NUMEROS NATURALES

INDICADORES DE DESEMPEÑO
1. Aplica las operaciones básicas con números enteros para resolver situaciones problemas.
2. Resuelve ejercicios de potenciación, radicación, logaritmos y ecuaciones en forma eficiente.
3. Favorece con su actitud un ambiente de trabajo adecuado.
4. Asume con responsabilidad el desarrollo y presentación de las guías y actividades propuestas.

NUMEROS ENTEROS Z

Es de notar que con los números naturales no es posible realizar diferencias (restas) donde el minuendo era
menor que el sustraendo.
Sin embargo la necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades
con respecto al nivel del mar, etc.; nos obligan a ampliar el concepto de números naturales,
introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.
Así, el conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el
cero.

Representación gráfica

Los números enteros se dividen en tres partes:

ORDEN DE LOS ENTEROS

Valor absoluto de un Número Entero | x | : Se define como la distancia del mismo número con respecto al 0 en la
recta numérica.
El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo.
Este valor es conocido también como el módulo del número. El valor absoluto de un número x se escribe como
| x | y se lee “módulo o valor absoluto de x”
Ejemplo: |− 5| = 5 y |5| = 5

SUMA DE DOS ENTEROS CON EL MISMO SIGNO

Regla: Sumamos sus valores absolutos (distancia desde el numero hasta cero) y al resultado le ponemos el signo de
los números. Si los dos son positivos, el resultado será positivo. Si los dos sumandos son negativos, el resultado llevará
signo negativo.

Ejemplos:

(+7) + (+2) = +9, porque y como ambos son positivos, el resultado es +9.

(-4) + (- 6) = -10, porque y como ambos son negativos, el resultado es -10.

CUANDO LOS DOS NÚMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO

Regla: Restamos sus valores absolutos, poniendo como minuendo al de mayor valor absoluto y como sustraendo al de
menor valor absoluto. El signo del resultado será el signo del número de mayor valor absoluto. Por ejemplo: 5 + (-7)
→ . En este caso, el signo del número de mayor valor absoluto (-7) es negativo. Por lo tanto, 5 + (-7) = -2.

Caso particular: la suma de un número con su opuesto es igual a 0.

1
Ejemplos:

(+9) + (-4) = +5. De los números +9 y -4, el +9 es el que tiene mayor valor absoluto y por ello es el que aportará
el signo “+” al resultado final. Si ahora hacemos la resta de valores absolutos (el mayor menos el menor)
tenemos: . Por lo tanto, el resultado es +5.

(+2) + (-8) = -6. En este segundo ejemplo es el -8 el número que tiene mayor VALOR ABSOLUTO, por lo que
aportará su signo “–” al resultado. Si ahora hacemos la resta de valores absolutos (el mayor menos el menor)
tenemos: . Por lo tanto, el resultado es -6.

PROPIEDADES.

A. Propiedad clausurativa: Si a Є Z y b Є Z, entonces a + b Є Z.

Lo anterior quiere decir: La suma de dos números enteros es otro número entero.

Ejemplo:

-5 Є Z y -2 Є Z -5 + (-2) = -7 Y -7 Є Z

B. Propiedad conmutativa: Si a Є Z y b Є Z, entonces a + b = b + a.

Ejemplo: -5 + 3= - 2 y 3 + (-5) = -2, luego, -5 + 3 = 3 + (-5).

C. Propiedad asociativa: Si a, b y c Є Z, entonces (a + b) + c = a + (b + c).

Ejemplo: (5 + 3) + (-4) = 8 + (-4) = + 4

5 + [3 + (-4)] = 5 + (-1) = + 4 Luego, (5 + 3) + (-4) = 5 + [3 + (-4)].

D. Propiedad del elemento neutro (modulativa): Si a Є Z, entonces a + 0 = 0+ a = a.

Es decir, el 0 es el elemento neutro (o módulo), en la adición de números enteros.

Ejemplo: -5 + 0 = 0 + (-5) = -5

E. Propiedad uniforme: Si a, b y c Є Z y a = b, entonces a + c = b + c

Ejemplo: Sea -5 + 3 = -2 una igualdad de números enteros, y -4 Є Z, entonces,

(-5 + 3) + (-4) = -5 + (3 + (-4)) = -5 + (-1)=-6 y -2 -+ (-4) =-6.

Luego, si -5 + 3 = -2, entonces (-5 + 3) + (-4) = -2 + (-4)

F. Propiedad cancelativa: Si a, b y c Є Z y a + c = b + c, entonces a = b (propiedad que nos permite

resolver las ecuaciones)
Ejemplo: Hallemos el valor de x entero en 3 + x = -7
Solución:
3 + x + (-3) = -7 + (-3) (propiedad uniforme)
3 + (-3) + x = -11 (propiedad conmutativa y suma de enteros)
0 + x = -11 (propiedad cancelativa)
x = -11 (propiedad modulativa)
MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS

Para multiplicar números enteros, multiplicamos los signos y multiplicamos los números.
Para multiplicar los signos, aplicamos la regla de los signos:
+•+ =+ -•-=+
+•-=- -•+= -
Ejemplos:

a. -2•3 = -6 b. 5•(-1) = -5 c. -4•(-2) = 8

DIVISION DE NUMEROS ENTEROS

Para dividir números enteros, dividimos los signos y dividimos los números.
Para dividir los signos aplicamos la regla de los signos empleada en la multiplicación.
+•+ =+ -•-=+
+•-=- -•+= -

Ejemplos: a. 12 (-4)= -3 b. -14 (-2) = 7

ACTIVITY 1

1. Draw the number line and locate the following integers:

a. –4 b. 7 c. +2 d. 0 e. –9 f. -1

2. Determine the following absolute values:

a. | - 40 | = b. | 18 | = c. | 0 | = d. | + 37 | = e. | - 2 | = g. | - 37 | =

3. Write a set of integers that are more than 10 and less than 23.

4. Write a set of negative integers that are less than - 8 and more or equal than -12

5. Answer based on the image:

a. La gaviota está volando a m el nivel

del mar.
b. El niño está buceando a m el nivel del
mar.
c. El pez está nadando a m

d. El cangrejo se encuentra a m

e. El pelícano vuela a m.

6. Solve the following exercises:

a) -5 - (-8) - (-2) = e) -(-41) + 23 - (-14) - 3 + (-8) =

b) 14 + (-9) - 2 = f) 30 - (12) - (-22) + (+18) =
c) 3 - (-4) + 3 + (-6) - (-1) = g) -45 + (+51) - (-43) + 31 - (+22) -1 =
d) -18 + (+20) + (-17) - 3 = h) 5 - (-6) - 15 + (-21) + (3) - (-8) + 14
i) [(-12) - (-8)] - (+16) = j) [(-14) - (+3)] - (-8) =
k) [(-16) - (-9)]- (-7) = l) [(+18) - (-6)]- (+18) =
m) [(+21) - (-16)]- (-14) = n) [(-32) - (-19)]- (-11) =
7. Solve the next problems:

a. La temperatura en Boston estaba en 18 °c bajo cero en la madrugada. Al medio día había subido 7°c
¿Cuál será la temperatura a medio día?.

b. La imprenta llego a los países de América en diferentes fechas. Al Perú arribo 76 años antes que a
Guatemala y a México, 45 años antes que a Perú. ¿cuántos años antes que a Guatemala llego la
imprenta a México?

8. Determine if it is more, less or equal than between the two expressions given.
a. |8 -12| |8| - |12| d. | - 4 - (-9)| |-4| - |-9|
b. |7 - 5| |7| - |5| e. |-12-(-6)| |-12|-|-6|
c. |12 - 9 | |12 | - |9|

9. Say the properties that fulfill or satisfies the multiplication and division of integers.

10. Solve the following operations.

a) 5x(-12) = b) –5.9 = c) 6.(-7) = d) (-5).(-14)

e) 4.53 = f) 21.(-9) = g) (-24).(-7) = = (-41).7 =
h)
i) 20.74 = j) (-42).9 = k) (-6).(-43) = l) (-8).32 =
m) 32 (-4) = n) (-122) (-2) = ñ) (-27)  3 = o) 42  7 =

11. Hierarchy of operations:

a) 7.(-8)+ 69 (-3)+15= b) 76-[-7+5.(9-14+7)-5]-4.(-3) = c) (-6-43+31).(94-73)-12  (-

d) –9-(24+3.(-6)+7)-21= e) 5-(8+7-5).(-9+32-15)+18 = f)
6)=43-3.(-8)+4-3.2-6.5 =
g) 86  2-75  5+90  15+6.(- h) 5.[7-6.(3-42  7+1)-14]+31 = i) (-3-8+3.4).(7+31-34+11)-4 =

12. Write the prime numbers up to 70

13. Write False or True, depending on the situation.

a. NZ c. NZ


b. ZN d. NZ


14. Check the criteria for divisibility rules by two, three, five, six and seven.

15. Decompose into prime factors the following numbers:

a) 27 b) 81
c) 49 d) 63 e) 100 f)
g) 144 h) 12
i) 32 j) 64 k) 256 121
l)
m) 108 n) 98ñ) o) 34 p) 289 24
q)
48 361
16. Calculate L.C.M. (Least Common Multiple) and g.c.d. (greatest Common Divisor)

a) 27, 81, 63 b) 1023, 11, 121 c) 8, 12, 256 d) 361,19,

e) 45, 9, 27 f) 98, 27, 81 g) 289, 34, 4 h) 4, 38
12, 36
 POTENCIACIÓN

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

ACTIVITY
2
 RADICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS

La radicación se define como la operación inversa de la potenciación, y consiste en que dados dos números,
llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
Ejemplo de un radical en forma de potencia:

Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al
índice me dé por resultado el radicando.

Si el índice es par entonces el radicado tiene que ser positivo y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro
negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.
EJEMPLO:

Si el índice es impar
entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.

PROPIEDADES DE LA RADICACION

ACTIVITY 3
 LOGARITMACIÓN

PROPIEDADES:

ACTIVITY 4

2. CONSULTAR QUE ES UNA ECUACIÓN (CON NÚMEROS ENTEROS) Y DAR TRES

EJEMPLOS RESUELTOS.

“La disciplina supone una lucha fundamental para entenderse a uno mismo y al
mismo tiempo entender lo que uno está estudiando”.