Ciro Ma rtfnez Ber1ca roino Caoftulo vm.

0
isrnbuc,ones de M ues:reG Alea tono.
3 31
330

_de 1,5 voltios. Para decidir si acepta o rechaza

Un dlstribuido r mayorista recibe mensualm ente 70.000 pilas
2. 15. Las ca·
. 1as ~e cart6n Que contienen un detefTTllnado articu1o r
. . .
m ide la vida uul de 36 p1las . S1 la media de la muestra es 60 o por un establec1m1ento industrial tienen un peso
las pilas , utiliza la siguiente regla de decision: med10 de .,oo kgs. y una varinnza de 2.500 k s CuaJ P oduc1do tomados aJ azar, '/
i, Cual es la probabilid ad de : probab1l1dad de que 25 paquetes.
mas horas, se acepta la totalidad ; en caso contrario . se rechaza. cargados en un camion de dislribucion del prod get l exc edanes la
la capacidad del camion. de 8.200 kgs?
y una desviac i6n estandar de 3 horas ? u o,
a) aceptar una remesa que tiene una vida util de 59 horas
y una desviaci6 n estandar de 3 horas? .
b) rechazar un cargamen to que tiene una vida util de 60.5 16. S: la desvia ci6n tip ica de las estaturas d .- d .
es _de 5 cent1m~tros,lcuaJ es la probab ilidad de Que
la estatura p romedic de una muestra al ::1n~s 1~0ku".~er en mas de un centimetr o ?
que el promedio de ahorro por cliente en un m es es r e n1nos. d1f1eran
3. El gerente de una cooperatlv a de ahorro y ~ivienda. estima
tipica de $12.296. LCual es la probabilid ad de que al examlnar 36 cu entas. el 17. Si la desv · 1·0 · · · ..
de S52.000 con una desvlar.i6n
promedio de ahorro sea mayor de S63.000? probabilid :d~ e~
mayor en 4 dcicimas?
~~;::,~:~i!
~:"; ~~~ ~~~=n~!se~t=dfS!i~ade~ el q~into semestre ~s de 8
.
declmas, lCUal es la
que a , erenc1a enlre la media muestral y la poblaci6n sea
realizado a sus alumnos proporcio na una califi caci6n
4. Un profesor sabe por experienc ia que el examen final
conforma n 36 alum nos. l Cua I es la probabil idad de
promedio de 68 y una varianza de 441 . Su curso actual lo , 18. Un f b · ·
una media de duraci6n de 700 horas. con varianza de
14 4~o" ~anle d~~om bl~las dice cue su producto tiene
q:ie el rendimien to medio sea menor de 60 ?
oras ._ · , dueno de un taller compro l d4 bombillas de esta marca con la idea de cornprar mas si la
d · .
superior a 680 horas : lQUe probabilld ad hay de que el d ~e,-,'0 d e l
entrenam iento en ventas permite aumenlar las mas t ~,raci6n media d e la mue stra le resultara
5. El gerente de una empresa asegura que su programa de a er no vuelva a hace r r.ompras de esa marca?
desvlaci6 n estandar de 38.600. Si selecciona un
del 10% sobre s200.000 pesos . mensuale s actuales , con una
gerente tenga la raz6n ? al gerente de una empresa Que el promedio du
grupo de 25 vendedore s. lCual es la probabilid ad de Que el 19
· ~ n di ~tribuidor de bolas especiale s para el trabajo, garantiza
urac 6n de las bola~ es de 8, 10 meses. con una des viaci6n
tipica de dos meses y cinco dias. Si se decide la
con un promedio de 58 cajas y desvi ac16n esta ndar
6. Un almacen ofrece cargos de empacado res de mercanc ia ad. que en promedio la duraci6n sea inferior a Ir ~
. colocando le a cada una su marca disti ntiva . SJ ~mpresa a co_m p rar 36 pare s de bolas , lCual es la probabilid
de 16. En cada caja se pueden empacar 5 docenas de camisas mesa~ y qu,nce dfris?
de 16 aspirantes a los cargos y se Jes somete a un dia de prueba . l CUal es la
se toma una muestra aleatoria
probabilid ad de Que empaQUen en:re 50 y 70 cajas en el dia?

ademas de su sueldo basico de $260 000 m ensua

A vendedor es de libros. una distribuido ra Jes asegura QUe
7.
. SI la distnbuido ra emplea a 25 vendedores ,lcual Distrib uci6n muestr al de una propor cion
-~ Jes. obtendran un promedio mensual de $140.000 por comlsion
sea inferior a $137.000 . Se admite Que la com1si6n
es la probabilid ad de QUe el lngre:;o promedio por comlsi6n
por venta de libros tiene una desviaci6n tipica de $6 .2o'O. se emplea la proporc i6n de e>.i tos v n o el
. En el an? li_s is d e una caracteri stica cualitativ a o atributo, ·
de libra . tienen en promedio 1,03 libras. con una numero de ox 1tos c om a en la distribuc i6n binomial .
- 8. E,:i un supermer cado se establece Que los paquetes de care
seleccion ar 28 paquetes (marcado s como de llbra)
desviacio n tipica de 0,05 libras. lC_ual es la probabilid ad de
con un peso promedio superior a 1,02 libras 7 Ante riormente se de fin i6 la pro porc ion de exiles como
: p : Numero de casos favorable s o ex iles
Total de casos posibles
poblaci6n de 800 cuenlas por cobrar. La d esviaci6n
Un auditor toma una muestra de tamafio 49 , de una
~ 9. lCual es la probabilid ad de que la media de la
estandar de la poblaci6n es de $9.380 y la media es $22.600. de exitos (X) nos referirem os al numero de
lgual a $20.600? , Ahora , en vez de expresar la variab!e en lerminos '
muestra sea menor o s por el tamafio de la muestra n.
atnbutos en la mues tra ( a ) y lo dividimo
del 8% de 500 cuentas . La media y la desviaci6 n
10 . Un anal is ta financiero selecciona una muestra aleatorla
: $117.500 y $17.000 respectiva mente . l Cual es la
tipica. de los saldos encontrad os en las 500 cuentas son P =I a; = Numero de exitos
superior a $120.000 ?
probabllld ad de que con dicha mueslra s 1 obtenga una media
1
~I n Tamaiio de la muestra
G El jefe de un departam ento de ventas sabe que en el almacen
$112.000 con una desviaclo n estandar de $5.500 . Sise toma
principal. el,promed io de compra por cliente es de
una muestra de tamafio 36 , l Cual es la p robabi-
SIMBOL OGIA
lidad,
de que la media de la muestra sea superior a $113 .500? la poblaci6 n
a) A :c I. A, Tot31 de elem:nlo s que presenta n la caracteri stica en A=I.A, :NP
b) de que sea superior a $113.200 e inferior a 111 .500 ?
; !I I
~ I
~ pesos en. kgrs .: ~6 . 52, 60 , 4.B 74. 2>,. en la
Cinco estudiante s tienen, respe.cti',amente, los slgulentes Proporci 6n de elemento s que presenta la caracteri stica
a) Calcule la desviacl6 n estandar de la poblaci6n . ~
G..,cv-. \lc\cl qJ~ c~.Jc> c ~ d \c r"(.<..: 1
poblacio n .
poblaclon N = 5 estudiante s: lcuantas muestras pueden
b) · T6mese una muestra aleatorla de tamafio n: 2 de la
ser seleccion adas?
c) Hacer una lista de todas las muestras posibles y encontrar
las medias muestrale s. 0= N-A = 1-P Proporci 6n de elemento s que no presenta la caracterf
stica. P+Q : 1
N
d) Calcular el promedlo de todas las medias muestrale s.
es de 16 mm .. y desviaci6n tiplca de 3,5 mm. SI se a~ = Varianza de la proporci6 n en la poblaci6 n al, =PO
13. Una fabrica produce correas cuyo diametro promedio
ad de que la media muestral sea menor O igual a
, seleccion a una muestra de 36 correas,lc ual es la probabilid
15,3 mm?
·
aP : Desviaci 6n estandar
por heclarea. en un cultivo, es de 70 bultos y la desvia-
14 . Se sabe por experlenc la qua el rendimlen to promedio
de 36 hectareas , lCual es la probabilid ad de que el
cl6n tfplca de 20 bultos. SI se seleccion a una muestra
rendlmien to medlo sea superior a 75 bultos? Error estandar de la proporc1 6n
 Capltulo VIII. D ls:ribuciones de Muestreo Aleato rio. 339

15
--/ - Si 58 toma una muestra aleatoria de 80 articulcs producidos por una m-a~na. sabie~o que el 15% resultan
E1erc1c10s para resolver de fec tuosos , lCUal es la probabilidad de que el 20% o mas de los articulos observados en la muestra sean
delectuosos ? -
(Ver respuestas al final de/ capitulo)
J- 16 - En una elecclon departamental o provincial , el 55% de los elsctores estan a favor det candidate def partido A
me nos lCual es la probabilidad de que , en una muestra de 1 cio e lectores , et resultado no muestre una mayoria a favor
1. Se sabe que el 25% de los estudiantes de un colegio usan anteojos . l Cual es la probabilidad de que 8 0
del candidate?
usen anteojos en una muestra de 36 estudiantes ?
-1, 17 - Se sabe que el 40% de las lamilias. en uno de tos barrios al norte de ta ciudad. tiene aparatos receptores de .
2. Un nuevo tratamiento con rayo laser asegura su eficaci a en el 90% de los casos . S ise se lecciona una muestra
television a color. S i se toma una muestra aleato ria de 50 farn ilias. lCUal es la probabilidad de que haya 25% o
de 40 enfermos , lque probabilidad hay de que se presente una dilerencia mayor del 8 % en cuanto a su
mas familias con dicha clase de receptores?
eficacla?

f ..1 8 . Se tiene una poblacion de 5 profesores de un departamento de matematicas de una faculta d; se sabe ademas .
3. Segun datos anteriores , se sabe oue la efectividad de una vacuna es del 90% . lCual es la probabilidad de que
al vacunar a 64 personas la proporcion sea mayor del 95%? quienes p o seen vehiculo proplo.
a) Determ ine la proporci6n de profesores con vehiculo propio .
4. Se ha demostrado, por reclamos qua se han hecho, que el 20% de las encomiendas llegan averiadas, al b) Seleccione todas las muestras posibles de dos elementos de esta poblacion y calcule ta proporcion de proleso-
utilizar una compafiia de transporte intermunicipal. i,Cual es la probabilidad, al enviar 100 encomiendas , de . res con vehiculo propio.
qua la proporcion sea menor del 25¾?
Prolesor C D E
5. Por datos qua se han obtenido con anterioridad , se sabe que el 70% de las familias que tienen telefono no se
encuentran en las horas de la tarde del dia domingo. Se toma una muestra aleatoria de 36 familias del directo-
- ·---
l _;.... __ .,
----
Vehfculo Propio
- - ----

Si No Si No
rio telefonico y se les llama. lCua.J es la probabilidad de que el 50% o mas esten ausentes?

6. Se sabe que el 7% de los n i/\os que nacen en cierta region, mueren antes de alcanzar un mes de vida. Si du-
19. Se sabe que el 70% de la poblacion economica activa del pa is tiene ingreso mensuaJ menor de S30o!ooo . S ise
rante un cierto periodo de tiempo nacieron 30 ni/\os, i,CUal es la probabilidad de que 6 o mas de ellos mueran
antes de alcanzar el primer mes de vida? toma una muestra de 1.000 personas de tat poblacion. encontrar la probabilidad de que entre 680 y 750 ten gan
ingresos menores de $300.000 . · .• f
7. Se gun reglstros del Departamento de Circulacion y Transite. el 25% de los heridos en accidentes de transito
quedan con alguna incapacidad de por vida. En un mes cualquiera se registran 150 personas que sufrieron f 20 . El gerente de un superme rcado cons id era que de un total de 50 ctientes que realizan compras a mediod i a , 7
lesiones. lCua.J es la probabil:dad de que 42 o mas victimas queden con alguna incapacidad? incluyen leche en su compra ; efectua una muestra de 100 ctientes. i, Cual es la probabilidad de que menos de
12 clientes compren leche a mediodia?
8. 1/3 de los alumnos matriculados en las facultades de publicidad son hombres. Sise extras una muestra aJea-
toria de 150 alumnos matriculados en dichas facultades , i,CUa.l es la probabilidad de que 40 o menos sean de
sexo masculine? ~ 2 1. En cierto proceso de produccion se utiliza el siguiente s istema de control de calidad: se elige una muestra de 36
unidades ; s i el porcentaje de unidades de la muestra no excede el valor de p , se continua el proceso. S i se sabe
9. Se toma una muestra aleatori a de 200 unidades producidas en una hora por una maouina . Se sabe que el que el proceso ocasiona un 10% de unidades defectuosas, en promedlo, determine et valor de p , para que
10% de las unidades producidas son defectuosas. i,Cual es la probabilidad de que 16 o menos resulten delec- exista un 45% de probabilidad de continuar el proceso , cuando la p roporci6n de piezas defectuosas es inferior
tuosas? a p.
10. Se sabe que el 70% de los empleados publicos u~an corbata; i,CUal es la probabilidad de que, al seleccionar
64 empleados. menos del 36% no usen cortiata? 22. El jefe de bodega de una cadena de almacenes , recibe semanalmente 15.000 unidades de un determinado
artfculo. qua debe ser examinado para su aceptaci6n . El tiempo d isponible para esta revision es peque/\o
11 . Si se realiza una investigaclon entre 36 personas , sobre la preferencia en el uso de desodorante en barra yen dado el volumen de articulos , por lo cual se considero necesario la seteccion al azar de 300 articulos, con la
atomizador. i,CUa.l es la probabilidad de que el 82% o mas de las personas entrevistadas prefieran el desodo- recomendaci6n de que si 15 o mas de ellos no estan en buen estado, se devuelve la _mercancia. l Cual es la
rante en barra? Se sabe por experiencia que d icha proporcion es del 74% y 26% . respectivamente . probabilidad de devolver las 15.000 un idades , si sabemos que el 3% de las articulos se consideran en mal
.,. estado?
12. En cierto proceso de producci6n se utiliza la siguiente regla de decision : se elige una muestra al azar de 36
. piezas; sl el porcentaje de piezas defectuosas de la muestra excede de p , se detiene el proceso para localizar
las fallas . Sise sabe que el proceso ocaslona un 10% de piezas defectuosas, en promedio , determine el valor 23 . Se toma una muestra aleatoria de 200 unidades producidas en_una hora por una maquina Se sabe que el 1o
de p , para qua exlsta un 22,5% de probabilidad de detener el proceso, cuando la proporci6n de p iezas defec- % de las unidades producidas son delectuosas. l Cual es la probabilldad de oue en ta muestra tomada . 16 0
tuosas exceda de p . mas articulos, resulten defectuosos?

13. Se sabe que el 65% de los estudiantes de primaria , en una concentraci6n escolar. son nacidos en esa mlsma al mercado. Se asegura que en el 80% de los casos ta droga es eficaz. Si
ciudad . lCua.J es la probabilidad de queen una muestra de 100 estudlantes de esa concentracl6n . cuando 2 4 _ Un laboratorio lanza una nueva droga
en una clfnica se seleccionan 49 paclentes que padecen de la m isma enfermedad, i,Que probabilidad hay de
menos el 68 % sean oriundos de esa ciudad?
que se presente una dilerencia superior al 10%, a lo asegurado por el laboratorio?
·.\ 14. Un fabricante de insecticldas domesticos reclbe cada seman_a lotes de 10.000 valvulas para los tarros rociadores.
Para aceptar O rechazar dlchos lotes , ha establec,do el s,gulente proced1m1ento de muestreo: selecciona al
azar 400 valvulas de cada Iota; si el 20% o mas resultan defectuosas. rechaza el lote . En caso contrarlo lo
acepta. lCual es la probabilldad de rechazar un Iota que contenga el 15% de valvulas delectuosas?
 Ci ro M.irlln o z Oonca rdlno Co oll ulo V III. Dlslrlb uclono o do
Muuo1roo Aloa10, 10 36 1

21. Supon ga qu a una comp ania

d esoa osllm a r la propo rcl6 n do 11) 19) P (EJO¼< o < 75¾)'= 9 1,59 % ;
total do\ ano ante rio r. Supo nga cuon las que lnclu yen ga stos per P 1 o , 0.02 I = 13 , 79 % Z = 1.09 Z =- 1,38
qu e se ha fij a do una conllo nza trabaj o y monto
mues tra se d ebe sel eccio nar. del 95% y un erro r d ol 5% . l Ou
sl una oncu esta prollm lnar de 30 o tamar'\o d e 12) P 1o , 1 l = 22, 5 % R I P = 13, 8 % y Z = 3,4 5
lncluy en g as tos portr abaj o y el cu enlos die come ros ultodo ·12 torje
to tal fu e d o 5540 .000 ,oo . con una tas quo
d esvl ocl 6n trplca do $2 .000.o o ? Z = 0 ,76 20) P ( o <o., 2 1= 28,10 % Z =-0 ,58
28. Se tom6 una encue sta prelim 13) z
1nar d e 100 coleg los de secun darla. P 1 D > 0.60 I = 26, 43 % C 0 , 63 21) P (i, "7 )= 0 ,'15 : p = 9 ,35 %
de un to tal de d.6 80 . d ando las ; Z = - 0 ,13
result ad os : s1gulentes
14) P 1 o ~ 0 .20 1 = 0, 26 % Z = 2, 80
22) P ( ,, o.os i= 2,12 % Z = 2 ,03
0
Tlpo de C anlido d Numo ro do es ludian tes N• d e p roleso res 15) P 1 D > 0 ,20 ) = 1o. 56 % Z = 1.25
23) P ( o>o.oa )= 82.64 %
de Z = - 1,2 1 Z =-0 .94
coleg io 16) P 1 0 s o.•9 1= 11, 3 1 %
c olegio s L,x , -r_ x ~ LYI LY~ LY1X1 24) P (O.? <p <o 1= 91.98 % Z =1. 75
17) P 1 0 ,o.2s 1 = 98, 46 % Z = - 2.16 9 y Z = - 1. 75
Publl cos 54 31 .281 2 9.881 .219 2.024 111 .090 1.729 .349
18) a) P = 0,6 ; b) 0,5
0 : 0, 5 . 0,5 ; 0,5 P = ~ = 0,6
; 1 : 0, 5 10
P rivado s 46 13 .70 7 6.366 .785 1.075 33.119 <131 .041 I
Se quler e det errn,n ar el taman o
de la mues tra d e los cole gios (publi ·1 D iferen clas entre d o s med ias
rnu,es trales
cos y privad os) con una confia nza
y un erro r del 8% , pa ra esttm ar: del 95%
a) El pnom edio de alumn os por 1)
coleg io . b ) La propo rci 6n de coleg los prlvad P _(x - :V >ldOl) = 77,04 % Z = 0 ,74 y Z =-6 ,69
c) La ra z6n profe sores y alumn os .
os. (E = 0 .02 ). 2) a) P ( i<'-Y> 160)= 97,73 %
Nola : En el ultim o cap itulo sobre Z =-2 ; b ) P (:r-v ,2so ) = 0 ,62 % ;
mues treo se plant ean mas probl Z =2,5
emas
8;\¥1-i'\MHf ii+J§l§HBi+i·Gifi ,¥1·@4 -- -- -- -- -- -- -- 3) P ( x - y >0 )= 98,17 % Z = - 2,09
z
Med ia s m uest rales
-- -- , o¼
4) a ) P ( x-y> 0.6) = 65 ,5 ,. 0
O4 ·
=- , ,
b ) P ( -}( _-y __ _ ) =5,48 % ;
- -
06 Z =- 1,6

5) P (x-y , - 2) =6 ,30 % Z=-1 .53

1} P( ; , 75 ) = 0 , 26 % Z =2. 8 12)a) S = 10 , 20 ; b) N" = 25 6 ) P (x-y <o ) = 1.13 ¾ Z = -2.28
2) a) p ( x ,60) = 2 , 27 ~o Z =2 c) x, = 49 ; x2 = 53 : x, =47 , etc d) µ, = µ = 56 7 ) P ( x-y <o )= O,66 % Z=-2 .48
b) P ( ; < 60) = 15, 87 % z=- 1 13) P[ ; = 11, 51 %
< 15.3) Z =- 1. 2 8) P ( x-r >11so1)= 97,56 % Z=-1 .97 Z = 13,79
3) P ( ; , e.:i ooo) = 0 Z = 5, 37 1<1) P l ; ,7s ·) = 6, 68 % Z = 1.5 9) P (x-y >12 1) =0,46 % Z=2,83 y Z=-2 ,83 A (0 ,4 977 )

4) P ( ; < 60 ) = 1. 1 % Z = - 2 , 29 15) P ( ; , ,2a ) = 0. 26 % Z= 2, 8

Z = 2 , 59 16 ) P l ; _" , l•I ) = 4, 54 % Z =- 2 y Z = 2 Dife re nclas e ntre do s prop o rcio

5) P l :;. , 220 coo) = o. 48 % nes_
Z=- 2 y Z = 3 1~_) P ( ; , " , 1•1l = 2. 5 % Z = - 2. 24 y Z = 2, 24
6) p ( SO < ; <>o) = 97, 59 %
18) P ( ; < 6so ) = 2, 27 % Z =- 2
7) P (; < IJ7 000 ) = 0 , 78 % Z = - 2, 42 1) P ( P, -P o ) =8,69 % Z=1.3 6
Z = -1, 66 22
19) P ( ; < , .s ) = 4, 85 % ; a = 2. 17
8) P [ ; > l02 ) = 85, 54 % • Z = -1,06 2) P ( P, -P, 10.03 1) =34.9 0 %
2 Z=0. 43 y Z =-2 ,16
9) P t ; ,s 20 soo ) = 6, 8 1 % . Z =- 1,49 3 ) P( p _p 10.221 )= 5 ,62 %
1 22 Z = 1.91 y Z= - 1,91
10) P ( x > 120 ooo )= 17.62 % · Z=0,93 4) P( P, - P» Io, oi_J= 3,58 %
1 Z=2,10 y Z= - 2.10
11) a) P ( x > t l J.soo )= 5 .0S ¾. Z = 1.64
5) P ( P,- Pz>o )= S,05 % Z=1.6 4
b} P (111 soo > x > 11J.20 0)=38 .63 Z = 1,31
%: Z =- 0,55 ; ) a) p ( P,- P»
6 10 _06 1)= 24,6 % Z =- 1,16 y Z = 1.16
M e d ia s p ro por ci onal e s
b) P(P,- P» -o.osj =1 6,85 % Z =-0,9 6
Z = -0,<1 2 Z= 1.17 y Z=O ; b) P ( P, -P,,
1) P 1 o son l = 33, 72 % 6) P 10 ;, 0.2 i= 0 ,26 % Z=2, 79 7) a) P(p,- P»10 .0J1)= 62 ·1¾ o )=27, 7 6 %; Z = 0 .59

2) p10 \o.oa\ ) = 9 , 10 % Z = 1, 69 y Z = -1, 69 7) p ( P20.2 81=1 9,77% Z = -1, 36 ; b) P ( P,-P, . 3 % )= 63.31

, Z = 0 ,85 %; Z=-0.34
8) P( P, -P» -3¾ )= 8 ,69 %;
3) p (JJ > 0,95 } =9,1 8% Z = 1, 33 8) p ( p S0.271 =5, 9 4% Z=t8 7 y Z=-1 ,8 7
. Z=-1,56
9) P(P,-P,, 10.221)= 6 ,14 %
4) P 1 o < o.2s l = 89,44 % Z = 1,25
9) p ( p ~ OOB 1=17,36 % Z=-0 ,94 Z =3,3 y Z=0,47
10) P(P,- P,.e 100J1j= 3 1.B 7 %
5) p ,
50 l = 99, 5 6 %
Z = - 2 , 62
10 0 10 ) p ( p <0.36 1=85, 31% Z = 1,05