Condensación de Bose-Einstein

Los premios Nobel 2001 en física, Eric A. Cornell y Carl E. Weiman de la Universidad de Colorado (USA) y
Wolfgang Ketterle del Massachusetts Institute of technology (USA), lograron crear un nuevo estado de la
materia -- la condensación de Bose-Einstein -- demostrando así una predicción teórica hecha por Albert
Einstein en 1924. Utilizando técnicas experimentales muy sofisticadas de física atómica, tales como
enfriamiento por láser, atrapamiento de átomos por medio de campos magnéticos y enfriamiento evaporativo,
lograron la temperatura record de 0.000 000 02 grados Kelvin por encima del cero absoluto (-273 ° C), a la
cual dicho fenómeno se manifiesta claramente. En el caso de Cornell y Weiman utilizaron un gas diluido de
átomos de rubidio mientras que Ketterle lo hizo poco tiempo después con átomos de sodio.

Introducción general

La materia que nos rodea está compuesta por átomos que obedecen las leyes de la mecánica cuántica. A
temperaturas normales éstas concuerdan con las nociones clásicas, y un gas se comporta como un conjunto
de pelotas encerradas en una caja que continuamente se chocan unas con otras. A medida que disminuye la
temperatura comienza a manifestarse el carácter cuántico de los átomos el cual puede clasificarse según su
espín: fermiones si tienen espín semientero y bosones si tienen espín entero. Los fermiones son poco
sociables y nunca dos de ellos pueden ocupar el mismo estado cuántico. Por el contrario, los bosones si son
sociables y tienden a favorecer la ocupación múltiple de un mismo estado cuántico. Los átomos de sodio y
rubidio utilizados en estos experimentos pertenecen a esta última familia de partículas.

A temperaturas normales (ambiente, por ejemplo), la diferencia entre ambos tipos de conducta social es
apenas perceptible. Pero a temperaturas suficientemente bajas, tal como lo predijo Einstein, los bosones
tienden a acumularse en el estado cuántico energéticamente más bajo conformando el llamado condensado
de Bose-Einstein.

¿Qué es la condensación de Bose-Einstein?

La condensación de Bose-Einstein es un fenómeno cuántico que se manifiesta a escalas macroscópicas. Este

Un gas ideal de Bose es una colección de N partículas bosónicas no-interactuantes. Siguiendo las leyes de la
mecánica cuántica estas partículas tienen una naturaleza ondulatoria que a ciertas temperaturas puede ser
caracterizada por la longitud de onda de Broglie LB = (h2/2 pi mkBT)1/2, donde m es la masa de la partícula,
T la temperatura del sistema, h la constante de Planck, y kB la constante de Boltzman. A altas temperaturas,
cuando LB es más chica que la distancia entre partículas, las propiedades del gas están dominadas por el
movimiento térmico de las mismas (ver figura) como si fueran partículas localizables.

Pero a medida que la temperatura desciende, LB toma valores grandes comparados con los de las distancias
entre partículas y comienza a emerger el carácter ondulatorio de los átomos. Así, las diferentes ondas de
materia pueden sentirse unas con otras y coordinar su estado produciendo la condensación de Bose-Einstein
(ver figura). Se suele decir que se produce un superátomo ya que todo el sistema queda descripto por una
única función de onda, exactamente como ocurre en un solo átomo. También se puede hablar de materia
coherente como ocurre con la luz coherente en el caso de un láser.

Perspectivas

La condensación de Bose-Einstein se va perfilando como un nuevo campo de la Física donde el control del
comportamiento cuántico de la materia a escala macroscópica abre un inmenso abanico de aplicaciones tales
como el desarrollo de interferometría atómica ultraprecisa, la obtención de relojes atómicos mucho más
estables que los actuales, y el empleo de láseres de átomos para diseñar nanoestructuras con extraordinaria
precisión.

Recientemente el grupo de Colorado ha demostrado que en 85Rb es posible generar fuerzas atómicas
repulsivas y atractivas produciendo la disolución del condensado, lo que permitiría reproducir condiciones
extremas cruciales para comprender algunos procesos físicos que tienen lugar en el interior de las estrellas
enanas, o incluso en la vecindad de los agujeros negros.

Por otro lado ya ha comenzado la carrera por la creación de gases de átomos fermiónicos cuánticamente
degenerados, lo cual requiere también temperaturas ultrabajas. Si bien los fermiones se comportan
completamente distinto a los bosones, parecen constituir una fuente igualmente excitante de la nueva física
que se viene.

Desarrollo teórico de la condensación de Bose-Einstein

Sea un gas de metano degenerado (esto es, alejado de la aproximación clásica de la estadística de Maxwell-Boltzmann y, por
tanto, donde tiene relevancia la distinción entre fermiones ybosones). Consideramos que los únicos grados de
libertad son traslacionales.

El número medio de partículas en un estado cuántico   (o número de ocupación) viene dado por:

 [1]

Donde   siendo   la constante de Boltzmann.

Esta función vale infinito cuando el argumento de la exponencial vale cero y cae rápidamente. Esto es debido a que los
bosones no cumplen el principio de exclusión de Pauli y por tanto puede haber infinidad de ellos en el mismo estado cuántico
individual.

Si el sistema tiene   partículas, entonces debe cumplirse que la suma de todas las partículas que se encuentren en cada
estado cuántico   debe dar el total.

 [2]

Si el sistema es cerrado, la relación [2] nos sirve para definir el potencial químico  .

Supongamos además que el mínimo nivel de energía accesible a una partícula es  . Esto es admisible ya que coincide
con el menor valor de la energía que puede tener un gas de partículas con grados traslacionales de libertad.

Esta imposición obliga a que  . De no ser así, entonces habría estados cuya energía sería menor que el potencial
químico y resultaría que los números medios de ocupación serían una cantidad negativa lo cual no es posible.

Supongamos que la diferencia entre dos niveles consecutivos de energía es tan pequeña que podemos cambiar
el sumatorio por una integral.
Conviene separar el cálculo del número total de partículas en dos partes, una que de cuenta de aquellas cuyo valor de la
energía es el propio del estado fundamental, y otro distinta de cero, estados excitados. De no hacerlo llegaríamos a una
contradicción, como veremos.

El número de partículas cuya energía es distinta de cero viene dada por la siguiente expresión, donde   es la distribución
de probabilidad que nos dice cuantas partículas tienen su energía comprendida entre  .

Se puede demostrar que la distribución de probabilidades viene dada por:

Siendo   el grado de degeneración,   el volumen del sistema,   la constante de Planck,   la masa de los bosones y   la
energía.

De tal manera que,

Haciendo el cambio de variable   se tiene:

Utilizando que:

 para x > 1.

Donde   es la función Gamma de Euler,   es la función zeta de Riemann y que   es la

Se llega a que:

De modo que:

 [3]
Es el número máximo de partículas que el sistema puede tener a una temperatura dada en los estados excitados. Lo
llamaremos  .

Esto nos permite definir la llamada temperatura de Bose, o temperatura crítica, en la cual:  . La función de

Riemman está acotada:  , así:

Siendo una relación de igualdad el caso límite o crítico. Ese caso límite se da a la temperatura crítica 

: 

Si hubiéramos tomado únicamente la expresión [3], tendríamos que:

Lo cual haría que en   no pudiera existir un gas de bosones, lo cual contradice la experiencia. Por eso hemos dividido el
cálculo en dos partes.

Si dividimos la ecuación [3] por la densidad total del sistema obtenemos que:

A temperaturas mucho mayores que  , este cociente es mayor que la unidad. Eso significa que nuestro sistema admite más
bosones en los estados excitados de los que tenemos actualmente.

A temperaturas menores que   el cociente es menor que la unidad. Eso significa que muchas de las partículas constituyentes
de nuestro sistema se han ido al estado fundamental al no poder haber tantas en los estados excitados.

Es el otro sumando, el número de partículas en el estado fundamental. En   se verifica que   de modo
que:

Aquí vemos como cuando  ,  . Es decir, los bosones se agrupan en el estado fundamental.

Este fenómeno se conoce como condensación de Bose-Einstein. La denominación puede inducir a error pues no se trata de
una condensación como un gas normal. Cuando un gas ideal clásico cambia de estado gaseoso a líquido decimos que se
condensa, en ese caso disminuye su volumen (o aumenta su densidad). En el condensado de Bose no hay disminución de
volumen, las partículas se quedan quietas.
Si dibujáramos en el espacio fásico   de posiciones y momentos conjugados, el condensado de un gas corriente estaría
agrupado cerca de   (eje horizontal) mientras que en el condensado de Bose esta agrupación se produce en torno
a   (eje vertical).