Analisis de FOURIER
Analisis de FOURIER
Analisis de FOURIER
SENALES PERIODICAS:
Una señal o función es periódica cuando sus valores se
repiten a intervalos regulares, el tiempo entre las sucesivas
repeticiones es lo que se conoce como período.
Matemáticamente, podemos decir que una función temporal
es periódica cuando se cumple la siguiente relación:
f (t ) = f (t + T ) Donde T es el periodo
𝒗 𝒕 = 𝟐𝑽𝒔𝒊𝒏 𝒘𝒕 𝒗𝟎 𝒕
𝑻
𝑻
f (t ) = f (t + T )
ANALISIS DE FOURIER
SENALES PERIODICAS:
f ( wt ) = f ( wt + 2 )
𝒗 𝒘𝒕 = 𝟐𝑽𝒔𝒊𝒏 𝒘𝒕 𝒗𝟎 𝒘𝒕
𝒘𝒕
𝟐𝝅
𝟐𝝅
f ( wt ) = f ( wt + 2 )
ANALISIS DE FOURIER
SERIE DE FOURIER:
f (t ) = a0 + an sin(nwt ) + bn cos(nwt )
n =1 n =1
T
1
a0 = f (t )d (t )
T 0
T
2
an = f (t ) sin(nwt )d (t )
T 0
T
2
bn = f (t ) cos(nwt )d (t )
T 0
ANALISIS DE FOURIER
SERIE DE FOURIER:
f ( wt ) = a0 + an sin(nwt ) + bn cos(nwt )
n =1 n =1
2
1
a0 =
2 f (wt )d (wt )
0
2
1
an =
f (wt ) sin(nwt )d (wt )
0
2
1
bn =
f (wt ) cos(nwt )d (wt )
0
ANALISIS DE FOURIER
SERIE DE FOURIER:
Una forma alterna y algo mas compacta de describir la
serie infinita de Fourier en función de las definiciones
previas es:
f (t ) = c0 + cn sin(nwt + n )
n =1
an
n = tan
−1
bn
cn = an + bn
2 2
1
2
c0 = a0
ANALISIS DE FOURIER
SERIE DE FOURIER:
La componente 𝒂𝟎 o 𝒄𝟎 es el valor medio o
componente continua ( 𝑭𝟎 ) y es un valor constante
(denominado también componente DC o componente de
frecuencia cero).
𝟏
𝒇 o 𝒘= es la frecuencia de la función periódica y
𝒇
recibe el nombre de frecuencia fundamental
La componente de la serie de Fourier cuya frecuencia
coincide con la de la fundamental (n=1) recibe el nombre
de componente fundamental o primera armónica.
f1 (t ) = a1 sin( wt ) + b1 cos(wt )
f1 (t ) = c1 sin( wt + 1 )
ANALISIS DE FOURIER
SERIE DE FOURIER:
Al resto de las componentes se las denomina componentes
armónicas, así por ejemplo la tercera armónica será
aquella cuya frecuencia es tres veces la de la
fundamental:
f 3 (t ) = a3 sin (3wt ) + b3 cos(3wt )
f 3 (t ) = c3 sin(3wt + 3 )
De la misma forma el enésimo armónico será aquel cuya
frecuencia es n veces la fundamental:
f n (t ) = cn sin(nwt + n )
ANALISIS DE FOURIER
SERIE DE FOURIER:
En la forma compacta de expresar las armónicas de una
señal periódica
f n (t ) = cn sin(nwt + n )
𝑐𝑛 es la amplitud pico de la enésima armónica y ∅𝑛 es el
ángulo de fase de la enésima armónica.
cn
cn
FnR =
2
ANALISIS DE FOURIER
SERIE DE FOURIER:
Que también puede expresarse como:
1
FnR = [an + bn ]1/ 2
2 2
[V ]
2
El valor RMS total de la señal periódica es:
1
2
1
2
f (wt ) d ( wt )] = Vo + VnR
1
FR =
2 2 2 2
[V ]
2 0
El valor RMS de las componentes armónicas o “voltaje
de rizado” es:
VRI = V = V
nR
2 1/ 2
R
2
− V0
2 1/ 2
[ A]
El factor de rizado esta definido por:
K v = VRI / F0
ANALISIS DE FOURIER
EJEMPLO:
𝒊 𝒕
+
𝒗 𝒕 = 𝟐𝑽𝒔𝒊𝒏 𝒕 𝒗𝟎 𝒕 Z
-
ANALISIS DE FOURIER
EJEMPLO:
CONVERTIDOR AC/DC
𝒊 𝒕
+
𝑹
+
𝒗𝟎 𝒕 𝒁
−
𝑳
TIRISTOR/SCR
-
𝒗 𝒕 = 𝟐𝑽𝒔𝒊𝒏 𝒕
RECTIFICADOR MONOFASICO
DE MEDIA ONDA CONTROLADO
ANALISIS DE FOURIER
EJEMPLO:
𝒗𝟎 𝒕
𝒘𝒕
𝒗 𝒕 = 𝟐𝑽𝒔𝒊𝒏 𝒕
𝒊 𝒕
𝜸 𝒘𝒕
𝜶
𝜷
ANALISIS DE FOURIER
EJEMPLO:
En el caso del rectificador controlado con carga R-L, el
voltaje de salida DC es periódico, luego puede ser descrito
por una serie infinita de términos de acuerdo a la teoría de
Fourier. Nótese los limites particulares para las
integraciones.
v0 (t ) = V0 + an sin( nwt ) + bn cos(nwt )
n =1 n =1
2V sin (wt )d ( wt )
1
V0 =
2
ANALISIS DE FOURIER
EJEMPLO:
Los coeficientes de la serie de Fourier se definen como:
2
2V sin (wt )sin(nwt )d ( wt )
1 1
an =
v (t ) sin(nwt )d (wt ) =
0
0
2
2V sin (wt ) cos(nwt )d ( wt )
1 1
bn =
v (t ) cos(nwt )d (wt ) =
0
0
ANALISIS DE FOURIER
EJEMPLO:
La corriente esta descrita por la serie de FOURIER:
i (t ) = Io + d n sin(nwt − n ) + en cos(nwt − n ) [ A]
n =1 n =1
Donde se definen:
d n = an / Z n [ A]
en = bn / Z n [ A]
Z n = R 2 + (nwL )
2
(
n= tan −1 nwL R ) [rad ]
La corriente rectificada o denominada “Corriente de salida
DC”, es:
Io = Vo / R [ A]
ANALISIS DE FOURIER
EJEMPLO:
I nR = 1 / 2[cn + bn ]
2 2 1/ 2
[ A]
I RI = [ I nR ] = [I R − I0 ]
2 1/ 2 2 2 1/ 2
[ A]
Ki = I RI / I 0
ANALISIS DE FOURIER www.ipes.ethz.ch
0 wt
Rectificador monofásico de onda completa no controlado
200
150
Volts
100
50
0
0 1 2 3 4 5 6 7
radianes
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Simulaciones en base de Applets de JAVA :
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Teoría de operación del osciloscopio
a. Periódicas
b. No periódicas
c. Con THD menores al 50 %
d. Solamente con simetría par
e. Solamente con simetría impar
2.- Elija las dos opciones correctas, para una señal que cumple con
las condiciones para la aplicación de la teoría de Fourier
a. 𝑓(𝑤𝑡) = 𝑓(𝑤𝑡 + 𝜋)
b. 𝑓(𝑤𝑡) = 𝑓(𝑤𝑡 + 3𝜋)
c. 𝑓(𝑤𝑡) = 𝑓(2𝑤𝑡 + 2𝜋)
d. .𝑓(𝑤𝑡) = 𝑓(2𝑤𝑡 + 𝜋)
e. .𝑓(𝑤𝑡) = 𝑓(𝑤𝑡 + 2𝜋)
6.- En la forma compacta de expresar la serie de Fourier de una
señal periódica cuales son las dos opciones correctas
cn
f n (t ) = cn sin(nwt + n ) FnR =
2
a. 𝐹𝑛𝑅 es el valor promedio de la enésima armónica de 𝑓𝑛 (𝑡)
b. 𝐹𝑛𝑅 es el valor RMS de la enésima armónica de 𝑓𝑛 (𝑡)
c. 𝑐𝑛 es el valor RMS de la enésima armónica
d. 𝑐𝑛 es el valor pico de la enésima armónica
e. 𝑐𝑛 es el valor promedio de la enésima armónica