CAPÍTULO 2

BALANCES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

EN LA ENVOLTURA Y DISTRIBUCIONES DE
VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR

2.1 BALANCES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN LA ENVOLTURA Y

CONDICIONES LÍMITE
Los balances de cantidad de movimiento se establecen sobre una delgada “envoltura” del fluido.
Para flujo estacionario, el balance de cantidad de movimiento es:

 velocidad   velocidad   velocidad   velocidad   suma de 

 de entrada de   de salida de   de entrada de   de salida de   las fuerzas 
 cantidad   cantidad   cantidad   cantidad   
de movimiento   de movimiento   de movimiento   de movimiento   que actúan   0
 2.1  1
 por transporte   por transporte   por transporte   por transporte   sobre el 
 convectivo   convectivo   molecular   molecular   sistema 
       

1) Al sistema puede entrar cantidad de movimiento:

Por transporte molecular, de acuerdo con la expresión newtoniana de densidad de flujo de cantidad de
    (d x / dy ).
movimiento, yx También puede entrar debido al movimiento global del fluido.
2) Las fuerzas que nos interesan son:
Las fuerzas de presión (actuando sobre superficies) y las fuerzas de gravedad (que actúan sobre todo el
volumen).

Procedimiento a seguir para plantear y resolver problemas de flujo viscoso

1) Escribir un balance de cantidad de movimiento en la forma de la ecuación 2.1-1 para una envoltura de
espesor finito, sobre una delgada envoltura perpendicular a la variable espacial relevante.
2) Hacer tender hacia cero, este espesor y utilizando la definición matemática de la primera derivada obtener
la ecuación diferencial correspondiente para la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
3) Introducir la adecuada expresión newtoniana de densidad de flujo de cantidad de movimiento, con el fin
de obtener una ecuación diferencial para la distribución de la velocidad.
4) Integrar las dos ecuaciones diferenciales para obtener respectivamente:
- La distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento en el sistema.
- La distribución de velocidad en el sistema.

Condiciones límite

Son valores concretos que toma la variable dependiente, para valores de la variable independiente. La mayor
parte de las condiciones límite utilizadas son las siguientes:
En interfases sólido-fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie
sólida; es decir, se supone que el fluido está adherido a la superficie, lo que se denomina “condición no
deslizante”.
En interfases líquido-gas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento, y por consiguiente, el gradiente de
velocidad en la fase líquida es extraordinariamente pequeño, y en la mayor parte de los cálculos puede
suponerse igual a cero.
En interfases líquido-líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento, como la velocidad son
continuas a través de la interfase; es decir, que son iguales a ambos lados de la interfase.

2-1
2.2 FLUJO DE UNA PELÍCULA DESCENDENTE

Estas películas se han estudiado en relación con operaciones de transferencia de masa como: torres de pared
mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases, y aplicación de capas de pintura a rollos de papel.

Figura 2.2-1 Diagrama esquemático de una película descendente, con indicaciones de los efectos finales.(En la región L,
la distribución de velocidad está totalmente desarrollada).

La viscosidad (μ) y densidad del fluido (ρ) se supone que son constantes. Se considera una región de longitud
L, suficientemente alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de entrada y salida no
están incluidas en L; es decir, que en esta región el componente  z de la velocidad es independiente de Z.

Veamos además los siguientes esquemas:

L = longitud de una región, m.

W = distancia en el eje Y, m.
τxz = esfuerzo cortante, [=Fz/Ax];donde “z” es el eje al cual la tensión componente particular es paralela, y “x”
es el eje al cual la cara Ax (plano zy) es perpendicular.

Figura 2.2-2 Flujo viscoso isotérmico de una película de líquido bajo la influencia de la gravedad, sin formación de
ondulaciones. Capa de espesor Δx sobre la que se aplica el balance de cantidad de movimiento. El eje Y es perpendicular
al plano del papel.

2-2
Comenzamos aplicando un balance de cantidad de movimiento z (que es un balance de fuerzas), sobre un
sistema de espesor x , limitado por los planos z  0 y z  L , y que se extiende una distancia W en la
dirección Y. Las distintas componentes del balance de cantidad de movimiento son:

Velocidad de entrada de cantidad de movimiento z, a través de la superficie situada en x.

( LW ) ( xz ) x (transporte viscoso)  2.2  1
Velocidad de salida de cantidad de movimiento z, a través de la superficie x+Δx.
( LW ) ( xz ) x  x (transporte viscoso)  2.2  2 
Velocidad de entrada de cantidad de movimiento z, a través de la superficie situada en z = 0.
(W x  z ) (  z ) z  0 (movimiento global del fluido)  2.2  3
Velocidad de salida de cantidad de movimiento z, a través de la superficie situada en z = L.
(W x  z ) (  z ) z  L (movimiento global del fluido)  2.2  4 
Fuerza de gravedad que actúa sobre el volumen de fluido.
( LW x)(  g cos  )  2.2  5
Sustituyendo estos términos en el balance de cantidad de movimiento de la ecuación 2.1-1:
 Entrada – Salida   Entrada – Salida  (Fuerzas de cuerpo)
Cantidad de movimiento  Cantidad de movimiento  Gravedad que actúa sobre  0
por transporte viscoso por el mov. global del fluido el volumen del fluido
se obtiene:
LW ( xz ) x  LW ( xz ) x  x  W x  z2
z 0
 W x  z2
zL
 LW x  g cos   0  2.2  6 
Como υz es la misma para z = 0 y z = L, para cada valor de x, los términos tercero y cuarto se anulan entre sí.
Cambiando de signo en ambos miembros:
LW ( xz ) x  x  LW ( xz ) x  LW x  g cos   0
Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por LWΔx y tomando el límite cuando Δx → 0:
  xz x x   xz x 
lím 
x  0 
   g cos   2.2  7 
 x 
El primer miembro de esta ecuación es por definición la primera derivada de τxz con respecto a x. Por lo tanto,
la ecuación 2.2-7 puede escribirse así:
d
( xz )   g cos   2.2  8 
dx
que es la ecuación diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento xz. Operando e integrando:
d ( xz )   g cos  dx
 xz   g cos  x  C1  2.2  9 
C
La constante de integración 1 puede evaluarse aplicando la condición límite correspondiente a la interfase
 xz 0
líquido-gas: x 0

C.L.1: en x  0,  xz  0  2.2  10 
Sustituyendo en la ecuación 2.2-9 se tiene:
0   g cos  (0)  C1  C1  0
Por lo tanto, la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es:
 xz   g x cos   2.2  11
Luego para fluidos newtonianos:
d  2.2  12 
 xz    z
dx
d z
   g x cos 
entonces: dx

2-3
   g cos  
d z     x dx  2.2  13
  
  g cos  
z      xdx  C2
e integrando:   
  g cos   2
z     x  C2  2.2  14 
 2 
La constante de integración C2 puede evaluarse mediante la condición límite:
C.L.2: en x     z  0 (interfase sólido-líquido)  2.2  15
Sustituyendo esta condición límite en la ecuación 2.2-14
  g cos   2
0    C2
 2 
Por consiguiente la distribución de velocidad es:
  g cos   2   g cos   2
z    x  
 2   2 
 g cos  2 2
z 
2
  x 
 g cos  2   x  
2

z  1      2.2  16 
2     
Resulta, por tanto, que el perfil de velocidad es parabólico.

Una vez que se ha obtenido el perfil de velocidad, pueden calcularse las siguientes magnitudes:

 z ,max :
i) Velocidad máxima, es evidentemente la velocidad para x  0 ; por tanto; en 2.2-16
 g cos  2
 z ,max   2.2  17 
2
 :
ii) Velocidad media, z en una sección de película se obtiene por el cociente flujo / área:
W    g cos  
W 
   dxdy 0 0

2 
  2  x 2   dxdy
z  0 W 0 
z
  
W 
  dxdy
0 0   dxdy
0 0

  g cos  W 2   g cos  W 2
z    dx   x dx
0 2W  0 2 W 
 g 3W cos   g 3W cos  3 g 2 cos    g 2 cos 
z   
2  W 6  W 6
 g 2 cos 
z   2.2  18 
3
iii) Velocidad volumétrica de flujo, Q; se obtiene por integración de la distribución de velocidad:
W    g cos  
  2  x 2   dxdy
W 
Q     z dxdy    
0 0 0 0
 2 
W    g 2 cos   W    g cos  
Q    dxdy  0 0 
2
 x dxdy
0 0
 2    2  
 g 3W cos   g 3W cos  3 g 3W cos    g 3W cos 
Q  
2 6 6

2-4
  g 3W cos 
Q  2.2  19 
3
También a partir de la velocidad media:
 g 2 cos 
Q  W  z  W
3
 g 3W cos 
Q
3
iv) Espesor de película, ; puede expresarse en función de:

z
La velocidad media, : De 2.2.18
3  z
  2.2  20a 
 g cos 
La velocidad volumétrica de flujo,
Q : De 2.2.19
3 Q
3  2.2  20b 
 gW cos 
La velocidad de flujo de masa por unidad de anchura de pared,  :
M L M
    z    3 L 
L  L
  3
 = 2 2  3  2
 z  g cos   g cos 
3
3
 3  2.2  20c 
 2 g cos 
v) Componente z de la fuerza F del fluido sobre la superficie, se obtiene integrando la densidad del
flujo de cantidad de movimiento sobre la interfase fluido-sólido:
L W L W d
Fz     xz x  dydz      z dydz
0 0 0 0 dx x 

 g cos 
2
  g cos   2
z   x
2  2 
d z   g cos    g cos 
   2x 
dx x   2   x  
  g cos  
Fz   LW        
   
Fz   g LW cos   2.2  21
Es evidente que esto corresponde exactamente a la componente z del peso de todo el fluido contenido en la
película.
Observaciones experimentales de películas descendentes muestran que en realidad hay tres “regímenes de
flujo”, y que estos pueden clasificarse según el número de Reynolds, Re, para el flujo. Para películas
Re  4  z  / .
descendentes Los tres regímenes de flujo son:
flujo laminar con ondulaciones despreciables Re < 20
flujo laminar con ondulaciones pronunciadas 20 < Re < 1500
flujo turbulento Re > 1500

2-5
2.2-1 Cálculo de la velocidad de una película

Un aceite tiene una viscosidad cinemática de 2  10 m /s y una densidad de 0,8  10 kg/m . Si se desea
4 2 3 3

tener una película descendente de espesor igual a 2,5 mm en una pared vertical, ¿cuál debe ser la velocidad de
flujo másico del líquido?

Solución

De la ecuación 2.2-21, la velocidad de flujo en kg/s es:

  g 2 cos    2 gW  3 cos   gW  3 cos 
w  W   z  W    
 3  3 3

 gW  3 cos   0,8  10  kg  m  9,8m  s  W m   2,5  10 m  cos  0 

3 3 2 3 3

w 
3 3 2  104  m 2s-1
w  0,204W kg  m/s  2.2  22 
Así, para obtener la velocidad de flujo másico es necesario insertar un valor para el ancho de la pared (m).
Asumiendo que el flujo es laminar y sin ondulaciones, calculamos el número de Reynolds de la siguiente
manera:
sección disponible para el flujo W 
rh   
perímetro mojado W
w   A  w   z W 
De  4rH  4
( De) 4  
Re  
 
w
    z  ,
Sin embargo: W velocidad de flujo de masa por unidad de anchura de pared
( De) 4w / W 4w / W
Re   
  
4  0,204 
Re   5,1  2.2  23
 2  10   0,8  10 
4 3

Este número de Reynolds es lo suficientemente bajo como para que las ondulaciones no sean pronunciadas, y
en consecuencia la expresión para la velocidad de flujo másico calculada es razonable.

2.2-2 Película descendente con viscosidad variable

Vuelva a trabajar el problema de la película descendente para una viscosidad dependiente de la posición
  0 e  x /  , que surge cuando la película no es isotérmica, como en la condensación de un vapor sobre una

pared. Aquí 0 es la viscosidad en la superficie de la película y  es una constante que describe lo rápido
que disminuye
 a medida que x crece. Una variación así podría presentarse en el flujo de un condensado
que desciende por una pared con un gradiente de temperatura lineal a través de la película.

Solución

:  xz   g x cos 
El desarrollo procede como antes hasta la ecuación 2.2-11

2-6
  z
 zx   
Después al sustituir la ley de Newton x con la variable viscosidad en la ecuación 2.2-13:
d z   g cos  
  x
dx    se obtiene:
d z  2.2  24 
  0 e  x /    gx cos 
dx
 g cos 
 xdx  d z
 0 e   x /  
  x / 
Integrando aparte  xe dx
se tiene:

Sabemos que:
d (u )  u d   du   ud  u    du
  x /     x / 
d  e dx    e
Sea: u  x  du  dx, 
  x /     x /     x / 
Luego:
 xe dx  x 

e  e

dx
2
  x /     x /       x / 
 xe dx  
xe   e
 
C

 g cos   g cos      x /    2   x /  
z    xe  x /   dx    xe   e C
0 0 
Por tanto:    

Determinamos el valor de la constante de integración C con la condición límite

 z  0 para x   ; entonces:
 g cos    2    /        /   
2

0  e   e C
0 
   

2  2  2  2 
0 e  2 e C  C e  e
  2 
Por lo tanto se tiene:
 g cos      x /   2   x /   2   2  
z    xe  2e  2e  e 
0     

 g cos  2  xe  x /   e  x /  e e 
z       2   2   
0  
Luego:
Así el perfil de velocidad es
 g 2 cos     1 1   x /  x 1 
z  e     2   e   2   2.2  25
0       

Como verificación evaluamos la distribución de velocidad para el problema de viscosidad constante (es decir,
cuando  es cero). Sin embargo, al hacer   0 se obtiene
 y   en las dos expresiones entre
paréntesis.
Esta dificultad puede superarse si las dos exponenciales se expanden en serie de Taylor, (ver C.2)
como sigue:
1  dy  1  d2y  1  d3y 
y  x   y xx    x  x0    2   x  x0    3   x  x0   ...
2 3
 

0
1!  dx x  x0  2!  dx x  x  3!  dx x  x 
 0   0 

2-7
  2 3 2 3
e  1     ...  1      ...
1! 2! 3! 2 6
 x  2 x 2  3 x3
e x /   1     ...
1! 2! 2 3! 3
 g 2 cos   2 3  1 1 
  z   0  lim  1      ...   2 
0  0
 2! 3!    
Luego:
  x  2 x2  3x3  x 1 
 1     ...    2 
  2! 2
3! 3
     
 g 2 cos   2 3  1 1 
  z   0  lim  1      ...   2 
0   0
 2 6    
  x  2 x2  3x3  x 1 
 1     ...    2 
  2 2
6 3
     
Desarrollando la primera parte del límite tenemos:
2 3
1  
2 6
1 1

 2
1  2 1 1 1 
1     
 2 6 2  2 6
1 
  ...
2 3
Desarrollando la segunda parte:
 x  2 x 2  3 x3
1    ...
 2 2 6 3
x 1
 2
 
x x 2  x3  2 x 4 1 x x2  x3
 2 3  2  2  3
  2 6 4
  2 6
x 2  x3
  ...
2 2 3 3
 g 2 cos   1    x
2
 x3 
 z   0  lim    ...    2  3  ...    2.2  26 
0   0
 2 3   2 3 
Remplazando:
 g 2 cos  1 x2 
  z   0    2
0  2 2 
 g 2 cos    x 2 
 z   0  1    
2 0     
lo que coincide con la ecuación 2.2-16.

2.3 FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR

El flujo de fluidos en tubos circulares se encuentra con frecuencia en física, química, biología e ingeniería. El
flujo laminar en tubos circulares puede analizarse mediante el balance de cantidad de movimiento que se

2-8
presentó en 2.1. La única modalidad nueva que se introduce aquí es el uso de coordenadas cilíndricas, que son
las coordenadas naturales para describir las posiciones en una tubería.
Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante  en un tubo
“muy largo” de longitud L y radio R. Especificamos que el tubo sea “muy largo” porque vamos a suponer que
no existen “efectos finales”; es decir que vamos a ignorar el hecho de que a la entrada y a la salida el flujo no
será necesariamente paralelo a la superficie del tubo.
Elegimos como sistema una envoltura cilíndrica de espesor r y longitud L (véase figura 2.3-1), y
comenzamos por enunciar las distintas contribuciones al balance de cantidad de movimiento en la dirección z:

Figura 2.3.1 Envoltura cilíndrica de un fluido sobre la cual Figura 2.3.2 Distribuciones de velocidad y densidad
se aplica el balance de cantidad de movimiento de flujo de cantidad de movimiento para el flujo de
cantidad de movimiento en un del cilindro.

Velocidad de entrada de cantidad de movimiento a través de la superficie cilíndrica situada en r.

(2 rL) rz r (transporte viscoso)
 2.3  1
Velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie cilíndrica situada en r+Δr.
(2 (r  r ) L) rz r  r (transporte viscoso)  2.3  2 
Velocidad de entrada de cantidad de movimiento a través de la superficie anular situada en z = 0.
(2 r r z ) (  z ) z  0 (mov. global del fluido)  2.3  3
Velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie anular situada en z = L.
(2 r r z ) (  z ) z  L (mov. global del fluido)  2.3  4 
Fuerza de gravedad que actúa sobre la envoltura cilíndrica.
(2 r rL)  g  2.3  5
Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z = 0.
(2 r r ) po  2.3  6 
Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en z = L.
(2 r r ) pL  2.3  7 
(Téngase en cuenta que la “entrada” y “salida” se toman en la dirección positiva de los ejes).

Es evidente que:

2-9
  Entrada – Salida   Entrada – Salida  (Fuerzas de cuerpo) (Fuerzas de
Velocidad neta de Velocidad neta de Gravedad que presión) que
   0
cantidad de movimiento cant. de mov. debido actúa sobre el actúan sobre la
por transporte viscoso al mov. global del fluido volumen del fluido superficie anular

Sumando las contribuciones al balance de cantidad de movimiento se tiene:

(2 rL  rz ) r  (2 (r  r ) L  rz ) r r  (2 r r  z2 )  (2 r r  z2 )
z 0 z L

2 r rL g  2 rr ( po  pL )  0  2.3  8

Como se supone que el fluido es incompresible,
 es constante, y la masa en la unidad de tiempo, es la

misma en z = 0 y z = L; luego  z , es la misma para z = 0 y z = L; y por lo tanto, los términos tercero y cuarto
se anulan entre sí.
Cambiando de signo ambos miembros y ordenando:
 p  pL 
(2 (r  r ) L  rz ) r r  (2 rL  rz ) r  2 r rL  o  g   0
 L 
Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por 2 L  r :
 ((r  r ) rz ) r  r  (r  rz ) r   po  pL 
   r   g   0
 r   L 
Tomando límite, cuando r  0 ,
 (( r  r )  rz ) r r  ( r  rz ) r   po  pL 
lim    r   g   2.3  9 
r  0
 r   L 
d ( r  rz )  p  pL 
 r o  g 
dr  L 
El primer miembro de esta ecuación es por definición la primera derivada de r rz con respecto a r.
Definimos P, para representar la presión dinámica; es decir, el efecto combinado de la presión estática y la
fuerza de gravitación:
P  p   gz , Flujo hacia arriba. (La presión y gravedad, actúan en direcciones opuestas).
P  p   gz , Flujo hacia abajo. (La presión y gravedad, actúan en la misma dirección).
Veamos entonces:
P0  p0   g (0)  p0 PL  pL   g ( L)  pL  PL   gL
Luego reemplazando en:
 po  pL   Po  PL   gL  P P 
 L  g r   g r   o L r
    L   L 
Por tanto, la ecuación 2.3-9 puede escribirse así:
d  r rz   Po  PL 
 r
dr  L  (2.3-10)
La ecuación 2.3-10 puede integrarse:
 P P 
r rz   o L   rdr  C1
 L 
 P P  r2
r rz   o L   C1
 L 2

2-10
  P P  C1
 rz   o L r  r  2.3  11
 2L 
La constante C1 tiene que ser cero, puesto que la densidad de flujo de cantidad de movimiento no es
indefinida para r = 0. Luego la densidad de flujo de cantidad de movimiento es:
 P P 
 rz   o L  r  2.3  12 
 2L 
esta distribución se indica en la Figura 2.3-2 .
La ley de Newton de la viscosidad es para este caso:
d
 rz    z  2.3  13
dr
Sustituyendo el valor de  rz en la ecuación 2.3-12, se obtiene para la velocidad la siguiente ecuación
diferencial:
d  P  P 
 z   o L  r
dr  2 L 
d z  P P 
  o L  r  2.3  14 
dr  2 L 
Separando variables e integrando:
 P P 
 z    o L   rdr  C2
 2 L 
 P P 
 z    o L  r 2  C2  2.3  15
 4 L 
Tomando en cuenta la condición límite  z = 0 en r  R , se tiene:
 P P   P P 
0    o L  R 2  C2  C 2   o L  R 2
 4  L   4 L 
Por lo tanto, reemplazando C2 en la ecuación 2.3-15, la distribución de velocidad es:
 P P   P P 
z    o L  r 2   o L  R2
 4  L   4 L 
 Po  PL  R 2 
r 
2

z  1      2.3  16 
4 L   R  
Este resultado nos indica que el perfil de la distribución de velocidad para el flujo laminar de un fluido
incompresible en un tubo cilíndrico, es parabólico.
Una vez que se conoce el perfil de velocidad, pueden calcularse fácilmente las siguientes
magnitudes:

 z ,max ;
i) Velocidad máxima, tiene lugar para r = 0; por lo tanto, en 2,3-16:
 Po  PL  R 2
 z ,max   2.3  17 
4 L
ii) Velocidad media,  z ; se calcula por el cociente flujo / área:
2 R

z 
   rdrd
0 0 z
 2 R
  rdrd0 0

Integrando aparte el numerador (flujo volumétrico):

2 R R
 
0 0
 z rdrd  2   z rdr
0

2-11
 R R  P  P   R  P  P  
0
 z rdr    o L  R 2  rdr    o L  r 2  rdr
0
 4  L  
0
 4  L  
R  Po  PL  2 R  Po  PL  R 4  Po  PL  4
2

0 z rdr  
 4 L 
R   
2  4 L  4  16 L 
R
Integrando aparte el denominador (área de la sección transversal):
R
R r2 R2
2  r dr  2  2   R 2
0 2 0
2
 Po  PL  16 L  R 4 2
z  
entonces  R2
 Po  PL  R 2
z   2.3  18 
8 L
Por lo tanto:
1
 z   z,máx
Nótese que 2

iii) Velocidad volumétrica de flujo,

Q; es el producto del área por la velocidad media; por tanto:
 P  P  R 2   Po  PL  R 4
Q   R2 o L   2.3  19 
8 L 8 L
Este último resultado es la conocida ley de Hagen-Poiseuille, en honor de los dos científicos, que se han
hecho famosos con esta fórmula. (Establece la relación que existe entre la velocidad volumétrica de flujo y las
fuerzas que originan dicho flujo: las fuerzas relacionadas con la caída de presión y la aceleración
gravitacional).

iv) Componente z de la fuerza del fluido que actúa sobre la superficie mojada de la tubería, Fz ; se
obtiene integrando la densidad de flujo de cantidad de movimiento sobre el área mojada:
 d 
Fz   2 RL     z 
 dr  r  R
  2 RL   rz r  R  
 d   P P 
 rz r R
   z   o L R
 dr  r  R  2L 
De 2.3-12:
 P P 
Fz   2 RL   o L  R   R 2  Po  PL 
Entonces:  2L 
También como en este caso:
P  p   gh
Fz   R 2  po   g  0     pL   gL  
Fz   R 2  po  pL    R 2 L  g
(2.3-20)
Este resultado viene a decir que la fuerza neta que actúa en el sentido de la corriente sobre el cilindro de
fluido, debido a la diferencia de presión y a la aceleración gravitacional, se equilibra exactamente por la
fuerza viscosa Fz , que tiende a oponerse al movimiento del fluido.

2.3-1 Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo capilar

Por un tubo horizontal de 1 pie de largo y 0,1 pulgadas de diámetro interior fluye glicerina (CH 2OH-CHOH-
CH2OH) a 26.5°C. Para una caída de presión de 40 psi, el caudal volumétrico
w / es 0,00398 pies3/min. La
densidad de la glicerina a 26.5°C es 1,261 g/cm3. A partir de los datos del flujo, calcular la viscosidad de la
glicerina en centipoises y en Pa  s .

2-12
Solución

A partir de la ecuación de Hagen-Poiseuille 2.3-19:

  P0  PL  R 4   p0  p L  R 4
Q Q
8 L  8 L
para tubería horizontal
  p0  pL  R 4


 8 w /   L
1 cm
R 4   1,25  104 cm 4
4
D  2,5mm  R  1,25 mm  
10 mm
  2,952  103 g  cm 2   9,81 dinas  g 1   1,254  104 cm 4 

8  1,883 cm3s-1   30 cm 

1 poise 102 cp
  4,92 g/cm  s    492 cp  2.3  21
g/cm  s 1 poise
D z  cm 3 g
Re  A  Q   A  Q     3
 ; s cm
2
 D D
2
A   R2     
2 4
D 2
4Q 
  Q  
4   D2
D D 4Q  4Q 
Re    
   D 2  D
4  1,883 cm 3s 1   1,26 g  cm 3 
Re   2,46 adimensional  2.3  22 
  0,25 cm   4,92 g  cm 1s 1 
Por lo tanto, efectivamente el flujo es laminar. Además, la longitud de entrada es:
Le  0,035D Re  0,035  0,25 cm  2,46
Le  0,022 cm

2.3-2 Flujo compresible en un tubo circular horizontal1

Obtener una expresión para la velocidad de flujo másico w para un gas ideal que circula en flujo laminar por
un tubo circular largo. Se considera que el flujo es isotérmico. Supóngase que el cambio de presión a lo largo
del tubo no es muy grande, de modo que la viscosidad puede considerarse como constante a través de todo el
tubo.

Solución

Este problema puede resolverse aproximadamente si se supone que la ecuación de Hagen-Poiseuille 2.3-19
puede aplicarse sobre una pequeña longitud dz del tubo como sigue:
  p0  pL  R 4
Q ; Q  w
8 L

1
L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, 2a. edición (1987). §17, problema 6. Una solución con
perturbación de este problema fue obtenida por R.K. Prud’homme, T.W. Chapman y J.R. Bowen, Appl. Sci. Res., 43, 67-
74 (1986).

2-13
  R 4  dp 
w    2.3  23
 8  dz 
Para eliminar
 en favor de p, usamos la ley del gas ideal:
m p RT
pV  nRT  pV  RT  pM   RT    constante, si T constante
M  M
p /   p0 / 0 ; donde p0 y  0 son la presión y la densidad en z  0 . Así:
Luego:

p 0  
p0
(1)
y reemplazando (1) en 2.3-23, se tiene:
 R 4  0  dp 
w  p 
8 p0  dz 
(2.3-24)
La velocidad de flujo másico w es la misma para toda z. Por tanto, la ecuación 2.3-24, puede integrarse desde
z = 0 hasta z = L.
 R 4 0
w dz  C    pdp  C  
8 L p0
; donde
pL
p2 1 2
L
w z 0  C 
2
 wL  C 
2
 pL  p02 
p0

 R 0 1 2
4
w    p0  pL2   2.3  25
 8 L p0 2
1 2 1
2
 p0  pL2    p0  pL   p0  pL 
2
Puesto que:
 R4 0 1
w    p0  p L   p0  pL 
8 L p0 2
1
 p0  pL   pmedia
Pero: 2
p0 pmedia  1
   media  0   p0  pL 
entonces:
 0  media p0 2
  p0  pL  R 4  media
w  2.3  26 
 8 L

2.4 FLUJO A TRAVÉS DE UNA SECCIÓN DE CORONA CIRCULAR

Vamos ahora a considerar otro problema de flujo viscoso en coordenadas cilíndricas, pero cuyas condiciones
límites son diferentes.
Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos
cilindros circulares coaxiales de radios,  R y R . (Véase figura 2.4-1).
Comenzamos efectuando un balance de cantidad de movimiento sobre una fina envoltura cilíndrica,
y se llega a la misma ecuación diferencial que se ha obtenido anteriormente para el flujo en un tubo. (Véase la
ecuación 2.3-10).
d  r rz   Po  PL 
 r
dr  L  (2.4-1)
P
Téngase presente que para este problema = p+gh, puesto que en el flujo hacia arriba, las fuerzas de
presión y gravedad actúan en direcciones opuestas (es decir, que z corresponde a “h” en la nota 1 al pie de la

Superficie de densidad de flujo 2-14

de cantidad de movimiento cero
pág. 45 del BSL, 1ra. Edic.). P = p+gh, siendo h la distancia medida hacia arriba (es decir en sentido
contrario a la gravedad).
Esta ecuación diferencial puede integrarse igual que antes, (ecuación 2.3-11), para obtener:
 P P  P P r2
r rz   o L   rdr  C1  o L  C1
 L  L 2
 P P  C1
 rz   o L r  r
 2L  (2.4-2)
La constante C1 no puede determinarse de forma inmediata puesto que no disponemos de información acerca
de la densidad de flujo de cantidad de movimiento en ninguna de las dos superficies: r   R ó r  R . Lo
más que podemos decir, es que ha de existir un máximo en la curva de velocidad en un cierto plano (hasta
ahora desconocido) r =R, para el cual la densidad de flujo de cantidad de movimiento ha de ser cero.
Teniendo en cuenta esto, tenemos en la ecuación 2.4-2:
 P P  C  P P 
 C1    o L    R 
2
0   o L R  1
 2L  R  2L 
Con lo que la ecuación 2.4-2 se transforma en:
 P P   P P  1
 rz   o L  r   o L    R 
2

 2L   2L  r
 P  P   r   R 
 rz   o L  R     2   
  2 L   R   r  (2.4-3)
Nótese que  es todavía una constante de integración desconocida. La única razón de haber sustituido C1 por
 es que conocemos el significado físico de .

Sustituyendo en la ecuación 2.4-3 la ley de viscosidad de Newton,

d d z  P  P   r   R 
 rz    z ,     o L  R     2   
dr dr  2  L   R   r 
(2.4-4)

Figura 2.4-1.Flujo ascendente a través de dos cilindros concéntricos.

Separando variables e integrando con respecto a r:

2-15
  P P   P P  1
d z    o L  rdr   o L    R  dr
2

 2 L   2 L  r
 P P   P P  dr / R
 z    o L   rdr   o L    R  
2
C
 2  L   2  L  r/R
 P P   P P  2 r
 z    o L  r 2   o L    R   ln   C
 4  L   2  L   R 
 P  P   r  
2
r
 z    o L  R 2    2 2 ln    C2 
 4 L   R  R  (2.4-5)
Ahora pueden evaluarse las dos constantes de integraciones  y C2, utilizando las dos condiciones límites
siguientes:
C.L.1: Para r   R   z  0 (2.4-6)
 z  0
C.L.2: Para r  R (2.4-7)
Sustituyendo estas condiciones límite en la ecuación 2.4-5 se obtiene dos ecuaciones simultáneas:

 P P  2 2
0   o L  R    2 ln   C2 
2

 4 L  (2.4-8)
 P P 
0    o L  R 2  1  C2 
 4 L  (2.4-9)
C2  1
De 2.4-9 tenemos: (2.4-10)
Luego en 2.4-8:
 2  2 2 ln   C2  0
 2  2 2 ln   1
1   2
2 2 
ln 
1/ 2
1  2  1  2 
2 
2
    
ln  1/    2 ln  1 /    (2.4-11)
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 2.4-3 y 2.4-5 se obtienen:

a) La distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento:

 P  P   r   R 
 rz   o L  R     2   
  2 L   R   r  (2.4-3)
 P  P   r   1   2   R 
 rz   o L  R        
 2 L   R   2 ln  1/     r   (2.4-12)
b) La distribución de velocidad, para el flujo incomprensible en estado estacionario a través de dos tubos
concéntricos:
 Po  PL  2   r  
2
r
z     R     2 ln    C2 
2

 4  L    R  R  (2.4-5)
 P  P    r   1     r 
2 2
 z   o L  R 2 1       ln   
 4 L    R   ln  1/     R  
(2.4-13)

2-16
A partir de la ecuación 2.4-13, se puede comprobar que cuando  se hace cero se obtienen las ecuaciones
2.3-12 y 2.3-16, correspondientes al flujo en tubos circulares.

Una vez que ya se conocen las distribuciones de velocidad y densidad de flujo de cantidad de movimiento,
pueden obtenerse de forma inmediata otras magnitudes interesantes:

 z ,max :
i) Velocidad máxima, En la ecuación 2.4-13:
 P P    r   1  2   r 
2

 z   o L  R 2 1       ln   
 4  L    R   ln  1 /     R  
 2   1 2 
1/ 2
 P P   1 2   1 2 
 z ,max   z  o L  R 1       ln   
 4 L    2 ln  1/     ln  1 /     2 ln  1/   
r R


 2   1   2   
1/ 2
 P P  1 2 
 z ,max   o L  R 1    1  2ln   
 4 L    2 ln  1/      2 ln  1/    
 (2.4-14)

z :
ii) Velocidad media, Se obtiene por el cociente flujo / área:
2 R  P  P    r 2  1   2   r 
 rdrd 0  R  4 L    R   ln  1 /  
1    ln    rdrd
o L 2
2 R R
z
0  R z
 2 R 
  R  
2 R
 0
rdrd 
R   rdrd 0 R

 P P    R 1 R  1 2  R  1 2  R 
2  o L R 2    rdr  2  R r 3
dr    kR r ln rdr    ln R  R rdr 
4  L R  ln  1/    ln  1 /  
R
     
z  R
2  rdr
R
R

Desarrollando aparte la integral kR

r ln rdr
, procedemos a integrar por partes:
d (uv )  u. dv  v. du   udv  uv   vdu
Puesto que:
dr r2
u  ln r  du  , rdr  dv  v 
Sean: r 2
R
R R r2 1 R 2 dr
R
ln r . rdr   r ln rdr  ln r
R 2

2  R
r
r
R

R R2  2 R2 R2  2 R2
 R r ln rdr 
2
ln R 
2
ln  R 
4

4
Remplazando valores se tiene:

2-17
   Po  PL  R 2   R 2  2 R 2 R 4  4 R 4  1   2   R 2  2 R2 R2  2 R2   1  2   R2  2 R2 
    2     ln R 
 ln  R       ln R 
  
4 L  ln  1 /     2   ln  1/ k  
2
   2 2 4R 4R 2 4 4  2 2  
z 
R  R 
2 2 2

  
 2 2 
R4  4 R4 R4
  ( 4  1)   4 1 
4R 2
4R  4R 2
2 2R 4 1 1  4 
Puesto que:   2 
   
R2  2 R2 R2 4R4 1  2  1  2 
 (1   2 )
2 2 2 (1)
R2
 R 2
R  R 2R  21   2 2
2 2

 ln R   ln  R  
2
ln R  ln  R   
2 2 4 4  2  2 2 
Además :
R2 k 2 R2 R2
 (1   2 )
2 2 2 (2)
 1 2
 R  R  2
 1  
2 2
R 2 2

  ln R      ln R (1   2 )
ln  1/    2 2  ln  
1 /  2  1  2 
        ln R
 ln  1/  
2 2
R R 
(1   2 ) (1   2 )
2 2 (3)
 Po  PL   1 1  1 4
 1 2  1 
z  R 2 1     ln R   ln  R   1      ln R  1   2  
2
2 
4 L  2  1    ln  1 /    2  ln  1/   
 Po  PL   1 1 4  1  1 
z  R 2 1     ln R   ln   ln R   1     ln R   ln R  
2 2 2 2
2 
4 L  2  1    ln  1/    2  
 Po  PL   1  1  4  1  2 1 2 

z  R 2 1   2 
  k ln    1     
4 L  2  1    ln  1/    2  

z 
 Po  PL  R 2 1  1  1   4    2 ln   1   2


 
4 L  2 1 2   ln  2 ln  1/   


z 
 Po  PL   1  1  4 
R 1  2
 
2
 1 2  

2 
4 L  2  1    2 ln  1/   

 P P    1       P
2
 PL   1  4  1  4 1  2  
z  o L R2 2 1   2
8 L 
   1   2

ln  1 /   
o

8 L
R 2 
2
2 

  1    1  
2
 
ln  1/   
 

 1      1     1      1     11  
4
4 2 2 2
2
Puesto que:
 Po  PL  R 2  1   4 1  2 
z    
8 L  1 
2
ln  1 /   
Entonces: (2.4-15)
iii) Velocidad volumétrica de flujo, Q, es el producto del área por la velocidad media:
 Po  PL  R 2  1   4 1   2 

Q   R 2   2 R 2  z   R 2 1   2
8 L
    
ln  1 /   

 1 
2

  Po  PL  R 4  1  2 2 
Q
8 L 
 1 4  
ln  1/  


  (2.4-16)
La velocidad de flujo másico es:

2-18
 w  Az     z

  Po  PL  R 4    1  2  
2

w   R 1
2 2
 z   1     ln  1/   
4

8 L 
 (2.4-17) 
F ,
iv) Fuerza ejercida por el fluido sobre el sólido, z se obtiene sumando las fuerzas que actúan sobre los
cilindros interior y exterior respectivamente:
Fz  2 RL  rz r  kR  2 RL  rz r  R
(4)
d d z  P  P   r   R 
 rz    z     o L  R     2   
De 2.4- 3:
dr dr  2  L    R   r 
Luego evaluando cada término por separado:
 P  P    R  2  R  
2 RL  rz r  R  2 RL  o L  R    
 2 L   R    R 
2 kRL  rz   R 2  Po  PL    2   2 
r  R
(5)

 P P   R  2  R  
2 RL  rz r R
 2 RL  o L  R  R     R  
 2L     
2 RL  rz   R 2  Po  PL   1   2 
rR
(6)
Entonces remplazando (5) y (6) en (4):
    
Fz   R 2  Po  PL   2   2   R 2  Po  PL  1   2   R 2  Po  PL  1   2   2   2 
Fz   R  Po  PL   1  
2 2
 (2.4-18)
Si   0 Fz   R  Po  PL 
2

Para tubería horizontal h = 0. Luego: P  p   gh  p   g (0)  p. Entonces:

P0  p0 ; para z  0 ; PL  pL ; para z  L
Fz   R 2  po  pL  .
y por tanto:

2.5 FLUJO DE FLUIDOS INMISCIBLES ADYACENTES2

Dos líquidos inmiscibles incompresibles fluyen en la dirección z en una delgada rendija horizontal de longitud
L y ancho W, bajo el efecto de una gradiente de presión horizontal ( p0  pL )/L . Los caudales de los fluidos se
ajustan de modo que una mita de la rendija está llena del fluido I (la fase más densa) y la otra mitad está
ocupada por el fluido II (la fase menos densa). Los fluidos circulan lo suficientemente lentos de modo que no
ocurren inestabilidades; es decir, la interfase permanece exactamente plana. Se desea encontrar las
distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad.
Un balance diferencial de cantidad de movimiento conduce a lo siguiente:
 LW    xz  x   LW    xz  x  x  W x  z2 z  0  W x  z2 z  L  W xp0  W xpL  0
Para fluidos líquidos, que se pueden considerar “prácticamente incompresibles”,  z es la misma para z  0 y
z  L , luego los términos tercero y cuarto se anulan.
Cambiando de signo ambos miembros, dividiendo por LW x y tomando límites, tenemos:

2
El flujo adyacente de gases y líquidos en conductos ha sido revisado por A.E. Dukler y M. Wicks, III en el capítulo 8 de
Modern Chemical Engineering, Vol. 1, "Physical Operations", A. Acrivos (ed.), Reinhold, Nueva York (1963)

2-19
   xz x  x   xz x  pL  p0
lim   0
x  0
 x  L
d xz p0  pL
  2.5  1
dx L
Al integrar la ecuación 2.5-1 para las dos regiones se tiene:
 p  pL 
 xzI   0  x  C1
I
 2.5  2 
 L 
 p  pL 
 xzII   0  x  C1
II
 2.5  3
 L 
C.L.1 en x  0 ,  xz   xz
I II
 2.5  4 
Luego C1  C1 ; por tanto anulamos el supraíndice y denominamos C1 a ambas constantes de integración.
I II

Figura 2.5-1 Flujo de dos fluidos inmiscibles entre un par de láminas horizontales bajo el efecto de un gradiente de
presión.

d zI  p0  pL 
 I   x  C1  2.5  5
dx  L 
d II  p  p L 
  II z   0  x  C1  2.5  6 
dx  L 
p p  C
d zI    0 I L  xdx  1I dx
  L  
 p  p  C
 zI    0 I L  x 2  1I x  C2I  2.5  7 
Integrando:  2 L  
p p  C
 zII    0 II L  x 2  II1 x  C2II  2.5  8 
Análogamente:  2  L  
Las tres constantes de integración pueden determinarse a partir de las siguientes condiciones límite:

C.L.2: en x  0 , z  z
I II
 2.5  9 
C.L.3: en x  b ,  z  0
I
 2.5  10 
C.L.4: en x  b , z  0
II
 2.5  11
Cuando se aplican estas tres condiciones límite, se obtienen tres ecuaciones simultáneas para las constantes de
integración:
A partir de la C.L.2:

2-20
 p p  C p p  C
  0 I L  x 2  1I x  C2I    0 II L  x 2  II1 x  C2II
 2 L    2 L  
C2I  C2II  2.5  12 
p p  C
0    0 I L  b 2  1I b  C2I  2.5  13
De la C.L.3:  2 L  
p p  C
0    0 II L  b2  II1 b  C2II  2.5  14 
De la C.L.4:  2 L  
De 2.5-13 y 2.5-14:
p p  C p p  C
  0 I L  b2  1I b  C2I    0 II L  b2  II1 b  C2II
 2 L    2 L  
C1 C p p  p p 
b  II1 b   0 I L  b2   0 II L  b2
I   2  L   2 L 
 1 1   p  pL  2  1 1 
C1b  I  II    0  b  I  II 
     2 L     
 p  pL     
II I    I  II   p0  pL  b   I   II 
C1   0  b   II     I II   2.5  15
 2 L    I  II     I 
 
2L   
 p0  pL  2 C1
0    b  I b  C2
I
I
2 I L  
Despejando C en 2.5-13:
2 
p p  C
C2I   0 I L  b 2  1I b
 2 L  
p p   p  p    I   II 
C2I   0 I L  b 2  0 I L b2  I II 
 2 L  2 L   
p p    I   II   p0  pL  2   I   II   I   II 
C2I   0 I L  b 2  1  I  b  
 2 L      II   2  I L    I   II 
 p  p   2 I 
C2I  C2II   0 I L  b2  I II   2.5  16 
 2 L      
Remplazando las constantes en las ecuaciones 2.5-2, 2.5-7 y 2.5-8, calculamos los perfiles de densidad de
flujo de cantidad de movimiento y velocidad:
 p  pL  p p  C
 xzI   0  x  C1
I
 zI    0 I L  x 2  1I x  C2I
 L   2  L  
 p  pL   p0  pL    I   II 
 xzI   0 x  b I II 
 L  2L   
 p  pL   x  1      
I II
 xzI   0  b     I II    2.5  17 
 L   b  2      
p p   p  p    I   II   p0  pL  2  2  I 
 zI    0 I L  x 2  0 I L bx  I II 
 b  I II 
 2 L  2 L       2 L      
I

 p0  pL  2  2  I    I   II   x   x  
2

 
I
 b  I II 
 I II       2.5  18 
 2  L             b   b  
z I

p p  C  p  p   2 I 
 zII    0 II L  x 2  II1 x  C2II C2I  C2II   0 I L  b 2  I II 
 2 L   ;  2 L      

2-21
 p p   p  p    I   II   p0  pL  2  2  II 
 zII    0 II L  x 2  0 II L bx  I II 
 b  I 
 2 L  2 L       2 L     
I II
;

 p  p    2  II    I   II   x   x  
2

 zII   0 II L  b 2  I            2.5  19 
 2  L              b   b  
II I II

De 2.5-17; en el plano de esfuerzo cortante:

x 1   I   II   p0  pL   x  1     
I II
  I   I
xz   b 
     I 
 xz  0  b 2     II   L   b  2    
II

;
En 2.5-17; si x  b :
 p  pL   1      
I II
 xz   0  b 1   I II  
  L   2     

 p  pL   2            
I II I II

 xz   0 b 
 L   2   I   II  

 p  pL   2   2      
I II I II
 xz   0  b  
 2 L     I   II  
 p  pL     3 
I II
 xz   0 b I II 
 2L      
En 2.5-17; si x  b :
 p  pL   1   I   II  
 xz   0  b  1   I 
  L   2     II  
 p  pL   1     
I II
 xz    0 b
  1   I II  
 L   2     
 p  pL      
1   I   II
I II
 xz    0  b    
 L     2   I   II
I II

 p  pL   2   2      
I II I II
 xz    0 b  
 L   
2  I   II 


 p  pL   3   
I II
 xz    0 b  

 2 L   2    
I II

Es posible obtener la velocidad media en cada capa de la siguiente manera:
 p  p   2  I    I   II   x   x  
2

 I 1 0
   zI dx
 zI   0 I L  b2  I II 
 I II     
z
b b  2  L             b   b   8

1  p  p   2  I  0 
2
  I   II  0 x 0  x
II   b II   b 
 zI   0 I L  b 2  I dx   I dx    dx 
b  2  L          b  b
b 
1  p  p   2   0      1 x 1 x 
I I II 2 0 3 0

 zI   0 I L  b2  I x  I
II   b II 
   2 
b  2  L            b 2  b b 3  b 

1  p  p   2  I    I   II  b b 
 zI   0 I L  b2   I II 
b I II 
 
b  2 L            2 3

 p0  pL  2 12   3       2      
I I II I II

 I
 b  
6   I   II 
z
 2 L  
I


2-22
  p0  pL  b2  7 I   II 
 zI 
12  I L
 I II   2.5  20 
   
1 b II
b 0
 zII   z dx

1  p0  pL  b  2  II  b 
2 2
  I   II  b x b x 
II  0 II  0 
 zII    I dx   I dx    dx 
b 2  L     
II
   b 0
b 
 p0  pL  b  2  II    I   II  1 b 2 1 b3 
 zII   I b   I II 
  2 
2 LII
   
II
   b 2 b 3 

 zII 
 p0  pL  b  2  II b  I   II b b 
2 LII   I   II   I   II 2  3 
 
 p0  pL  b2 12  II  3 I  3 II  2  I  2 II 
 zII   
2  II L 6   I   II  
 p  p  b2   I  7  II 
 zII  0 IIL 
12  L   I   II
  2.5  21


2.6 FLUJO REPTANTE ALREDEDOR DE UNA ESFERA

Coordenadas esféricas
Anteriormente vimos que además de las coordenadas cartesianas existen también otros tipos de
coordenadas para identificar puntos en el espacio, las coordenadas cilíndricas y las coordenadas
esféricas. En este sistema de coordenadas para determinar un punto en el espacio necesitamos una
distancia, que denominamos radio (r); y dos ángulos, uno de ellos denominado ángulo polar ( ) y
el otro azimutal ( ).

Coordenadas de un punto en coordenadas esféricas

Como acabamos de mencionar un punto P quedará definido mediante tres cantidades:
– La distancia o el radio, que denotamos por r (en algunas ocasiones también se denota por la letra
griega ρ), y que indica la distancia entre el origen O y el punto P, es decir, el módulo del vector de
posición r.
– El ángulo polar, que se denota por la letra griega   , y que nos indica, tal y como podemos ver
en la imagen, el ángulo que forma r con el eje positivo Z.

2-23
– El ángulo azimutal, que denotamos por   , que indica el ángulo que forma la proyección de r
sobre el plano XY y el eje positivo X.

 ,  ,
La base del sistema en el que trabajamos está formada por los vectores  r   (vectores
unitarios, perpendiculares entre sí y linealmente independientes) definidos como:
-La dirección y el sentido del vector  r vienen dados por la dirección y el sentido que tiene el
vector r cuando aumentamos r, manteniendo los ángulos fijos.
-Análogamente, la dirección y el sentido del vector  vienen dadas por la dirección y el sentido
que tiene r cuando aumentamos θ, manteniendo tanto la distancia y el ángulo  , fijos.

– Por último, la dirección y el sentido del vector  quedan determinadas por la dirección y el
sentido que tiene el vector r cuando aumentamos  , manteniendo, en este caso, la distancia y el
ángulo θ fijos.
- Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con
una combinación lineal de los restantes.
a1r  a2  a3  0
a1  a2  a3  0
Los vectores libres linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son
proporcionales.

Área y volumen de una esfera

Del triángulo rectángulo OCP tenemos:

CP S
sen  
r r
S  r sen 

2-24
   
De los triángulos rectángulos OAP , OBP , OP P; tenemos respectivamente:
x
cos   x  S cos ;
1) S  siendo x  OA
 x  r sen  cos 
y
sen   y  S sen  ;
2) S  siendo y  OB
 y  r sen  sen 
z
sen  90    
3) r , siendo: z  P ' P  z  r sen  90     r cos

Además:
R  r  0, 0     , 0    2

Área de la esfera
2 
A   Rd  Sd 
0 0
2 
A   Rd  R sen  d
0 0 (2.6-1)

A  2 R  sen  d
2
0

A  2 R 2   cos   0

A  2 R  1  1  1  4 R 2
2

Volumen de la esfera
2  R
V    rd  r sen  d  dr
0 0 0
 2 R
V    r 2 dr  sen  d . d 
0 0 0
 R
V  2   r 2dr  sen  d
0 0

R3 
3 0
V  2 sen  d

2 
V   R 3  1  cos  0
3
2 4
V    R 3  1  1   R 3
3 3
Distribución de la presión dinámica mediante la ecuación de movimiento.
   D
   .          p   g
 t  Dt
D
   p   .    g
Dt
Masa por unidad  Fuerza de presión   Fuerza viscosa  Fuerza gravitacional 
 de volumen,  sobre el elemento  sobre el elemento   sobre el elemento 
 multiplicada    por unidad  

por unidad  

por unidad 
 por aceleracion   de volumen   de volumen   de volumen 
       
D M L 1 F F 1 F M L F
    3      ; p    2      igual en    ;  g      
Dt L   V L L V L3  2 V
Para fluidos incompresibles tenemos:
p   g    p   g   P
Remplazando tenemos:

2-25
    D
   .         P
 t  Dt (1)
que es la forma más generalizada de la ecuación de Navier Stokes que fue derivada para fluidos newtonianos
incompresibles.

Régimen de flujo reptante

En este trabajo enfocaremos la dinámica de fluidos a números de Reynolds muy pequeños. Este es el régimen
de flujo reptante, donde todos los términos de la ecuación de movimiento que se escalan como  son
2

despreciables a muy bajas velocidades de flujo. En otras palabras, las fuerzas de viscosidad, presión y
gravedad son mucho más importantes que las fuerzas convectivas, y se desprecia todo el miembro izquierdo
de la ecuación de movimiento (1).
El balance de fuerzas en su forma dimensional, para todos los fluidos en el régimen de flujo reptante es:
  P  0 (2)
la cual revela que las fuerzas viscosas son balanceadas por las fuerzas de presión y gravedad.

Flujo reptante de un fluido newtoniano incompresible

Es razonable asumir que la densidad es constante para líquidos, que no están sujetos a grandes variaciones de
temperatura y presión. Esta suposición de incompresibilidad conduce a las siguientes formas de la ecuación
de continuidad y ley de Newton de la viscosidad:
Una forma especial muy importante de la ecuación de continuidad que se utilizará posteriormente, es
la correspondiente a un fluido de densidad constante, para el que:
D
 0  0     . 
Dt  (fluido incompresible)
 .   0 (3.1  7)
Entonces:     0 , para fluido de densidad constante (3)
          
T

Luego en:   (4)

Aplicando la divergencia    de la ecuación (2), a la ecuación (4), se tiene:
                    
T
  (5)
      0
T

Es necesario emplear notación sumatoria en coordenadas rectangulares para verificar que para
fluidos incompresibles.
De las ecuaciones (3) y (5) resulta entonces que la ecuación de movimiento para el flujo reptante de fluidos
newtonianos incompresibles es,
    P (6)
La ecuación (6) genera tres ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden lineales acopladas. Para
problemas complicados de flujo bidimensional, este balance de fuerzas y la ecuación de continuidad producen
tres ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas para dos componentes de velocidad diferentes de
cero y para la presión dinámica.

Función axisimétrica de corriente en coordenadas esféricas

Es necesario comprender la función de corriente con suficiente profundidad, en razón de que se requiere
condiciones límite adicionales para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales de cuarto orden
relacionadas a ecuaciones diferenciales de segundo orden que son características de la mayoría de problemas
de dinámica de fluidos.
Consideremos el siguiente problema de flujo axisimétrico bidimensional en el que no hay dependencia del
ángulo azimutal
 en coordenadas esféricas:
 r  r ,   ,   r ,   ,    0
(7)

2-26
Mientras que la función de corriente

para el flujo plano en coordenadas rectangulares tiene unidades de
velocidad volumétrica de flujo por unidad de profundidad,
 para el flujo axisimétrico (flujo con simetría
axial) en coordenadas esféricas tiene unidades de velocidad volumétrica de flujo:
dQ
d 
2 (8)
donde Q, es la velocidad volumétrica instantánea de flujo hacia abajo en la dirección negativa del eje z que
interseca el circulo trazado por el extremo de un vector que rota completamente alrededor del eje z mientras el
otro extremo está fijado al eje z en el punto “O”. Las coordenadas de los siguientes puntos son de interés en el
 ,
desarrollo de las relaciones entre r  y la función de corriente:
R en  r,  , P en  r  dr,  , W en  r,  d 
(9)
Los vectores OR y OP rotan completamente alrededor del eje z y se calcula la velocidad volumétrica
diferencial de flujo hacia abajo entre los dos círculos trazados en los puntos R y P. La componente de la
velocidad de interés es
 , y el área de la sección transversal para el flujo es:

Puesto que:
2 
A   Rd  Sd 
0 0
2 
A   Rd  R sen  d
0 0 (2.6-1)
La diferencial del área A es:
dA   r sen  d  dr
2
 dA     Sd  dr     r sen  d  dr
0

 dA  2  r sen  dr
Por lo tanto de (8):
dQ  ctte  2  d   ctte   2 r sen  dr
(10)
1   
   
r sen   r   ctte
y (11)
Ahora los vectores OR y OW rotan completamente alrededor del eje z y se calcula la velocidad volumétrica
diferencial de flujo entre los dos círculos trazados por los puntos R y W cuando    /2 . La componente de
velocidad de interés es
 r , y la diferencial del área Ar de la sección transversal para el flujo es Luego:
dAr   r sen  d   rd 

2-27
  dA     Sd   rd      r sen  d   rd   2  r sen  d
2

dQ r ctte  2  d  r ctte   r 2 r 2 sen  d

En este caso: (12)
1   
r   2  
r sen     r ctte
y (13)
la convención de signos es arbitraria, se prevé que una de las dos componentes de la velocidad tiene signo
 y  y la función de corriente dadas por las ecuaciones (11) y (13) dan la
negativo. Estas relaciones entren r
conservación global de la masa para un fluido incompresible.
Cuando
  constante, la ecuación simplificada de continuidad en coordenadas esféricas es,
1  2 1  1 
   r r   sen     0
r 2 r r sen   r sen  
(14)
1  2 1    1    1   
2  r  2        sen 
Luego:
r  r  r sen     r ctte r sen     r sen   r   ctte
por tanto (14) se satisface puesto que
 es una diferencial exacta, lo que implica que:
       
   
 r      r (15)
dQ  r 2 r sen  rd   r 2 r 2 sen  d
dQ   2 r sen  dr
dQ
d  dQ  2 d
2 

Flujo reptante de un fluido newtoniano incompresible alrededor de una esfera sólida

Este es un problema clásico de dinámica de fluidos en coordenadas esféricas. Una esfera sólida de radio R es
ubicada en el origen de un sistema coordenado xyz y un fluido Newtoniano incompresible con velocidad z 

se aproxima desde lejos por debajo de la esfera. Los resultados macroscópicos tales como fuerza
hidrodinámica de arrastre y la relación f vs Re son exactamente los mismos que si la esfera cae a través de un
líquido quieto a la velocidad terminal
 zsólido , donde sólido    .
 0
Este problema axisimétrico no exhibe movimiento giratorio (es decir  ), y las componentes radial
 r ( r, ) y polar  ( r, ) de la velocidad presentan simetría angular, lo que implica que no hay dependencia

funcional con el ángulo azimutal .


Desde que la velocidad de aproximación del fluido se describe mejor en coordenadas rectangulares, es
 y  lejos de la esfera. El producto escalar (es decir, el producto punto) es útil en este
necesario determinar r
aspecto. Como:

r
cos 
   r    cos

sen    
      sen 

2-28
  r  r      r   z    cos
Luego: (16)
  r         z     sen 
(17)
 z    r r     
puesto que:
 z   r  cos     sen      0 
 z   r cos   sen      0 
resulta: (18)
En el límite a bajos números de Reynolds; para el flujo axisimétrico en coordenadas esféricas y no
  ( r, ), ( r, ),  0.
dependencia de la componente de la velocidad del ángulo azimutal ; es decir r

Condiciones límite y forma funcional de la función 

Si la esfera se encuentra estacionaria, la velocidad del fluido debe ser cero en r  R (condición no deslizante
en la interfase fluido-sólido). Por lo tanto las componentes radial (
 r ) y polar (  ) son cero en r  R ; de
donde resulta:
  
  0
   r  R (19)
  
  0
 r  r  R (20)
Estas clásicas condiciones límite no deslizantes, deben modificarse, si la esfera cae a través de un líquido
quieto, por cuanto el líquido en contacto con la esfera adquiere la velocidad del sólido en las direcciones “r” y
“  ”.
Las condiciones límite restantes se basan en la definición de
 . Por ejemplo:
  r  R ,  0   0
(21)
  r  R, cualquier    0
(22)
desde que no hay flujo volumétrico a través del circulo trazado por el extremo de un vector que rota
completamente alrededor del eje z cuando el otro extremo está fijado al eje de simetría z. El área de la sección
transversal para el flujo está reducida a un punto en (21), y está completamente bloqueada por el sólido en
(22).
Se postula la forma funcional de la función de corriente a partir de las condiciones límite lejos de la esfera,
donde la velocidad de aproximación es
 z  ; luego de las ecuaciones (16), (17) se tiene:
1   
 r  r       cos    
r sen     r ctte
2
(23)
1   
  r      sen    
r sen   r  ctte
(24)
La condición (23) es integrada con respecto a  en r constante lo que implica que la constante de integración
podría ser una función desconocida de r.
d    r 2 sen  cos d
sen 2 
    r 2  sen  cos d    r 2  f  r
2
1
  r  ,      r 2 sen 2   f  r 
 2 (25)
La condición (24) indica que
f ( r ) = constante, porque:
1  r sen 2   df /dr
  sen     
r sen  r r sen 
 ctte (26)

2-29
 df
0
luego: dr
f  r  0
La condición (21) revela que ; veamos:
  r  R,   0   0
(21)
 d   sen   rdr
2


1
     r 2 sen 2   f  r  , idéntica a (25)
 2
Aplicando la condición (21):
1
0    r 2
2 rR
 
sen 2 0  f  r 
 f  r  0
Si postulamos que en general,
  r ,   F  r  G   
(27)
G     sen 
2
Luego , a grandes r, y esta dependencia funcional no debería cambiar hasta muy cerca de la

esfera a constante.
  r,   F  r  sen 2 
Por tanto,
1
F  r      r 2
y 2 (28)
La dependencia angular de la función de corriente
 , representa uno de los polinomios de Legendre que no
es afectada por el operador E2 para el flujo viscoso reptante en coordenadas esféricas. Veamos:
A partir del operador E2, en coordenadas esféricas:
 2 sen   1 
E2  2  2  sen  
r r  
E 2  r , 
En otras palabras, aplicando se tendrá:
 E 2
  
r ,   E 2
  
 F r sen 2
 
  2 sen   1  
E 2  F sen 2     2  2  sen    F sen 2  
 r r    
 2 F sen 2  sen    1  
E 2  F sen 2     2   sen    F sen 2   
r 2
r    
 F sen   
2
E 2  F sen 2    sen    2 F sen  cos 
1
 sen 2  2  2
r r  
 2 F sen  
E 2  F sen 2    sen 2  2  2  2 F cos  
r r 
 2 F sen 
E 2  F sen 2    sen 2  2  2  2 F sen  
r r
 2
F 2sen 2

E 2  F sen 2    sen 2  2  F
r r 2

 2 2
E 2  F sen 2    sen 2   2  2  F  r 
 r r 
H r
       
 d2 2
E 2  r,   E 2  F  r  sen 2    sen 2   2  2  F  r 
Por lo tanto:  dr r 
(29)
  r , 
Solución analítica de la ecuación de vorticidad para

2-30
La ecuación (29) revela que:
E 2  F  r  sen 2    H  r  sen 2 
(30)
d 2 2
H  r   2  2  F  r
 dr r 
donde: (31)

Para flujo viscoso reptante en coordenadas esféricas, la componente no trivial de la ecuación de vorticidad
requiere que:
 
E 2  E 2   E 2 E 2  F  r  sen 2    E 2  H  r  sen 2  
 d2 2
E 2  E 2   sen 2   2  2  H  r   0
 dr r  (32)
Por tanto, uno llega a una ecuación diferencial de Euler para la parte radial de la función de corriente:
 d2 2  d 2 2
 2  2  2  2  F  r   0
 dr r  dr r  (33)
El hecho de que la variable no aparece en esta ecuación sugiere que el postulado en la ecuación (29) es
satisfactorio. La ecuación (33) es una ecuación “equidimensional” de cuarto orden (véase la ecuación C.1-14).
Postulamos una solución de ensayo:
F  r   rn n
(ó r ln r para raíces repetidas) (34)
Luego tenemos de (29) y (34):
 d2 2
E 2  sen 2   2  2  F  r 
 dr r 
 d 2 F 2F 
E 2  sen 2   2  2 
 dr r 
 d 2  rn  2  rn  
E 2  sen 2    2 
 dr 2 r 
 
Pero:
d n
dr
 r   n r  n 1
d d2
dr
 n r n 1   2  r n   n  n  1 r n  2
dr

E 2  sen 2   n  n  1 r n  2  2r n  2 
E 2  sen 2   n  n  1  2  r n  2
 d2 2
E 2  E 2   sen 2   2  2   sen 2   n  n  1  2  r n  2 
 dr r 
 d2 2
E 2  E 2   sen 4   n  n  1  2   2  2   r n  2 
 dr r 
 d 2  rn2  2  rn2  
E 2  E 2   sen 4   n  n  1  2   2
 
 dr r2 

Pero:
d 2  r n 2  d
2
 ( n  2)(r n 3 )   ( n  2)( n  3) r n  4
dr dr
E 2  E 2   sen 4   n  n  1  2  n  2   n  3 r n  4  2r n  4 

2-31
 E 2  E 2   sen 4  n  n  1  2   n  2   n  3  2  r n  4  0
(35)
 n  n  1  2   n  2   n  3  2   0
de aquí:
 n 2  n  2   n 2  5n  4   0
 n  2   n  1  n  1  n  4   0
y encontramos cuatro raíces: n = -1, 1, 2, 4 que producen la siguiente solución para la función de corriente:
A 
  r,   sen 2    Br  Cr 2  Dr 4 
 r  (36)
La condición límite (21) se satisface con la forma funcional de :

A 
0  sen 2  0    Br  Cr 2  Dr 4 
r  r R
Las condiciones (23) a (28) requieren:
1 
 r  r       cos   2
r sen   r ctte
De (23): (23)
 A 
   Br  Cr 2  Dr 4  2sen  cos 
 r ctte  r 
A 
  r 2 sen  cos    Br  Cr 2  Dr 4  2sen  cos
Luego:  r 
1
C   
Si D  0, 2
1
  r 2 sen  cos     r 2  2sen  cos
Luego: 2
1   
  r      sen    
r sen   r  ctte
De (24): (24)
  1
 sen 2      2r    r sen 2 
r  ctte  2
1
F  r      r 2
De (28): 2 (28)
A 
  r,   sen 2    Br  Cr 2  Dr 4 
Cumple: r 
1
Cr 2     r 2
Puesto que: 2
Las condiciones (19) ó (22) y (20) producen:
Veamos de (19):

  
  0
   r  R (19)
A 
  r,   sen    Br  Cr 2  Dr 4 
2

Luego en (36): r 
 A 
   BR  CR 2  DR 4  2sen  cos  0
 rR  R 
  
  0
De (20):  r  r  R (20)

2-32
 A 
  r,   sen 2    Br  Cr 2  Dr 4 
Luego en (36): r 
  A 1 
 sen 2    2  B     2r  0
r rR  r 2  rR
A 1
 BR    R 2  0
Luego: R 2 (a)
A
 2  B   R  0
R (b)
Multiplicando (b) por –R:
A
 BR    R 2  0
R (c)
Sumando (a) y (c):
A 1
 BR    R 2  0 
R 2
A
 BR    R 2  0
R
A 1
2   R 2  0
R 2
A 1 1
2    R 2  A    R 3
R 2 4
Remplazando A en (c):
1 R3
   BR    R 2  0
4 R
3 3
 BR   R 2  0  B   R
4 4
Los resultados finales son:
A 
  r,   sen 2    Br  Cr 2  Dr 4 
r 
 1 R3 3 1 
  r ,   sen 2         Rr    r 2 
 4 r 4 2 
 1  R  3  r  1  r 2 
  r,     R 2 sen 2            
 4  r  4  R  2  R   (e)
Si definimos la variable radial adimensional
  r /R , se obtiene finalmente:
 1 3 1 
  r,     R 2 sen 2     1     2 
 4 4 2  (37)
1 
 r  r,    2
r sen   r ctte
de la ec. (23):
 1  R  3  r  1  r 2 
  r,     R 2 sen 2            
 4  r  4  R  2  R  
  1  R  3  r  1  r 2 
 2 R 2 sen  cos            
 r ctte  4  r  4  R  2  R  
2  1  R  3  r  1  r 2 
r  r ,      R 2
sen  cos           
r 2 sen   4  r  4  R  2  R  

2-33
 R
2
 1  R  3  r  1  r 2 
 r  r,   2  cos             
r  4  r  4  R  2  R  
 1 3 1 
 r  r,   2  cos 2    1     2 
 4 4 2 
1 3 
 r  r,     cos  2   1     2 
2 2 
 3 1 
 r  r,     cos  1   1   3 
 2 2  (2.6-1)
Análogamente se obtiene:

La expresión para r es empleada para calcular el error incurrido cuando el término radial de la ecuación de
continuidad en coordenadas esféricas es simplificado:
1  2 
r r  r
r r
2
r (38)
Análogamente de la ecuación:
1 
  r,  
r sen  r  ctte
 1  R  3  r  1  r 2 
  r,     R 2 sen 2            
De (e):  4  r  4  R  2  R  
 1 R 3 1 r 
  R 2 sen 2   2  
r 4 r 4 R R 2 
Luego:  ctte

1  R 2 sen 2   1 R  3 1  r 
  r,      4 r 2 4 R R 2 
r sen 
1 1 R 3 1 r 
  r,     R 2 sen 2   2  
r sen  4 r 4 R R 2 
R2  1 R 3 1 r 
  r,     sen   2
  2
r 4 r 4R R 
1 R 3
3R 
  r,     sen   3   1
 4 r 4 r 
 3 1 
  r,     sen  1   1   . 3 
 4 4 
 3 1 
  r,      1   1   . 3  sen 
 4 4  (2.6-2)
  0
De (7): (2.6-3)

Distribución de la presión dinámica mediante la ecuación de movimiento

De la ecuación (6):
    P
De la tabla A.4-3, las componentes
r ,  ,  de P son:
P 2 2 
 P  r         r     2 r  2r  2   2  cot  
2
r  r r  r 
1 P  2   
 P                2  2 r  2  2 
r   r  r sen  

2-34
 1 P
 P             0
r sen  
1   2  1    
2  r  2  sen 
donde r 2
r  r  r sen      
son útiles los siguientes resultados intermedios, con
 r/R:
 r 3  cos  2
r

2R

   4 
 r  3 1 
   sen   1   1   3 
  2 2 
 3  sen  2
r

4R
   4

  3 1 
   cos   1   1   3 
  4 4 
  2  r 
  3  cos 
3
r
r  r 
  2   3
r    3 sen 
r  r  2
   r   3 1 1 3 
 sen    2  sen  cos   1     
     2 2 
     3 1 
 sen       sen 2   cos 2    1   1   3 
     4 4  (39)
Las componentes “r” y “  ” de la ecuación de movimiento producen, luego de concluir con el tedioso
procedimiento antes indicado:
P 3  3
 2  cos 
r R (40a)
P 3  2
  sen 
 2R (40b)
3  2
P  r ,     sen  d
Luego: 2R
3  2
P  r ,     cos  f  r 
2R
3
P 3   R  df
 2   cos  
r R r dr
3  3
P  r ,   2
R cos  r 3dr   df
R
3  3 r 2
P  r ,   R cos 
R 2
2
3  3 1
P  r ,   R cos  2
2R2 r
3  2
P  r ,    cos  f  r 
2R

La integración de
 58  b  con respecto a  , en r constante produce:
3 2
P  r,  
2R 
sen  d

2-35
 3  2
P  r ,    cos  f  r 
2R (41)
f  r
La constante de integración de en (41) es determinada de la ecuación (40.a) pero derivando la (41) con
respecto a r :
P 3  cos  d
r

2R dr
 R 2 r 2 
P 3 cos  2 2 df
 R 3 
r 2R r dr
3
3 3 3 cos   R  df
cos     
R2 R2 r dr
 df / dr   0 , f  constante

El fluido newtoniano se acerca desde lejos de la esfera por debajo con una velocidad
   z =constante,
donde r   . Por tanto el resultado final para la distribución de la presión dinámica es:
3  2
P  r ,    P   cos 
2R (42)

Distribución de la presión del fluido

La fuerza total transmitida a través de la interface fluido – solido requiere la presión del fluido, no la presión
dinámica. Desde que la presión dinámica es una combinación de la energía potencial gravitacional por unidad
de volumen y la presión actual del fluido es más sensible usar la ecuación (61) y calcular la presión del fluido.
La coordenada cartesiana rectangular que crece en la dirección opuesta a la gravedad es:
cos  z /r  z  r cos por tanto,
3 2
P = p  r,    gz  P   cos
2R (43)
El plano horizontal que interseca el centro de la esfera es decir
z  0 ,    / 2 es el plano de referencia para
P
el potencial gravitacional. En este plano la presión dinámica es  y la presión del fluido  . Además
p
P  p
. La presión actual del fluido es:
3  2
p  r,   p   gr cos    cos
2R (44)
2
3    R 
p  p0   gz    cos
2 R r (2.6-4)
El segundo término del lado derecho de (44) representa el efecto hidrostático de la gravedad sobre la presión
del fluido, y el tercer término del lado derecho representa la consecuencia hidrodinámica de un objeto sin
punta (es decir, la esfera sólida) perturbando las líneas de corriente del fluido en la vecindad de r  R del
flujo alrededor de la esfera.
Las componentes del tensor de esfuerzo  en coordenadas esféricas pueden obtenerse a partir de las
distribuciones de velocidad (  r y  ) ya calculadas, utilizando el apéndice B.1.
Cálculo de
 rr :
 3 1 
 r  r,     cos 1   1   3 
 2 2 
 3  R  1  R3 
 r  r ,     cos  1      3  
 2  r  2  r 
 r  3R  1 R 3  3 
r
   cos     r   2 r  r  
 2 r 

2-36
  r  3R 3R 3 4 
   cos    r 2    r 
r  2 2 
 r 3   cos   R 2  R 4 
       
r 2 R  r   r  
De la ecuación B.1-15 tenemos:
  
 rr     2 r    23        
 r 
 3  cos   R 2  R  4  
 rr     2          
 2 R  r   r   
3  cos    R 2  R 4 
 rr        
R   r   r  
Calculo de
  :
 1 R3 3 R 
  r,     sen   3   1
4 r 4 r 
  1  R 3 3  R   
          1   sen  
  4  r  4  r   
  1  R 3 3  R  
   cos         1
  4  r  4  r  
De la ecuación B.1-16 tenemos:
  1   r  
      2      23        
  r  r 
 1  1  R 3 3  R   1  3  R  1  R 3  
      2    cos         1    cos  1        
  r  4  r  4  r   r  2  r  2  r   

2  cos   1  R 3 3  R  3 R 1 R 
3

          1 1       
r  4  r  4  r  2  r  2  r  

2  cos   3  R 3 3  R  
         
r  4  r  4  r  
3   cos    R 2  R 4 
          
2 R   r   r  
3  cos    R   R  
2 4

2         
R   r   r  
3  cos    R 2  R 4 
 rr  2   2         
R   r   r  
 (2.6-5)
Cálculo de  r :

  sen   1 3 2 4    sen   1 3 2 1 4  
 r rR
                  
 R  2  R  2 2 
Luego:

2-37
   sen   3 2 3 2 1 4  
 r rR
                
1 4 1

 R  2 2 2  
 3 sen  4
 r rR
   
 2R
    1 
4
3    R 
 r    sen   2.6  6 
 2 R r (2.6-6)
 
1 r   
 r     r    0
 r sen   r  r 
  

Fuerza neta que el fluido ejerce sobre la esfera

Esta fuerza se calcula integrando la fuerza normal y la fuerza tangencial sobre la superficie de la esfera.

En cada punto de la superficie esférica existe una presión sobre el sólido que actúa perpendicularmente a la
superficie El componente z de esta presión es:
z p
cos   z
r pr
pz
cos 
p  pz   p cos
s
sen  
r  s  r sen 
sd  r sen  d
Aesfera    r sen  d  rd
2 
Aesfera    R 2 sen  d d
0 0

Esta presión local se multiplica por el área de la superficie sobre la que actúa R sen  d d  , y se integra
2

sobre la superficie esférica para obtener la resultante en la dirección z:

 p cos  R 2 sen  d d

2 
Fn   rR
0 0 (45)
La distribución de la presión en la superficie de la esfera es:
3  2
p  r,  r  R  p   gr cos   cos
2R rR
y 0    (46)

2-38
 2
3   R 
p  r,   rR
 p   gR cos     cos 
2 R R (47)
p  p0
puesto que:
3 
p r  R  p0   gR cos   cos 
 2 R (2.6-8)
p rR
Sustituyendo en la ecuación (45):
2   3  
Fn      p0   gR cos   cos   cos  R 2 sen  d d 
0 0
 2 R  (2.6-7)
   3    
Fn  2 R  p0  cos sen  d   gR  cos 2  sen  d 
2
 cos 2  sen  d 
 0 0 2 R 0

n 1
cos u
 cos u sen udu   n  1  C
n

Puesto que:
  cos2     cos3    3   cos3    

Fn  2 R p0   2
   gR    
 
  2 0



3 0 2 R 
 
3 0 

 1
 2
2 1
3  3

Fn  2 R 2   p0  1  1   gR  1  1   
3
  2 R

 1  3  
 

 1  1 
3



 2   4
Fn  2 R 2    gR      R 3  g  2  R
 3 R  3
p
La integral que contiene 0 se anula, la de
  gR cos da la fuerza de flotación del fluido sobre el sólido y la
integral en que interviene la velocidad da la resistencia de forma. Por lo tanto, queda finalmente:
4
Fn   R 3 g  2 R 
3 (2.6-9)

Integración de la fuerza tangencial

En cada punto de la superficie existe también un esfuerzo cortante que actúa tangencialmente. Este esfuerzo
 r es la fuerza que actúa en la dirección  sobre la unidad de área dela superficie esférica. El componente

z de esta fuerza, por unidad de área, es

(  r )(  sen  ) . Multiplicando por R 2 sen  d d e integrando sobre
la superficie de la esfera, se obtiene la fuerza resultante en la dirección z:

  sen   R 2 sen  d d
2 
Ft   r r  R
0 0 (2.6-10)

La distribución del esfuerzo cortante r obtenida es:
4
3   R 
 r    sen 
2 R r
3  
 r r  R  sen 
Luego: 2 R (2.6-11)
Sustituyendo esta expresión en la integral (2.6-10), se obtiene la “resistencia de fricción”
2   3  
Ft     
sen   sen   R 2 sen  d d
0 0
2 R 
3   2 

2 R 0
Ft  2  R 2  sen 3  d

Resolviendo la integral tenemos:

2 sen 2 cos 2
0       sen  d
3
sen d
3 3

2-39
 
2 sen 2 cos 2 
0
sen 3  d  
3
 cos
3 0
0

2 1 2
 sen 3  d   sen 2   cos   sen 2  0   cos  0    cos   cos  0  
0 3 3
2 1 2 2 4
0 sen  d   3  0  1  0  1   3  1  1   3  2   3
3

3   4
Ft  2  R 2    4 R 
 2 R 3 (2.6-12)
Fuerza total sobre sobre el fluido
Por lo tanto, la fuerza total F del fluido sobre la esfera viene dada por la suma delas fuerzas normal y
tangencial:
F  43  R 3  g  2 R   4 R 
        
Fuerza de flotación Resistencia de forma Resistencia de fricción
(2.6-13)
4 3
F   R  g  6 R 
o bien 3 (2.6-14)
El primer término del segundo miembro de la ecuación representa el empuje y el segundo resulta como
consecuencia del movimiento del fluido alrededor de la esfera. Para posteriores consideraciones, el
F
conveniente designar estos dos términos, respectivamente por s (la fuerza que se ejerce aunque el fluido
F
esté en reposo) y k (la fuerza que resulta del movimiento del fluido, o sea, la contribución “cinética”); en el
caso que estamos considerando, estas fuerzas son:
4
Fs   R 3 g
3
Fk  6 R  (2.6-15)
La última ecuación es la conocida ley de Stokes. Se aplica en el movimiento de partículas coloidales por
efecto de un campo eléctrico, en la teoría de sedimentación, y en el estudio del movimiento de partículas de
aerosol. Téngase en cuenta que la ley de Stokes es válida para números de Reynolds (basados en el diámetro
de la esfera) inferiores a aproximadamente 0,1; para Re = 1, la ley de Stokes predice una fuerza resistente que
es un 10% menor.

2-40
2.6-1 Determinación de la viscosidad a partir de la velocidad final de una esfera
descendiente

Determinar una relación que permita obtener la viscosidad de un fluido al medir la velocidad final
 t de una
pequeña esfera de radio R en el fluido.

Solución

Si una pequeña esfera, inicialmente en reposo, se deja caer en un fluido viscoso, adquiere un movimiento
acelerado hasta alcanzar una velocidad constante: la velocidad final. Una vez que se alcanza esta condición de
estado estacionario, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la esfera debe ser cero. La fuerza de
gravedad actúa sobre el sólido en la dirección de la caída, y las fuerzas de flotación y cinética actúan en la
dirección opuesta:
4 3 4
 R  s g   R 3  g  6 t R
3 3 (2.6-16)
Aquí
 s y  
son las densidades de la esfera sólida y el fluido respectivamente. R es el radio dela esfera y t
la “velocidad final”. Despejando
 de la ecuación se obtiene:
4 3
 R g   s     6 t R
3
2R2 g   s   

9 t
(2.6-17)
Este resultado es válido solamente cuando
Dt  /  es menor que aproximadamente 0,1.

2-41