20 La fracción como relación parte-todo y como cociente

1. Las fracciones en diferentes culturas

antiguas
Hay bastantes libros sobre Historia de las Matemáticas que pueden servir como lectura
para seguir el rastro al concepto de fracción a través del tiempo y de culturas diversas.
En particular se seguirá a Eric Temple Bell, Jean-Paul Collete, Florian Cajori, Carl Boyer,
Eves Howard, Walter William Rouse Ball, James R. Newman, Burton, A. K. Bag, S. G.
Dani, G. R. Kaye, Michel Danino, Kim Plofker, Shri Vineet Joshi, Vijaya Kumar Murti, y un
libro reciente, cuyo editor es Victor Katz sobre las Matemáticas en Egipto, Mesopotamia,
China, India y el Islam.

1.1 Egipcios
Es muy significativo que los textos matemáticos más antiguos que existen sean dos
papiros egipcios, uno llamado papiro Moscú y, el otro llamado papiro Rhind[18]. El papiro
Moscú es considerado, junto con el papiro Rhind, los documentos más importantes del
Egipto Antiguo. El papiro Moscú fue escrito en escritura hierática en torno al 1.890 a.C.
(XII dinastía) por un escriba desconocido, que no era tan meticuloso como Ahmés, el
escriba del papiro Rhind. Se desconoce el objetivo con el que fue escrito. Hay dos
problemas sobresalientes, uno del volumen de una pirámide truncada y otro del área de

El papiro Moscú, maneja métodos de resolución que son prácticamente los mismos que
se usan en el papiro Rhind. El problema 14 indica que los egipcios conocieron la fórmula
matemática correcta para calcular el volumen del tronco de una pirámide de base

cuadrada , con V el volumen, a y b las longitudes de los lados del

cuadrado y h la altura. un matemático desconocido dio un

Las fracciones en diferentes culturas antiguas 21

ejemplo numérico de la fórmula correcta para hallar el volumen de un tronco de

pirámide, y este autor ubica este suceso hacia el 1. [4].

El papiro de Rhind, lo obtuvo Alexander Rhind en Luxor, en 1.858. El papiro es un rollo

Manual práctico de
Matemáticas egipcias
el texto es copiado de un escrito antiguo, que los expertos ubican en la Dinastía XII, entre
1.849 a 1.801 a. C. Los estudiosos no están de acuerdo con respecto a la habilidad
matemática de Ahmés, pues en su manuscrito existen errores, y es difícil decidir en
cuáles casos los realizó él o únicamente los copió del documento anterior.

Ilustración 1-1: Fragmento del papiro Rhind (O'Connor & Robertson, 2000)

El papiro Rhind muestra unos 85 problemas, donde se manejan fraccionarios, soluciones

a ecuaciones simples y progresiones, áreas (triángulos, trapezoides, círculos y
rectángulos) y volúmenes (cilindros y prismas). La primera parte del papiro Rhind, tiene
una tabla de dividir por 2, para los números impares, desde hasta , es de recordar

que los egipcios sólo operaban con fracciones de la unidad, las demás fracciones debían
 22 La fracción como relación parte-todo y como cociente

ser reducidas a suma de fracciones con numerador 1. El problema 48 del papiro Rhind,
en particular, también tiene que ver con un fraccionario, y se refiere al cálculo de un área

que da una aproximación del número .

1.1.1 Sistema Jeroglífico

Los egipcios manejaron este sistema que es de base diez no posicional, y utiliza el
principio aditivo para la posición de los símbolos. La escritura generalmente es de
derecha a izquierda. El principio aditivo sirve para expresar cualquier número, ya que
cada símbolo se repite el número necesario de veces. La evidencia más temprana de
textos escritos en Egipto a fines del cuarto milenio A. C. consiste en registros de nombres
(de personas y lugares), bienes y sus cantidades. La escritura jeroglífica aparece en
tumbas, monumentos y piedras.

Los símbolos para cada potencia de diez son:

Ilustración 1-2: Numerales jeroglíficos egipcios [42]

Como se mencionó arriba, este tipo de escritura podía ser escrito en cualquier forma
adecuada para el propósito de la inscripción, aunque la dirección normal es de derecha a
izquierda.

Ilustración 1-3: Escritura jeroglífica para 142.136

Así en ilustración se nota, leyendo de derecha a izquierda:

Según Burton, las siguientes representaciones son igualmente válidas para el número
1.232, el valor del número no era afectado por el orden en el jeroglífico:
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 23

Ilustración 1-4: Tres representaciones diferentes para el número 1.232 [8]

Para representar las fracciones unitarias, es decir las que tienen numerador uno, los
egipcios colocaban encima del número un símbolo de forma oval, pronunciado ro.

Ilustración 1-5: Representación de algunas fracciones en forma jeroglífica

Unas pocas fracciones fueron representadas por signos especiales.

Ilustración 1-6: Representación de fracciones para los egipcios [36]

u que también se menciona en la literatura como

se muestra enseguida.

Ilustración 1-7: Fracciones formadas con el ojo de la cobra [36]

 24 La fracción como relación parte-todo y como cociente

1.1.2 Sistema Hierático

Este sistema es también decimal pero el principio de repetición del sistema jeroglífico se
sustituye por símbolos especiales. Para representar las fracciones en este sistema el
símbolo jeroglífico ro, es cambiado por un punto. Esta escritura hierática (sagrada) fue
usada a la par de la jeroglífica y, evolucionó, escrita con tinta y un instrumento de
escritura (como una caña o algo similar) sobre papiro, ostraca (conchas o cerámicas),
cuero o madera. Con el paso del tiempo la escritura hierática llego a ser más y más
cursiva, y grupos de signos fueron combinados en las así llamadas ligaduras . La
escritura hierática generalmente es escrita de derecha a izquierda, la escritura hierática
varía bastante según la caligrafía del escriba [12].

Ilustración 1-8: Numerales hieráticos

Las fracciones en diferentes culturas antiguas 25

En la siguiente ilustración se puede apreciar la escritura del número 2765, escrito de

derecha a izquierda, como se acostumbra en la escritura hierática.

Ilustración 1-9: Escritura hierática del número 2765, se lee de derecha a izquierda

En la siguiente ilustración se reproduce la tabla preparada por Kurt Sethe. Se puede

observar que el símbolo antiguo para era la cruz, significando, tal vez, la parte obtenible

de dos secciones de un cuerpo a través del centro [10].

Ilustración 1-10: Simbolismo egipcio para fracciones simples (Kurt Sethe)

 26 La fracción como relación parte-todo y como cociente

La representación de los números en el sistema hierático resultaba más corta que en el

sistema jeroglífico. Por ejemplo, para representar el número 37, leyendo de izquierda a
derecha:

Ilustración 1-11: Representación del número 37 en los sistemas hierático y jeroglífico

Sistema hierático Sistema jeroglífico

1.1.3 Tabla 2/n

Las operaciones con fracciones les ocasionaban problemas serios a los egipcios, ya que
como se dijo antes, acostumbraban manipular fracciones que tenían únicamente como
numerador la unidad. La llamada tabla 2/n del papiro Rhind ocupa la tercera parte de
dicho documento y es sobre fracciones. Ha sido un reto importante, para los
historiadores, descifrar el código de construcción de dicha tabla.

Según Milo Gardner, en el 2006 y el 2011, el código del escriba fue descifrado y esto se
confirmó demostrando que cada fracción n/p fue amplificada a mn/mp. La conclusión fue
alcanzada decodificando cada línea y cada nota escrita del escriba Ahmés. La
metodología prueba que el escriba escogía mínimo común múltiplo
de los números rojos auxiliares, divisores de los denominadores mp, y se escribieron en
series de fracciones unitarias [20].

En 2011, usando los nuevos códigos de decodificación es claro que el método del
mínimo común múltiplo m fue usado por Ahmés para facilitar conversiones de números
racionales n/p en un contexto multiplicativo. Según Milo Gardner, Ahmés empleó tres
métodos, en el primero amplificó 2/53 mediante el mínimo común múltiplo 30 a 60/1590
por medio de números rojos auxiliares (53+5+2)/1590 = 1/30 + 1/318 + 1/795. Por otra
parte amplificó 2/53, 3/53, 5/15, 15/53 por el mínimo común múltiplo m a 60/53m, y 28/53
a 56/106, en un contexto de hekat (unidad de volumen). El segundo método convertía
30/53 en 28/53 + 2/53. En general, n/p = (n-2)/p + 2/p definió un uso de las tabla 2/n. Y
en el tercer método reporta un método de conversión de n/53.
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 27

Ahmés y otros escribas, convertían las fracciones multiplicando 2/n por números rojos
auxiliares m/m. Dos pasos adicionales que fueron usados por Ahmés, tuvieron que ser
descifrados para que la información de la tabla 2/n fuera traducida totalmente a la
notación aritmética moderna. La aritmética de Ahmés dividía el numerador en suma de
enteros. La conversión en la tabla 2/n creaba un numerador 2m, un denominador mn, y
un conjunto de enteros 2m sumados, y una serie optimizada de fracciones egipcia.

Regla de Ahmés: 2/n=2/n*(m/m) = 2m/mn = (mn1+...+mni)/(mn) = 1/a+1/a1(n)+ ...+1/ai(n)

donde:
a) El número 2m dividido : (mn1 + mn2 + ... + mni) = 2m basados
en que mn era factorizado en mn1, mn2, ..., mni y otros números primos y
compuestos.
b) Cada mn1, mn2, ..., mni dividiendo a mn. Por ejemplo 2/7 se resuelve al
seleccionar el mínimo común múltiplo 4: 2/7 = 2/7*(4/4) = 8/28 = (7 + 1)/28 = 1/4 +
1/28
Tabla 1-1: La tabla 2/n del papiro de Rhind, forma moderna [41]
 28 La fracción como relación parte-todo y como cociente

1.2 Babilonios
El valle de los ríos Tigris y Éufrates fue uno de los primeros asentamientos de la
civilización humana y por ello la antigüedad de la Matemática en Babilonia. Desde el
punto de vista de algunos autores se pueden tomar como sinónimos Caldea y Babilonia
para algunos propósitos de estudio [34], en realidad es conveniente agrupar como un
solo conjunto todos los pueblos semíticos errantes, descendientes de las praderas del
sur que se asentaron en Asiria, en la región de Nínive, en Asia Menor y a lo largo de la
costa fenicia. Se incluye también un pueblo no semítico, los sumerios, quienes moraron
en la tierra de Sumer, cerca del Golfo Pérsico. Este pueblo proveniente de las regiones
montañosas del Este rápidamente desarrolló un sistema de numeración y numerales
usados por ellos en el siglo XXVIII a. C. son conocidos a través de algunas inscripciones.
Viviendo en un país bajo formado por depósitos aluviales que no poseía piedras grandes
para realizar monumentos, tuvieron que recurrir
Sobre la superficie de tablillas de arcilla, presionaban con un palo redondo y puntiagudo,
lo que resultaba en formas circulares, semicirculares o de cuñas (cuneiformes). Estas
inscripciones fueron descifradas por Grotefend (1.802) y Rawlinson (1.847) [9].

En el reinado de Sargon, alrededor del 2.750 a. C., se encuentran registros de eclipses,

por lo cual se supone que el sistema de numeración debía ser avanzado en aquella
época. Para Sargon fue compilado el primer Tratado de Astrología, del cual se poseen
algunos fragmentos originales. En tabletas del 2.400 a. C. se tienen algunas de la
Tercera Dinastía de Ur que registran el uso de giros o cheques, la medida de tierras en
shars, el pesaje mediante talentos (gur), la medida de líquidos por ka, la toma de
intereses, el manejo de las fracciones , y la medida de líquidos y sólidos mediante

qa. El periodo del que se está hablando no sólo se refiere a Sargon sino también a
Hammurabi (2.100 a. C.), en este último reinado se escribió el primer Tratado de Leyes
conocido hasta el momento y se hizo una reforma al Calendario.

El primer conocimiento de la Aritmética Babilonia deriva de dos tablillas encontradas, en

1.854, en Senkereh, el antiguo Larsam, por el geólogo británico W. K. Loftus. Estas
tablillas contienen cuadrados de números de 1 a 60, y los cubos de los números de 1 a
32, parece que las tablillas son del 2.100 a. C. en la época de Hammurabi. Los estudios
de Neugebauer de 1.953 de un gran número de tablillas muestran que los sumerios y los
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 29

babilonios podían resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas, bicuadráticas y

tenían conocimiento de números negativos.

Puede ser, según unas tablillas encontradas en Nippur, que desde el 1.500 a. C. los
babilonios pudieron encontrar el área del rectángulo, la del cuadrado, la del trapecio, la
del triángulo rectángulo, posiblemente la del círculo, así como el volumen de un
paralelepípedo y el volumen de un cilindro. Hay bases para creer que conocieron la
expansión de (a+b)2, aunque no se sabe si llegaron a ello por medio de figuras
geométricas o por su estudio exhaustivo de los números cuadrados. También hay
razones para creer que conocieron el ábaco [34].

1.2.1 Sistema de numeración

Se usó, por parte de los babilonios, un sistema posicional de base 60, este sistema
sobrevive en nuestras divisiones de horas, minutos y segundos. Es probable que se
haya escogido el 60 porque tiene varios divisores y, por tanto, el trabajo con sus partes
fraccionarias era más sencillo que con otro número que tuvieran menos divisores. Los
babilonios no tenían un símbolo para el cero pero indicaban una posición vacía mediante
un símbolo de dos cuñas [36].

Ilustración 1-12: Símbolos matemáticos babilónicos

 30 La fracción como relación parte-todo y como cociente

Utilizaban una cuña delgada y vertical para el número 1, y una cuña gruesa y horizontal
para el número 10. Los símbolos se repetían en grupos de hasta nueve unidades. Los
estudiosos convienen en escribir los numerales babilónicos empleando la notación
decimal y la base 60. Por ejemplo el número 2, 4, 1 escrito en notación babilónica
significa 2x602 + 4x601 + 1x600, que convertido en notación decimal sería el número:
7.200 + 240 + 1 = 7.441. De manera similar la parte fraccionaria se representa con un
1
+ 3x600 + 1x60-1, que convertido
en la notación decimal convencional es el número 180 + 3 + 1/6

En los tiempos de la Conquista de Alejandro Magno había un símbolo especial para el

espacio vacío entre cifras de un mismo número consistente en dos cuñas oblicuas, así en
escritura cuneiforme el símbolo de la siguiente ilustración se refería claramente a
2x602+0x601+2x600.

Ilustración 1-13: Representación cuneiforme para 2x3600+0x60+2 [6]

Ese símbolo para el cero parece que no fue suficiente para evitar todas las
ambigüedades ya que sólo se empleaba en cifras intermedias. Esto significa que los
babilonios en la antigüedad no alcanzaron totalmente el sistema posicional. La posición
era sólo relativa.

Ilustración 1-14: Numeral correspondiente a 2x60+2 ó 2x3.600+2x60

Para el babilonio erudito el trabajar con fracciones no debió de causarle mayores

dificultades debido a la extensión del principio posicional a las fracciones sexagesimales.
Se tiene el cálculo de la raíz cuadrada de dos, con tres cifras sexagesimales, de una
colección de la Universidad de Yale de la Antigua Babilonia: 1; 24, 51, 10 este valor
convertido a notación decimal es 1,41421296 que tiene un error de 0,000006 con
respecto al aceptado ahora. La exactitud en las aproximaciones fue relativamente fácil
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 31

para los babilonios debido a su notación fraccional, esta exactitud fue sólo superada en la
época del Renacimiento [6].

Al escribir los numerales, los babilonios utilizaron a veces un palo con una sección recta
circular, que daban al 1 la forma de concha o grano. Así tenían dos tipos de numerales:

Ilustración 1-15: Tipos de numerales cuneiformes [28]

2.000 a. C. o incluso antes, en las tablillas cuneiformes es frecuent

sustracción. Así se tiene para 19 ó 37.

Ilustración 1-16: Numerales cuneiformes representando 19 y 37 [28]

Muchos procesos aritméticos fueron llevados a cabo mediante la ayuda de tablas, de 300
tablillas matemáticas unas 200 son de tablas (multiplicaciones, recíprocos, cubos).

1.2.2 Álgebra y Geometría

Hay ejemplos concretos de Babilonia, del 2.000 a. C. al 1.600 a. C., que dan indicios que
estaban familiarizados con las áreas del rectángulo, del triángulo recto, del triángulo
isósceles y tal vez, del triángulo en general. Conocieron el área de un trapecio con un
lado perpendicular a los lados paralelos, el volumen de un paralelepípedo rectangular y,
más generalmente, el volumen de un prisma recto con base trapezoidal. La longitud de
la circunferencia fue tomada como tres veces el diámetro y el área del círculo como un
doceavo del cuadrado de la longitud de la circunferencia, estos cálculos son correctos,
tomando .

El volumen de un cilindro circular recto se calculaba mediante la multiplicación del área

de la base por la altura. El volumen de un tronco de cono o de un tronco de pirámide de
 32 La fracción como relación parte-todo y como cociente

base cuadrada es erróneamente dado como el producto de la altura por la mitad de la

suma de las bases. Sin embargo, para el volumen después se usó la fórmula:

Esta última fórmula es correcta y puede ser reducida a una empleada por los egipcios [6].
Existe una tablilla, descubierta hace poco, que aproxima . El llamado Teorema de

Pitágoras era conocido también [17]. La principal característica de la geometría

babilónica es su carácter algebraico. Hay muchos problemas concernientes a una
transversal paralela a uno de los lados de un triángulo rectángulo, que conducen a
ecuaciones cuadráticas; otros conducen a sistemas de ecuaciones simultáneas, un
ejemplo da diez ecuaciones con diez incógnitas. En una tablilla de Yale, del 1.600 a. C.,
surge una ecuación cúbica general de una discusión de los volúmenes de conos

Hacia el 2.000 a. C. la aritmética babilónica había evolucionado hacia un álgebra retórica,

en prosa. Los babilonios no sólo resolvieron ecuaciones cuadráticas, sustituyendo en una
fórmula general y completando el cuadrado, sino algunas ecuaciones cúbicas y
bicuadráticas. En una tabla se encontraron los cuadrados y cubos de los números del 1
al 30, además de n3 + n2 para este mismo rango. Algunos problemas planteados llevan a
ecuaciones del tipo x3 + x2 = b, estos pueden ser resueltos mediante la tabla n3 + n2.

Hay algunos problemas no resueltos de las tablillas de Yale, de alrededor del 1.600 a. C.,
que conducen a ecuaciones simultáneas resueltas mediante ecuaciones bicuadráticas.

Otro ejemplo, de las mismas tablillas llevan a un par de ecuaciones de la forma:

Que conducen a una ecuación de sexto grado en x, pero cuadrática en x3.

Las fracciones en diferentes culturas antiguas 33

Neugebauer encontró dos problemas de series interesantes en una tablilla del Louvre, de
alrededor del 300 a. C., en donde aparecen las series [17]:

Estos problemas llevan a pensar que los babilonios conocían casos particulares de las
fórmulas notadas modernamente:

1.2.3 Tablilla Plimpton 322

Tal vez la más notable de las tablillas babilónicas sea la catalogada con el número 322
de la Colección George A. Plimpton de la Universidad de Columbia. La tablilla Plimpton
322 fue escrita en la antigua escritura babilónica, alrededor del 1.900 al 1.600 a. C., y fue
descifrada por Neugebauer y Sachs en 1.945.

Ilustración 1-17: Tablilla Plimpton 322 http://www.esacademic.com

 34 La fracción como relación parte-todo y como cociente

La tablilla contiene esencialmente tres columnas completas, las cuales son reproducidas
a continuación, por conveniencia en notación decimal. La siguiente ilustración muestra
en notación moderna los números de la tablilla. La tablilla contiene una cuarta columna
incompleta que muestra expresiones fraccionarias.

Es claro que la columna en el extremo derecho sirve sólo para indicar el número de las
líneas. Las dos columnas siguientes parecen, a primera vista, ser más bien casuales.
Sin embargo, con el estudio, se descubre que los números correspondientes en estas
columnas, con cuatro excepciones lamentables, constituyen la hipotenusa y un cateto de
triángulos rectángulos con lados enteros. Las cuatro excepciones se indican en la
siguiente ilustración mediante la colocación de las lecturas originales en paréntesis a la
derecha de las corregidas.

Ilustración 1-18: Tablilla Plimpton 322 en notación moderna [17]

Un conjunto de tres enteros positivos como (3, 4, 5) es una terna pitagórica primitiva si
pueden ser los lados de un triángulo rectángulo. Si la tripla no tiene divisores comunes
diferentes de la unidad es conocida como tripla pitagórica primitiva. Así (3, 4, 5) es una
tripla pitagórica primitiva mientras que (6, 8, 10) no lo es. Se sabe que todas las triplas
pitagóricas (a, b, c) son dadas paramétricamente por:
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 35

Donde u y v son números primos relativos, de diferente paridad y . Por ejemplo, si

y , se obtiene la tripla pitagórica primitiva a=4, b=3, c=5. Suponga que se
calcula el otro cateto de un triángulo rectángulo determinado por la hipotenusa c y el
cateto b dados en la tablilla Plimpton.

De esas triplas sólo las de las líneas 11 y 15, no son triplas pitagóricas primitivas. La
evidencia muestra que, al tomar los parámetros u, v y a (a = 2uv), estos son números
regulares en base 60, por lo que se supone que los babilonios conocían la generación de
las triplas pitagóricas mediante los parámetros u y v. Parece que los números de la
tabilla fueron escogidos para u y v números regulares en base sexagesimal.

Se pueden entonces encontrar las siguientes triplas pitagóricas:

Tabla 1-2: Triplas pitagóricas en Plimpton 322

La selección de u y v, puede estar relacionada con el hecho de que sus recíprocos son
finitos en base sexagesimal, y mediante las tablas la división se reduce a una
multiplicación. Un examen de la cuarta columna, parcialmente destruida, da la
respuesta. La cuarta columna contiene los valores de para los diferentes
triángulos. Para realizar la división tanto u, v como a deben ser regulares. Al examinar
más profundamente la cuarta columna se nota que no sólo corresponde a , con el
ángulo B opuesto al lado b, sino que con la selección particular de los triángulos dados,
los valores de la forman una secuencia sorprendentemente regular con un
decrecimiento casi exacto a cuando se va de una línea a la otra, y los ángulos
 36 La fracción como relación parte-todo y como cociente

correspondientes decrecen de 45º a 31º. Por lo tanto, se tiene una tabla de secantes
para los ángulos de 45º a 31º formada por triángulos rectángulos de lados enteros, en la
tabla hay cambio regular en la función más que en el ángulo correspondiente.

1.3 Griegos
Hacia el 800 a. C. las civilizaciones de Egipto y Persia pierden influencia y surgen nuevos
imperios como los de los hebreos, los asirios, los fenicios y los helenos (griegos). La
aparición del hierro, sustituyendo al bronce, modifica las armas, estimula los intercambios
comerciales, y fomenta una mayor participación en la economía y en el sentido de
colectividad. La escritura laboriosa se sustituye con la aparición del alfabeto [12].

Es de destacar que las fuentes de información griegas, no son originales sino copias o
traducciones, a veces realizadas muchos siglos después, de los originales. Esto es
paradójico ya que los griegos tuvieron su apogeo después de los egipcios y los
babilonios. De los matemáticos anteriores a Euclides sólo se conocen fragmentos de las
Historia de la Matemática
su vez una copia aparecida en un comentario aristotélico de Simplicio, un milenio
Comentarios al libro I de los Elementos de Euclides
[32].

Según Proclo, del siglo VI d. C., un texto de Eudemo (siglo IV a. C.), dice que el fundador
de las Matemáticas griegas fue Tales de Mileto (624 - 546 a. C), quien adquirió sus
conocimientos en Egipto y los llevó a Grecia en el siglo VI a. C. Muy pocos textos
escritos en griego originales han llegado a la actualidad; generalmente los textos
matemáticos griegos llegan por comentarios posteriores que no son objetivos. Varios
textos griegos fueron traducidos al árabe y luego al latín, al inglés y al francés [12].

Pitágoras es recordado como el creador de la teoría de números irracionales y el

constructor de los cinco sólidos regulares. La herencia cultural que recibieron los griegos
fue llevada a ciencia deductiva, en la cual eran claves las nociones de demostración
teorema, definición y axioma.
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 37

1.3.1 Sistemas de numeración griegos

Los sistemas de numeración griegos más difundidos fueron el sistema ático o herodiano,
utilizado en las inscripciones atenienses, y el sistema jónico o alfabético. Ambos
sistemas emplean la base 10 y utilizan enteros.

El sistema ático es aditivo de base diez con origen en el siglo VI a. C. Los signos no son
símbolos numéricos a excepción del signo vertical para el uno; provienen de las primeras
letras de las palabras griegas que designan algunos números:

. .000

Este sistema también se denomina acrofónico porque, con excepción del símbolo para 1
(un trazo vertical), los demás procedían de la primera letra de cada número en escritura
arcaica: (pénte, «cinco»), (déka, «diez»), (hekatón, «cien»),

(chílioi,«mil»), (myrías «diez mil»).

Tabla 1-3: Numerales áticos o herodianos [38]

, pénte, 5), para 50, 500, 5.000 y 50.000

añadiéndole versiones diminutas de los símbolos de las distintas potencias de diez:

Tabla 1-4: Números quinarios [38]

 38 La fracción como relación parte-todo y como cociente

El sistema ático se parece al sistema romano excepto en lo que se refiere a la forma de

los símbolos empleados.

Ilustración 1-19: Número 3.737 en numeración ática

A diferencia de la numeración romana este dibujo muestra que aquí, los signos para los
números uno, diez, cien y mil, pueden repetirse no tres, sino cuatro veces, en cambio, se
prohíbe escribir una cifra menor la izquierda de una mayor.

Ilustración 1-20: Ejemplos de numeración ática [29]

El sistema jónico es también un sistema aditivo de base 10, utilizado desde el siglo V a.
C., que puede haber reemplazado al sistema ático hacia el siglo III a. C., Los griegos
tomaron de los fenicios su alfabeto de 22 letras, todas consonantes, añadieron vocales
para poder expresar tres conjuntos de nueve números, así tenían unidades, decenas y
centenas.

El alfabeto griego clásico contiene sólo 24 letras, de aquí que se usaran tres letras
arcaicas:

digamma ( ) o stigma ( ) para el 6 (en griego moderno se emplea frecuentemente la

combinación sigma-tau
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 39

qoppa ( ) para el 90 (en griego moderno se utiliza el qoppa numérico: , y existe la

sampi ( ) para el 900.

Ilustración 1-21: Símbolos del sistema jónico [6]

Como las tres letras ocupan las posiciones en el esquema numeral, se ha sugerido que
el sistema jónico fue introducido antes del abandono de las tres letras, siglo VIII a. C.,
este punto de vista es menos convincente cuando se considera el largo intervalo entre la
presunta introducción y el último triunfo del sistema en el siglo III a. C.

Cuando se introdujeron las letras minúsculas en Grecia la asociación de letras y números

fue así:

Ilustración 1-22: Sistema ático con letras griegas minúsculas [6]

Para distinguir los símbolos que representaban números de aquellos que representaban
letras, se introdujeron en los textos varios signos: ., -
introducida encima de la letra minúscula fue, de los signos introducidos para distinguir
letras de números, el más común. Los griegos emplearon las nueve primeras letras del
alfabeto precedidas de un acento para los nueve múltiplos de mil.

Ilustración 1-23: Números con acento para miles en los griegos

 40 La fracción como relación parte-todo y como cociente

Cuando deseaban expresar números mayores a 10.000, empleaban el principio de

multiplicación que consistía en colocar encima, o a la derecha, el símbolo M, y separados
por un punto del resto del número.

Estas notaciones no planteaban dificultades con los números enteros, pero eran débiles
en las notaciones con fracciones. Los griegos, al igual que los egipcios, emplearon
fracciones unitarias. La notación habitual para un submúltiplo de un entero consistía en
escribir, el entero con un acento. Entre los matemáticos de la Escuela de Alejandría se
emplearon fracciones ordinarias y fracciones sexagesimales en Astronomía y
Trigonometría.

Ilustración 1-24: Un treintaicuatroavo en notación jónica

Los griegos escribieron las fracciones de diversas formas. Una de ellas consistía en
escribir el numerador, seguido por una prima, y luego el denominador, seguido por una
doble prima. Algunas veces el denominador se escribía dos veces. Por ejemplo:

Ilustración 1-25: Fraccionario en notación griega

Donde y . Algunos astrónomos griegos, empleaban el sistema

sexagesimal babilónico por precisión, aunque utilizando símbolos griegos para los
[36].

1.3.2 Matemáticos griegos

Pitágoras es considerado el padre de las Matemáticas griegas, nació en la primera mitad
del siglo VI a. C. en la isla de Samos. Fundó una secta de carácter aristocrático que fue
dispersada a la fuerza, sin embargo esta secta continuó durante más de dos siglos los
trabajos matemáticos emprendidos con anterioridad. La divisa de la escuela pitagórica
La escuela estudió con exaltación los números: pares, impares,
amistosos, perfectos, abundantes, deficientes, figurados. Los pitagóricos relacionaron la
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 41

Música y las Matemáticas. Como dice Collette: si se fija uno de los extremos de una
cuerda tensa y se hace vibrar emitirá un sonido de un tono. Si se hace vibrar la mitad de
la cuerda, el tono aumentará un octavo. Si vibran los dos tercios de la cuerda, el tono
estará por encima del que produjo la cuerda entera. Así la octava, la quinta y la cuarta

fueron consideradas superiores a otros intervalos musicales [12].

El tema de las proporciones, en la escuela pitagórica, que comienza con Pitágoras era
aplicable únicamente a magnitudes conmensurables. En el libro VII de Euclides se
encuentran las siguientes proposiciones:

1. Si entonces

2. Si y entonces

3. Si entonces

4. Si entonces

5. Si entonces

Esta teoría de las proporciones fue sustituida por la de Eudoxo para evitar la dificultad del
manejo de números irracionales. El manejo de los inconmensurables fue uno de los
grandes aportes de los matemáticos griegos. Eudoxo de Cnido (ca.408 ca.355 a. C.)
fue matemático, médico, geógrafo, astrónomo, orador y filósofo. Las fuentes de
información sobre él son pocas, se le atribuyen dos contribuciones importantes: la teoría
de las proporciones y el método exhaustivo.

El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables anuló todos los esfuerzos

previos de una teoría de proporciones aplicable a las magnitudes. La solución fue dada
por Eudoxo, aplicable a magnitudes conmensurables e inconmensurables. La
formulación de Eudoxo, dada en los Elementos de Euclides es, según Collette:

La razón entre magnitudes es la misma, entre la primera y la segunda y entre la tercera y

la cuarta, si de todo equimúltiplo de la primera y de la tercera, y de todo equimúltiplo de la
segunda y de la cuarta, los primeros equimúltiplos son mayores, iguales o más pequeños
que los últimos equimúltiplos considerados en el orden correspondiente [12].
 42 La fracción como relación parte-todo y como cociente

Así si dados números enteros ó si ó si

Dedekind.

1.4 Chinos
La visión actual de la Matemática China Antigua es que fue utilitaria, autoritaria,
básicamente conservadora, que ponía gran énfasis en los métodos tradicionales y en los
textos clásicos, más que en la innovación, en nuevas aproximaciones a las establecidas
o en problemas nuevos o sus aplicaciones.

El primero de los clásicos matemáticos, el Zhou bi suan jing (Clásico Matemático de Zhou
Gnomon), está dedicado principalmente a la Astronomía y al Calendario. De forma
similar el Wu cao suan jing (Clásico Matemático del Gobernador de los Cinco
Departamentos) es un compendio de problemas de administración feudal [21]. Los
textos clásicos de todos los campos del conocimiento fueron reverenciados y estudiados,
y entre ellos los de Matemáticas, el que más influencia tuvo fue el Jiu zhang suan su
(Nueve Capítulos en Procedimientos Matemáticos) con sus comentarios, en el siglo III,
por el matemático Liu Hui. Los primeros registros de Matemáticas en la Antigua China se
remontan a la Dinastía Shang (s.XVI - s.XI a. C.), en forma de inscripciones sobre huesos
y caparazones de tortuga. Antes de esto hay evidencia de Geometría rudimentaria en
cerámica y utensilios de hueso.

Ilustración 1-26: Caparazón de Tortuga con numerales chinos [13]

Las fracciones en diferentes culturas antiguas 43

El primer escrito en China, incluyendo los primeros numerales aparecieron en la última

Dinastía Shang pero eran virtualmente desconocidos hasta que en 1.899 se hizo un
importante descubrimiento, se encontraron miles de huesos con inscripciones y
caparazones o los huesos ventrales de tortugas excavados en Xiaotun, al noroeste de
Anyang en Henan, en el sitio de la capital de la última Dinastía Shang.

En la dinastía Han (206 a. C. 220 d. C) los caracteres y notación para escribir números
había llegado a estar bien establecida y es prácticamente el mismo sistema de
numeración que se usa en China actualmente. Hay que recordar que la mayoría de la
Historia de la Matemática China se perdió o destruyó a lo largo del tiempo. Por ejemplo
el emperador despótico Shih Huang- - 207 a. C) ordenó quemar
los libros en el 213 a. C. Los eruditos del siguiente periodo Han tuvieron que transcribir
la Literatura y tradiciones científicas chinas de memoria o de fragmentos de rollos [9].

Ilustración 1-27: Texto chino Chou pei suan ching [7]

El Chou pei es el texto más antiguo que contiene teorías matemáticas formales, fue
producido en el periodo Han. El Chou pei

matemáticos modernos como el trabajo con fracciones usando denominador común, y

pruebas de varias teorías geométricas. El texto contiene un proceso preciso de división
para encontrar la raíz cuadrada de un número. El texto del siglo XIII, Análisis detallado
 44 La fracción como relación parte-todo y como cociente

de las reglas matemáticas en los Nueve capítulos, Hsiang Chieh Chiu Chang Suan Fa
prueba el llamado Teorema de Pascal 300 años antes que naciera dicho matemático.

Ilustración 1-28: Teorema de Pascal 300 años antes de su nacimiento

También hay una prueba visual del triángulo rectángulo 3, 4, 5, del llamado Teorema de
Pitágoras, en Zhou bi suan jing.
Ilustración 1-29: Xian Diagram o Diagrama de la Hipotenusa [21]
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 45

1.4.1 Sistemas de numeración chinos

El sistema numérico de China es de base 10, pero tiene diferencias importantes en la
forma en la que los números son representados. Los chinos tienen símbolos para los
números de 0 a 9. Además del carácter para el cero mostrado en la siguiente tabla,
también se usaba un círculo sencillo. La pronunciación para los símbolos usa el estándar
ica el tono.

Ilustración 1-30: Sistema numérico chino [30]

y así sucesivamente.

. Mil y números mayores se nombran de

manera similar, se dice cuántos miles, cuántas centenas, decenas y unidades. Una
excepción para esta regla es el cero. Cuando hay un cero en un número, excepto al
final, se necesita decir cero, pero sólo una vez para dos o más ceros consecutivos. Así

Los números fueron escritos usando un sistema posicional, empleando símbolos para las
potencias de 10. Por ejemplo, para escribir 3245 se tiene , donde:

Tres mil es tres por mil . Doscientos es dos por cien

Cuarenta es cuatro por diez Cinco es

Este sistema hace fácil escribir números a los que ahora se les ponen ceros para indicar
la ausencia de decenas o centenas. Por ejemplo para escribir 8007 y para
escribir 87 . Se puede ver http://www.mandarintools.com/

Hubo otro sistema de numeración de varitas, en este sistema los números aparecen así:
 46 La fracción como relación parte-todo y como cociente

Ilustración 1-31: Numeración de varitas chinas [16]

El cero se indicaba con una posición vacía. Por ejemplo el número 60.390 se representa:

1.4.2 El ábaco y las fracciones decimales

un armazón rectangular. El número de varas cambiaba pero cada una tenía siete bolas,
estas bolas estaban separadas por una vara atravesada. La parte superior quedaba con
dos bolas y la de abajo con cinco. Por convención cada una de las bolas superiores valía
5 unidades y cada una de las de abajo una unidad.
Ilustración 1-32: Número 6302715408 en suanpan [16]

El ábaco puede ser usado no sólo para la suma, la resta, la multiplicación y la división,
sino también para la extracción de raíces cuadradas y cúbicas de números cuadrados y
cúbicos.

Los Nueve Capítulos

fracciones son definidas como una parte del resultado de una división, el residuo de un
dividendo, que es tomado como numerador, y el denominador. Por ejemplo, dividir 15
entre 5, da 3 como cociente y 2 es el residuo. En los numerales de bolas, las fracciones
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 47

también aparecen. El numerador es ubicado encima del denominador pero sin una línea
horizontal. Por ejemplo, para representar un séptimo:

El Chou pei suan ching

Cielo tiene parte dedicada a las fracciones, y aunque no hay duda que los cálculos con
fracciones se hicieron en varillas de contar no hay explicaciones en el libro sobre la forma
en que se hicieron. Todas estas manipulaciones con fracciones eran absolutamente
necesarias para el cómputo del Calendario y de la Astronomía. En el cómputo del
Calendario tomaban que el año tiene una duración de (usaban números mixtos).

Según sus cálculos debían agregar 7 meses lunares adicionales al cabo de 19 años, por
lo que cada año debería tener en promedio meses lunares y, por ello el número de

días en cada mes lunar sería:

En la última sección del libro, aparece un método para dividir las fracciones anteriores.
Ahora que se conoce que en cada mes hay días, se calcula que la Luna se mueve

en promedio cada día grados. Por ello, buscar la posición de la Luna después de

12 meses lunares requiere más cálculos complicados. De hecho, es equivalente a

calcular el resto de la siguiente división:

El resto es:

En el libro se calcula el ángulo recorrido por la Luna en un año bisiesto (un año de 13
meses solares) y el de un año promedio de meses lunares.

Los Nueve capítulos en procedimientos matemáticos tienen temas de similares a los de

denominadores comunes, comparación de dos fracciones con distinto denominador y la

suma, la resta, la multiplicación y la división de fracciones. En la simplificación de
fracciones, se utiliza el método de la sustracción sucesiva para encontrar el máximo
 48 La fracción como relación parte-todo y como cociente

común denominador. Si se considera una fracción reducible de la forma , la regla es la

siguiente:
Si los dos números (m y n) pueden dividirse por la mitad, entonces divídanse. Si no,
colóquese el denominador debajo del numerador y réstese del número mayor el número
menor. Continúese este proceso hasta que se obtenga el divisor común, .
Simplifíquese la fracción original dividiendo ambos nú [1].

Para la adición y la sustracción de fracciones es preciso que tengan el mismo

denominador. En el capí Medició se usa como denominador común el
producto de todos los ¿Qué se utiliza el
mínimo común múltiplo. Para multiplicar fracciones se utilizaba el mismo método que el
actual: numerador por numerador y denominador por denominador. En la división se
busca un denominador común para el dividendo y el divisor, y luego el cociente se
obtiene tomando el numerador del divisor como denominador y el numerador del
dividendo como numerador [1].

1.5 Indios

1.5.1 Historia en el valle del Indo

Se considera que la civilización del valle del Indo existió alrededor del año 3.000 a. C.
dos de sus más importantes ciudades, Harappa y Mohenjo-Daro, proporcionan evidencia
que la construcción de edificios siguió medidas estandarizadas que tenían una naturaleza
decimal. En este caso se pueden ver ideas matemáticas desarrolladas para el propósito
de la construcción. Esta civilización tuvo una tecnología avanzada para las
construcciones de ladrillo, inventaron el horno. Los ladrillos se emplearon en la
construcción de edificios y terraplenes para el control de inundaciones. El estudio de la
Astronomía se considera incluso más antiguo y debe haber sido soportado por teorías
matemáticas. Incluso se encuentra que la Astronomía motivó el desarrollo matemático,
especialmente el campo de la Trigonometría [23].

Además de los Vedas están los Shulba Sutras, estos textos se fechan del 800 al 200 a.
C. Se mencionan cuatro autores: Manava (750 a.C.), Baudhayana (600 a.C.), Apastamba
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 49

(600 a.C.), y Katyayana (200 a.C.). Los Sutras contienen el famoso Teorema atribuido a
Pitágoras, no es improbable que hubiera una influencia mesopotámica en los Sutras. Los
Shulba Sutras también introducen el concepto de números irracionales, dan una forma de
aproximación de una raíz cuadrada de un número a través de un procedimiento recursivo
que en lenguaje moderno se l Esto precede al uso
europeo de las Series de Taylor. Según Mastin, en los Sutras se da un valor de la raíz
cuadrada de 2, con un valor exacto hasta la quinta posición decimal:

Es de notar que las fracciones que aparecen tienen como

numerador la unidad [26].

Lo interesante de este periodo es que las Matemáticas parecen haber sido desarrolladas
para resolver problemas prácticos de Geometría, especialmente para la construcción de
altares. Sin embargo, el estudio de las series de expansión para ciertas funciones insinúa
un desarrollo de la perspectiva algebraica. En los últimos años se ve un cambio hacia el
Álgebra, con la simplificación de formulaciones algebraicas y sumatorias de series que
actúan como catalizadores para los descubrimientos matemáticos [23].

Se deben mencionar algunos matemáticos del periodo clásico de la Matemática India:

Aryabhata I (500 d.C.) Brahmagupta (700 d.C.), Bhaskara I (900 d.C.), Mahavira (900
d.C.), Aryabhata II (1.000 d.C.) y Bhaskarachrya o Bhaskara II (1.200 d.C.). En este
periodo dos centros de investigación matemática surgieron uno en Kusumapura cerca de
Pataliputra y otro en Ujjain. Aryabhata I fue la figura más destacada en Kusumapura,
incluso pudo haber sido el fundador de la escuela local. Su trabajo fundamental es el
Aryabhatiya, que se convirtió en la base de investigación en Matemáticas y Astronomía
por varios siglos.

Uno de los descubrimientos de Aryabhata fue un método de resolución de ecuaciones

lineales de la forma ax + by = c. Él encontró un método general para resolver este tipo de
ecuaciones, llamó a su método kutakka o pulverizador. Es notable que utilizara un valor
aproximado de mientras para la misma época los griegos empleaban
3,1429. Su trabajo en Trigonometría incluye una tabla de senos para los múltiplos de un
ángulo. El trabajo de Aryabhata contiene una de las primeras evidencias del uso de
fracciones continuas para resolver ecuaciones indeterminadas de primer grado [22].
 50 La fracción como relación parte-todo y como cociente

El otro centro matemático Ujjain, fue el sitio de Varahamihira, Brahmagupta y

Bhaskaracharya. El texto Brahma-sphuta-siddantha de Brahmagupta se publicó en el
año 628 d. C. y se refiere a temas de Aritmética que manejan el cero y números
negativos. Brahmagupta fue astrónomo y muchos de sus intereses matemáticos fueron
orientados hacia ese campo, dio solución a la ecuación cuadrática y estudió ecuaciones
cuadráticas de dos variables. Este periodo cierra con Bhaskara (1.200 d.C.) en su trabajo
fundamental sobre la Aritmética, llamado Lilavati, mejoró el método kuttaka de Aryabatha
y Brahmagupta. El texto Lilavati es impresionante por su originalidad y diversidad de
temas.

Mahavariva fue un matemático del siglo IX, estudió ecuaciones de tercer y cuarto grado y
encontró soluciones para algunas familias de ecuaciones. Su libro Ganita-sara-sangraha
mejora el trabajo de Brahmagupta.

Otro matemático destacado es Madhava, del siglo XIV, este matemático descubrió
desarrollo en series para algunas funciones trigonométricas como el seno, coseno y
arcotangente que no fueron conocidos en Europa hasta después de Isaac Newton.
Madhava también da una aproximación de que es mejor que la de
Aryabhata [23].

1.5.2 Sistema de numeración Indio

En la India se tuvieron como aportes matemáticos los numerales Brahmi, el sistema de
valor posicional y el concepto de cero. De los numerales Brahmi descienden nuestros
números actuales, estos numerales parecen surgir en el 300 a. C. pero no hacían parte
de un sistema de valor posicional. Los numerales Brahmi evolucionan en los llamados
numerales Gupta hacia el siglo IV d. C. y finalmente en los Devnagari, que fueron
desarrollados lentamente entre el 600 y 1.000 d. C. Hacia el 600 d. C., un sistema de
valor posicional estaba en uso en la India. Esto significa que cuando un número se
escribe, cada símbolo tiene un valor absoluto y también relativo según su posición.

Hay que recordar que el sistema sexagesimal de valor posicional de la cultura Babilónica
apareció hacia el 1.700 a. C. pero el sistema de India fue el primer sistema decimal. El
sistema babilonio tenía, hasta el 400 a. C., una ambigüedad inherente pues no había
símbolo para el cero. Por lo tanto no era un sistema de valor posicional como se entiende
actualmente. De manera similar el cero adquirió el estatus de número. Los principales
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 51

problemas de las reglas de aritmética tenían que ver con el cero. Mientras la adición, la
sustracción, y la multiplicación con el cero se hacían regularmente, la división era una
cuestión más sutil.

Ilustración 1-33: Numerales entre el 300 a. C. y el 100 d. C [39]

Durante el periodo alejandrino tardío, la costumbre griega de escribir las fracciones con el
numerador debajo del denominador se invirtió, y ésta es precisamente la forma que
adoptaron los indios, sin la barra que los separa. Desgraciadamente los indios no
aplicaron el nuevo sistema de numeración para los enteros al campo de las fracciones
decimales, y así se perdió la ventaja potencial más importante

El estudioso A. K. Bag, en su trabajo sobre las Matemáticas Antiguas y Medievales en la

India, afirma que pocas fracciones son mencionadas en la literatura Védica [3]. Ardha,
pada, sapha y kala denotan respectivamente . Sólo son comunes las dos
 52 La fracción como relación parte-todo y como cociente

primeras fracciones. La palabra pada provino de las cuatro partes de una estrofa. Una
estrofa en la Literatura Sánscrita está dividida en cuatro partes desde los tiempos
védicos, cada parte se llama pada. La idea de una fracción de valor viene del aumento

de la visibilidad de la luna después de Luna Nueva a Luna Llena cubriendo un periodo de

16 días, por lo tanto se decía que la Luna tenía 16 kalas o partes. Las fracciones
también se nombran en el Rig Veda, en el texto Taittiriya Samhita y en Taittiriya
Samhana. En los Sulbas, las fracciones son llamadas bhaga, por ejemplo es

dasamabagha. Un número seguido de una fracción, en los Sulbas, se denotaba

ardhacathurta , o ardhapanasat .

En los Sulbakaras se manejaban las cuatro operaciones aritméticas con fracciones

elementales. En los Sulba-Sutras las fracciones se expresaban mediante palabras.
Bakhshali expresó hacía el siglo IV d. C. operaciones de fracciones en términos de
símbolos con y sin líneas divisorias entre las fracciones:

Mahavira, hacia el 800 d. C., llamó a las fracciones bhinna [3].

Finalmente, el manuscrito Bakhshali, que consta de 70 folios de corteza de abedul

(bhurjapatra), es otra obra de fundamental significado en el estudio de las Matemáticas
Antiguas Indias. El manuscrito fue encontrado enterrado en una aldea cerca de
Peshawar, por un agricultor, en 1.881. Fue adquirido por el indólogo A. F. R. Hoernle que
estudió el manuscrito y publicó un breve relato sobre el mismo, más tarde se presentó a
la Biblioteca Bodleian en Oxford, donde ha estado desde entonces. La datación del
manuscrito es muy variable pues lo ubican entre los siglos VIII y XII d. C. La datación por
carbono no se ha realizado hasta el momento para aclarar las dudas. En ese manuscrito
se encuentra una fórmula para extraer la raíz de un número que no es cuadrado así
como el cálculo con números decimales grandes. En la mitad hay dos números grandes,
con alguna parte que hace falta hacia la derecha, que forman el numerador y el
denominador de una fracción. Es parte de una verificación y la fracción es reconstruida

como .
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 53

1.6 Árabes

1.6.1 Historia
La causa más importante del aumento del poder árabe, en el siglo VII, fue la aparición del
Islam, esta nueva fe, fue fundada por Mahoma. Unidas por el fervor religioso, las tribus
del desierto de la Península Arábiga tuvieron pocos obstáculos mientras se iban
expandiendo a través del mundo mediterráneo. La ciudad de Damasco cayó en el año
635, Jerusalén en el año 637, Egipto fue conquistado entre el año 639 y el año 642.
Avanzando hacia el oeste, los árabes cruzaron el estrecho de Gibraltar (711), pasaron a
través de España y llegaron en Francia hasta Poitiers. Mientras tanto, los ejércitos árabes
en la otra dirección, fueron a través de Siria y Persia, y llegaron incluso a la parte norte
de la India. Cien años después de la muerte de Mahoma, sus seguidores fueron los
dueños de un nuevo imperio. Sólo la Europa cristiana, a excepción de España, estuvo
libre de ellos [8].

El legado intelectual de Grecia era el tesoro más importante de las tierras que estaban
bajo la dominación de los árabes, y la principal labor de los eruditos árabes fue su
asimilación. Para este propósito, el califa al-Ma'mun estableció la Casa de la Sabiduría,
una especie de Academia comparable con el Museo de Alejandría. Se hizo un intenso y
enérgico esfuerzo para adquirir manuscritos griegos, incluso hasta el punto de enviar
emisarios a Constantinopla para obtener una copia de los Elementos de Euclides del
Emperador Bizantino. Estos fueron llevados al árabe por un cuerpo de traductores en la
Casa de la Sabiduría y se colocaron allí en una biblioteca para el uso de los estudiosos.
A comienzos del siglo X, prácticamente todo el cuerpo existente de escritos científicos y
filosóficos griegos se habían registrado en lengua árabe. Esta herencia clásica, junto con
las mejoras y ampliaciones que los propios árabes desarrollaron, fue finalmente llevada
al Occidente Latino.

El más ilustre y famoso de los matemáticos árabes fue Mohammed ibn Musa al-
Khowarizmi (780-850), quien disfrutó del patrocinio y la amistad del califa al-Ma'mun.
Como astrónomo de la corte, fue sin duda, uno de los primeros sabios asociados con la
Casa de la Sabiduría. Fue en gran parte gracias a su trabajo, que consiste principalmente
de dos libros, uno en Aritmética y el otro en álgebra, que Europa se familiarizó con los
numerales hindúes y el enfoque algebraico de las Matemáticas. Pocos detalles de la vida
 54 La fracción como relación parte-todo y como cociente

de al-Khowarizmi se conocen. Hay una historia, basada en varias fuentes, que lo conecta
con un califa posterior: al-Khowarizmi fue llamado a la cabecera de un califa gravemente
enfermo, quien pidió que predijera su futuro. Al-Khowarizmi le aseguró al paciente que
estaba destinado a vivir otros 50 años, pero desgraciadamente murió a los 10 días.

Al-Khowarizmi compiló un pequeño tratado de Aritmética con el título Libro de la suma y

la resta según el cálculo hindú. Es la primera obra en árabe en explicar el uso del sistema
decimal de números hindú. Aunque al-Khowarizmi menciona sólo "nueve letras", es decir,
los símbolos para los dígitos 1 a 9, que se utilizan para la escritura de números, hace
también uso del cero: uando no queda nada [en la resta], deja un pequeño círculo para
que el lugar no sea vacío, pero el círculo debe ocuparlo.

Ninguna de las copias de la versión original, en árabe, del libro ha sobrevivido, pero ha
llegado hasta el presente una traducción latina de Algoritmi Indorum numero, realizada
por Juan de Sevilla a comienzos del siglo XII. Su influencia en el pensamiento
matemático europeo fue tan grande que los nuevos números fueron mal llamados
"árabes" a pesar de su origen indio. En 1857, una copia de la traducción al latín fue
descubierta en la biblioteca de la Universidad de Cambridge. Se inicia con las palabras
"Algoritmi Dixit", o "Así habló al-Khowarizmi".

El nombre de "álgebra" es la corrupción europea de al-Jabr, que forma parte del título del
Tratado de al-Khowarizmi, llamado Hisab al-Jabr w'al muqabalah. Al parecer, el título
significa "La Ciencia de la reunión y la reducción . Las palabras se refieren a las dos
principales operaciones que los árabes utilizaron en la resolución de ecuaciones.
"Reunión" se refiere a la transferencia de los términos negativos de un lado de la
ecuación al otro y la "reducción" a la combinación de términos semejantes en el mismo
lado en un solo término, o como la cancelación de términos en lados opuestos de la
ecuación. Por ejemplo, en la ecuación, en notación moderna, 6x2 - 4x + 1 = 5x2 + 3,
"reunión" da 6x2 + 1 = 5x2 + 4x + 3, y "reducción" x2 = 4x + 2 [8].

Los matemáticos árabes de la época, además de transmitir el conocimiento helenístico a

Occidente, hicieron también contribuciones duraderas. De hecho revisaron y
reconstruyeron muchas ideas fundamentales en las Matemáticas. Los árabes
reconocieron, por ejemplo, las raíces irracionales en las ecuaciones cuadráticas, aunque
éstas habían sido ignoradas por los griegos. De igual forma reconocieron la existencia
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 55

de dos soluciones de una ecuación de segundo grado, algo nunca hecho por Euclides o
los babilonios, pero sólo tomaron las positivas.

Los árabes no percibieron como reales las soluciones negativas de una ecuación. La
idea de una raíz negativa implica el reconocimiento de los números negativos como
entidades independientes que tengan la misma condición matemática que los números
positivos. La comprensión de los números negativos es de origen más reciente, en las
obras de al-Khowarizmi y los algebristas árabes, los números negativos se evitaron
constantemente. La existencia y validez de las raíces negativas y positivas fue
establecida por primera vez por el matemático hindú Bhaskara (1.114 d.C.). Los
europeos las admitieron sólo en el siglo XVI o XVII.

Otro matemático destacado fue Abu Kamil (850-930), a menudo llamado "El calculista de
Egipto", fue el segundo de los grandes escritores árabes de álgebra. Su libro de Algebra
Kit ab fil-jabr w'al muqabalah, un título comúnmente utilizado por los primeros algebristas
musulmanes, es esencialmente un comentario sobre el trabajo y la elaboración de al-
Khowarizmi, en parte por esa razón y en parte por su propio mérito, el libro disfrutó de
una gran popularidad en el mundo musulmán [21].

Abu Kamil desarrolló un cálculo de los radicales que es muy peculiar. Él se las arregló en
la suma y la resta de raíces cuadradas, sin necesidad de utilizar los símbolos, por medio
de las igualdades:

El mayor avance de Abu Kamil respecto a los anteriores escritores es el uso de

coeficientes irracionales en las ecuaciones indeterminadas. La introducción de
soluciones irracionales para algunas ecuaciones cuadráticas es un punto que lo
diferencia del trabajo de al-Khowarizmi. El trabajo de Abu Kamil fue tomado como
referencia por Leonardo de Pisa cuando escribió su Liber Abacci (1.202).

Finalmente, se tiene al matemático persa Ghiyath al-Din al-Kashi (1.429) quien fue
llevado a Samarcanda para hacerse cargo del observatorio que Ulugh Beg (1.347
1.449), que se construyó en 1.420. El propio esfuerzo de Al-Kashi parece haber sido
dirigido hacia la producción de tablas más precisas de senos y tangentes para cada
minuto de arco, junto con cálculos de los movimientos longitudinales del sol y la luna.
 56 La fracción como relación parte-todo y como cociente

También revisó el Catálogo de Estrella de Ptolomeo, basado en nuevas observaciones,

para dar posiciones más precisas para más de 1.000 estrellas. En El Tratado sobre la
circunferencia, Ghiyath al-Din Al-Kashi, expuso el uso de fracciones decimales. Su
representación del número tiene 16 cifras decimales exactas
[8].

1.6.2 Sistema de Numeración Indo-arábigo

Según Boyer, los numerales llegaron a los árabes a través de la obra astronómica
Sindhind. En los trabajos de los siglos X y XI se utilizaron los numerales indios y el
sistema alfabético griego. Finalmente los numerales indios se impusieron, pero incluso
entre los que empleaban la numeración india, las formas de los numerales cambiaban
considerablemente. Las variaciones se veían en la India pero eran tan notables en el
mundo árabe que hay teorías que dan orígenes diferentes para las partes orientales y las
occidentales. Los numerales arábigos de ahora son muy diferentes respecto a los
numerales divinos Devanagari, que todavía se usan en India. Los numerales casi se
pueden llamar arábigos a pesar que tienen cierto parecido con los que ahora se usan en
Egipto, Irak, Siria, Arabia, Irán y otros países dentro de la cultura islámica [6].

Ilustración 1-34: Numerales indoarábigos

, del siglo XII, usa por primera vez, la línea horizontal en

los fraccionarios separando numerador y denominador. Los escritos de fracciones de
Leonardo de Pisa (1.202), en su Libber Abacci, también muestran el uso de la línea
fraccional y una notación inversa a la que se emplea actualmente y la razón para ello es
que seguía el modo de escritura árabe, pues la forma de escribir árabe procede de
derecha a izquierda. Con Leonardo de Pisa, una división indicada y una fracción tienen
una relación cercana. Sin embargo el uso de la línea fraccionaria fue de uso general en
Europa sólo hasta el siglo XVI, aunque incluso existen casos de omisión de la línea hasta
el siglo XVII. Esta omisión está bien justificada porque el símbolo necesita tres niveles

tipográ
en a/b, donde las tres partes fraccionarias están en la línea normal de la tipografía. Por
Las fracciones en diferentes culturas antiguas 57

lo anterior se nota que la escritura estuvo consolidada sólo hasta el siglo XVII, aunque

su uso se remonta por primera vez al siglo XII [10].

Ilustración 1-35: Evolución de numerales indoarábigos [6]