 9 , por lo tanto:

 = b 2 − 4ac = −4 x1x4  0 ;entonces, representa una cónica tipo elíptica.
Pasamos la ecuación a la forma canónica completando cuadrados:
Asociamos los términos en x y en y : ( x 2 − 6 x) + (4 y 2 − 8 y ) = −9

Sacamos factor común en los términos en y : ( x 2 − 6 x) + 4( y 2 − 2 y) = −9
Completamos los trinomios: ( x 2 − 6 x + 32 ) + 4( y 2 − 2 y + 12 ) = −9 + 32 + 4(12 )
Factorizamos: ( x − 3) 2 + 4( y − 1) 2 = 4
( x − 3) 2 ( y − 1) 2
Resulta, entonces la elipse horizontal: + =1
4 1
Tenemos:
C ( 3 ,1 )
a 2 = 4  a = 2  Ema = 4
b 2 = 1  b = 1  Eme = 2
c 2 = a2 − b 2 = 4 − 1 = 3  c = 3
V (3 − 2 ,1) ) V (3 + 2 1)  V (− 1,1) ) V (5 ,1)

(
F  3 − 3,1) ) F (3 + )
3 ,1
2 1
l= =1
2
18
Curvas Planas dadas en ecuaciones paramétricas
Ya hemos visto que, si un lugar geométrico tiene una representación analítica, tal
representación puede expresarse usualmente por una única ecuación que contiene dos
variables, por ejemplo, si la curva es la gráfica de una función, la expresamos
analíticamente como y = f (x) . Veremos ahora la representación analítica de una curva
por medio de un par de ecuaciones en las cuales cada una de las variables está
expresada en función de una tercera variable llamada parámetro.
Definición: Se llaman ecuaciones paramétricas de una curva a las ecuaciones que dan
los valores de las coordenadas de un punto del plano (x, y) de la curva en función de un
único parámetro t que pertenece a un intervalo I de números reales.
 x = f (t )
 tI
 y = g (t )
Ejemplo
Vamos a graficar la curva dada por las ecuaciones paramétricas
 x = 4 − 4t 2
 con −1  t  2
 y = 2t
Con valores de t en el intervalo dado podemos construir una tabla de valores y así obtener
algunos puntos (x,y) del plano correspondientes a la gráfica de la curva. Luego, unimos
los puntos y obtenemos la gráfica.
t -1 -1/2 0 1 2
x 0 3 4 0 -12
y -2 -1 0 2 4
Una curva plana admite infinitas parametrizaciones. Por ejemplo:

x = 4 −t2
 con −4t  2
 y = −t
es también una parametrización posible para el ejemplo dado. Si realizamos la
correspondiente tabla de valores tenemos:
t -4 -3 -2 -1 0 1 2
x -12 -5 0 3 4 3 0
y 4 3 2 1 0 -1 -2
19
Gráficamente obtenemos:
que resulta igual a la gráfica anterior.
Por otro lado, usando el criterio de la recta vertical podemos ver que la gráfica de esta
curva no es la de una función, con lo cual vemos que las ecuaciones paramétricas pueden
emplearse para representar gráficas más generales que las gráficas de funciones, como
por ejemplo la gráfica de una circunferencia.
Parametrización de una curva
Si bien existen muchas formas diferentes de parametrizar una curva, dependiendo de la

forma de la ecuación, la manera natural de hacerlo es considerar x = t e y = f(t) como
se muestra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo
Para parametrizar la curva dada por: y = x 3 − x consideramos:
x =t
 t
y = t − t
3
realizamos la tabla eligiendo algunos valores del domino
t -2 -1 -1/2 0 ½ 1 2
x -2 -1 -½ 0 ½ 1 2
y 6 0 3/8 0 -3/8 0 -6
Gráficamente:
20
Parametrización de las Cónicas
Parábola
Ya hemos visto que la parábola vertical con vértice en el punto (x0 ,y0), es el lugar
geométrico de los puntos del plano que verifican la ecuación:
( x − x0 ) 2 = 4 p( y − y 0 )
por lo que es fácil comprobar que una parametrización para ella es:
 x = x0 + t

y = y + t
2
t 
 0
4p
Para la parábola horizontal con vértice en el punto (x0 ,y0), que tiene ecuación canónica:
( y − y0 ) 2 = 4 p( x − x0 ) , una parametrización posible es:
 t2
 x = x0 +
 4p t 
 y = y 0 + t
Ejemplo
La parábola (x − 1) = −8( y − 2) tendrá como ecuaciones paramétricas a:
2
 x = 1 + t
y = 2 + t
2
t 
 −8
Ya que es una parábola vertical con 4p = -8 y vértice en el punto (1,2).
Su gráfica es:
Circunferencia, elipse e hipérbola
Como despejar una de las variables en las ecuaciones de estas cónicas no es tan
inmediato como en el caso de la parábola, resulta más conveniente para ellas,
parametrizarlas utilizando nociones de trigonometría.
21
Veremos, en primer lugar, que la parametrización:

 x = 2 cos(t )
 0  t  2 (1)
 y = 2 sen (t )
corresponde a una circunferencia de centro en el origen y radio r = 2.
Para ello, comenzamos despejando cos t y sen t de las ecuaciones dadas:

x y
cos t = y sen t =
2 2
Luego, elevando, en cada ecuación, cada miembro al cuadrado, nos queda:
2 2
 x  y
cos2 t =   y sen 2 t =  
2 2
Remplazando en la identidad trigonométrica cos t + sen t = 1 obtenemos:
2 2
2 2
 x  y
cos t + sen t = 1    +   = 1 , es decir:
2 2
2  2
x 2
y 2
x + y2
2
2
+ 2
= 1  2
=1  x 2 + y 2 = 22
2 2 2
Que es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 2.
Si armamos la tabla de valores correspondiente a las ecuaciones (1) podemos generar su

gráfica:
t 0   3   3  2
4 2 4 2
x 2 2 0 - 2 -2 0 2
y 0 2 2 2 0 -2 0
Nota: al trabajar con razones trigonométricas el parámetro t es un ángulo, en este caso

menor o igual a un giro. Es conveniente, en general, trabajar en radianes.
22
De manera análoga se pueden dar parametrizaciones para cualquier circunferencia con

centro ( x0 , y 0 ) y radio r; como así también para las elipses e hipérbolas.
Presentaremos a continuación cada una de éstas cónicas con sus correspondientes
ecuaciones canónicas y paramétricas:
- Circunferencia de centro ( x0 , y 0 ) y radio r
Ecuación canónica Ecuaciones paramétricas

 x = x 0 + r. cos t
 , 0 ≤ t ≤ 2 .
( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2  y = y 0 + r.sent
- Elipse de centro ( x0 , y 0 ) , longitud del semieje mayor a y longitud del semieje

menor b

 x = x0 + a. cos t
( x − x0 )
2
( y − y0 )
2
 , 0 ≤ t ≤ 2 .
2
+ =1  y = y 0 + b.sent
a b2
 x = x0 + b. cos t
( x − x0 )
2
( y − y0 )
2
 , 0 ≤ t ≤ 2 .
2
+ =1  y = y 0 + a.sent
b a2
- Hipérbola de centro ( x0 , y 0 ) , longitud del semieje real a y longitud del semieje

imaginario b

( x − x0 )
2
( y − y0 )
2
 x = x 0 + a. sec t
− =1  t  (-/2, /2)( /2, 3/2) (*)
a 2
b2  y = y 0 + b.tgt
 x = x0 + b.tgt
( y − y0 )
2
( x − x0 )
2
 , t  (-/2, /2)( /2, 3/2) (**)
2
− =1  y = y 0 + a. sec t
a b2
 
(*) los valores de t en el intervalo ( − , ) generan la rama derecha y los valores de t en
2 2
 3
el intervalo ( ,  ) generan la rama izquierda de la hipérbola.
2 2
 
(**) los valores de t en el intervalo ( − , ) generan la rama superior y los valores de t en
2 2
 3
el intervalo ( ,  ) generan la rama inferior de la hipérbola.
2 2
23
Trabajo Práctico
Circunferencia-elipse
1) Hallar la ecuación de la circunferencia que cumpla con cada una de las condiciones
a) su radio es 7 y centro en el origen de coordenadas.
b) pasa por el punto (5,5) y centro en el origen de coordenadas.
c) tiene centro (2,3) y radio 2.
d) pasa por los puntos A = (1, 2), B = (3, 4) y tiene radio r = 5.
e) centro en el punto (-1,-3) y es tangente a la recta que une A = (-2,4) y B = ( 2,1).
2) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7,-5) y cuyo centro es el
punto de intersección entre la recta T : 3x − 2 y − 24 = 0 y la recta S : 2 x + 7 y + 9 = 0 .
3) a) Para cada una de las siguientes elipses determinar centro, vértice, focos, excentricidad
y lado recto. b) Graficar:
i)
x2
+
y2
=1 ii)
x2 y2
+ =1 iii)
( x − 3)
2
+
( y + 1)
2
=1
169 121 4 9 9 4
4) Hallar en cada caso, la ecuación de la elipse:

a) Centrada en el origen, con un foco en el punto (0,-2) y un vértice en el punto (0,-3).
b) Con focos en los puntos (-1,0) y (1,0); semieje menor igual a 2.
c) El centro en el punto A = (-2,-1), uno de sus vértices es el punto B = (3,-1) y la longitud
de cada lado recto es 4.
5) Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto (3,-1), que es tangente a la recta
y − 1 = 0 y al eje de ordenadas.
6) El arco de una cubierta es semicircular y tiene una luz de 16m. Graficar ubicando los ejes
coordenados y calcular:
a) la altura de la cubierta a 1m del centro.
b) la altura de la cubierta a 2m de los extremos.
7) La altura de un arco semicircular medida a un metro de su extremo es de 7m. Determinar

su altura máxima.
8) Un arco tiene la forma de semielipse con luz de 150m, siendo su máxima altura de 45m.
Hallar la longitud de dos soportes verticales situados a 50m de los extremos del arco.
9) El ojo de un puente para el paso inferior de una carretera de dos carriles tiene forma
aproximada de media elipse. El arco elíptico tiene un ancho total de 18m y la altura en el
centro es de 6m.
a) Determinar la ecuación de la elipse que aproximadamente describe este puente.
b) Las orillas de los carriles están señaladas por líneas a 3m de los bordes del arco.
¿Cuál es la altura sobre estas líneas?
24
10) Un salón está construido sobre una base elíptica plana y su cubierta se obtiene rotando la
semielipse 180º alrededor de su eje mayor (cámara susurrante). Si la altura máxima del
salón es de 16pies y la longitud es de 40pies, hallar la ubicación del susurro y el puesto
donde se escucha.
Hipérbola – Parábola
11) Hallar centro, focos, vértices, excentricidad, lado recto y ecuación de las asíntotas de
cada una de las siguientes hipérbolas. Graficar:
a)
x2 y2
− =1 b)
y2 x2
− =1 c)
(x + 1)2 − ( y + 3)2 = 1
25 9 9 16 16
12) Encontrar la ecuación de la hipérbola que cumpla con las condiciones dadas en cada
uno de los siguientes casos:
a) focos en (6,0) y vértices en (4,0) .
b) centro en (-2,3), b = 3, distancia del centro a cada foco c = 4 y eje real vertical.
c) vértices en (1,0) y asíntotas y = 5x .
d) vértices en (-2,2) y (-2,-4) y la longitud de sus lados rectos es 2.
13) Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (4,6), tiene el eje real
paralelo al eje X y sus asíntotas son las recta 2 x + y − 3 = 0 y 2 x − y − 1 = 0 .
14) En la estructura hiperbólica de la figura, calcular las alturas a 3m y 6m de los extremos.
15) Para cada una de las siguientes parábolas, hallar: vértice, directriz, foco y lado recto.
Luego Graficar.
c) (x − 1) = 4( y + 4)
1
a) y = − x 2 b) y 2 = 6 x
2
20
16) Hallar la ecuación de la parábola que cumple las condiciones enunciadas en cada
inciso:
a) vértice V = ( 0, 0) y directriz la recta D : y – 5 = 0.
b) vértice V = ( 2, 1), eje paralelo al eje X y que pasa por el punto ( -2, 4).
c) foco F = (-3/4,1) y directriz la recta D : x = 3/4.
d) pasa por los puntos (4,-2), (0,0), (3,-3) y tiene eje vertical.
25
17) Con los datos de la figura, obtener la ecuación de cada una de las parábolas dibujadas:
18) Hallar las ecuaciones de las parábolas de foco F = (-2,3) y lado recto el segmento
determinado por los puntos P = (-2,2) y Q = (-2,4). Graficar.
19) El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de

parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60m y está separados 500m,
quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10m sobre la calzada del puente.
Tomando como el eje X la horizontal que define el puente y como eje Y el de simetría de la
parábola, hallar la ecuación de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80m del
centro del puente. Realizar figura de análisis.
20) El ancho máximo de una zanja en forma parabólica es de 6,5m. Sabiendo que su
máxima profundidad es de 2m, determinar:
a) La ecuación de la parábola que se ajusta al problema. Realizar gráfico de análisis.
b) A cuantos metros de los extremos la profundidad de la zanja es de 1,20m.
21) Un faro reflector parabólico tiene un ancho de 10 pulgadas y tiene 6 pulgadas de

profundidad; sabiendo que el filamento del bulbo debe ubicarse en el foco de la parábola,
determinar a que distancia del vértice quedará.
Ecuación general de segundo grado

22) En cada una de las siguientes ecuaciones analizar qué lugar geométrico representa,
hallar sus elementos y graficar:
a) 5 x 2 + 5 y 2 − 10 x − 30 y − 110 = 0
b) x 2 + 4 y 2 + 2 x − 12 y + 6 = 0
c) 6 x 2 − 4 y 2 − 84 x + 24 y + 306 = 0
d) x 2 + 5 y − 18 x + 66 = 0
e) − 4 x 2 + 3 y 2 − 8 x − 30 y + 71 = 0
23) Dados los puntos A = (-1,3), B = (2,3), C = (-1/2,1);

a) Escribir la ecuación de la recta T que pasa por A y C. Indicar su ángulo de inclinación.
b) Escribir la ecuación de la recta S que pasa por B y es perpendicular a T.
26
c) Escribir las ecuaciones de las rectas que pasan por B y son paralelas a los ejes
coordenados.
d) Escribir la ecuación de la elipse cuyo eje menor coincide con el segmento AB y el eje
mayor es de longitud 7.
e) Graficar las rectas y la elipse de los incisos anteriores.
24) Hallar la ecuación de la elipse inscripta en la circunferencia (x − 4) + ( y − 7) = 25 , con

2 2
semieje mayor vertical y distancia entre sus focos igual a 6.
25) Dada la siguiente hipérbola: 5 x 2 − 4 y 2 − 20 x + 16 y − 16 = 0

a) Determinar su centro, sus focos, sus vértices y sus asíntotas.
b) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P = (2,5) y son paralelas a
las rectas asíntotas de la hipérbola.
c) Graficar la hipérbola y las rectas.
26) Dada la siguiente ecuación: x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 36 = 0

a) Reconocer el lugar geométrico.
b) Encontrar analíticamente, si existe, los puntos de intersección con la recta
R : 3x − 4 y + 17 = 0 .
c) Graficar.
27)
a) Hallar analíticamente la intersección entre los siguientes lugares geométricos.
Identificar previamente que figura representa cada ecuación.
i) y 2 = 6 x; 3x + 2 y − 6 = 0
ii) (x − 4) + ( y − 3) = 20 ; x + 2 y − 20 = 0
2 2
iii) y = x 2 − x ; y = 3x − x 2
b) Verificar gráficamente.
28) El túnel de ferrocarril que contiene a las vías, como muestra

la figura, tiene forma elíptica. El eje mayor mide 8m y el menor
4m. ¿Cuál es la altura máxima del túnel, si su ancho al nivel del
suelo es de 2,6m?
29) Cada uno de los arcos parabólicos

de un puente de 5m de altura apoyan
sobre pilares de 3m separados 12m uno
de otro. Para hacer una reparación se
necesitan colocar a 2m de cada pilar,
columnas provisorias apoyadas en la
base. ¿Cuál será la longitud de cada
columna?
27
Ecuaciones paramétricas
30) Identificar cada cónica, dar sus ecuaciones paramétricas y graficar.
x2 y2 ( y + 1) 2
a) + =1 b) x 2 + =1
16 4 4
c) y 2 − ( x + 5) 2 = 1 d)
( x − 2)
2
−
y2
=1
16 4
e) ( x + 3) 2 + ( y − 3) 2 = 2 f) x 2 + ( y + 1) 2 = 4
g) ( y − 6) 2 = x h) ( y − 2) 2 = −12( x − 3)
31) Identificar y graficar cada par de curvas en un mismo sistema de ejes cartesianos.
 t2  x = −1 + t
 x = −1 −
a)  4 y 
 y = 2 + t y = 2 + t
 x = −1 + 4 cos(t )  x = −1 + 2t
b)  y 
 y = −1 + 2 sen (t )  y = −1 − 3t
 x = 2 + 2 cos(t )  x = 2 + t
2
c)  y y = 2 − t
 y = 2 + 2sen (t )  6
x = 2 − t  x = −2 + t
d)  −7 t  2 y 
y= t y = 2 + t
32) Modelizar la puerta de las caballerizas de la finca Güell, construida por el Arq. Antonio
Gaudí en Barcelona. Las medidas son las dadas en la imagen.
a) Realizar un esquema de análisis,

identificando las curvas presentes.
Para la modelización estática:
b) Ubicar los datos en un sistema de ejes
cartesianos.
c) Escribir las ecuaciones cartesianas y
paramétricas de las curvas, hallando
previamente los elementos particulares
de cada una y los dominios de “t” para las
ecuaciones paramétricas.
Para la modelización paramétrica:
d) Definir parámetros y relaciones.
e) Repetir el ítem “b” y “c” utilizando los
parámetros en lugar de los valores fijos.
f) Modelizar paramétricamente utilizando Grasshopper.
28
Respuestas
1) a) x 2 + y 2 = 49 b) x 2 + y 2 = 50 c) (x − 2)2 + ( y − 3)2 = 4
d) (x + 1.39)2 + ( y − 6.39)2 = 25 e) (x + 1)2 + ( y + 3)2 = 25
2) (x − 6)2 + ( y + 3)2 = 5
3)
Excentricidad Centro Vértices Focos Lado recto
4 3 /13 (0,0) ( 13,0) (
 4 3,0 ) 242/13
5 /3 (0,0) (0,  3 ) (0, 5 ) 8/3
5 /3 (3,-1) (3  3,−1) (3  5,−1) 8/3
x2 y2 x2 y2 ( x + 2) 2 ( y + 1) 2
4) a) + =1 b) + =1 c) + =1
5 9 5 4 25 10
( x − 3) 2 ( y + 1) 2
5) + =1
9 4
6) a) altura = 63 b) altura = 28
7) Altura máxima = 25m
8) 42.43m
x2 y2
9) a) + =1 b) 4.47m
81 36
10) a 12 pies del centro sobre el eje mayor, hacia un lado u otro indistintamente.
11)
Centro Focos Vértices Excentricid. Asíntotas Lado recto

(0,0) (
 34 ,0 ) ( 5,0) 34 / 5 y= x
3 18/5
5
(0,0) (0,5) (0,3) 5/3
y= x
3 32/3
4
(-1,-3) (− 1  17 ,−3 ) (− 1  4,−3) 17 / 4 y + 3 =  (x + 1)
1 1/2
4
12) a)
x2 y2
− =1 b)
( y − 3)2 − (x + 2)2 =1 c) x 2 −
y2
=1 d)
( y + 1)2 − (x + 2)2 =1
16 20 9 7 25 9 3
29
13) 4.(x − 1) − ( y − 1) = 11
2 2
14) A los 3 metros: 21m ; A los 6 metros : 12m
15)
Vértice Directriz Foco Lado recto

(0,0) Y=5 (0,-5) 20
(0,0) X = -3/2 (3/2,0) 6
(1,-4) Y = -5 (1,-3) 4
2
 5  25 
b) ( y − 1) = − ( x − 2) ( y − 1)
9
16) a) x = −20 y = −3x d)  x −  = 2 y + 
2 2 2
c)
4  2  8 
4
17) P1 : y 2 = x P2 : y 2 = −16 x
3
 3  5
18) P1 : ( y − 3) = −2 x +  P2 : ( y − 3) = 2 x + 
2 2
 2  2
19) a) x 2 = 1250 .( y − 10 ) b) altura = 15,12m
20) a) x 2 = (5,28125 )( y + 2) . Fijando el eje x al nivel de la superficie y el eje y coincidente con el

eje de simetría de la parábola.
b) Aproximadamente a 1,20m de los extremos.
21) 1,04 pulgadas
22)
Cónica Elementos
a) Circunferencia C = (1,3) r = 32
b) Elipse C = (-1,3/2) V = (-1  2,3/2) 2.a = 4
( )
F = − 1 3,3 / 2 2.b = 2 lado recto = 1
c) Hipérbola C = (7,3) V = (7,3  12 ) 2.a = 2. 12
(
F = 7,3  20 ) 2.b = 2 8 l.recto =
4 12
3
d) Parábola ( E // Y ) V = (9,3) F = ( 9, 7/4) E : x = 9
D : y = 17/4 lado recto = 5
e) Cónica degenerada Dos rectas que se cortan en ( -1, 5)
2
 1
4 x − 
4( y − 3)
2
23) a) T : y = −4 x − 1
1
b) S : y = x +
5
c) x = 2, y = 3 d)  2
+ =1
4 2 9 49
30
24) E :
( x − 4 )2 + ( y − 7 ) 2 =1
16 25
25) a)
( x − 2 )2 − ( y − 2 ) 2 =1 C = (2,2) V = (2  2,2) F = (2  3,2) A: y = 2 
5
(x − 2)
4 5 2
b) y = 5 
5
(x − 2)
2
26) a) El lugar geométrico es una circunferencia. b) (-11/5, 13/5).
27)
a) Parábola – recta Puntos de intersección = (2/3,2) y (6, -6)
b) Circunferencia – recta Punto de intersección = (6, 7)
c) Parábola – Parábola Puntos de intersección = ( 0, 0 ) y ( 2, 2)
28) 3,89 metros.
29) 5,70 metros.
31

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GEOMETRÍA EN EL PLANO

FADU CATEDRA DE MATEMATICA

En Taller de Matemática hemos presentado las distintas cónicas, ahora haremos un

De la condición d ( P, C ) = r tenemos: ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r , por lo tanto:

( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 Ecuación de la circunferencia de radio r y centro

2) La ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento determinado por los

En efecto, el centro de la circunferencia es el punto medio del segmento ab :

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del

En toda elipse tenemos:

a : Longitud del semi - eje mayor

Y aplicando Pitágoras tenemos:

Cuya ecuación es:

V (2 − 3,1) ) V (2 + 3,1)  V (− 1,1) ) V (5 ,1)

Cuya ecuación es:

Valores de la excentricidad próximos a 0 nos

Propiedad reflectora de la elipse

Problema de Aplicación de la Elipse

Realizamos en primer lugar la correspondiente figura de análisis:

Por lo tanto, para nuestro problema: a = 15  Luz = 2a = 2  15 = 30m

H = P( x, y ) / d ( P, F ' ) − d ( P, F ) = cte

En toda hipérbola tenemos:

a : Longitud del semi - eje real

Además, aplicando Pitágoras, tenemos: c 2 = a2 + b 2

V (1 − 1, − 1) ) V (1 + 1,−1)  V (0 ,−1) ) V (2 , − 1)

Cuya ecuación es:

V (− 3 , 2 − 3) ) V (− 3 , 2 + 3)  V (− 3 ,−1) ) V (− 3 , 5)

A medida que la excentricidad crece aumenta la

Propiedad reflectora de la hipérbola

La hipérbola tiene una propiedad de reflexión similar a la de la elipse:

En cualquier punto P de la hipérbola, la

Si un foco luminoso F’ emite luz y ésta se refleja en la parte derecha de la

Cuya ecuación es:

Dada la ecuación: ( x − 2) 2 = 4( y + 1) Tenemos:

Cuya ecuación es:

Dada la ecuación: ( y + 3) 2 = −8( x − 1) Tenemos:

Propiedad reflectora de la Parábola

En cualquier punto P de la parábola, la

Problema de aplicación de la parábola

El puente de Golden Gate enmarca la entrada a la Bahía

Ecuación general de segundo grado

Secciones cónicas degeneradas

Veremos que la ecuación general de segundo grado: ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0

• Si  = b 2 − 4ac  0 la ecuación es de tipo elíptico y su gráfica puede ser una elipse,

Vamos a analizar qué tipo de cónica representa la ecuación: x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 1 = 0 .

Tenemos: a = 1, b = 0, c = 1, d = −6, e = 2 y f = 1 , por lo tanto,

¿Cuál es la grafica de dicha cónica?

En primer lugar, se asocian los términos en x y en y : ( x 2 − 6 x) + ( y 2 + 2 y ) = −1

Finalmente, se factoriza: ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 9 y a partir de esta expresión concluimos

Ahora, veremos que cónica representa la ecuación: x 2 + 2 x − y − 3 = 0

Tenemos: a = 1, b = 0, c = 0, d = 2, e = −1 y f = −3 , por lo tanto:

Pasamos la ecuación a la forma canónica completando cuadrados:

Por último, analizaremos la ecuación: x 2 + 4 y 2 − 6 x − 8 y + 9 = 0

Tenemos: a = 1, b = 0, c = 4, d = −6, e = −8 y f = 9 , por lo tanto:

Pasamos la ecuación a la forma canónica completando cuadrados:

Asociamos los términos en x y en y : ( x 2 − 6 x) + (4 y 2 − 8 y ) = −9

V (3 − 2 ,1) ) V (3 + 2 1)  V (− 1,1) ) V (5 ,1)

Curvas Planas dadas en ecuaciones paramétricas

Una curva plana admite infinitas parametrizaciones. Por ejemplo: