El puzle Stomachion y el palimpsesto de

Arquímedes (1)
MATEMOCIÓN
En esta mini-serie de dos entradas del Cuaderno de Cultura Científica me
gustaría hablar del puzle geométrico de tipo Tangram más antiguo que se
conoce, el Stomachion. Pero antes de hablar de este puzle geométrico, me
parece interesante que empecemos esta historia por el palimpsesto de
Arquímedes, que incluye la copia más extensa de la obra
original Stomachion del matemático griego.

Según el diccionario de la RAE, “palimpsesto” es un “manuscrito antiguo que

conserva huellas de una escritura anterior borrada artificialmente”. Además,
este término viene del latín palimpsestus, que a su vez deriva del griego
παλίμψηστος palímpsēstos, que significa “grabado nuevamente”.

En la antigüedad, desde antes del tercer milenio a.n.e., los manuscritos,

pensemos en todo tipo de textos, literarios, científicos, religiosos, filosóficos,
políticos, etc, eran escritos en papiro, que era un soporte realizado a partir de
una planta acuática, Cyperus papyrus, muy común en el río Nilo (en Egipto) y
en algunos otros lugares del mediterráneo. Su elaboración era muy delicada y
además era un material que se deterioraba muy pronto, por lo cual poco a poco
empezó a dejar de usarse (hacia el siglo V, desapareciendo completamente en el
siglo XI) y se emplearon otros materiales, como el pergamino.

Papiro del Libro de los muertos (664 – 332 a.n.e.), texto funerario del Antiguo
Egipto. Imagen del Metropolitan Museum of Art

El término pergamino viene de la ciudad de Pérgamo, en la actual Turquía, que

era una gran ciudad editorial, rival de la Biblioteca de Alejandría en Egipto,
motivo por el cual Alejandría prohibió la exportación de papiro, dejando sin
material de trabajo a los bibliotecarios de Pérgamo, que tuvieron que utilizar el
pergamino. Este es una piel de un animal, por ejemplo, res, oveja o cabra, limpia
de pelo, adobada y estirada, que fue utilizada para escribir sobre ella o cubrir
libros.
A partir del siglo VI, debido tanto a los problemas con el papiro, como a la
escasez y alto coste del pergamino, empezaron a reutilizarse los pergaminos
para escribir nuevos textos. Además, tenemos que recordar que el papel,
inventado en China hacia el siglo II a.n.e., aún tardaría mucho tiempo en
establecerse en Europa. Para reutilizar el pergamino, primero había que
“borrar” el texto original, ya fuese mediante el raspado de la tinta con algún
material, como la piedra pómez, o utilizando alguna sustancia ácida, como el
jugo de naranja, que borrase el texto.

De esta forma desaparecieron las obras recogidas en muchos de estos

manuscritos antiguos, aunque a diferencia de las obras que se perdieron por la
destrucción de miles de papiros de la antigua Biblioteca de Alejandría en las
diferentes catástrofes que la asolaron, el tratamiento moderno de los
palimpsestos encontrados ha permitido rescatar el contenido antiguo de los
mismos y, en muchas ocasiones, recuperar obras que se creían perdidas para
siempre. Uno de los ejemplos es el conocido Palimpsesto de Arquímedes.

Caricatura de Arquímedes, realizada por el ilustrador Enrique Morente, para la

exposición de la Real Sociedad Matemática Española y el libro El rostro
humano de las matemáticas, cuya versión digital se puede ver en el
portal DivulgaMAT.

Arquímedes (aprox. 287 – 212 a.n.e.) fue sin lugar a dudas uno de los sabios
más importantes de la Antigua Grecia. Junto con Euclides (aprox. 325 – 265
a.n.e.) y Pitágoras (aprox. 585 – 500 a.n.e.) forman la terna de matemáticos
griegos más importantes de la Antigüedad. Mientras que podemos considerar a
Pitágoras como el gran matemático puro, teórico, y Euclides el gran maestro, e
incluso, divulgador, por su gran obra Los Elementos, que contiene el saber
matemático de la época, el sabio de Siracusa, Arquímedes, puede ser
considerado el gran matemático aplicado, de hecho, se le suele citar como el
primer ingeniero.

El conocido como Palimpsesto de Arquímedes era originalmente un manuscrito

escrito en griego en el siglo X con algunas obras del matemático a quien se
atribuye la frase “dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo”. El
manuscrito consistía en una copia de una recopilación de alrededor del año 530
de las obras de Arquímedes realizada en Constantinopla por el arquitecto griego
bizantino Isidoro de Mileto, quien diseñó junto a Antemio de Trales la Iglesia de
Santa Sofía de Constantinopla (en la actualidad, Estambul).

En 1229 un monje cristiano, Johanes Myronas, separó los folios del manuscrito
con las obras de Arquímedes, los raspó y lavó, para eliminar el texto original, los
dobló por la mitad y los tomó en perpendicular al sentido original. Entonces los
juntó a los pergaminos borrados de otras obras, como algunos discursos del
político ateniense Hipérides (siglo IV a.n.e.), con el objetivo de convertirlo en un
texto litúrgico de 177 páginas numeradas, de las cuales se conservan 174.

Las obras de Arquímedes contenidas en el palimpsesto son:

1) Sobre el equilibrio de los planos;

2) Sobre las espirales;

3) Medida de un círculo;

4) Sobre la esfera y el cilindro;

5) Sobre los cuerpos flotantes, que es la única copia en griego que se ha

conservado, que se sepa, de esta obra;

6) El método de los teoremas mecánicos, que es la única copia que existe de esta
obra y que se ha podido recuperar gracias al descubrimiento del palimpesto; y

7) la copia más completa que existe de la obra Stomachion, sobre este puzle

geométrico de tipo Tangram.
Fotografía del Palimpsesto de Arquímedes en el The Walters Art Museum
(Baltimore, Maryland, EE.UU.)

El Palimpsesto de Arquímedes estuvo en el monasterio ortodoxo griego Mar

Saba, a las afueras de Belén, en Cisjordania, al menos hasta el siglo XVI, pero en
algún momento antes de 1840 fue a parar a la biblioteca de la Iglesia Ortodoxa
de Jerusalén, el metoquión del Sagrado Sepulcro, en Constantinopla. Allí lo
encontró el teólogo y estudioso de la Biblia alemán, Constantin von Tischendorf
(1815 – 1874), quien intrigado por la matemática que aún quedaba visible en
algunas partes del palimpsesto, se llevó uno de sus folios, aunque no fue
consciente de la importancia de lo que tenía delante. Ese folio se vendería tras
su muerte a la Universidad de Cambridge, pero no se identificó como uno de los
folios del Palimpsesto de Arquímedes hasta 1968.

El erudito griego Papadopoulos-Kerameus catalogó, en 1899, los manuscritos de

la biblioteca y tradujo algunas de las líneas del texto griego original. Cuando el
filólogo e historiador danés Johan L. Heiberg (1854 – 1928), experto en
matemática griega y que ya unos años antes había realizado una edición de las
obras completas de Arquímedes, leyó esas líneas, se dio cuenta de que eran del
matemático de Siracusa, más concretamente de su obra Sobre la esfera y el
cilindro. Entonces, viajó a Constantinopla, en 1906, para estudiarlo y descubrió
que contenía las siete mencionadas obras matemáticas. Todo un
descubrimiento. Heiberg fotografió el manuscrito (es decir, su análisis del
palimpsesto fue mediante visión directa, de lo que se podía ver y leer a simple
vista), estudió su contenido y lo incluyó en su edición de las obras completas de
Arquímedes de 1910 y 1915.
Dos páginas del libro de oraciones (Palimpsesto de Arquímedes) vistas con luz
natural. Fotografía del The Walters Art Museum de Baltimore
Detalle de las dos páginas anteriores en el que se observa el diagrama de una
espiral. Fotografía del The Walters Art Museum de Baltimore
Fotografía con un filtro de luz azul del detalle del diagrama de una espiral.
Fotografía del The Walters Art Museum de Baltimore

Johan Heiberg viajó por última vez al metoquión del Sagrado Sepulcro en 1908,
momento en el que la historia se vuelve un poco oscura hasta que en octubre
1998 la casa de subastas Christie’s de Nueva York sacó a subasta el Palimpsesto
de Arquímedes, anunciado como perteneciente a una colección privada
francesa. El 28 de octubre, un día antes de la anunciada subasta, el Patriarcado
de la Iglesia Ortodoxa de Jerusalén llevó a Christie’s ante la Corte Federal de
Nueva York para que detuvieran la venta del manuscrito y fuese reconocido
como su propietario legal. Sin embargo, la Corte Federal de Nueva York no le
dio la razón y el palimpsesto fue vendido por dos millones de dólares a un
coleccionista privado del mundo de la tecnología. En un principio se pensó que
el comprador anónimo era Bill Gates, cofundador de Microsoft, aunque la
revista alemana Der Spiegel menciona como su propietario a Jeff Bezos,
fundador y director ejecutivo de Amazon.

Pero, ¿cómo llegó el Palimpesto de Arquímedes hasta la casa de subastas

Christie’s? Después de la guerra greco-turca (1919-1922) derivada de la primera
guerra mundial, la biblioteca del Patriarcado de Jerusalén en Constantinopla
fue cerrada y los 827 manuscritos que se conservaban, de los 890 catalogados
por Papadopoulos-Kerameus, fueron enviados a la Biblioteca Nacional de
Grecia, en Atenas, aunque no todos llegarían, como fue el caso de este
palimpsesto.

En 1923 el manuscrito fue comprado por Marie Louis Sirieix, un hombre de

negocios de París que estaba de viaje por Oriente, supuestamente a un monje,
pero no existió ningún documento que registrase la compra-venta del mismo.

Por desgracia, el palimpesto fue deteriorándose desde entonces. Sirieix escondió

el manuscrito en su casa de París, probablemente en el sótano, donde sufrió
daños causados por el agua, el humo y el moho. Además, se realizaron en cuatro
folios del mismo cuatro dibujos a color de los Apóstoles, imitando el estilo
bizantino, falsificaciones que pretendían incrementar el valor del manuscrito.
Sin ser conscientes del valor que realmente tenía.

Una década antes de morir, en 1956, Sirieix dejó el manuscrito a su hija, quien a
partir de 1970 empezó a investigar sobre el posible valor del mismo. Y así es
como acabaría llegando a la casa de subastas Chistie’s en la década de 1990.

Volviendo a la subasta del Palimpsesto de Arquímedes, su nuevo propietario lo

prestó al Museo Walters de Arte de Baltimore, en Maryland, EE.UU., para su
conservación, para la realización de un potente estudio, con técnicas muy
avanzadas como técnicas de imagen multi-espectal o florescencia de rayos X,
para desvelar el contenido oculto en el mismo, y para la exhibición de las
mismas.
Un folio desplegado del Palimpsesto de Arquímedes visto con luz natural, donde
se pueden ver dos “páginas” del libro de oraciones escrito encima de las obras de
Arquímedes. En cada una de las dos páginas el texto religioso está escrito de
abajo a arriba, al estar girado. Fotografía del The Walters Art Museum de
Baltimore
La misma página anterior, en la cual puede leerse, después de haber sido
analizada con diferentes técnicas, el texto original de Arquímedes. Fotografía
del The Walters Art Museum de Baltimore

Se puede leer más sobre el complicado proceso de recuperación de las imágenes

del Palimpsesto de Arquímedes en la página web The Archimedes Palimpsest
Project, del Museo Walters de Arte de Baltimore.
De cada folio del palimpsesto se saca una serie de fotografías, con diferentes
técnicas, cada una de las cuales no permite leer completamente el texto oculto
del mismo, pero a partir de ellas se puede procesar una imagen ya legible.
Fotografía del The Walters Art Museum de Baltimore

Sobre toda esta truculenta historia se ha escrito un libro, con el título (en
castellano) de El código de Arquímedes, de Reviel Netz y William Noel,
publicado por Temas de Hoy, en 2007.

Pero, como decía al inicio de esta entrada, mi intención era escribir sobre el
puzzle geométrico, de tipo Tangram, llamado Stomachion. Este puzzle fue
descrito por el matemático griego Arquímedes en la obra homónima,
el Stomachion, quees una de las siete incluidas en el Palimpsesto de
Arquímedes. De hecho, es la copia más extensa que existe de la misma, aunque
solo se incluye un fragmento, de una única página, que además es la parte
introductoria de la misma.

Rompecabezas Stomachion comercial, de la empresa Red Hen Toys

Rompecabezas Tangram comercial, de la empresa Elloapic

Como decíamos el Stomachion es un puzle geométrico de tipo Tangram,

formado por una descomposición del cuadrado en 14 piezas poligonales, que
incluyen 11 triángulos, 2 cuadriláteros y 1 pentágono, como puede verse en una
de las imágenes anteriores. Recordemos que el conocido Tangram (véase la
entrada Tangram) es una descomposición del cuadrado en 7 piezas poligonales,
5 triángulos, 1 cuadrado y 1 paralelogramo de tipo romboide, cuya imagen
también hemos incluido.

Además del texto Stomachion de Arquímedes, existen muchas referencias a este

rompecabezas geométrico de autores latinos, como el poeta y filósofo romano
Titus Lucretius Carus (99 – 55 a.n.e.), el poeta romano Gaius Caesius Bassus
(siglo I), el poeta y retórico romano Decimus Magnus Ausonius (aprox. 310 –
390), el filólogo, retórico y filósofo romano Gaius Marius Victorinus (siglo IV),
quien dicen que murió en la erupción del Vesubio o el poeta y retórico galo-
romano Magnus Félix Ennodius (473/4 – 521), obispo de Pavía. Algunos
autores, como Ausonius, se refieren también al puzle como Ostomachion,
palabra de origen griego formada por ὀστέον (osteon, “hueso”), seguramente en
referencia a que las piezas estaban fabricadas con hueso, y μάχη (machē,
“lucha”), y también se conoce como “Loculus (caja) de Arquímedes”, quizás
porque las piezas se colocaban, para resolver el puzle, en una caja cuadrada.

La construcción de la caja de Arquímedes es la siguiente (véase la imagen de

abajo). Consideremos un cuadrado ABCD, llamemos E, F, G, H a los puntos
medios de los lados AB, BC, CD y DA; dibujemos los segmentos HB, HF y HC y
sean J, K, L los puntos medios de estos segmentos; dibujamos el segmento AKC,
que corta a HB en el punto que denominaremos M; ahora sea N el punto medio
se AM y P el punto medio de BF; dibujemos BN; dibujemos AP, que corta al
segmento HB en un punto, que llamamos Q, y borramos el segmento AQ;
dibujemos PJ; dibujemos un segmento que empiece en B y pase por J hasta
encontrar al segmento CD en un punto que llamaremos R, para después borrar
la parte del segmento BL; dibujemos el segmento FL, que cortara a AC en un
nuevo punto, S; y finalmente, dibujemos el segmento LG. Las líneas dibujadas
sobre el cuadrado original ABCD, lo dividen en las 14 piezas del puzle.

Diagrama de la construcción del rompecabezas de Arquímedes, Stomachion

Si observamos la cuadrícula, de tamaño 12 x 12, que hemos dibujado en la
imagen anterior, resulta que todos los puntos de la construcción del puzle, que
son los vértices de las piezas, están sobre los puntos de intersección de la
cuadrícula.

Más aún, si tomamos el área del cuadradito de la cuadrícula como área 1 (es
decir, el cuadrado pequeño tiene lado 1 y el grande 12), podemos calcular
fácilmente las superficies de todas las piezas (lo cual es un problema sencillo de
cálculo de áreas, que incluso se puede realizar en el aula, en clase de
matemáticas) y descubriremos que todas tienen área entera, en concreto, las
siguientes áreas (desde arriba a la izquierda, siguiendo el orden de las agujas del
reloj, más o menos): 12, 6, 12, 24, 3, 9, 6, 12, 6, 21, 3, 6, 12 y 12.

:
Áreas de las 14 piezas del puzle de Arquímedes, Stomachion

O lo que es lo mismo, cada una de las piezas del rompecabezas tiene la siguiente
fracción del total (siguiendo el mismo orden que arriba): 1/12, 1/24, 1/12, 1/6,
1/48, 1/16, 1/24, 1/12, 1/24, 7/48, 1/48, 1/24, 1/12 y 1/12, ya que la superficie
total del cuadrado grande es 144 (según las medidas anteriores).

Fracciones de la superficie total de las 14 piezas del Stomachion

Por lo tanto, ya sabemos cómo construir este rompecabezas geométrico, de tipo

Tangran, conocido como Stomachion, Ostomachion o caja de Arquímenes, y ya
estamos en condiciones de poder jugar con el mismo intentando construir el
cuadrado o formando diferentes figuras (el elefante de la siguiente imagen, un
triángulo y muchas otras), como se hace con el conocido Tangram.
Figura de elefante realizada con el Stomachion
Pero volviendo al fragmento de la obra Stomachion que aparece en
el Palimpsesto de Arquímedes, este despistó completamente a los expertos, ya
que aparentemente describía un juego infantil sin ningún interés científico. Y no
parece ser que este sea un tema a la altura del gran sabio griego. La siguiente
entrada de esta mini-serie de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura
Científica la dedicaremos a analizar un poco más este antiguo puzle griego y a
tratar de averiguar si solo se trataba de un sencillo juego infantil.

Bibliografía

1.- Archimedes Palimpsest

2.- Wikipedia: Palimpsesto

3.- The Archimedes Palimpsest Project en el The Walters Art Museum

(Baltimore, Maryland)

4.- Frank J. Swetz, Mathematical Treasure: The Archimedes

Palimpsest, Convergence, MAA, 2013

5.- The Archimedes Palimpsest, Sale 9058, Christie’s

6.- Mathias Schulz, The Story of the Archimedes Manuscript, Spiegel, 2007

7.- Reviel Netz, William Noel, El código de Arquímedes, Temas de Hoy, 2007

8.- Reviel Netz, Fabio Acerbi, Nigel Wilson, Towards a Reconstruction of

Archimedes’ Stomachion, SCIAMV 5, pp. 67-99, 2004.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de

la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

De: https://culturacientifica.com/2019/10/23/el-puzzle-stomachion-y-el-palimpsesto-de-
arquimedes-1/

El puzle Stomachion y el palimpsesto de

Arquímedes (2)
MATEMOCIÓN
En la primera entrada de esta mini-serie de la sección Matemoción del
Cuaderno de Cultura Científica, El puzle Stomachion y el palimpsesto de
Arquímedes (1), habíamos descrito el rompecabezas conocido como
Stomachion, o caja de Arquímedes, e incluso analizado las áreas de las piezas
que lo componen, pero, sobre todo, habíamos contado la sorprendente historia
del palimpsesto de Arquímedes, que incluye la copia más extensa de la
obra Stomachion del gran matemático griego Arquímedes de Siracusa (aprox.
287 – 212 a.n.e.). Por otra parte, en la presente entrada vamos a centrarnos en
algunos aspectos matemáticos del Stomachion.
 Rompeca
bezas Stomachion, también llamado Ostomachio o caja de Arquímedes

Empecemos recordando que el Stomachion es un rompecabezas de tipo

Tangram formado por 14 piezas, en concreto, 11 triángulos, 2 cuadriláteros y 1
pentágono, que podemos ver en la imagen anterior.

Si consideramos que el cuadrado generador tiene unas dimensiones de 12

unidades de longitud (por ejemplo, centímetros) de lado y trazamos la
cuadrícula 12 x 12 sobre el mismo, como hicimos en la entrada anterior, se
puede observar que todos los vértices de las piezas descansan sobre los puntos
de intersección de la cuadrícula. Notemos además que, en la cuadrícula, la
distancia entre un punto de la misma y el siguiente, en horizontal o vertical, es
una unidad de longitud. Esto, además de dejar claro que esta descomposición
del cuadrado no es caprichosa, nos permite calcular fácilmente las áreas de las
14 piezas del rompecabezas, todas con valores enteros (desde arriba a la
izquierda, siguiendo el orden de las agujas del reloj, más o menos): 12, 6, 12, 24,
3, 9, 6, 12, 6, 21, 3, 6, 12 y 12.
Áreas de las 14 piezas del puzle de Arquímedes, Stomachion

El cálculo de las áreas es sencillo y puede ser un interesante problema para el

aula de matemáticas, pero aún le podemos sacar un poco más de partido al tema
de las superficies, comprobando que los anteriores resultados son correctos
mediante el teorema de Pick, como nos sugiere el grupo Alquerque de Sevilla en
su artículo sobre el Stomachion en la revista Suma.

Teorema de Pick (1899): si un polinomio P tiene sus vértices sobre una

cuadrícula, entonces su área es igual a

donde B es un número de puntos de la cuadrícula que están en el borde del

polígono e I los que están en el interior del mismo.
En la siguiente imagen podemos ver la comprobación del teorema de Pick para
las piezas verde y azul. Hemos pintado los puntos del borde de los polígonos
(cuyo número es B) de amarillo y los del interior de verde (cuyo número es I).
El teorema de Pick aplicado al cálculo de las áreas de las piezas verde y azul del
Stomachion

A continuación, vamos a analizar los ángulos de las piezas de la caja de

Arquímedes. Esta es una cuestión importante también, puesto que cuando se
trabaja la resolución de puzzles geométricos como el Tangram, los
rompecabezas de letras, como T y M, u otros similares, el razonamiento sobre
los ángulos es fundamental para la resolución de los mismos. Por ejemplo, en
estos puzzles cuadrados, en las esquinas debe ir una pieza rectangular o la suma
de los ángulos de las piezas que tocan la esquina debe ser 90º, los ángulos en los
vértices que están en los lados del cuadrado deben sumar 180º, mientras que en
los vértices interiores deben sumar 360º (véase en la imagen algunos ejemplos).
Para empezar, fijémonos en la pieza que es un triángulo rectángulo, de área 3 en
la cuadrícula 12 x 12, que está en la parte derecha de la imagen anterior del
puzzle (de color azul grisáceo en la imagen coloreada). Si estudiamos los
ángulos de esta figura, uno es 90º (ángulo recto), pero los otros son alpha =
arctan (2/3) = 33,69º (aprox.) y beta = 90º – alpha = 90º – 33,69º = 56,31º
(aprox.). Como veremos más adelante, la mayoría de los ángulos de las piezas
del Stomachion están relacionados con el ángulo delta = arctan (1/2) = 26,57º
(aprox.) y los ángulos alpha y beta de este pequeño triángulo rectángulo solo
encajan con los ángulos alpha’ y beta’ de la pieza que es un cuadrilátero con un
ángulo recto (la pieza verde oscuro en la imagen coloreada). Como consecuencia
de esto las dos piezas anteriores, el cuadrilátero con un ángulo recto y el
pequeño triángulo rectángulo, siempre irán juntas en cualquier solución del
juego original, es decir, colocar las piezas del rompecabezas para montar un
cuadrado.
Un análisis similar puede realizarse con las piezas verde claro y naranja, que
irán juntas en cualquier solución de la caja de Arquímedes. Y lo mismo las
piezas morada y marrón. Por este motivo, en los análisis matemáticos de este
juego geométrico se suele juntar cada una de estas parejas de piezas para formar
una pieza común. De hecho, la matemática estadounidense nacida en Taiwán
Fan Chung y el matemático estadounidense Ron Graham llaman a este nuevo
puzzle el Stomach (le han quitado tres letras al nombre, al igual que el nuevo
rompecabezas ahora tiene tres piezas menos), y veremos más adelante el
análisis que hacen del mismo.
 Rompeca
bezas Stomach, formado por 11 piezas, 8 triángulos, dos cuadriláteros y un
pentágono. Las piezas han sido nombradas con una letra, de forma que las
piezas que tienen la misma forma tengan la misma letra, como ocurre con A, B y
E

Ahora, de nuevo con un poco de trigonometría básica (de hecho, basta la

definición geométrica de la tangente de un ángulo y que la suma de los ángulos
de un triángulo es 180º) se pueden calcular los ángulos de las piezas del
Stomach (en general, del Stomachion), que como hemos comentado están la
mayoría expresados en función del ángulo delta = arctan (1/2) = 26,57º (en la
imagen siguiente puede verse, por ejemplo, en el triángulo rosa que el
ángulo delta es aquel cuya tangente vale 3/6 = 1/2).
A continuación, mostramos en una tabla los valores de los ángulos de las piezas
del Stomach (que son las del Stomachion, con la salvedad de las tres uniones
que hemos realizado). Empezamos por las piezas de arriba a la derecha, desde la
pieza A, y enumeramos los ángulos desde la derecha y en el sentido de las agujas
del reloj.
Pero volvamos a la obra Stomachion de Arquímedes, dedicada al rompecabezas
homónimo. Como comentamos en la anterior entrada El puzzle Stomachion y el
palimpsesto de Arquímedes (1), el mayor fragmento conservado de esta obra,
aunque es solamente una página y además la parte introductoria de la misma,
apareció en el palimpsesto de Arquímedes. Esta obra despistó completamente a
los expertos, ya que aparentemente trataba sobre un juego infantil sin ningún
interés científico, lo cual no se correspondía con la profundidad científica de sus
demás obras.

El historiador de las matemáticas israelí Reviel Netz, profesor de la Universidad

de Stanford en California, después de investigar el Stomachion concluyó que, en
su opinión, no era simplemente una sencilla obra sobre un juego infantil, sino
que se trataba realmente de un tratado de combinatoria.

La combinatoria es una rama de las matemáticas, que entre otras cuestiones

incluye el estudio de métodos para contar las estructuras o configuraciones de
un conjunto de un determinado tipo o tamaño. Por ejemplo, son problemas de
la combinatoria el contar cuántos cuadrados latinos existen de un orden dado
(véase la entrada Cuadrados latinos, arte y matemáticas), cuántas soluciones
tiene una ecuación lineal (véase Aprendiendo técnicas de contar: lotería
primitiva y bombones), cómo se pueden distribuir una serie de elementos con
unas ciertas condiciones (véase El problema matemático de las cartas
extraviadas o El problema de las estudiantes de Kirkman), o cuántas soluciones
tiene un juego o puzzle (véase Cubo soma: diseño, arte y matemáticas o el
libro Del ajedrez a los grafos).

En opinión de Reviel Netz la cuestión que le interesaba a Arquímedes en

relación al rompecabezas era cuántas soluciones existen del mismo, es decir, de
cuántas formas distintas se pueden colocar las 14 piezas para formar un
cuadrado. Mientras que para el Tangram solo hay una manera de construir el
cuadrado, es decir, solo existe una solución, más allá de rotaciones (girar el
cuadrado), reflexiones (darle la vuelta) o cambiar las piezas de igual forma entre
sí, las piezas geométricas del Stomachion se pueden combinar de diferentes
formas para dar lugar al cuadrado, esto es, tiene muchas soluciones. Este era el
problema combinatorio del tratado de Arquímedes, por lo tanto, de una
profundidad mayor de la que aparentaba.

Por lo tanto, el problema combinatorio quedaba abierto, ¿de cuántas formas

distintas se puede resolver la caja de Arquímedes? El profesor Netz no sabía
cómo de difícil podía ser este problema y si Arquímedes pudo resolverlo en su
tratado, por lo que se lo planteó a algunos colegas de su universidad, la
profesora de estadística Susan Holmes y el matemático Persi Diaconis, conocido
por su trabajo en magia y matemáticas. Como explica la propia Susan Holmes:
“al principio pensamos que podíamos sentarnos y resolver en un día cuántas
soluciones tenía. Entonces nos dimos cuenta de que eran muchas más de las
que podíamos haber imaginado”. Entonces, junto con la pareja de profesores de
la Universidad de California, Ron Howard y Fan Chung, dedicaron varios meses
a resolver esta cuestión combinatoria. Finalmente, obtuvieron la respuesta
buscada, hay 17.152 configuraciones distintas de todas las piezas del Stomachion
que forman un cuadrado, que se reducen a 536, si no tenemos en cuenta
rotaciones, reflexiones o el intercambio de las piezas que son iguales (las piezas
A y B en la imagen del Stomach), 536 x 32 = 17.152.

Cada solución del Stomachion, como la original de la construcción, da lugar a 8

soluciones mediante rotaciones y reflexiones, como se muestra en la imagen.
Además, cada una de estas da lugar, a su vez, a 4 soluciones intercambiando de
lugar las piezas de igual forma, A y B. Por este motivo, 536 x 8 x 4 = 17.152
soluciones

Aunque un poco antes, en noviembre de 2003, el informático Guillermo H.

Cutler, que había diseñado un programa informático para resolver el problema,
encontró las 536 formas distintas de combinar las 14 piezas del rompecabezas
para formar el cuadrado.
536 soluciones del Stomachion obtenidas por Guillermo H. Cutler

Por otra parte, la profesora Chung y el profesor Graham visualizaron las

soluciones de la caja de Arquímenes, y las relaciones entre las mismas, a través
de un grafo, que vamos a explicar brevemente en lo que queda de entrada. La
construcción es delicada, pero de una gran profundidad y belleza.

Para empezar, Fan Chung y Ron Howard no estudiaron directamente las

soluciones del Stomachion, sino de un nuevo rompecabezas que llamaron
Stomach y que hemos mostrado más arriba. Las soluciones son prácticamente
las mismas. De hecho, cada solución del Stomach da lugar a dos soluciones del
Stomachion ya que la pieza E rosa, se puede intercambiar con la pieza E
morada, la cual está formada por dos piezas del Stomachion original. De hecho,
el Stomach tiene 268 configuraciones básicas, que dan lugar a las 268 x 2 = 536
configuraciones básicas del Stomachion.

Para visualizar las soluciones del Stomach, Chung y Howard construyeron un

grafo. Recordemos que un grafo está formado simplemente por puntos –
llamados vértices del grafo- y líneas que unen algunos de esos puntos –llamadas
aristas del grafo- (véase, por ejemplo, El problema de los tres caballeros y los
tres criados [https://culturacientifica.com/2016/05/04/problema-los-tres-
caballeros-los-tres-criados/], El grafo de Marion (gray)
[https://culturacientifica.com/2019/07/31/el-grafo-de-marion-gray/] o El
juego de Sim [https://culturacientifica.com/2017/04/19/juego-del-sim/], entre
otros), y que es una estructura matemática muy sencilla, pero a la vez muy
versátil.

En el grafo introducido por Chung y Howard, asociado al rompecabezas

geométrico, cada vértice es una de las configuraciones de las piezas formando el
cuadrado, es decir, una de las 268 soluciones del rompecabezas, mientras que
dos vértices están unidos por una arista si existe un movimiento, local o global
(cuyo significado explicaremos un poco más adelante), que transforma una
configuración en otra.

Para empezar, describamos lo que esta pareja de matemáticos denomina

“núcleo” del grafo, que está formado por 24 configuraciones particulares y los
movimientos entre ellas.

Si se consideran las 11 piezas del Stomach, solo existe una forma de dividirlas en
cuatro grupos para formar cuatro triángulos rectángulos básicos, que juntos dan
lugar al cuadrado del rompecabezas, que llamaremos triángulos básicos 1, 2, 3,
4, siguiendo la notación de Chung y Howard. Estos triángulos son:

El núcleo del grafo está formado por las 24 soluciones básicas que se obtienen
juntando estos cuatro triángulos, tomados tal cual están, salvo que los rotemos,
o volteados. La notación que vamos a utilizar es la siguiente. Cada configuración
básica estará nombrada por los cuatro números de los cuatro triángulos básicos
en el orden que están colocados desde la izquierda a la derecha, y si un triángulo
está volteado utilizamos un signo prima para marcarlo. Por ejemplo, la solución
inicial del Stomach que está más arriba, coloreada, sería 1’ 2’ 3 4, ya que la pieza
1 está a la izquierda, pero volteada, lo mismo que la siguiente, que es la 2,
mientras que luego van, sin voltear, las piezas 3 y 4.

A continuación, mostramos la imagen con las 24 configuraciones del núcleo, con

la correspondiente notación.
Además, estas configuraciones del núcleo están conectadas por movimientos
globales (que van a ser las aristas del grafo) que consisten en intercambiar dos
de los cuatro triángulos básicos (la pieza 1 la podemos mantener sin dar la
vuelta y siempre en la parte de la izquierda, respecto al centro).

Por ejemplo, la configuración 1234 está conectada, con una arista, a las
configuraciones 1324, 1243, 124’3’, 123’4’ y 2134, puesto que se puede llegar a
ellas intercambiando dos de los triángulos básicos de 1234, como se ve
fácilmente. En teoría de grafos se dice que el vértice 1234 tiene grado 5, ya que
hay 5 aristas conectadas con el mismo (por ahora).

Podemos formar ahora la parte de este grafo que es el núcleo, cuyos vértices son
las 24 configuraciones anteriores y las aristas están dadas por los movimientos
globales que acabamos de describir. El resultado sería el siguiente.
Por otro lado, cada una de esas 24 configuraciones básicas está conectada,
mediante aristas que vienen de movimientos locales, con otras configuraciones
del cuadrado. Un movimiento local de una configuración consiste en rotar o
voltear una subregión simétrica del cuadrado formada por un grupo de piezas
contiguas. Por ejemplo, en la imagen de abajo el grupo de piezas formado por
los dos triángulos azules, que es un triángulo isósceles, ha sido volteado para
dar lugar a otra solución distinta del rompecabezas, otra configuración.

Dada una de las 24 configuraciones básicas, llamémosle B, la estructura de las

configuraciones que se pueden alcanzar a partir de ella, mediante movimientos
locales, es denominada por Chung y Howard el “cluster” de B. En la siguiente
imagen vemos el cluster de la configuración básica 1234, con el grafo asociado al
mismo, que es un grafo con 7 vértices/representaciones (podéis descubrir en la
imagen el movimiento local que se produce entre una configuración y otra
conectada). Notemos que se han coloreado los vértices en función de la
distancia a la configuración básica del núcleo (cada arista recorrida aumenta
una unidad la distancia), en este ejemplo, la distancia a 1234.

Los clusters de las configuraciones básicas no son siempre iguales. Por ejemplo,
el cluster de la configuración 1324 tiene diez vértices, como vemos en la
siguiente imagen.
Además, la arista entre dos vértices del núcleo, es decir, entre dos
configuraciones básicas, se extiende a aristas entre los vértices de sus clusters.
Si los clusters tienen la misma estructura, como los de los vértices 1234 y 2134,
las aristas se extienden de forma paralela, como se ve en la siguiente imagen.
Mientras que, si los clusters tienen distintas estructuras, entonces las aristas que
unen vértices de los dos clusters son más particulares, como entre los vértices
1234 y 1324.

Existen seis estructuras diferentes de clusters, aunque la mayoría de las

configuraciones básicas están relacionadas con tres de ellos. La estructura del
cluster de las ocho configuraciones básicas que están en la parte superior de la
imagen del grafo del núcleo (1234, 1243, 2143, 2134, 213’4’, 123’4’, 124’3’, 214’3’)
es la misma. La llamaremos “estructura de cluster A” y tiene 7 vértices. También
comparten estructura de cluster seis de las ocho configuraciones básicas que
están en la parte izquierda de la imagen del grafo del núcleo (1324, 3124, 3142,
132’4’, 312’4’, 314’2’). La llamaremos “estructura de cluster B” y tiene 10
vértices. Y la otra estructura de cluster repetida, que llamaremos “estructura de
cluster C”, tiene 14 vértices y es compartida por 7 de las ocho configuraciones
básicas que están en la parte derecha de la imagen del grafo del núcleo (1423,
4123, 4132, 143’2’, 142’3’, 412’3’, 413’2’). Estas tres estructuras de clusters son
las que aparecen en la siguiente imagen.
Mientras que hay tres configuraciones básicas, cada una de las cuales tiene su
propia estructura particular de cluster. La configuración 1432 tiene la siguiente
estructura de cluster, que llamaremos D, con 18 vértices.
La configuración 1342 tiene la estructura de cluster que llamaremos E, con 16
vértices.

Y la configuración 134’2’ tiene la estructura de cluster más raras de todas,

también con 18 vértices, que llamaremos F.

En resumen, el grafo gigante que hemos generado con

soluciones/configuraciones del Stomach posee 266 vértices (que recordemos
que son las soluciones del rompecabezas geométrico) y 936 aristas (que
recordemos que están generadas a partir de movimientos locales y globales
sobre las soluciones del Stomach). Pero resulta que hemos generado un grafo
(conexo, es decir, no hay grupos de vértices desconectados, mediante las aristas,
del resto) con 266 vértices, pero recordemos que el número de soluciones
básicas del Stomach son 268. ¿Qué ocurre con las otras dos
soluciones/configuraciones del puzzle? Resulta que esas dos configuraciones,
están conectadas entre ellas mediante un movimiento local, es decir, son dos
vértices con una arista entre ellas, pero están desconectadas del resto de
soluciones del rompecabezas. Estas configuraciones son las que aparecen en la
imagen siguiente.

En la siguiente imagen, para comprender un poco mejor la estructura de este

enorme grafo asociado con el puzzle geométrico Stomach, hemos vuelto a
dibujar el núcleo, indicando en cada configuración básica cual es la estructura
de cluster que se agrega a la misma, así como las dos configuraciones aisladas,
que no están en el núcleo o conectadas con el mismo, que hemos denominado
“configuración 267” y “configuración 268”.
Todos los detalles de esta construcción, incluidas las aristas entre clusters de
diferente estructura que no hemos incluido aquí, pueden encontrarse en la
página A tour of Archimedes’ Stomachion, de la matemática Fan Chung y el
matemático Ron Graham. Además, se incluyen interesantes propiedades
matemáticas del grafo, como las dos con las que concluimos esta entrada.

Si consideramos la componente más grande del grafo del Stomach, con 266
vértices y 936 aristas, esta tiene un diámetro de 11, es decir, la distancia más
grande entre dos vértices del grafo es de 11 aristas. Además, este subgrafo es un
grafo de los llamados hamiltonianos, es decir, existe un camino (sucesión de
vértices y aristas) que pasa por todos los vértices y en el que no se repite ningún
vértice. Uno de esos caminos se muestra en la página A tour of Archimedes’
Stomachion, para quien esté interesado.

Y, para terminar, una escultura relacionada con los caminos hamiltonianos.

Escultura Ha
milton cycle on football, del matemático y artista holandés Koos Verhoeff, en el
exterior del edificio de Matemáticas de la Universidad de Heidelberg
Bibliografía

1.- Reviel Netz, Fabio Acerbi, Nigel Wilson, Towards a Reconstruction of

Archimedes’ Stomachion, SCIAMV 5, pp. 67-99, 2004.

2.- Grupo Alquerque de Sevilla (Juan Antonio Hans, José Muñoz, Antonio
Fernández-Aliseda), Stomachion, el cuadrado de Arquímedes, SUMA, n. 50, pp.
79 – 84, 2005.

3.- Fan Chung, Ron Graham, A tour of Archimedes’ Stomachion

4.- Raúl Ibáñez, Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos,
colección El mundo es matemático, RBA, 2015.

5.- Erica Klarreich, Glimpses of genius, Science News, n. 15, vol. 165, 2004.

6.- Wolfram Mathworld: Stomachion

7.- Tom Verhoeff, Koos Verhoeff, Three Mathematical Sculptures for the

Mathematikon, Proceedings of Bridges 2016: Mathematics, Music, Art,
Architecture, Education, Culture, pp. 105-110, 2016.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de

la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

De: https://culturacientifica.com/2019/11/06/el-puzzle-stomachion-y-el-palimpsesto-de-
arquimedes-2/