Antología de Cálculo 13 LGMM Primera Parte
Antología de Cálculo 13 LGMM Primera Parte
Antología de Cálculo 13 LGMM Primera Parte
IND E ISIC
CÁLCULO INTEGRAL
CLAVE:
ACF-0902
CRÉDITOS SATCA
3-2-5
2013
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ÍNDICE
I. INTRODUCCIÓN……………………………………………………………… 3
II. AGRADECIMIENTO………………………………………………………….. 3
a. Identificación………………………………………………………………
b. Descripción…………………………………………………………………
c. Propósito……………………………………………………………………
V. TEMARIO……………………………………………………………………… 6
VII. EVALUACIÓN………………………………………………………………….. 8
ACTIVIDADES DE TRABAJO
UNIDAD 1………………………………………………………………………. 10
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I. INTRODUCCIÓN
II. AGRADECIMIENTO
a. Identificación
Clave: ACF-0902
b. Descripción.
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general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de
revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton,
Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton
generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la
integración son procesos inversos.
c. Propósito.
Para permitir que los alumnos tengan una amplia gama de posibilidades en el
sector laboral, de forma particular en el desarrollo de la tecnología y la
economía, la asignatura de Cálculo Integral, colabora y contribuye con los
elementos necesarios para unificar el concepto de ciencia a nivel global. El
propósito de la ciencia moderna, -al igual que en siglos pasados-, ha sido el
conocimiento, transformación, comunicación y desarrollo de los conocimientos
que interactúan con la realidad.
Competencia específica:
Contextualizar el concepto de Integral. Discernir cuál método puede ser más adecuado
para resolver una integral dada y resolverla usándolo. Resolver problemas de cálculo de
áreas, centroides, longitud de arco y volúmenes de sólidos de revolución. Reconocer el
potencial del Cálculo integral en la ingeniería.
Competencias instrumentales.
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Argumentar con contundencia y precisión.
Procesar e interpretar datos.
Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica,
algebraica, trascendente y verbal.
Comunicar ideas en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.
Reconocer conceptos o principios generales e integradores.
Establecer generalizaciones.
Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.
Resolver problemas.
Analizar la factibilidad de las soluciones.
Optimizar soluciones.
Tomar decisiones.
Transferir el conocimiento adquirido a otros campos de aplicación.
Competencias Transversales.
Competencias Previas.
V. TEMARIO
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1. Teorema fundamental de cálculo
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.
1.2 Notación sumatoria.
1.3 Sumas de Riemann.
1.4 Definición de integral definida.
1.5 Teorema de existencia.
1.6 Propiedades de la integral definida.
1.7 Función primitiva.
1.8 Teorema fundamental del cálculo.
1.9 Cálculo de integrales definidas.
1.10 Integrales Impropias.
3. Aplicaciones de la Integral
3.1 Áreas.
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.
3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.
3.2 Longitud de curvas.
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución.
3.4 Cálculo de centroides.
3.5 Otras aplicaciones.
4. Series
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Buscando la comprensión del significado de la integral se propone un tratamiento que
comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, así se sugiere que la integral
definida se estudie antes de la indefinida puesto que aquélla puede ser abordada a
partir del acto concreto de medir áreas. Se incluye la notación sumatoria para que el
alumno la conozca y la maneje en la representación de sumas de Riemann. La función
primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar íntimamente ligados.
Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida,
para aprovechar el contexto.
Los subíndices, los números romanos, las viñetas y los colores, tiene como objetivo
identificar las partes de cada unidad, así como los subtemas y sus contenidos.
Íconos: Tienen por propósito y objetivo, ayudar visualmente a identificar los elementos de
estudio, trabajo y subtemas de cada una de las unidades, así como agrupar en una forma
inteligente el proceso de aprendizaje del programa desarrollado de la asignatura. Entre
estos tenemos los siguientes:
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Ícono Nombre Propósito
Para llevar a cabo la evaluación, el docente y el alumno seguirán las rúbricas señaladas en
el diseño de las unidades temáticas, actividades a realizar, evaluaciones, coevaluaciones y
autoevaluaciones propuestas en el curso, de forma particular en la guía didáctica que se
presenta al inicio de cada unidad en el curso respectivo.
Bibliografía básica
Bibliografía complementaría
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iv. Aleksandrov, A. D., Kolmogorov A. N., Laurentiev M. A. La matemática: su
contenido, métodos y significado. Madrid, Alianza Universidad, 1985.
v. Ayres, Frank. Cálculo, McGraw-Hill, 2005.
vi. Boyer C. B. (1959). The history of the Claculus and its conceptual development.
New York, Dover Publications Inc.
vii. Courant, Richard. Introducción al Cálculo y Análisis Matemático Vol. I, Editorial
Limusa, 2008.
viii. Hasser, Norman B. Análisis Matemático Vol. 1, Editorial Trillas, 2009.
ix. Larson, Ron. Matemáticas 2 (Cálculo Integral), McGraw-Hill, 2009.
x. Purcell, Edwin J. Cálculo, Editorial Pearson, 2007.
xi. Stewart, James B. Cálculo con una Variable. Editorial Thomson.
Recursos Multimedia
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IX. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS POR UNIDAD
i. Propósito
En esta unidad:
En particular:
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1. Si la función f es positiva sobre el intervalo cerrado [a, b]. La integral definida de la función f
sobre dicho intervalo representa el área de la región limitada por la curva, el eje OX y las
perpendiculares por los puntos a y b.
y = f(x)
a b x
b
2. Si la función f es negativa sobre el intervalo cerrado [a, b]. La integral definida de la función f
sobre dicho intervalo representa el área de la región limitada por la curva, el eje OX, y las
perpendiculares por los puntos a y b, pero con signo negativo.
y = f(x)
a b
3. Si la función toma valores positivos y negativos sobre el intervalo cerrado [a, b]. Entonces, la
integral definida de la función f sobre dicho intervalo representa la suma de las áreas de las
regiones comprendidas entre la función, el eje de las x, y las perpendiculares por a y b, pero
asignándole a cada una de ellas el signo + o − según que esté por encima o por debajo del eje
x. Por lo que en tal caso la integral no nos da una medida del área.
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y = f(x)
a b x
b
∫ ( x−2 ) dx
1
1 2
A1= 1. = 1/2 A2= 2. =2
2 2
x
1 4
La integral vendrá definida como la suma aritmética de las áreas correspondientes, asignado
signo negativo a las áreas situadas por debajo del eje horizontal y positivo a las situadas por
encima. Es decir:
4
1 3
∫ ( x−2 ) dx=¿-A 1 + A2 ¿− + 2¿
2 2
1
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las sumas, para ello, se usa el símbolo sigma: ∑. En el estudio del cálculo, nos interesa obtener
una cantidad de áreas en las figuras geométricas, para ello, la simbología sigma es de gran
ayuda, ejemplo:
5
∑ i 2 = 1 +2 +3 +4 +5
2 2 2 2 2
i=1
n
1.- ∑ c=c +c +c … .+ ( n términos )=cn
i
n n
2.- ∑ c . f ( i )=donde c es cualquier constante=c ∑ f (i)
i i
n n n
3.- ∑ ( f ( i )+ g ( i ) )=∑ f (i)+ ∑ g(i)
i i i
a x1 x2 x 3 x4 x5 x6 x7 x8 b
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Teniendo en cuenta que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura,
tenemos las siguientes sumas, según tomemos los rectángulos de altura mínima, intermedia o
máxima.
b
m1(x1-a)+m2 (x2-a)+….+ ≤ f(x1)=(x1-a)+ f(x2)=(x2-a)+… ≈ ∫ f ( x ) dx ≤ M1(x1-a)+M2(x2-a)+…
a
A la suma de las áreas de los rectángulos se les llama sumas de Riemann. A la primera de
ellas se le llama suma inferior y a la última suma superior. En general, poniendo
∫ f ( x ) dx ≈ f(x )Δ x
1 1 + f(x2)Δx2+…..+ f(xn)Δxn
a
La integral puede interpretarse como el límite de la suma de las áreas de los infinitos
rectángulos infinitesimales. Por tanto:
b n
∫ f ( x ) dx=lím ∑ f (xi)Δxi
a i=1
Δ xi 0
n ∞
b n
∫ f ( x ) dx=lím ∑ f (xi)Δi x
a i=1
║Δ║ 0
Si el límite existe. Nótese que la afirmación “la función f es integrable en el intervalo [a,b]”, es
sinónima de “la integral definida de f de a a b, existe”; f(x) se conoce como integrando, a es el
límite inferior y b es el límite superior, el símbolo de integración, a veces aparece como S
mayúscula, lo cual es apropiado, pues la integral definida es el límite de una suma, la razón es
que el teorema fundamental del Cálculo, nos permite evaluar una integral definida encontrando
una antiderivada, es decir, una integral indefinida.
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1.5. Teorema de existencia.
Existe una condición para que f(x) sea integrable: Si una función f, es continua en [a, b],
entonces f es integrable en [a,b].
│∑ f ¿Ȝi)
i=1
Δi x - L) │< ε
Sin embargo, aún cuando la condición de que f se continua en [a,b], es suficiente para
garantizar que f es integrable en [a,b], no constituye una condición necesaria para la existencia
b b
de ∫ f ( x ) . Es decir, si f es continua, se asegura que ∫ f ( x ) existe; sin embargo, es posible
a a
que la integral exista, aún cuando la función sea discontinua en algunos intervalos cerrados.
∫x 2
d(x)= 0
1
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1.6. Propiedades de la integral definida.
La integral de una función siempre está contenida entre dos valores: El rectángulo mínimo y el
rectángulo máximo.
b
m(b-a)≤∫ f ( x ) d ( x ) ≤ M ( b−a )
a
y M
m
x
a b
∫ f ( x ) d ( x ) =¿∫ f ( x ) d ( x )+ ¿∫ f ( x ) d ( x )¿ ¿
a a c
Siempre que la función sea integrable sobre dichos intervalos. Esta propiedad se cumple
aunque el punto c no esté situado entre a y b.
También, respecto a los integrandos, se tiene que:
∫ ( f ( x )+ g ( x ) ) d ( x)=¿∫ f ( x ) d ( x )+ ¿∫ g ( x ) d( x) ¿¿
a a c
∫ rf ( x )=r ∫ f ( x)
a a
Sea f ≥ 0 , x ϵ [ a , b ] ,→ ∫ f ( x ) d ( x ) ≥0
a
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En el siguiente punto observaremos el Teorema fundamental, del cual se pueden hacer las
siguientes lecturas o interpretaciones:
b) Toda función continua sobre un intervalo cerrado, tiene una primitiva sobre dicho
intervalo.
c) La derivada de una integral, con límite superior variable, respecto de dicho límite
superior, coincide con el valor del integrando en dicho límite superior.
x
d
∫ f ( t ) d ( t )=f ( x )
d ( x) a
d) La derivada del área coincide con el valor de la función en la frontera.
y
F(x) F´(x)
a x b x
Ejemplo de derivada de integrales:
t
d
∫ √ x 2+ 1d ( x )=¿ √ t 2 +1 ¿
d ( x) 0
e) (La integral como primitiva o regla de Barrow) Por otra parte, si f es un función continua
en el intervalo cerrado [a,b], y G es una primitiva cualquiera de f, entonces:
b
∫ f ( x ) d ( x ) =G ( b )−G( a)
a
La importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relación las integrales con las
derivadas. Sin embargo hay que advertir que solamente es aplicable a funciones continuas
definidas en intervalos cerrados.
Para hallar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado seguiremos el
siguiente proceso:
a) Se halla una primitiva cualquiera de la función, sin tener en cuenta la constante (la más
sencilla).
b) Se sustituyen en esta primitiva los límites de integración -el superior y el inferior- y se restan
los resultados.
b b
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b
∫ f ( x ) d ( x ) =¿ ¿ = [G(x)]
a
a a
0
2
Ejemplo: Calcular ∫ x d ( x )=¿ ¿ |x 3/3|= 1/3 -0= 1/3
1
Dada una función integrable en un intervalo cerrado [a, b], se define su función integral sobre
dicho intervalo como el área bajo la curva desde el punto a hasta un punto variable t ∈ [a, b] O
bien, dado que es más habitual hablar
t
Dado que una F(x) se llama primitiva de otra función f(x), si F´(x) = f(x). Si una función tiene una
primitiva, entonces tiene infinitas, que se diferencian entre sí, de una constante. Por tanto, se
llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto formado por todas las primitivas y se
denota por:
∫ f ( x ) d ( x ) =F ( x )+ C
b
Al definir ∫ f ( x) d ( x) , pretendimos que la función f estuviera definida dentro del intervalo
a
cerrado [a, b], ahora ampliaremos la función de la integral definida para considerar un intervalo
infinito de integración y a dicha integral la denominaremos integral impropia. Por tanto, si f es
continua para toda x ≥a, entonces la
+∞ b
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Por tanto, si f es continua para todos los valores de x, y c es cualquier número real, entonces,
+∞ c b
∫ f ( x ) d ( x ) =alim
→−∞
∫ f ( x ) d ( x )+ lim
b +∞
∫ f (x)d(x),
−∞ a c
si este límite existe. Si los límites existen, decimos que la integral impropia es convergente, si
no existen, decimos que la integral impropia es divergente.
+∞
Se tiene que ∫ e−x d ( x)= 1, demostrarlo será un buen ejercicio para entender el significado de
o
las integrales impropias.
2 2 2
1 1 1
∫ d( x )/(4−x) = alim
−∞
∫
→−∞ a
2
d ( x )/(4−x ) = lim 2
= lim
a →−∞ ( 4−x) a a→−∞ 2
−
4−a [
= ½ -0 = 1/2
] ( )
Ejemplo 2: Evaluar la integral si converge
+∞ b
−x
∫xe d (x) = lim ∫ x e−x d ( x ) =¿ ¿
b →+∞ 0
o
Para evaluar la integral se utiliza la integración por partes con u=x, dv= e− x d ( x ); du=dx, v=e− x ,
de este modo tenemos:
+∞ b
b −b
∫xe −x
d (x) = lim ∫ x e−x d ( x ) =¿ lim [−x e−x −e−x ] o ¿ = lim (−b e −e−b+ 1 )=
b →+∞ b →+∞ b →+∞
o 0
lim b
- b →+∞ - 0 +1 =
eb
lim b
Para evaluar b →+∞ , se aplica la regla de Hôpital, ya que blim
→+∞
b=+ ∞ ,y por otra parte
b
e
b
lim e =+∞ ; se tiene entonces:
b →+∞
lim b lim 1 +∞
b →+∞
b →+∞ = =0 , en consecuencia : ∫ x e−x d ( x)=1
b b
e e o
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r
b) ∫ xd ( x )=¿ ¿
−r
Solución:
∞ 0 b o b
1 2 1 2
a) ∫ xd ( x )=¿ ¿ lim ∫ xd ( x ) +¿ lim ∫ xd ( x )=¿ lim
−∞ a →−∞ a b →+∞ 0
[ ]
a →−∞ 2
x ¿ ¿+ lim
a
[ ]
b →+∞ 2
x
0
−1 2 −1 2
lim
a →−∞
(2 )
a + lim
b →+∞ 2
b ( )
Puesto que ninguno de estos límites existe, la integral impropia diverge.
r r
1 2 1 2 1 2 lim 0=0
b) ∫ xd ( x )=¿ ¿ lim
−r r →+ ∞ [ ]
x = lim (
2 −r r →+ ∞ 2 2 )
r − r = r→∞
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1. Integración en línea: http://integrals.wolfram.com/index.jsp
2. Canek: http://canek.uam.mx/
3. Problemas de cálculo diferencial e integral:
http://bibliotecavirtualeive.files.wordpress.com/2008/09/becerril_espinosa_jos
e_ventura__probcalcdifint.pdf
4. Programa para realizar programas y cálculos: Matlab:
http://www.mathworks.com/products/matlab/
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