Música y matemáticas

por
Carlos Satué y Carlos Frías

1. Introducción
1.1 Rápida visión de ciertos referentes históricos
Al hablar de música y matemáticas es de obligado cumplimiento nombrar
en primer lugar a Pitágoras de Samos (ca 570-497 AC); música y aritméti-
ca estaban incluidas en una disciplina común. La escuela Pitagórica esta-
ba interesada sobre todo en las relaciones interválicas entre dos sonidos. El
monocordio servía para experimentar y establecer relaciones de proporciona-
lidad entre las distintas particiones a las que se sometía la cuerda (cuando
hablamos de partición nos referimos a puntos donde apoyaban con objeto de
conseguir un sonido diferente, no a cortes de la propia cuerda) y los sonidos
que obtenían con éstas, buscando a la par la relación numérica que las uni-
caba en un todo superior. El descubrir que la subdivisión de la cuerda en
partes cuyas longitudes estaban en proporción daba lugar a sonidos armo-
niosos, propició la idea de que el número era el motor del mundo. Debemos
hacer referencia igualmente a Platón (ca 427-347 AC) con su música de las es-
feras comentada en La República. También a Aristógenes (ca 320 AC) quien
trabajó con la idea de temperar los tetracordios microinterválicamente.
Quizá tengamos que saltar al quadrivium medieval si queremos buscar una
relación clara entre música y matemáticas; sin embargo la música práctica ya
hace tiempo que camina lejos de la puramente especulativa y cada autor tiene
reglas comunes al movimiento estético que sigue y otras propias a la manera
de trucos artesanales de tipo empírico. Puesto que la música necesita de las
matemáticas explícita o implícitamente, nombraremos de pasada algunos de
los compositores en los que se atisban elementos que relacionan ambas disci-

3
4 Un Paseo por la Geometría

plinas. No quisiéramos pasar por alto los grandes aportes musicales del Ars
Nova, en el siglo XIV, con su gran gura Guillaume de Machaut y aunque
esto es una apreciación personal, su Misa de Nôtre Dame contiene estruc-
turas quasi-geométricas. El renacimiento, con la polifonía franco-amenca
marcha teniendo en cuenta relaciones interválicas entre la distintas voces en
movimiento y aunque éstas obedecen a reglas concretas, tienen más relación
con el dominio del ocio que con posibles inspiraciones en modelos matemáti-
cos. El periodo Barroco aporta sobre todo la jerarquización de la música en
torno a un centro tonal y esto no es casual pues en este periodo se desarrolla
la ley de la gravedad. Nombraremos a Marín Mersenne (1588-1648) lósofo,
teólogo, matemático y músico descubridor de los números primos que llevan
su nombre. En L'armonie universelle (1627) escribe sobre la teoría musical
rq
2√
y los instrumentos y propone como razón principal del semitono .
3− 2
Deberíamos nombrar también como grandes guras de la música barroca
en un primer periodo a Claudio Monteverdi (1567-1643) gran maestro de la
imitación (podría verse como geometrías que se desplazan en un espacio de
coordenadas cartesianas) y J.S. Bach (1685-1750) en el último, periodo este
en que las matemáticas ayudan a determinar el sistema del temperamento
casi como nos ha llegado a nuestros días. La música de J.S. Bach es caso
aparte sobre todas las otras, en ella podemos encontrar de un modo u otro
muchos elementos que tendrán cabida en teorizaciones futuras (aunque por
supuesto, el propio J.S. Bach no fuese consciente de ello); sin ir más lejos
podríamos decir que su música está llena de arquitecturas que semejan a
estructuras fractales.
En el periodo clásico aparecen razones áureas más o menos redondeadas
en Mozart, como en la sonata para piano número 1, subdividiendo su primera
sección en 38 y 62 compases 62/38=1.6315 lo que diere en un 1 % de la pro-
porción en cuestión. En Beethoven (1770-1827) se dice que el tema principal
de su quinta sinfonía va apareciendo a lo largo de la obra teniendo en cuenta
la proporción áurea. Debemos decir que este tipo de proporción se ha utiliza-
do en música desde mucho antes, e incluso cada autor la ha trabajado a su
manera. Es considerable el trabajo de B. Bartók (1881-1945) en relación a la
proporción áurea en su magistral Música para cuerdas, percusión y celesta .
Podríamos citar procesos aleatorios utilizados en composición, ya en el siglo
XVIII, a través de tablas numéricas que mediante la tirada de dados ordena-
ban una cierta composición (valses); ello funcionaba porque en realidad eran
variaciones sobre una misma base armónica.
Podría decirse que las matemáticas se utilizan en música como base
primera en una producción de reglas que servirán para regular el discurrir de
los sonidos e incluso producirán a posteriori un tipo especial de estética. Esta
Música y matemáticas 5

forma de aproximación de disciplinas en cierto modo ha existido siempre. Las

leyes del contrapunto, de la armonía, podrían incluirse en este apartado. El
agotamiento de una corriente estética obliga a introducir normas nuevas o a
revisar la viejas con objeto de conseguir nuevos resultados.

Ya en el siglo XX, con el agotamiento del sistema tonal y la aparición de

la atonalidad y el dodecafonismo, es necesario echar mano de procedimien-
tos todavía artesanales pero con un mayor acercamiento al mundo de las
matemáticas, pues se comienza a trabajar con listas de letras, números, y
otro tipo de símbolos que, aunque se habían utilizado de un modo u otro
con anterioridad, van a tener nuevas connotaciones. Con la llegada del se-
rialismo integral todo esto se hace más patente puesto que las viejas reglas
compositivas deben ser sustituidas por otras nuevas mucho más cercanas a
los procedimientos abstractos de la matemáticas. Sin embargo deberemos es-
perar a la gura de Iannis Xenakis (1921-2001) para que esta relación entre
música y matemáticas adquiera un tinte nuevo y se abra un camino de proce-
sos fuertemente enraizados en el ámbito del número como quizás nunca antes
se había conocido. A ello contribuye sin lugar a dudas el desarrollo de la
computación sin la cual hubiese sido muy difícil abordar este tipo de obras.

Por otro lado, posiblemente a partir de Xenakis haya una percepción pura-
mente estética de ciertos procedimientos matemáticos que necesitan pasarse
al ámbito musical. Cierto es que esto también podríamos encontrarlo con
anterioridad si pensamos que la utilización del número áureo en una pieza
comportaba una cierta adscripción estética hacia algo enigmático y musical-
mente poco explícito; sin embargo, la coherencia de la pieza, con raras ex-
cepciones, no estaba basada sólo en ello. Xenakis siente profunda admiración
por la estética del pensamiento matemático y es con posterioridad cuando
busca que los números expliquen la absoluta trabazón interna de su obra.
A partir de este autor las adscripciones a la estética musical basada en los
números no han hecho sino aumentar. El gran desarrollo de los ordenadores
personales ha multiplicado el efecto pues ha resuelto el problema tan arduo
que suponía el cálculo manual.

Por lo tanto hay dos facetas importantes en la relación de música y

matemáticas: por un lado, la necesidad de arquitecturar música mediante
leyes que surgen de forma consciente o inconsciente de las matemáticas; por
otro, el acercamiento a éstas por el propio hecho estético de las mismas (las
matemáticas son bellas). Pensemos en un haz de curvas en el espacio que nos
resultan altamente atractivas y especulemos rápidamente con la posibilidad
de que éstas sean una representación gráca de un hecho musical. De ma-
nera más abstracta ciertas formulaciones pueden igualmente producirnos un
efecto estético. En la mayoría de los casos se unen ambos procedimientos.
6 Un Paseo por la Geometría

1.2 El gran legado de Xenakis

Sin lugar a dudas Iannis Xenakis ha sido el gran impulsor de la aplicación
de conceptos matemáticos a la música en el pasado siglo XX. Basta leer sus
escritos de música y arquitectura o sobre todo Musiques formelles (que es
posible descargar gratuitamente desde su página www.iannis-xenakis.org)
para darnos cuenta de ello. La gran incomprensión que sufrió este autor al
comienzo de su periplo compositivo se transforma en la actualidad en la
gran obra de un visionario. Terriblemente criticado al comienzo de su carre-
ra, quizá por la idea equivocada según pensaban otros compositores de que
daba prioridad al hecho matemático antes que al puramente musical (en-
tendido bajo la idea de hecho emocional y carente de explicación racional o
de una aclaración que no va más allá del de mero ocio artesano en dicha
materia). Cuando oímos sus obras (sobre todo cuando son bien interpretadas
en vivo) nos damos cuenta de la anticipación temporal de este compositor.
Su gran aportación, sobre todo, radica en la utilización de numerosas téc-
nicas compositivas basadas en las matemáticas que hoy todavía se utilizan
o se redescubren por compositores que han tomado caminos de esta índole.
Quizá para un matemático no exista un gran interés pues al n y al cabo no
hay ningún tipo de invención, pero desde el punto de vista musical ha sido
un fuerte revulsivo y gracias a la aplicación de técnicas que citaremos con
posterioridad hemos podido oír músicas jamás escuchadas anteriormente.
Iannis Xenakis utiliza para algunas de sus obras la lógica simbólica, la
teoría de conjuntos, la de acontecimientos en cadena, la de juegos y otras
muchas. Trabaja habitualmente con cálculos de entropía, matriciales, vecto-
riales y otros; leyes de Poisson, Gauss, Markov,... Otros factores importantes
son la formalización y axiomatización del proceso compositivo. Como se ha
comentado, Xenakis es uno de los primeros compositores en buscar la ayu-
da de los ordenadores para las tareas de cálculo. Por otra parte tiene en
cuenta cuantos procesos de tipo losóco pueden resultar signicativos en la
elaboración de sus piezas y contempla la importancia de la intuición y de
los afectos en el hecho compositivo (lo que desbancaría las críticas comen-
tadas al comienzo del este apartado). Citamos sus palabras en Conclusiones
y extensiones de Musiques formelles: Hacer música signica expresar la in-
teligencia humana por medios sonoros. Inteligencia en su sentido más amplio
que comprende no solamente los caminos de la lógica pura, sino también los
de la lógica de los afectos y de la intuición .

1.3 Lógica conuencia de la música hacia los fractales

No podemos asegurar que Xenakis trabajase música a partir de modelos
fractales. También es complicado dar nombres de los primeros músicos que
Música y matemáticas 7

se acercan a los mismos. El fenómeno fractal, aunque con otros nombres,

comienza su andadura en torno al comienzo del siglo XX aunque algunos
de los conceptos eran conocidos desde mucho antes. Sin embargo, hasta la
aparición de las computadoras y la experimentación de estas técnicas con
las mismas, no podemos hablar del gran desarrollo que experimentarán esta
clase de objetos. ¾Qué es lo que los hace tan interesantes desde el punto de
vista musical? Quizá sea la quimera de los compositores en la eterna búsque-
da de la unidad absoluta de la obra. La característica de la autosemejanza
que estos objetos ofrecen es altamente tentadora y alberga esperanzas de tal
unidad absoluta (los fractales son universos autocontenidos). Una vez que
conocemos técnicas para la aplicación musical de estos objetos a la música,
nos damos cuenta de cuan difícil y escurridiza es la unidad absoluta. A pesar
de ello, las herramientas que brindan este tipo de objetos matemáticos resul-
tan fascinantes a la hora de hacer música y es difícil no intentar algo con ello.
En la actualidad son muchos los músicos que se han acercado a los fractales
buscando respuestas, tomando cada uno aquello que más le ha interesado.
Por ello hay de todo, desde compositores que han visto en ellos únicamente
elementos decorativos extraños con los que producen músicas banales, hasta
otros que perciben cómo estos objetos de gran calado pueden dar respuesta
a sueños perseguidos durante años.

1.4 La intuición de Francisco Guerrero y la razón de Miguel Ángel

Guillén. Aplicación a la música de algunos fractales tales como el
movimiento browniano
Francisco Guerrero (1951-1997) utiliza el cálculo matemático para la ela-
boración de sus obras, a pesar de su gran intuición musical que constante-
mente modula su proceso creativo. La utilización de las matemáticas para
construir sus piezas podríamos decir que arranca en un nivel serio con técnicas
combinatorias (deduce todo tipo de parámetros musicales a través de ello).
Tiene otra fase en la que conceptos de índole topológica llaman poderosa-
mente su atención, tales como la utilización de diversos objetos con texturas
diferentes produciendo toros u otro tipo de arquitecturas con mayor relevan-
cia geográca en la pieza que de otro tipo. Realiza algún intento con redes
neuronales que abandona por no satisfacerle los resultados. Rápidamente des-
cubre el movimiento Browniano como fractal que le brinda un juego musical
jamás sospechado y junto a Miguel Ángel Guillén (1962-2007), ingeniero,
amigo y colaborador que le acompañará hasta el nal de sus días y el respon-
sable de la informatización del proceso (programaciones), Francisco Guerrero
puede hacer obras de música basadas en este tipo de fractal.
Nuestra llegada a este tipo de objetos es a partir del gran entusiasmo que
8 Un Paseo por la Geometría

Francisco Guerrero proyectaba en sus alumnos respecto de los fractales. Con

posterioridad, cada uno ha entendido el fenómeno bajo lecturas diversas y lo
ha amoldado a su lenguaje de forma diferente.
Guerrero pensaba que su composición ideal tendría que estar expresada en
una fórmula, algo sencilla grácamente y donde subyaciera una gran comple-
jidad; conceptualmente, un espacio abstracto con capacidad para producir el
todo (Alfonso Casanova, alumno de Francisco Guerrero).
Para concluir este apartado, dejamos un pensamiento de F. Guerrero: Quiero
desarrollar la música de la misma forma en que se desarrolla un árbol .

1.5 Algunas puntualizaciones sobre la corriente espectral

Es una estética musical surgida en Francia alrededor del último cuarto del
siglo pasado y cuyo personaje más relevante quizá sea Gerard Grisey (1946-
1998). Esta estética busca los modelos compositivos en fenómenos físico-
acústicos. Las matemáticas son una ciencia auxiliar que sirve para proyectar
en el terreno musical fenómenos que suceden en la física del sonido (puede ser
de gran complejidad y la herramienta más interesante es la transformación
rápida de Fourier). Fenómenos de tipo armónico, resonancias, retardos, etc.
son referentes que trasladarán a su música. Cálculo con senoidales, derivación,
integración, etc... Posiblemente la obra paradigmática sea Los espacios acús-
ticos de Gerard Grisey. Dicha pieza consta de 6 números: Prólogo, Periodos,
Parciales, Modulaciones, Transitorios y Epílogo. Como indican los títulos, se
hacen constantes alusiones a fenómenos relativos al sonido físico.

1.6 Desdibujado de los límites entre música, acústica y matemáti-

cas
Hoy en día los límites de muchas disciplinas están diluidos y podemos
pasar de un dominio a otro con suma facilidad. Queremos hacer fuerte hin-
capié en ello en relación al trabajo que hemos ido desarrollando a lo largo
de los últimos años. Podemos partir de un sonido como fenómeno físico, ha-
cer su análisis espectral mediante la FFT (Fast Fourier Transformation ) y
obtener así un determinado número de parciales, representados como listas
de alturas-tiempo, que a su vez podemos representar en un plano complejo
(habitualmente X para expresar el tiempo e Y para los valores de las alturas).
A partir de ahí, podemos aplicar todo tipo de operadores matemáticos a cada
punto de cada una de las curvas que representan el discurrir del sonido o el
discurrir de las notas de una partitura que hemos codicado numéricamente,
de modo que consigamos un sinfín de transformaciones y de especulaciones
en un territorio músico-matemático. También es posible operar inversamente:
a partir de una secuencia de números podemos producir un objeto musical o
Música y matemáticas 9

una determinada onda sonora.

1.7 Sistemas de proporciones como procedimiento de control de

una obra
Una de las aplicaciones matemáticas más comunes en la música es ope-
rar con un determinado sistema de proporción. Un mismo cociente relaciona
los distintos parámetros que hay en juego. Proporciones de guras, de tiem-
pos, de duraciones de alturas, etc. Quizá sea la aplicación matemática más
común en el mundo del arte; pensemos por ejemplo en la más trillada de
todas las proporciones, la áurea o
√ Φ en forma de sucesiones bonaccianas o
relaciones con 5. La proporción de los objetos satisface la idea de orden.
El mismo concepto de armonía se basa en una proporción respecto de las
verticales sonoras. Este concepto es susceptible de aplicarse a cada uno de
los parámetros musicales y ofrece un juego inagotable.

2. Diversas técnicas para la obtención de material musi-

cal con auxilio de las matemáticas y la informática
A partir de este punto hablaremos de algunas experiencias propias y con-
cretas en relación a la aplicación de conceptos matemáticos al mundo de
la música. Intentaremos en lo posible no repetir lo que ha aparecido con
anterioridad en otros artículos de los que daremos cuenta al nal del escrito.
Antes que nada, algunas consideraciones sobre el trasvase numérico a lo que
hemos dado en llamar partitura virtual. Los datos obtenidos desde diversas
fuentes y/o desde los propios programas son codicados de manera gráca
para hacer más maleable cualquier proceso o cálculo de transformación que
deseemos hacer. A continuación, en la imagen que sigue, damos cuenta de las
codicaciones de los distintos parámetros y de sus posibles lecturas; se tratan
sólo los aspectos más relevantes y que hagan posible seguir los ejemplos que
aparecerán a lo largo de este escrito.

Cada una de las líneas horizontales corresponde a un instrumento. La duración

temporal viene marcada por las pequeñas líneas verticales que las cortan y el mate-
rial (que podríamos denir como el abstracto de una serie de cualidades ligadas a él
que lo identicarán y lo harán único) está denido por el color (aunque el color es
susceptible de otro tipo de interpretaciones). Las grandes líneas verticales denen
un compás (numerados abajo) y generalmente se corresponden con un número de
22 casillas de duración. En esta visión, que llamamos de materiales-duración
es posible abarcar la totalidad de una plantilla instrumental y controlar así los mo-
mentos de encuentro y desencuentro entre cada una de las líneas instrumentales o
familia de las mimas. Los espacios vacíos indican silencio (ver cuadro 1, debajo).
10 Un Paseo por la Geometría

Ésta (ver
cuadro 2 a la
derecha) es
la visión que
llamamos al-
tura-duracio-
nes-material.
Aquí, las líneas
en su lectura
horizontal
siguen deter-
minando una
temporalidad,
pero su lectura
vertical nos
muestra las
diferentes altu-
ras de dichas
secuencias: las
alturas ocupan
la totalidad
del espacio
vertical y éste

está numerado de 1 a 127 (ó 254 si se trabaja con cuartos de tono). Los extremos
verticales vienen dados por la codicación MIDI y aunque sobrepasan por ambos
lados las posibilidades reales de los instrumentos de la orquesta nos pueden servir
a la hora de trabajar en obras electroacústicas en las que intervengan instrumentos
electrónicos que tengan dicha tesitura.

2.1 Obtención de material musical a partir de lectura de imágenes

Se trata de un sistema sencillo de gran intuición práctica que nos per-
mite extraer de una imagen cualquier punto de un determinado color. Su
utilización está pensada para operar con imágenes de diversa procedencia.
Por otro lado, en nuestro caso no existe ningún interés en trabajar sino con
imágenes cuyo origen responda a representaciones con una fuerte coherencia
interna, generalmente procedentes de algoritmos matemáticos (curvas frac-
tales en la mayoría de los casos). Ello responde a una idea práctica consistente
en el aprovechamiento de las imágenes que pueden ser generadas por la gran
cantidad de software ya escrito y que permite trabajar con innidad de fór-
mulas y algoritmos. A continuación comentaremos algunos de los problemas
Música y matemáticas 11

más comunes que encontramos en la utilización de esta técnica aplicada a la

música.
Si la imagen es de gran calidad (supongamos de 16.8 millones de colores) y
pedimos al algoritmo que nos atrape un determinado color rápidamente nos
percataremos de la gran dicultad de extraer algo coherente. Por lo gene-
ral nuestro intento se reduciría a un punto aquí, otro allí y poco más. No
tenemos más remedio que comprimir la gran paleta de colores a otra más
sencilla. Supongamos a una de 254 o de 128 colores (trabajando en el ámbito
musical 128 colores son todavía muchos, así la mayoría de las veces se hace
una compresión más drástica y se utilizan sólo unos pocos; más adelante de-
tallaremos la fórmula utilizada en esta compresión). Al pasar de 16.8 millones
a 254 ó 128 nos percatamos rápidamente que toda la magia que percibíamos
ha desaparecido y en su lugar no tenemos más que una imagen burda en
la que se han esfumado todos aquellos hermosos lamentos y espículas que
tanto interés habían despertado en nosotros. Nos encontramos con un dile-
ma, pues no podemos llevarnos el todo y posiblemente la compresión nos
deje sin nada. Una vez pasada esta fase de desolación comenzaremos a pen-
sar que si somos hábiles quizá podríamos sacar partido a este proceso. Por
ejemplo, podríamos agrupar en un solo color un gran número de órbitas re-
presentadas por un grupo de colores de una imagen fractal. Un buen puñado
de herramientas informáticas nos ayudarán a ltrar, recortar o seleccionar
un determinado rincón de la imagen y así podernos llevar una estructura
concreta susceptible de ser trasvasada al dominio musical.
A continuación haremos un somero comentario del algoritmo de compre-
sión de colores que se ha utilizado. Los colores RGB están representados
por tres números RGB (red, green, blue) rojo, verde y azul. Cada uno de
estos tres colores ofrece la posibilidad de un recorrido de valores desde 0 a
65534. La combinación de estos números llegará a producir millones de colo-
res. Nuestra paleta es mucho más modesta con objeto de poder trabajar en
el ámbito musical. Apenas consta, como ya dijimos, de 128 colores que deben
resultar de la combinación de unos pocos tripletes. Los colores serán tratados
como vectores y buscaremos para cada punto de la imagen original el punto
de mayor proximidad o de menor diferencia respecto de nuestra paleta.
Trataremos los colores como puntos en un sistema de coordenadas 3D de mo-
do que RGB = XY Z . Tenemos que tener en cuenta que la distancia entre
dos puntos es el módulo del vector  v  que los une: distancia(c1 , c2 ) = |v|.
Supongamos que el punto c1 en la imagen de calidad es c1 = (R1 , G1 , B1 )
y deseamos buscar el color más cercano; entonces deberemos comparar cada
uno de los puntos de nuestra humilde paleta con c1 . Una vez que lo hayamos
hecho nos quedaremos con el vector que en relación con c1 haya dado el menor
módulo. Si llamamos c2 = (R2 , G2 , B2 ) al vector de turno de nuestra paleta,
12 Un Paseo por la Geometría

p
la fórmula utilizada será: |v| = (R2 − R1 )2 + (G2 − G1 )2 + (B2 − B1 )2 .
Sin embargo, como no nos interesa la distancia exacta sino sólo la menor,
podemos prescindir de la raíz cuadrada para acelerar el proceso de cálculo
utilizando sólo los cuadrados y de este modo ganar mucho tiempo en nuestra
búsqueda del color más cercano.
Cada punto (píxel) de la imagen origen deberá ser comparado con todos los
de nuestra paleta. Guardaremos el resultado y lo compararemos con el an-
terior de modo que sólo nos quedaremos con el de menor valor a la vez que
memorizamos el color de nuestra paleta al que corresponde y así sucesiva-
mente hasta completar todo el recorrido de los 128 colores, suponiendo que
la compresión se haya hecho a este número (como ya hemos dicho puede ha-
cerse a otro). Una vez nalizado este paso ya conoceremos cual es el color de
nuestra paleta que sustituirá al del punto original. A continuación pasaremos
a comparar el siguiente punto de la imagen original con cada uno de los de la
paleta de pocos colores, del mismo modo que se ha hecho en el paso anterior
y así sucesivamente hasta concluir con todos los puntos de la imagen fuente.
Hay que tener en cuenta los comienzos del procedimiento y el paso de cada
uno de los puntos originales, pues debemos ajustar los comparadores y los
contadores con objeto de no acumular valores que nos harían una compara-
ción cticia. Como vemos la operación es muy simple aunque el número de
veces que se realiza es muy alto lo que, dependiendo del tamaño de la imagen
fuente, puede tomar un cierto tiempo.
Podemos utilizar otro tipo de algoritmos semejantes buscando aproxima-
ciones entre los números de ambas paletas, como promedios u otro tipo de
relaciones. Cada algoritmo puede adaptarse mejor o peor a nuestros propósi-
tos en dependencia de la imagen fuente.
Una captura de la imagen origen puede ser representada en el plano complejo
de modo que las X signiquen impactos o puntos de arranque de las notas
y las Y las alturas (aunque esto es susceptible de otras lecturas). Bajo este
punto de vista la transcripción al espacio musical es relativamente sencilla.
Una vez que se ha completado esta brutal reducción de colores podemos ver
si la imagen todavía retiene nuestro interés. Si es así, mediante el auxilio de
otro programa podemos intentar extraer de la misma aquello que nos llame la
atención o presupongamos tendrá un buen comportamiento musical (sólo la
experimentación nos llevará a tener un cierto dominio en relación a presupo-
ner lo que nos dará un buen rendimiento musical con todas sus relatividades
estéticas).
La interpretación de la imagen de un modo u otro nos devolverá resulta-
dos muy diferentes a partir de un mismo objeto. Por un lado seleccionamos
un grupo de líneas instrumentales a las que volcaremos los resultados de la
lectura de la selección de la imagen reducida. Estas líneas instrumentales son
Música y matemáticas 13

en realidad matrices de varias dimensiones, como voces(30,2000,5,5) en la

que podríamos distribuir las cosas de este modo: la primera cifra serviría para
precisar el número de línea instrumental, la segunda determinaría el punto

de tiempo, la tercera podría precisar un número de

voz interna de la línea instrumental (en este caso
daría juego hasta 5 notas simultáneas para cada una
de las líneas instrumentales) y la cuarta cifra podría
almacenar números referentes a dinámicas, colores
u otros parámetros. Supongamos que tenemos: vo-
ces(5,150,3,2), esto signicaría que en la línea instru-
mental 5, posición de tiempo 150, espacio del acorde
número 3, parámetro 2 (pensemos que tenemos reser-
vado este espacio para la dinámica) almacenaremos
algún número procedente de la imagen reducida co-
mo dinámica. Si sólo cambiamos la última cifra de la
matriz y colocamos un 1, el almacenamiento del valor
se haría en esta otra dirección y si suponemos que 1
en este cuarto puesto de la matriz se destina al alma-
cenamiento de las notas, el mismo dato se registraría
como nota.
Por otro lado la imagen comprimida puede ser tratada
como una distribución de puntos en un plano comple-
jo (en realidad sólo se utiliza la parte real) en el que
cada punto X e Y dispone de color, lo que permite
variar las lecturas. Podemos llevarnos únicamente los
valores de X , de Y , o los del color de un determinado
punto XY , o bien todos a la vez y esta información
puede depositarse en las direcciones de la matriz re-
ceptora que deseemos.
Podemos hacernos una idea de la cantidad de combi-
naciones entre los diversos tipos de lectura y la can-
tidad de posibilidades de almacenamiento.
Ello nos lleva a un ordenado sistema de búsqueda de
imágenes, a la compresión de la imagen fuente, a un
posterior estudio de las posibilidades musicales de la
imagen comprimida y a una selección y trasvasado
concreto desde la imagen reducida a la matriz de car-
ga.
14 Un Paseo por la Geometría

En la página anterior ilustramos unos ejemplos de lo comentado basándonos

en una imagen perteneciente al conjunto Mandelbrot, desde la imagen fuente
hasta la plasmación de la misma en la partitura codicada. Debemos obviar
muchas explicaciones pues su aclaración podría exceder el cometido del es-
crito. Mediante ltros, se pueden obtener uno o varios colores; asimismo, se
pueden extraer los contornos que generan aquellos; una vez tengamos una
selección podremos aplicarla a una línea instrumental o a un determinado
número de ellas volcando datos de la imagen comprimida a la matriz de car-
ga de la forma que se ha comentado en líneas precedentes. Con ello obtenemos
magnícas curvas musicales de origen fractal. En multitud de ocasiones re-
sulta arduo el conseguir atrapar determinadas estructuras y para ello se han
creado un buen número de utensilios informáticos que permiten excluir partes
o adentrarnos en territorios difíciles.

[De la imagen original (1) se efectúa una reducción (2). En la búsqueda de material
interesante, nos quedamos con los colores 120 (3), 121 (4) y 122 (5). Finalmente,
de los colores 121 y 122 extraemos una selección para ser trasvasada a la partitura
codicada].

Otra idea importante es utilizar las líneas de la imagen para crear territo-
rios de acotación y de este modo controlar distribuciones instrumentales de
un determinado material. Estamos hablando más bien de procesos formales
que trabajarían a gran escala.

En la imagen superior, vemos el resultado de la extracción en su visión alturas-

duraciones-material. La parte de la izquierda, corresponde al total de la selección
(en este caso distribuida para 40 líneas instrumentales monofónicas); en el centro,
la línea instrumental número 1 y a la derecha, la representación de la número 9.

A la izquierda, representación en partitura

tradicional de la selección completa corres-
pondiente a la imagen izquierda del cuadro
superior. Debajo, la voz número 1 trascrita
a grafía tradicional. Más abajo le sigue la
trascripción de la voz número 9.
Música y matemáticas 15

En estos ejemplos se pueden observar los cuartos de tono indicados con pequeñas
echas verticales al lado de la nota afectada. Los grupillos vienen como conse-
cuencia del arrugamiento del espacio producido por las mallas de rítmica subyacente
(de la que se tratará en capítulo aparte).

En la imagen superior y a la izquierda, visión de las duraciones-material de las

línea instrumentales 1 y 9. A la derecha, la representación de dichas líneas en
su visión altura-duración-material. Debajo de estas líneas, la trascripción a grafía
tradicional.
16 Un Paseo por la Geometría

2.2 Búsquedas en Sistemas L

Los fractales son una fuente inagotable de inspiración. Cada compositor
puede adaptarlos de un modo u otro a su sistema de trabajo y aunque escurri-
dizos, siempre acaban devolviendo una enorme cantidad de material de alta
calidad musical (habitualmente los problemas vienen siempre por la sobre-
carga de resultados). Se ha experimentado con Movimiento Browniano, con
I.F.S. (Sistema de Funciones Iteradas), con DLA (Agregación por Difusión
Limitada), con algoritmos de escape, cantorizaciones de objetos musicales
y otros; unos trabajados directamente y otros con la utilización de la técnica
descrita en el apartado anterior.
A. Lindenmayer creó en 1968 un sistema propio (el sistema L) para simu-
lar el crecimiento de los organismos vivos. En 1984 A.R. Smith y en 1986
P. Prusinkiewicz incorporaron estos sistemas a los grácos por ordenador
produciendo modelos de plantas de aspecto casi real. Con estos sistemas es
posible construir de forma muy elegante conjuntos fractales clásicos como las
curvas de Peano, Koch, Hilbert, etc.
Por nuestra parte pensamos que podría ser de gran utilidad su aplicación
musical y acabamos de abrir un frente de búsqueda basado en estos sistemas.
Por su enorme simpleza de partida lo hacen muy apto para controlar procesos
de forma (dada su versatilidad conceptual), sin embargo si nos adentramos
en niveles profundos los resultados obtenidos son de tal densidad que su
aplicación es más idónea para generar curvas u otro tipo de material gráco.
Dadas estas características, en dependencia del nivel de la obra en el que
estemos trabajando, su aplicación solo diferirá en el aumento del número de
recursiones.
Los sistemas L funcionan básicamente del siguiente modo:
Un sistema L sería un conjunto G = [V, C, A, P ], donde:
- V es un conjunto de variables que podremos reemplazar.
- C son las constantes o elementos jos.
- A lo que llamamos Axioma o estado inicial.
- P conjunto de reglas que denen la forma en que las variables serán
reemplazadas.

Las reglas se aplican iterativamente a partir del estado inicial. Si la apli-

cación de las reglas se reere a cada símbolo individualmente se dice que el
sistema es libre de contexto. Si la aplicación depende de sus vecinos el sistema
es sensitivo al contexto. Por otro lado el sistema es determinista a no ser que
haya una probabilidad de elección entre varias reglas; con ello se convertiría
en estocástico. Con posterioridad, cada constante debe tener un signicado
gráco o de otra índole para poder hacer una trancripción.
Este tipo de sistemas admiten un sinfín de variaciones en dependencia
Música y matemáticas 17

de lo que se quiera conseguir, lo que los hace muy versátiles. Pongamos un

sencillo ejemplo de sistema L:
Variables: A, B , C
Constantes: + (puede no haberlas)
Axioma: BA+
Reglas: A pasará a BC , B pasará a AC y C pasa a A
Nivel 0 = (B) − AC , (A) − BC , + por lo tanto ACBC+
Nivel 1= BCAACA+
Nivel 2= ACABCBCABC+

Rápidamente el crecimiento entra en magnitudes exageradas. A cada una de

las variables, al igual que las constantes, se les puede asignar un signicado.
Pensemos por ejemplo A como una recta de un determinado valor, B la curva
2
procedente de F (x), C una recta de A y + un giro de 90 grados a la izquierda.
De este modo podríamos congurar un gráco que fuese la interpretación de
la cadena de enésimo nivel en base a los signicantes asociados a cada letra.
Su aplicación musical puede resultar altamente atractiva sobre muchos de
los parámetros musicales y a diferentes niveles de la factura de la pieza que
llevemos entre manos. Los sistemas L podrían sernos útiles para organizar la
forma general de una pieza ya que en este nivel manejamos sobre todo listas de
letras o números que tienen una signicación puramente conceptual. En este
caso a escasas iteraciones deberíamos cortar el proceso pues sería suciente.
En la pieza Quimeras de C. Satué se ha experimentado con los sistemas L
para obtener la forma general.
A continuación mostramos la tabla de signicados de variables y constan-
tes. Recordamos que las variables son las letras que se sustituyen a lo largo
del proceso y no las constantes, al margen de que nosotros podamos darle un
valor concreto como es este el caso.

A B C D E F G + −
23,6 9,0145 61,8 5,5709 38,1924 14,5865 100 constante constante

Los números signican una duración temporal que puede ser absoluta o bien
proporcionarse a otra duración de carácter más general. La procedencia de
los mismos obedece a cuestiones que no vienen al caso explicar. Las reglas
serán las siguientes:

A B C D E F G
AD BD CF ABC DEF libre(a) ABCDEF

La pieza esta elaborada con cuatro tipos de material y cada material tiene
su propio axioma partiendo de las mismas variables y constantes. Dichas
constantes para lo que se lleva entre manos no tienen ningún signicado, por
18 Un Paseo por la Geometría

lo tanto, aunque entran en los cálculos para futuras utilizaciones ahora serán
obviadas. El material 1 tiene el siguiente axioma:

A + C − B − D + A − C − D + B − F − E + C.

En una primera y única iteración obtendremos la forma general de la pieza a

partir de dicho material (no hace falta que entremos en consideraciones sobre
qué es el material 1 para lo que queremos explicar):

AD + CF − BD − ABC + AD − CF − ABC + BD − libre(a) − DEF + CF.

Los signicantes de duración se proporcionarán a la duración global de toda

la obra, cantidad ésta que obedece a otras consideraciones. Cada letra sería
en estos momentos un espacio de tiempo que por el momento estaría vacío de
contenidos y se comportaría como el gran molde donde vamos a introducir
los distintos elementos que congurarán la obra.
Los distintos materiales a partir de su axioma propio iterados una sola vez
producirán patrones de partición que se proporcionarán a cada uno de los
espacios donde se asienten a lo largo de la pieza. Si algunas letras producen es-
pacios excesivamente anchos podríamos segmentarlos de nuevo reintroducien-
do el mismo patrón con el escalado necesario para que se ajuste a dicho es-
pacio, repitiendo la operación tantas veces como lo consideremos oportuno.
La distribución de materiales a lo largo de la pieza se realizó mezclando
procedimientos de combinatoria y sistemas L en los que las variables ya no
signican duraciones, sino determinadas posibilidades de elección de conjun-
tos de letras. Para ello se utiliza la misma lista de letras que marca la forma
general de la pieza y un conjunto de 15 grupos de letras procedentes de la
combinatoria de los materiales. Puesto que éstos son cuatro (llamémosles A,
B, C y D) su combinación produce 15 grupos diferentes (despreciaremos las
combinaciones basadas en el orden de los elementos).
La tabla siguiente muestra el cambio de los signicantes de las variables:

A B C D E F a G
grupo de grupo de grupo de grupo de grupo de grupo de
1 letra 4 letras 2 letras 3 letras 4 letras 1 letra

La siguiente distribución de materiales satisface las propuestas de partida.

Música y matemáticas 19

A continuación mostramos una imagen que representa el plano general de

la pieza en cuanto a duración temporal. En ella podemos ver las 24 secciones
(los cortes verticales de las líneas gruesas nos separan cada una de ellas). Tras
la línea 1, que representa las magnitudes de las distintas secciones, vemos
el reparto de los materiales en las líneas 2 (material A), 3 (material B ), 4
(material C ) y 5 (material D). Podemos observar muchas líneas verticales que
representan las particiones en compases en dependencia de las velocidades de
negra, que a su vez han sido calculadas con técnicas similares de cambio de
signicantes en las variables. Observamos también en algunas secciones cómo
alguno de los materiales no ocupa todo el espacio de la misma. Ello obedece
a otras consideraciones de proporcionalidad entre los mismos que no vamos a
comentar. Cada vez que trabajemos en una determinada sección tomaremos
en consideración el patrón que le corresponda a cada material para producir
nuevas segmentaciones del espacio (que representa al tiempo).

Podemos continuar con la aplicación de los sistemas L a las distribuciones

instrumentales de la pieza tomando en consideración que el axioma de ca-
da material servirá únicamente para el mismo. Donde hubiese acumulación
de materiales como es el caso de la sección 2 (ABC ) otro tipo de reglas
nos indicarán qué material tiene preponderancia sobre los otros de modo
que se establecerá un sistema de prioridades. Cambiaremos los signicantes
con objeto de saber a que atenernos cuando se aplique la misma lista que
hemos utilizado para elaborar la forma general en la que éstos representaban
cantidades de duración temporal. En este caso se determinarán ciertas com-
binaciones instrumentales que aplicaremos según la lista L que si recordamos,
surgió de iterar una sola vez el axioma del material 1.
La plantilla instrumental para esta pieza es de 6 intérpretes: auta, clarinete,
saxofón, violín, viola y violoncelo. A continuación mostramos los nuevos sig-
nicantes para la distribución instrumental:
A= Flauta baja, Clarinete bajo, Saxofón barítono y Violoncelo (grupo
grave).
B = Tres grupos a elegir: (1) Violín, Viola; (2) Flauta en do, Clarinete
sib, Violín y Viola; (3) Piccolo, Clarinete sib, Violín y Viola (grupo agudo).
C = TODOS.
D =(grupos tímbricos) Maderas o cuerdas.
20 Un Paseo por la Geometría

E = Dúo mixto en que alguno de los componentes esté en la partición

temporal anterior.
F = Instrumento solo a elegir.

El siguiente gráco muestra la distribución instrumental (qué instrumen-

tos suenan y cuales de ellos callan) de la sección primera en que únicamente
aparece material A. La primera línea horizontal corresponde a la auta, la 2
al clarinete, la 3 al saxofón, la 4 al violín, la 5 a la viola y la 6 al violoncelo.
Obsérvense las 24 particiones verticales del espacio temporal que están en
proporción con la forma global de la pieza ya que están elaboradas a partir
de la misma lista L de duraciones. El espacio coloreado signica únicamente
que el instrumento que lo tiene suena, aquello que ejecutará responderá a
otras consideraciones. El gráco debe satisfacer las condiciones que se han
comentado respecto del cambio de signicantes para la distribución instru-
mental.

Desenvolviéndonos en el ámbito de distribución instrumental y trabajan-

do con grupos más amplios (pensemos en una orquesta de cuatro grupos de
maderas, cuatro de metales, cuatro de percusión y cuatro de cuerda) con-
seguiríamos mayor o menor número de densidad según el adentramiento que
fuésemos a recorrer; de esta manera, el árbol de distribución de instrumentos
crecería multidimensionalmente pero siempre tendríamos como último nivel
el instrumento solo o la ausencia de todo instrumento. Hay otras formas
diferentes en la manera de ramicar; una de ellas sería comenzar a partir de
cualquiera de los nodos con una lista de signicantes distintos (manteniendo
el axioma) con lo que el resultado variaría sustancialmente.
Este tipo de procedimientos basados en los sistemas L pueden aplicarse a
los distintos parámetros del nivel compositivo en el que nos hallemos. Imagi-
nemos una distribución con la lista L aplicada a las dinámicas, a las alturas,
a las mallas de rítmica subyacente (más adelante hablaremos de éstas)...
Algunos parámetros, como el de las alturas, necesitarían muchos niveles de
recursividad en el sistema, y es aquí donde pasaríamos a situaciones grácas
con el objetivo de facilitar la interpretación de las mismas y cotejar sus
posibilidades musicales.
Si nos desenvolvemos en un ámbito puramente geométrico y deseamos
que la lista de símbolos se transforme en una o varias curvas, simplemente
cambiaremos el signicado de las letras; incluso podremos introducir en estas
secuencias otros símbolos tales como giro G de n grados o espacio vacío que
Música y matemáticas 21

podrían haber formado parte de las listas aplicadas a los ámbitos anteriores
y por tener un signicado incongruente para el tipo de tarea en que se aplicó
la lista simplemente se hubiesen obviado.

A continuación, mostramos un hipotético ejem-

plo gráco basado en un tratamiento libre de la
lista L que se utilizó para generar estructuras
como las anteriores. En él, se aplicó ruido me-
diante funciones random en X e Y con objeto
de distorsionar estos puntos y se trabajó con un
grupo orquestal de 20 líneas instrumentales.

El objeto de este ejemplo gráco no es otro sino mostrar la riqueza a la que se

puede llegar partiendo de un elemento tan simple como el axioma. Con pequeñas
variaciones en cualquiera de los parámetros, se obtienen considerables cambios en
las imágenes.
La aplicación de los sistemas L al espacio musical puede ser de gran
riqueza. Por nuestra parte nos queda explorar un sinfín de posibilidades to-
davía en espera de estudio, tales como la utilización en el ámbito armónico
en el que cada letra puede signicar un conglomerado sonoro o una lista de
ellos o una función que en dependencia de los datos entrantes nos devuelva
diferentes resultados. En la búsqueda de una coherencia global de la obra,
un mismo axioma debería controlar cada uno de los parámetros que entran
en juego en la misma cambiando únicamente sus signicantes.

En la imagen superior, de izquierda a derecha, tenemos los objetos generados por

una lista L para una sola línea instrumental; aquí las iteraciones fueron 4, de una
lista de 12 elementos, para poder generar así mayor número de puntos. Al primero
0
de ellos se le aplicó un ángulo de 35 , ruido en X de valor 1 y ruido en Y con
0
valor 2. El segundo (imagen central) cambia el ángulo a 45 . El tercero (imagen de
0
la derecha) mantiene el ángulo de 45 pero el ruido en X es de 2 y el ruido en Y
es de 6.
En la imagen inferior, su representación en alturas-duración-material una vez pasa-
do al milimetrado virtual. En su traspaso, al comprimir el resultado por salirse de
los límites marcados por las alturas (1-127) pueden observarse los objetos en su to-
talidad, de ahí las pequeñas divergencias en los extremos superiores con las guras
22 Un Paseo por la Geometría

de la imagen superior (en la audición se aprecian los cambios dinámicos, cambios

que obedecen también a resultados de la lista L).

Cualquiera de
estos ejemplos,
leídos secuencial-
mente tal como
se han producido
(desenrollados)
produciría lí-
neas melódicas
de considerable
duración.

3. Mallas o redes de rítmica subyacente y creación de

espacios musicales arrugados
Este sistema de trabajar la partitura pertenece a Francisco Guerrero.
Nuestra tarea ha sido dotarlo de múltiples herramientas informáticas para
que su aplicación fuese mucho más sencilla y rápida. Con el paso del tiem-
po y gracias al estudio del propio sistema, se han abierto muchas puertas
y ampliaciones en el mismo, pero también nos hemos dado cuenta de una
gran cantidad de límites difíciles de traspasar; no tanto en el campo de las
ideas, sino en el terreno de la programación y también en el mundo de la pra-
xis instrumental. Utilizaremos ejemplos de la obra Laberinto de la noche de
Carlos Satué (para saxofones, orquesta de cámara y dispositivo electroacústi-
co) acompañados de imágenes que ilustrarán ciertos procedimientos relativos
al tema que nos ocupa.

Para comenzar tenemos que referirnos otra vez a la idea de trabajar con
cuadrículas mínimas que representarán, de manera virtual, al papel milime-
trado (donde se trabaja la partitura codicada). Este será el espacio (tiem-
po en realidad) donde asentaremos todas nuestras ideas musicales cuanti-
cadas. Nos basaremos en los cuadraditos tomando cada uno de ellos como una
unidad mínima temporal. Si por ejemplo una duración es de 30 la podremos
representar con una línea que atravesará 30 cuadros. Si a dicha duración le
asignamos una altura (como por ejemplo Do4) tendremos una duración de
30 cuadrados cuya altura es Do4. Si le asignamos una dinámica tendremos
todo la anterior más la dinámica. Si se le asigna un color con signicado de
material tendremos... En el milimetrado (así lo llamaremos en referencia al
antiguo papel milimetrado donde se trabajaban las partituras a mano) po-
dremos guardar de forma codicada no sólo toda nuestra partitura, sino un
Música y matemáticas 23

sinfín de borradores que utilizaremos con posterioridad si así lo queremos.

En realidad, el milimetrado virtual no es plano sino multidimensional (in-
formáticamente está elaborado por matrices de muchas dimensiones), y cada
cuadradito contiene muchísima información; es como poseer un sinfín de ma-
pas de cada uno de los parámetros que usamos. Ello nos permitirá realizar
todo tipo de operación con cualquier parámetro, relacionar unas estructuras
con otras, teñirlas de colores diferentes para representar el signicado que
nosotros queramos, algo así como digitalizar la trabazón interna de la obra
en que estemos trabajando. Tras un periodo largo de entrenamiento, el sis-
tema llegará a ser muy rápido y podremos trabajar la música casi como un
objeto plástico.

Cada cuadro es una unidad mínima temporal, pero ¾de qué? Hará falta
relacionarlo con una gura y una velocidad. Pongamos un ejemplo: si tene-

mos una duración de 5 cuadrados y asignamos una gura de semicorchea ( )

a cada uno de ellos, nuestra duración será una negra ligada (sumada) a una

semicorchea en el espacio de dos pulsos (4 + 1, ó ). Si asignamos a cada

cuadrado un valor de semicorchea de cinquillo (pulso/5 o 1/5) nuestra du-
ración será cinco semicorcheas de cinquillo ligadas, o bien una negra la cual
esta vez ocupará el espacio de un pulso. Como vemos el sistema interpretará
lo que está asentado en el milimetrado en función del valor de gura mínima
que otorguemos a cada cuadrado. El camino que se sigue para aplicar estas
mallas numéricas procede como sigue: colocaremos en cada pulso de cada
línea instrumental un número que representará el tipo de guración que se
aplicará a dicha pulsación. Por ejemplo, si al primer compás de 4/4 (el com-
pás es una unidad temporal que contiene un determinado número de pulsos

y está en relación a una velocidad metronómica como por ejemplo = 60,

en cuyo caso cada pulso de dicho compás estaría ocupado por una negra
con valor temporal absoluto de 1 segundo) colocamos 5, 4, 7 y 6, entonces
tendremos que el primer pulso no absorberá el estándar de pulso/4 es decir
cuatro semicorcheas sino pulso/5 lo que será 5 cuadraditos como semicorcheas
de cinquillo (si tomamos la unidad de cuadradito como semicorchea, puesto
que podríamos decidir otra gura, como la fusa, lo que daría lugar a otro re-
sultado), el segundo pulso, 4, como simples semicorcheas, el tercero absorberá
7 semicorcheas de sietecillo y el cuarto 6 semicorcheas de seisillo. Esta red
numérica proyectará un tipo de rítmica tremendamente arrugada, pues un
determinado objeto musical calculado con unidades mínimas globales al ser
asentado en la malla subyacente estará moldeado por la numeración que ésta
contenga. Ciertas zonas se encogerán mientras otras se dilatarán y el sistema
deberá compensarse cada determinado número de pulsos (si así lo deseamos).
Como podemos ver, un mismo objeto puede cambiar su apariencia formal en
24 Un Paseo por la Geometría

base a esta técnica de pensamiento guerreriano.

Si partimos de una demanda de un determinado número de segundos
para un tramo de música y deseamos saber cuántos cuadrados necesitamos,
efectivamente dependerá de la red de números que apliquemos a dicho tramo
(si asignamos 7 a todos los números, la arquitectura musical pasará con
mucha rapidez y el tramo durará menos que si aplicamos 4; esto es una forma
de acelerar internamente la música sin que cambie el pulso del director). Para
conseguir un espacio temporal uniforme de partida y que nos permita aplicar
la red numérica subyacente sin especiales deformaciones, utilizaremos mallas
promediadas en 5.5 unidades por pulso (22 por compás, lo que resulta de
la suma de 4+5+6+7 y que para nosotros representa el patrón habitual de
trabajo). El cociente de 5.5 resultará de dividir 22 unidades/4 pulsos ya
que habitualmente trabajaremos en 4/4. Si cambiásemos esto deberíamos
modicar igualmente el cociente promedio. La imagen que sigue muestra
un par de compases de 4/4 con cuatro líneas instrumentales; las duraciones
vienen en diversos colores (cada color, que por otra parte es un número, es
el código de adscripción a un determinado tipo de material, así objetos o
líneas con igual color comparten origen o son de igual naturaleza) y están
asentadas en este caso inmediatamente por encima de las las de números.
Los espacios en negro están en silencio. Cada pulso tiene asignado un número
en cada línea instrumental. Los cuadrados azules son selecciones que hemos
hecho para modicar manualmente la numeración.

Obsérvese que la distancia de las dura-

ciones que tenemos en la tercera línea
del primer compás pertenecen a un
sietecillo, y son más estrechas que las
de la segunda línea del mismo compás,
que son unidades de cinquillo.

La siguiente imagen muestra lo mismo en una visión menos detallista, abar-

cando más territorio.

El siguiente cuadro muestra la sección segunda del movimiento 4 de Laberin-

to de la noche en la que sobreponemos la visión de instrumentos-duraciones-
Música y matemáticas 25

materiales a la malla de rítmica subyacente.

Aquí mostramos un detalle de la imagen superior con las 5 primeras líneas

instrumentales. Cada línea vertical representa un pulso.

A continuación podemos ver la misma sección sin que la malla aparezca, sin
embargo sí que está actuando. Obsérvense las desigualdades de algunas dura-
ciones con valores de uno pero con diferentes números en la red. Nuevamente
hacemos hincapié en la rugosidad que proyectará la actuación de la malla,
para ello compárese con el cuadro siguiente en donde no actúa.
26 Un Paseo por la Geometría

Habitualmente trabajamos la partitura en código gráco, desactivando la

función de la rítmica subyacente, pues aunque posible, resultará difícil ope-
rar (téngase en cuenta que todo está desajustado cuando la malla actúa;
aunque realmente éste será el resultado nal de la partitura). Hay una fase
en la elaboración del tramo musical en la que debemos aplicarla. El trabajo
resultará muy minucioso, no obstante el sistema informatizado para operar
con la malla cuenta con un buen número de funciones que nos auxiliarán,
tales como automatizaciones para copiar y pegar grandes extensiones de la
red numérica, encapsuladores que son capaces de introducir una amplia zona
de notas en un espacio muy reducido vacío gracias a la sustitución de los
números que allí se encuentran por otros de valor mucho más alto, y todo
ello despreocupándonos del cálculo..., aunque si lo deseamos, podremos tra-
bajar minuciosamente número a número.
Normalmente la elaboración de la malla de rítmica subyacente siempre res-
ponde a consideraciones constructivistas que pueden estar en relación con
planteamientos generales o locales de la pieza. Por ejemplo, podemos imagi-
narnos redes de números en cánones, en simetrías o en otro tipo de relaciones.
La imagen que proyecta la red de rítmica subyacente cuando actúa es lo que
realmente va a suceder, por lo tanto es la visión codicada de la partitura
real como anteriormente hemos apuntado.
En las imágenes que siguen podemos ver un compás del saxofón soprano de

la pieza que es-

tamos tomando
para los ejemplos,
Laberinto de la
noche (en alturas
reales) y debajo la
codicación de la
partitura (4, 5, 6
y 7).

Las dos imágenes que siguen muestran una nota larga de la auta. Obsérvese
que la suma de los 6 cuadraditos del tercer pulso codican como un simple
valor de negra; esto es así porque el sistema tenderá siempre a la simplica-

ción de la escritu-
ra, facilitando así
el trabajo de los
intérpretes.
Música y matemáticas 27

A continuación ofrecemos una página en partitura tradicional relativa a la

sección 2 del cuarto movimiento. Obsérvense los distintos valores que toma
cada pulso y la rugosidad que se produce en el tejido musical.

A continuación mostramos nuevos ejemplos basados en material de Bach,

Beethoven y Berg.
Imagen en la que se pueden apreciar las guías utilizadas para controlar las ma-
llas de rítmica subyacente. En la práctica, cada pulso puede albergar un número
cualquiera entre 4 y 16.
28 Un Paseo por la Geometría

Como muestra la imagen de arriba, los tres motivos han sido copiados para luego
cambiarles los valores en cada uno de los pulsos. En la imagen de abajo se puede
apreciar, ahora ya en grafía tradicional, las diferencias espaciales (y por tanto
también temporales) a las que han dado lugar.

Otros ejemplos grácos a partir de la imagen ya utilizada del conjunto Man-

delbrot
Música y matemáticas 29

Conclusiones y nuevas búsquedas a cerca de este apartado

La utilización de mallas de rítmica subyacente caracteriza fuertemente
esta música, y el trabajo con las mismas todavía nos parece a día de hoy
insustituible. La nuevas búsquedas, como se apuntó anteriormente, tienen
sus dicultades en la complejidad del software más que en el mundo de
las ideas. El camino lógico será adentrarse en niveles mas profundos, tales
como la elaboración de una nueva malla, no para cada pulso, sino para cada
cuadradito del milimetrado. También es posible caminar en el sentido con-
trario y añadir una malla cuyos números sean aplicables a cada compás, o
a sumas de varios pulsos, o a varios cuadrados volviendo nuevamente a los
espacios pequeños. Podríamos seguir creciendo tanto hacia fuera como hacia
dentro.
Deberíamos tener en cuenta, si trabajásemos con varias mallas a la vez, la
interrelación que se produciría entre ellas. Pensemos por ejemplo que si un
pulso tiene un 7 y aplicamos una segunda red a cada uno de los 7 cuadradi-
tos, necesitaríamos 7 números para controlar la malla interior que arrugarían
considerablemente el espacio con objeto de preservar la misma cantidad de
tiempo del pulso (tendríamos rugosidad dentro de la rugosidad). Los niveles
de anidamiento podrán ser innitos. Las rítmicas irracionales que se genera-
rían, chocarían frontalmente con el mundo de los intérpretes dicultándoles
en exceso su trabajo. Por otro lado, más allá de un cierto límite (y este se
alcanza rápidamente), siempre se producirá redondeo en la interpretación y
también en la escucha.

Antes de terminar este apartado nos gustaría hablar de lo que podría

signicar la aplicación de esta técnica de mallas a los espacios verticales o
de las ordenadas (lo que podríamos traducir habitualmente en música como
alturas, a diferencia de lo expuesto hasta el momento en el ámbito de las
abscisas que afectaba a las duraciones). Pensemos por un momento en una
columna de alturas cuyas divisiones irregulares se engrosasen en unos lugares
del registro mientras que adelgazasen en otros y que en la siguiente vertical
(siguiente punto de X) las zonas de tensión y relajación hubiesen cambiado
de lugar: ¾no estaríamos hablando de un espacio armónico arrugado?... Este
nuevo horizonte plantea nuevos retos en un futuro no muy lejano.

Bibliografía
[1] B. Mandelbrot, La geometría fractal de la naturaleza, Tusquets, 1997.
[2] M. de Guzmán, M.Á. Martín, M. Morán, M. Reyes, Estructuras fractales
y sus aplicaciones, Labor, 1993.
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30 Un Paseo por la Geometría

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[5] J. Barrallo, Geometría fractal. Algorítmica y representación, Anaya, 1993.
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tion musicale, Richard-Masse, 1963.
[7] I. Xenakis, Musique. Architecture, Casterman, 1976.
[8] F. Jedrzejewski, Mathematical Theory of Music, Delatour, 2006.
[9] C. Agon, G. Assayag, J. Bresson (ed.), The OM composer's book 1, Ircam-
Centre Pompidou, Delatour, 2006.

Carlos Satué y Carlos Frías

e-mail: carlossatue@gmail.com
http://www.carlossatue.com/

Como complemento a la conferencia de Carlos Satué y Carlos Frías, el saxofo-

nista Josetxo Silguero y el músico electroacústico Borja Ramos interpretaron
fragmentos de la obra Laberinto de la Noche , concierto para 4 saxofones,
gran ensemble y electrónica en vivo del compositor Carlos Satué.

Josetxo Silguero
http://www.josetxosilguero.com

Borja Ramos
http://www.virb.com/borjaramos