2bgu Mat F2.

Bachillerato General Unificado
MATEMÁTICA
n
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ib
oh
2.º BGU
Pr
TEXTO DEL ESTUDIANTE

2BGU
Matemática
Texto del alumno
PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA
Lenín Moreno Garcés
MINISTRA DE EDUCACIÓN
Monserrat Creamer Guillén
Viceministra de Educación MAYA EDICIONES CÍA. LTDA.

Susana Araujo Fiallos
Viceministro de Gestión Educativa Dirección general
Vinicio Baquero Ordóñez Patricio Bustos Peñaherrera
Edición general
Subsecretaria de Fundamentos Educativos Juan Páez Salcedo
María Fernanda Crespo Cordovez Autoría
Subsecretario de Administración Escolar Guillermo Benalcázar Gómez
Coordinación editorial
Mariano Eduardo López
Soledad Martínez Rojas
Directora Nacional de Currículo Dirección de arte
Graciela Mariana Rivera Bilbao la Vieja Paulina Segovia Larrea
Diseño y diagramación
Director Nacional de Recursos Educativos Equipo de diseño Maya Ediciones
Ángel Gonzalo Núñez López Investigación gráfica
Directora Nacional de Operaciones Flavio Muñoz Mejía
y Logística Investigación TIC
Carmen Guagua Gaspar Fernando Bustos Cabrera
Terminación y acabados
Santiago Carvajal Sulca
Ilustraciones
Archivo editorial y sitios web debidamente referidos
Fotografías
Primera impresión Shutterstock, archivo editorial y sitios web debidamente referidos
Marzo 2020
Nº de derecho de autor QUI-057205
Impreso por: de 13 de septiembre de 2019
ISBN: 978-9978-52-330-8
Este libro fue evaluado por la Universidad SEK, mediante

ACUERDO Nro. MINEDUC-SFE-2017-00063-A, con fecha 18 de
octubre de 2017.
© MAYA EDICIONES CÍA. LTDA., 2020

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por cualquier medio mecánico o electrónico, está permitida siempre y
cuando sea por los editores y se cite correctamente la fuente autorizada.
DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA
ADVERTENCIA
Un objetivo manifiesto del Ministerio de Educación es combatir el sexismo
y la discriminación de género en la sociedad ecuatoriana y promover, a
través del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para
alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no
reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta práctica
preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras,
tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en
lugar de los profesores), etc. Sólo en los casos en que tales expresiones no
existan, se usará la forma masculina como genérica para hacer referencia
tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta práctica
comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Española en su
Diccionario Panhispánico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en español
es posible <referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical
masculino>, y (b) es preferible aplicar <la ley lingüística de la economía
expresiva> para así evitar el abultamiento gráfico y la consiguiente
ilegibilidad que ocurriría en el caso de utilizar expresiones como las y los,
os/as y otras fórmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.
Índice
Unidad 3 Unidad 5
Sucesiones reales Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 168
y distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Definición de sucesión numérica real . . . . . . . 110 Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Sucesiones definidas por recurrencia . . . . . . . 111 Función seno, gráfico y características . . . . . . 170
Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Función coseno, gráfico y características . . . . . . 171
Progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Transformaciones de las gráficas
BC 1
Suma de los n primeros términos de de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 172
BC 1
una progresión aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Funciones tangente y cotangente . . . . . . . . . . 176

Progresiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Funciones secante y cosecante . . . . . . . . . . . . . 180
Suma de los primeros términos de Aplicaciones de las funciones
una progresión geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Aplicación de progresiones en finanzas . . . . . . 123 Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . 184
Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
BC 3
Media, varianza y desviación estándar . . . . . . . 130 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . 185

Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . 134 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . 188
La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . 135 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . 138
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Unidad 6
Composición de funciones reales
y el espacio vectorial R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Unidad 4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Derivadas de funciones polinomiales Tipos de funciones: inyectivas,
de grado ≤ 4 y de funciones racionales . . . 142 sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
BC 1
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Composición de funciones

Cociente incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 y funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Derivada de la función cuadrática . . . . . . . . . . 145 Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Interpretación geométrica del cociente El conjunto R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
incremental y de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Igualdad de elementos de R3 . . . . . . . . . . . . . . . 202
Análisis de funciones polinomiales Sistemas de coordenadas espaciales . . . . . . . . 202
BC 1
de grado ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Operaciones en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

BC 2
Interpretación física de la primera Producto de escalares por elementos

y segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Velocidad media e instantánea, Interpretación geométrica de
aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 las operaciones en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . 160 Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . 214
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . 161 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . 215
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . 164 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . 218
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Solucionario de evaluaciones
sumativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Bibliografía y webgrafía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
BC 1 Bloque Curricular 1: Álgebra y funciones

BC 2 Bloque Curricular 2: Geometría y medida
BC 3 Bloque Curricular 3: Estadística y Probabilidad
Conoce tu libro
Apertura de unidad
Contiene: título de unidad, fotografía motivadora relacio-
nada con los temas que se tratarán, texto introductorio,
preguntas de comprensión y de lectura de imagen, obje-
tivos de unidad.
Contenidos científicos y pedagógicos

Inician con la destreza con criterio de desempeño. Incluyen:
• Saberes previos. Pregunta que relaciona el nuevo cono-
cimiento con las experiencias previas del estudiante: su
experiencia, su entorno.
• Desequilibrio cognitivo. Cuestiona los conocimientos
que posee el estudiante y lo desestabiliza para que re-
construya la información que posee.
Los contenidos se apoyan en fotos, organizadores gráficos,
diagramas, esquemas e ilustraciones.
La estructura de un tema o lección es: 2 páginas de conteni-
dos + 2 páginas para desarrollo de destrezas.
Secciones variables
• Recuerda que… Se hace mención a temas propios de la
matemática; hace referencia a conocimientos anteriores o
prerrequisitos que el estudiante necesita para el tema que
se está desarrollando.
• Conexiones con las TIC. Funciona como herramienta
de investigación para que los estudiantes profundicen
temas o aprendan de manera más ágil.
• Interdisciplinariedad. Vincula la matemática con las
demás ciencias matemática y arte, matemática e historia,
etc.
• Eje transversal. Comprende diferentes temáticas como:
interculturalidad, formación de una ciudadanía democrá-
tica, protección del medioambiente, cuidado de la salud y
los hábitos de recreación de los estudiantes y educación
sexual en los jóvenes.
• Simbología matemática. Sintetiza los símbolos mate-
máticos aprendidos en la lección.
Taller práctico
Dos páginas por tema (en la estructura de 2+2).
El taller ha sido diseñado para desarrollar las destrezas del
currículo. Incluye actividades en las dimensiones concep-
tual, procedimental o calculativa y de modelización. Estas
invitan a la reflexión, comprensión profunda, dominio de
procesos y algoritmos, desarrollo de valores, y aplicación
a la realidad.
Cada pregunta inicia detallando la destreza con criterio
de desempeño. Siempre existe un Trabajo colaborativo
acompañado de un recuadro con Diversidad funcional en
el aula, con recomendaciones para trabajar con estudiantes
con discapacidades.
Solución de problemas cotidianos
Esta sección promueve en los estudiantes la capacidad de
resolver problemas, modelándolos con lenguaje matemáti-
co, resolviéndolos (utilizando el método adecuado) e inter-
pretando su solución en su marco inicial. Aquí se pondrá un
problema tipo, sus algoritmos, los procesos mentales para
resolverlo, y algunas recomendaciones.
Desafíos científicos
Esta sección detalla con información que permite visuali-
zar que los temas tratados en la unidad se relacionan con
algo práctico o utilitario, que se aplica en la vida.
La matemática y las profesiones
Espacio para hablar sobre qué estudios universitarios o
tecnologías se pueden estudiar y cómo es la carrera laboral.
TIC
Guía al estudiante, paso a paso, en la utilización de progra-
mas informáticos o en el uso de calculadoras para graficar
funciones, vectores, realizar simetrías, homotecias, gráficos
de rectas paralelas, perpendiculares, etc.
Desafíos y proyectos matemáticos

Permite reforzar el aprendizaje de la matemática,
a través de su aplicación en la práctica.
Evaluación sumativa
Dos páginas al final de cada unidad con pregun-
tas/actividades en función de los indicadores para
la evaluación del criterio. Incluye Heteroevalua-
ción, Coevaluación, Autoevaluación y una tabla
de Metacognición, que orienta al estudiante a reflexionar
sobre cómo aprende, y a verificar sus logros y debilidades
para retroalimentar su aprendizaje.
Sucesiones reales
y distribuciones discretas
Los girasoles y la matemática
¿
Quién no ha visto un girasol? Si bien es
cierto que estas flores se caracterizan por
su aceite lleno de nutrientes y el modo
en que sus pétalos siguen al Sol, lo más lla-
mativo es el secreto matemático que guardan
sus espirales.
El patrón de las semillas dentro de la cabeza

del girasol sigue la secuencia de Fibonacci: 0,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… Cada número de
la secuencia es la suma de los dos anteriores.
Observa y contesta
• Si es factible, cuenta el número de
pétalos de una flor, de una margarita
o de un girasol. Verás que alguno de
ellos corresponde a algún número de
la serie de Fibonacci.
• ¿Qué número sigue en la serie de Fi-
bonacci?
108
3
Cuadro ventas, (2020). www.deculture.es

unidad
Bloques curriculares
Álgebra y funciones
Estadística y probabilidad
Objetivos
• O.G.M.2. Producir, comunicar y gene-
ralizar información, de manera escrita,
verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica,
mediante la aplicación de conocimien-
tos matemáticos y el manejo organizado,
responsable y honesto de las fuentes de
datos, para así comprender otras discipli-
nas, entender las necesidades y potenciali-
dades de nuestro país, y tomar decisiones
con responsabilidad social.
• O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pen-

samiento crítico, creativo, reflexivo y lógi-
co, la vinculación de los conocimientos
matemáticos con los de otras disciplinas
científicas y los saberes ancestrales, para
así plantear soluciones a problemas de la
realidad y contribuir al desarrollo del en-
torno social, natural y cultural.
• O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la

creatividad a través del uso de herramien-
tas matemáticas al momento de enfrentar
Shutterstock, (2020). 271249412
y solucionar problemas de la realidad na-

cional, demostrando actitudes de orden,
perseverancia y capacidades de investiga-
ción.
Ministerio de Educación, (2016).
109
DCCD: M.5.1.53. Identificar sucesiones numéricas reales, sucesiones monótonas y sucesiones definidas por recurrencia a partir de las fórmulas que las
definen.
Saberes previos
¿Cuál es el conjunto de
Definición de sucesión numérica real
los números naturales?
Definición. Sea 𝐼  N, 𝐼 ≠ Ø. Se llama sucesión numérica real a toda

Desequilibrio cognitivo
función a de I en R.
¿Cómo se expresa el tér-
mino general de una sucesión? Notaciones
Si a es una sucesión, a es la función a(n): 𝐼 → ,
n → a(n).
El conjunto 𝐼 se llama conjunto de índices y n  𝐼 se dice índice de
la sucesión. Para cada n  𝐼, el número real a(n) se llama término
general de la sucesión y se denota como an, es decir que a(n) = an. A
la sucesión real a se la denota (an)n𝐼 o simplemente (an), siempre que
no haya peligro de confusión. Se dirá sucesión (an) o también suce-
Recuerda que… sión real, cuyo término general es an. El conjunto {an   | n  𝐼} es el
recorrido de la sucesión (an). Este conjunto puede ser finito.
Las sucesiones reales
convergentes son una clase de El conjunto {(n, an)  2 | n  𝐼} se llama grafo de la sucesión. Este
funciones cuyo conjunto de conjunto se representa gráficamente en el sistema de coordenadas
salida es un subconjunto de los
rectangulares, y al resultado de esa gráfica se lo denomina gráfica de
números naturales y el conjun-
la sucesión (an).
to de llegada es el conjunto de
los números reales.
Definición. Una sucesión (an)n𝐼 se dice finita si el conjunto I de índi-
ces es finito. En el caso contrario, la sucesión se dice infinita.
No se debe confundir una sucesión finita (𝐼 es finito) con una suce-

Simbología matemática sión que toma un número finito de valores, o sea, que su recorrido
es finito.
: subconjunto
an: sucesión real Consideremos el siguiente ejemplo: (an) la sucesión real definida
N: el conjunto de los números n+1 j+1
como sigue: an = 2 , n  N. Si se escribe aj = 2 , j  N,
naturales n +1 j +1
R: el conjunto de los números ak = k2 + 1 , k  N, ap = p2 + 1 , p  N, todas representan el
reales
k +1 p +1
mismo término general de la sucesión (an) y se han utilizado tres tipos
de índices j, k, p del conjunto de índices N de la sucesión (an).
Definición. Sean 𝐼  N, con 𝐼 ≠ Ø. Diremos que las sucesiones reales

ab Glosario (aj)j𝐼 y (bn)n𝐼 son iguales, y escribimos (aj)j𝐼 = (bn)n𝐼 si y solo si
c aj = bj , ∀j  𝐼.
recurrencia. Propiedad
de aquellas secuencias en las
que cualquier término se puede Ejercicio resuelto
1 +
calcular conociendo los prece- Consideremos la sucesión (an) definida como an = , n  Z .
n
dentes.
El término general de esta sucesión está definido como
1 +
an = , n  Z . Nota que el conjunto en el que está definida
n
+
la sucesión es 𝐼 = Z .
110
A continuación, se indican los primeros cinco términos de la sucesión: y
1, 1 , 1 , 1 , 1 , … . El recorrido de la sucesión es el conjunto 1

2 3 4 5
1 1 1 +
1, , … , , … , al que escribiremos también como |nZ .
2 n n
1
Esta es una sucesión que tiene un número infinito de términos. En la 2
Figura 3.1. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión (an).
1
4
Ejercicio resuelto
Sea (vn) la sucesión definida como vn = (–1)n, n  N. El conjunto de 0 1 2 3 4 5 x
salida es el conjunto de los números naturales. Los primeros cinco
términos de la sucesión son: 1, –1, 1, –1, 1, … . El recorrido de la suce- p Figura 3.1.
sión es el conjunto {(–1)n | n  N } = {–1, 1}. Este es un ejemplo de

sucesión que tiene un número finito de términos.
En la Figura 3.2. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión y

(vn). Nota que cuando n es par, se tiene vn = (–1)n = 1; y cuando n es
impar, resulta vn = (–1)n = –1. 1
Ejercicio resuelto 0 1 2 3 4 x
Considera la sucesión (up), definida como up = p + 1 + (–1)p, p  N.
Para p = 0, se tiene u0 = 2; con p = 1, se tiene u1 = 1. Si p = 2, resulta –1
u2 = 4; para p = 3, se obtiene u3 = 3, y así sucesivamente. El recorrido
de esta sucesión es el conjunto p Figura 3.2.
{p + 1 + (–1)p | p  N} = {2, 1, 4, 3, 6, …, p + 1 + (–1)p, …}.
En la Figura 3.3. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión

y
(up).
6
5
Sucesiones definidas por recurrencia
4
Sea (an) una sucesión real. En muchas situaciones, el término general
de la sucesión (an) se define, por ejemplo, como an = αan–1 + β, donde 3
+ 2
a0  R está fijado, α, β  R constantes y n  Z . En tal caso se dice 1
que la sucesión (an) está definida por recurrencia.
0 1 2 3 4 5 x
Otras formas de sucesiones definidas por recurrencia se indican a p Figura 3.3.
continuación:
β
1. Si an ≠ 0, ∀n  N, an = α + , donde a0 ≠ 0 ha sido fijado
an–1
+
previamente, α, β  R constantes y n  Z .
β +
2. Si an ≠ 0, ∀n  N, an+1 = αan + , donde a0, a1  R dados,
an ab Glosario
α, β  R constantes y n  Z .
+
c
infinito. Valor mayor que
+
3. Si an+1 = αan + βan–1, donde a0, a1  R dados, α, β  R cualquier cantidad asignable.
+
constantes y n  Z .
β +
4. Si an > 0, ∀n  N, an+1 = αan + donde a0, a1  R dados,
an–1
+
α, β  R constantes y n  Z .
111
Ejercicio resuelto
Consideremos la sucesión (am) definida como sigue: a0 = –1 y
+
am = 2am–1 + 1, m  Z . Determinemos, si es posible, el término
general de esta sucesión. Tenemos para m = 1, m = 2, …
a1 = 2a1–1 + 1 = 2a0 + 1 = 2 × (–1) + 1 = –1,
Interdisciplinariedad
a2 = 2a2–1 + 1 = 2a1 + 1 = 2 × (–1) + 1 = –1,
Matemática e historia 
Los números de Fibonacci (pu-
blicados en la obra Liber Abaci, am = 2am–1 + 1 = 2 × (–1) + 1 = –1.
aproximadamente en 1202)
están definidos como Claramente, (am) es una sucesión con término general constante e
+
u0 = 1, u1 = 1, igual a –1, esto es, am = –1 ∀m  Z .
u1 = un–1 + un–2, n = 2, 3, … .
Ejercicio resuelto
Así se obtienen los primeros 1
Leonardo de Pisa, ( 2007) . www.wikimedia.org
doce números:
Consideremos la sucesión (ak), definida como sigue: a0 = y
2
+
u2 = u1 + u0 = 2, ak = 2ak–1 + 1, k  Z . Determinemos, si es posible, el término general
u3 = u2 + u1 = 3,
u4 = u3 + u2 = 5, de esta sucesión. Tenemos:
u5 = u4 + u3 = 8, 1
a1 = 2a0 + 1 = 2 × + 1 = 2,
u6 = 13, 2
u7 = 21, a2 = 2a1 + 1 = 2 × 2 + 1 = 22 + 1 = 5,
u8 = 34, a3 = 2a2 + 1 = 2 × 5 + 1 = 2(22 + 1) + 1 = 23 + 2 + 1 = 11,
u9 = 55,
u10 = 89, a4 = 2a3 + 1 = 2 × 11 + 1 = 2(23 + 2 + 1) + 1 = 24 + 22 + 2 + 1 = 23,
u11 = 144, 
u12 = 233, … . +
ak = 2ak–1 + 1 = 2k + 2k–2 + 2k–3 + … + 1 = 3 × 2k–1 – 1, k  Z con k ≥ 1.
En cursos superiores de geome-
tría, aparecen estos números en Ejercicio resuelto 1
– + 1, si tj–1 ≠ 0,
muchos problemas aplicados. Sea (tj) la sucesión real definida como: t0 = 1 y tj = t j–1
–1, si tj–1 = 0,
+
jZ .
Determinemos el término general de esta sucesión, siempre que sea

posible. Tenemos:
1 1
t1 = – + 1 = – + 1 = 0, t2 = –1,
t0 1
1 1 1 1 1
p Leonardo de Pisa. t3 = – +1=– + 1 = 2, t4 = – + 1 = – + 1 = ,
t2 –1 t3 2 2
1 1 1 1
t5 = – +1=– + 1 = –1, t6 = – + 1 = – + 1 = 2,
t4 1 t5 –1
2

ab Glosario
c 2, si j ≥ 3 es múltiplo de 3,
sucesión. Conjunto 1
ordenado de terminos que tj = , si j es de la forma de 3k + 1, donde k  N.
2
cumplen una ley determinada. 1, si j es de la forma de 3k + 2,
112
Ejercicio resuelto
Dado α  R constante no nula, la sucesión definida
a0  R dado,
como Interdisciplinariedad
an+1 = αan, n = 0, 1, … ,
cinco de sus términos se describen a continuación: El estudio de sucesio-
a1 = αa0, a2 = αa1 = a0α2, a3 = αa2 = a0α3 , a4 = αa3 = a0α4, nes es ampliamente utilizado
an+1 = αan = a0αn+1, n = 0, 1, … . en biología para el análisis de
la reproducción bacteriana,
considerando que una bacteria
Sucesiones monótonas se reproduce por bipartición. En
Definición. Sea (an) una sucesión real. condiciones muy favorables, la
población de algunas bacterias
i) Se dice que (an) es creciente si y solo si an ≤ an+1, ∀n  𝐼. puede llegar a doblarse cada
ii) Se dice que (an) es estrictamente creciente si y solo si an < an+1, ∀n  𝐼. 15 minutos, 4 duplicaciones
iii) Se dice que (an) es decreciente si y solo si an+1 ≤ an, ∀n  𝐼. por hora y 96 diarias. Por ello,
iv) Se dice que (an) es estrictamente decreciente si y solo si an+1 < an, el análisis del comportamiento
∀n  𝐼. de reproducción es importante
v) Se dice que la sucesión (an) es monótona si es creciente o decre- para controlar su expansión.
ciente. Otras aplicaciones se dan en
economía, en distintas ramas
Ejercicio resueltos de la ingeniería, en medicina, en
a) La sucesión (an), cuyo término general está definido como finanzas, etc.
1 +
an = , n  Z , es una sucesión estrictamente decreciente.
n
Shutterstock, (2020). 367715540

+
En efecto, si n  Z , entonces n < n + 1 y, en consecuencia,
1 1
< .
n+1 n
De la definición de (an) se concluye que an+1 ≤ an; o sea, (an) es
estrictamente decreciente.
p Biofilm de bacterias.
1 +
b) La sucesión 1 – es estrictamente creciente, pues si n  Z ,
n
entonces n < n + 1, y se tienen las siguientes equivalencias:
1 1 1 1 1 1
< ⇔– <– ⇔1– <1– ⇔ an < an+1.
n+1 n n n+1 n n+1
Recuerda que si a una desigualdad se la multiplica por –1, la
desigualdad cambia de sentido. Además, si a una desigualdad se
le suma en ambos miembros el mismo número real, la desigual-
dad se conserva.
c) Considera la sucesión (up), definida como up = p + 1 + (–1)p, p  N.

El recorrido de esta sucesión es el conjunto
{p + 1 + (–1)p | p  N} = {2, 1, 4, 3, … , p + 1 + (–1)p, …}.
Esta no es una sucesión creciente ni decreciente; simplemente es
una sucesión real.
d) La sucesión (–n) es estrictamente decreciente, pues

n < n + 1 ⇔ –(n + 1) < –n, ∀n  N.
113
Taller práctico
DCCD: M.5.1.53. Identificar sucesiones 1
numéricas reales, sucesiones monótonas c) ak = (–1 + 3 × (–1)k), k  N.
y sucesiones definidas por recurrencia a
2
partir de las fórmulas que las definen.
1 La sucesión (rn) está definida como
1
+
rn = 2 n , n  Z .
Esta es una sucesión real infinita. El reco-
rrido de esta sucesión es el conjunto de
raíces n-ésimas de 2, esto es,
1
+
2n | n  Z .
3 En cada ítem se define el término gene-
Calcula cuatro términos y el término
ral ak de una sucesión real. Determina el
100 de la sucesión, y usa la calculadora
dominio de esta sucesión, esto es, deter-
para obtener los valores aproximados.
mina el más grande subconjunto no va-
1 cío 𝐼 de N en el que ak esté bien definido
a) r1 = 2 1 = 2. para k  𝐼. Calcula los primeros térmi-
1
b) r2 = 2 2 = ___________________________. nos ak. Escribe el recorrido de la sucesión
1
e indica si es o no sucesión finita.
c) r3 = 2 3 = ___________________________.
1 a) ak = 10 – k , k  N.
d) r4 = 2 4 = ___________________________.
1
e) r100 = 2 100 = _________________________.
2 En cada ítem se define el término general

de una sucesión (ak). Calcula los prime-
ros cinco términos. A continuación, in- b) ak = 25 – 2k , k  N.
dica el recorrido de la sucesión y traza
su representación gráfica.
a) ak = 1 + (–1)k, k  N.
c) ak = – 20 – k k , k  N.
k
b) ak = (–1)k –2(–1) , k  N.
4 En cada ítem se define el término general

de una sucesión real. Calcula los prime-
ros cinco términos. A continuación, in-
dica el recorrido de la sucesión.
114
a) ak =
(–1)k +
,kZ . Trabajo colaborativo
k
Diversidad funcional
en el aula
Si un estudiante tiene alguna discapacidad, es

necesario realizar equipos heterogéneos donde
se los integre y se enriquezca la socialización.
m
b) bm = , m  N.
m2 + 1
Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
7 Los cinco primeros términos de una su-

cesión (un) se precisan a continuación:
m2 + 1 1 1 1 1 1
c) um =
+
, m  Z con m ≥ 2. u1 = – 1, u2 = – , u3 = – ,
m(m – 1) 2 3 2 4 3
1 1 1 1
u4 = – , u5 = – .
5 3 6 4
Prueben que el término general de la su-
cesión (un) está definido como:
1 1 1 +
un = – = , nZ .
n+1 n n(n + 1)
5 Se define la sucesión (vk) como: v0 = 0,
1 +
y v1 = y vk+1 = 2vk – vk–1, k  Z .
2 8 En cada ítem se define el término general
Determina algunos términos de esta ak de una sucesión real. Calculen los pri-
sucesión, y comprueba que el término meros cinco términos. A continuación
general es el que se muestra al final. demuestren que (ak) es estrictamente
1 creciente en el subconjunto 𝐼 de N.
v2 = 2v1 – v0 = 2 × – 0 = 1,
2 a) ak = 1 + k , k  N.
1 3
v3 = 2v2 – v1 = 2 × 1 – = ,
2 2 b) ak = 25 + 2k, k  N.
3 1
v4 = 2v3 – v2 = 2 × – 1 = 2, c) ak = 2 – , k  N.
2 k2
3 5
v5 = 2v4 – v3 = 2 × 2 – = ,
2 2 9 En cada ítem se define el término general

de una sucesión real. Calculen los prime-
El término general de esta sucesión está
ros cinco términos, y luego demuestren
k +
definido como vk = , k  Z con k ≥ 2, que (ak) es estrictamente decreciente en
2
1 el subconjunto 𝐼 de N.
y v0 = 0, v1 = .
2
1 +
a) ak = , kZ .
6 Se define la sucesión (an) como a1 = 2,
5k
a2 = 5, a3 = 8, a4 = 11, y así sucesivamen- b) ak = –2k, k  N.
+
te. Prueba que an+1 = 3 + an, n  Z . 1
c) ak = – k – 2, k  N.
3
115
DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o varios parámetros de una progresión (aritmética o geométrica), conocidos otros parámetros. M.5.1.56.
Resolver ejercicios numéricos y problemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones
numéricas.
Saberes previos
¿Cómo se forma el con-

Progresiones aritméticas
junto de los números pares? Definición. Una sucesión real (un) se llama progresión aritmética si
y solo si existe d  R con d ≠ 0, tal que un+1 = un + d, ∀n  N, con
u0  R dado.
Cada término de la progresión aritmética se obtiene sumando al tér-
¿Cuál es el conjunto
de los diez primeros números mino anterior la constante d.
múltiplos de 11, comenzando
en 66? u1 = u0 + d, u2 = u1 + d = u0 + 2d,
u3 = u2 + d = u0 + 2d + d = u0 + 3d,

uk = uk–1 + d = u0 + (k – 1)d + d = u0 + kd, k = 1, 2…
Así, el término general un de una progresión aritmética (un) está defi-

nido como un = u0 + nd, n  N. Además, el recorrido de la progresión
Recuerda que… aritmética (un) es el conjunto {u0 + nd | n  N}.
Si u0   está fijado y si Ejercicio resuelto

d = 0, entonces: Sea (un) la sucesión definida como un = 3 + 4n, n  N.
un+1 = un + d, ∀n  N ⇔ Tenemos u0 = 3. Por un lado, u1 = 3 + 4 × 1 = 7, y por otro,
un = u0, ∀n  N. u1 = u0 + d = 3 + d = 7. Luego, d = 4. Resulta
u2 = u1 + d = 7 + 4 = 11, u3 = u2 + d = 11 + 4 = 15, así sucesivamente.
Es decir, se trata de una suce-
sión constante que no tiene
El recorrido de esta sucesión está definido como el conjunto
mayor interés.
{3 + 4n | n  N} = {3, 7, 11, 15, … 3 + 4n, …}.
Otra forma de obtener d es la siguiente:

de la definición del término general de la sucesión un, se tiene
un+1 = un + d ⇔ 3 + 4(n + 1) = 3 + 4n + d ⇔ d = 4.
Y, por lo tanto, un+1 = un + 4, n  N.

Se tiene un+1 – un = 4 > 0, ∀n  N que muestra que (un) es una suce-
sión estrictamente creciente.
Ejercicio resuelto
Los cuatro primeros términos de una progresión aritmética son: 15; 12,5;
ab Glosario 10; 7,5. Determinemos el término general de la progresión aritmética.
c
progresión. Sucesión de Ponemos u0 = 15, u1 = 12,5.
números o términos algebraicos Luego, u1 = u0 + d ⇔ 12,5 = 15 + d ⇔ d = –2,5.
entre los cuales hay una ley de
u2 = u1 + d = 12,5 – 2,5 = 10,
formación constante.
u3 = u2 + d = 10 – 2,5 = 7,5,

un+1 = un + d = u0 + (n + 1)d = 15 – 2,5(n + 1), n  N.
Como un+1 – un = –2,5 < 0, ∀n  N, se sigue que (un) es una sucesión

estrictamente decreciente.
El recorrido de esta sucesión es el conjunto {15 – 2,5n | n  N}.
116
Suma de los n primeros términos de una progresión
aritmética
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es,
Sn = u0 + u1 + … + un–2 + un–1 , n = 1, 2, …
Recuerda que…
Observemos los siguientes resultados: Definición. Sean
u0 + un–1 = u0 + u0 + (n – 1)d = 2u0 + (n – 1)d, 1
a, b   no nulos y c = (a + b).
u1 + un–2 = u0 + d + u0 + (n – 2)d = 2u0 + (n – 1)d, 2
Se dice que c es media aritméti-
 ca de a y b.
un–1 + u0 = u0 + (n – 1)d + u0 = 2u0 + (n – 1)d,
Sea (un) una progresión
y de manera general, para 0 ≤ k ≤ n – 1 se tiene aritmética. De la definición de
un–1–k + uk = u0 + (n – 1 – k)d + u0 + kd = 2u0 + (n – 1)d. progresión aritmética, existe
d ≠ 0 tal que un+1 = un + d,
Luego, de la definición de Sn y de los resultados precedentes, tenemos un = un–1 + d, n = 1, 2, …, de
donde d = un+1 – un
2Sn = 2(u0 + u1 + … + un–2 + un–1) y d = un – un–1, con lo cual
= (u0 + u1 + … + un–2 + un–1) + (u0 + u1 + … + un–2 + un–1) un+1 – un = un – un–1 ⇔
= (u0 + un–1) + (u1 + un–2) + … + (un–1+ u0) 1
un = u +u .
2 n–1 n+1
= 2u0 + (n – 1)d + 2u0 + (n – 1)d + … + 2u0 + (n – 1)d
Por lo tanto, cualquier término
= n[2u0 + (n – 1)d], de donde de la progresión aritmética,
1 exceptuando el primero, es
Sn = n(2u0 + (n – 1)d).
2 media aritmética de dos de sus
términos contiguos.
Por otro lado, un–1 = u0 + (n – 1)d, entonces,
2u0 + (n – 1)d = u0 + u0 + (n – 1)d = u0 + un. Luego,
1 1 u +u
Sn = n(2u0 + (n – 1)d) = n(u0 + un–1) = n 0 n–1 .
2 2 2
Es decir que la suma de los n primeros términos u0, u1, …, un–1 de la
ab Glosario
progresión aritmética (un) es igual a n veces la media aritmética de u0 c
y un–1. consistencia. Duración,
estabilidad, solidez.
Particularmente, si d = 1 y u0 = 0, se tiene
1
Sn = 1 + 2 + … + n = n(n + 1), ∀n  N, fórmula que se conoce
2
como suma de los n primeros números naturales.
Ejercicio resuelto
Halla la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética
siguiente: 20, 17, 14, … .
Ponemos a0 = 20, a1 = 17, entonces, a1 = a0 + d, con lo que

d = a1 – a0 = 17 – 20 = –3.
Luego, para n = 10 se tiene

S10 = n (2u0 + (n – 1)d) = 10 (2 × 20 + 9 ×(–3)) = 65.
2 2
La suma de los 10 primeros términos es 65.
117
Taller práctico
DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o a) E = {2m – 1 | m  N}, S20 = 400.
varios parámetros de una progresión (aritméti-
ca o geométrica), conocidos otros parámetros.
M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y pro-
blemas con la aplicación de las progresiones
aritméticas, geométricas y sumas parciales fi-
nitas de sucesiones numéricas.
1 En cada ítem se dan los tres primeros
términos de una progresión aritmética b) E = {4m + 3 | m  N}, S11 = 297.
(am). Halla el término general de dicha
progresión, verifica su resultado con el
tercer término, y calcula el término am
que se indica.
a) 1, 5, 9, … , a10 =
c) E = {80 – 3m | m  N}, S54 = –135.
b) –20, –15, –10, … , a15 =
3 Completa el proceso.
En una progresión aritmética (vn) con los
términos v3 = –5 y v9 = 5, ¿cuántos tér-
minos se deben considerar para que su
c) 1 – 2 , 1, 1 + 2 , … , a8 = suma sea S = 0?
a) Si (vn) es una progresión aritmética, existen

v0, d  N, tal que vn = v0 + nd, n  N.
Particularmente, v3 = v0 + 3d = –5 y
v9 = v0 + 9d = 5. Si tenemos el sistema de
1 3 v0 + 3d = –5,
d) , 1, , … , a20 = ecuaciones
2 2 v0 + 9d = 5,
¿cuál es la solución del sistema?
2 Sean (um) una progresión aritmética y S = vk + vk+1 + … + vk+m con k, m  N y m ≥1.

1
E = {um | m  N} el recorrido de dicha Puesto que S = (m + 1) u0 + d(2k + m) ,
2
progresión. Verifica la suma Sm de los se sigue que
primeros términos que se indican. 5
0 = (m + 1) –10 + (2k + m) ⇔
6
5
–10 + (2k + m) = 0 ⇔ 2k + m = 12,
6
118
es decir que k y m están relacionados por la Trabajo colaborativo
ecuación 2k + m = 12. Luego,
m = 12 – 2k k  N. Diversidad funcional
Como m ≥ 1, entonces: en el aula
12 – 2k ≥ 1 ⇔ ____________________________ ,
A las personas con alguna necesidad especial
con lo que si 0 ≤ k < 6, m = 12 – 2k.
es importante asignarles roles dentro del aula
Por ejemplo: como por ejemplo entregar hojas de trabajo o
si k = 0, se tienen que considerar 12 términos. llevar el registro de asistencia.
Si k = 1, se deben sumar m = 12 – 2 = 10
términos;
si k = 5, entonces m = 2. Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
4 Completa el proceso. 5 De una progresión aritmética (vm) se co-

Una progresión aritmética (am) es tal que nocen el primer término v0 y su suma Sn.
la suma de los primeros 5 términos es 10,
Determinen el término general vm y
y la de los 10 primeros términos es 40. De-
comprueben su resultado sumando los
termina el término general am, m  N.
n primeros términos.
Nota que am = a0 + md m = 0, 1, …,
está bien definido si se conocen a0 y d. a) v0 = –80, S10 = –575.
Sea (am) tal sucesión.
b) v0 = 1 200, S8 = 9 376.
a) La suma de los n primeros términos está c) v0 = 0,25; S11 = 8,7.
dada como d) v0 = 1,52; S9 = 62,28.
1 +
Sn = n(2a0 + (n – 1) d), n  Z . e) v0 = –2,3; S7 = –68,6.
2
Entonces, para n = 5 y n = 10 se tiene f) v0 = –15; S11 = –341.
S5 = 10, S10 = 40; luego,
1 6 De una progresión aritmética (bm) se co-
10 = × 5(2a0 + 4d) ⇔
2 nocen dos términos br y bq que se indi-
_______________________________________________ can con r < q. Hallen el término general
1 y escriban los términos comprendidos
40 = × 10(2a0 + 9d) ⇔
2 entre br y bq.
_______________________________________________
Se formó, así, el siguiente sistema de ecua- a) b5 = – 19 , b10 = – 17 .

12 6
ciones lineales
b) b4 = 5,284, b15 = 17,615.
a0 + 2d = 2,
2a0 + 9d = 8, c) b10 = 38,82, b15 = 32,57.
donde a0 y d son las incógnitas.
d) b7 = 201,4; b12 = 177,4.
¿Cuál es la solución del sistema?
7 Hallen los resultados que se indican:

1 7 19
a) – – –…– =
3 12 12
b) 0,8 + 1,921 + … + 143,615 =
c) 51,32 + 50,07 + … + 38,82 =
119
DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o varios parámetros de una progresión (aritmética o geométrica) conocidos otros parámetros. M.5.1.56.
Resolver ejercicios numéricos y problemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones
numéricas. M.5.1.55. Aplicar los conocimientos sobre progresiones aritméticas, progresiones geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones
numéricas para resolver aplicaciones, en general y de manera especial en el ámbito financiero, de las sucesiones numéricas M.5.1.57. Reconocer las
aplicaciones de las sucesiones numéricas reales en el ámbito financiero y resolver problemas, juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del
contexto del problema. M.5.1.58. Emplear progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas en el planteamiento
y resolución de problemas de diferentes ámbitos.
Saberes previos
¿Cómo se forma una

Progresiones geométricas
progresión aritmética?
Definición. Una sucesión real (un) se llama progresión geométrica
si y solo si existe d  R con d ≠ 0, tal que un+1 = dun, ∀n  N, con
Desequilibrio cognitivo u0  R dado.
¿Qué es una progresión De acuerdo con la definición de progresión geométrica, cada término
geométrica? se obtiene multiplicándole al término anterior la constante d. Los k
primeros términos se indican a continuación:
u1 = du0, u2 = du1 = d(du0) = u0d2,

u3 = du2 = d(u0d2) = u0d3, u4 = du3 = d(u0d3) = u0d4,

uk = duk–1 = d(u0dk–1) = u0dk, k = 1, 2,…

Así, el término general un de una progresión geométrica (un) está de-
finido como un = u0dn, n  N. Además, el recorrido de la progresión
Recuerda que… geométrica (un) es el conjunto {u0 dk | k  N}.
Si u0   está fijado y si Ejercicio resuelto

d = 1, entonces
Sea (un) la sucesión definida como un = 3 × 4–n, n  N. De la defini-
un+1 = dun = u0, ∀n  N. ción de progresión geométrica, determinemos u0 y d. Tenemos u0 = 3;
Es decir, se trata de una suce- 3 3
por un lado, u1 = 3 × 4–1 = , y por otro, u1 = du0 = 3d = .
sión constante que no tiene 4 4
1
mayor interés. Luego, d = .
4
1 3 3 1 3 3
Resulta u2 = du1 = × = 2 , u3 = du2 = × 2 = 3 .
4 4 4 4 4 4
El recorrido de esta sucesión está definido como el conjunto
3 3 3 3
| n  N = 3, , 2 , 3 , … .
4n 4 4 4
3 1
Se tiene un+1 – un = n – 1 < 0, ∀n  N que muestra
4 4
que (un) es una sucesión estrictamente decreciente.
Ejercicio resuelto
Los 4 primeros términos de una progresión geométrica son: 3, 6, 12,
24. Determinemos el término general de la progresión geométrica.
Ponemos u0 = 3, u1 = 6. Luego,
u1 = u0d ⇔ 6 = 3d ⇔ d = 2. Por lo tanto,

u2 = u1d = 6 × 2 = 12,

un+1 = und = u0dn+1 = 3 × 2n+1, n  N.
Como un+1 – un = 3 × 2n+1 – 3 × 2n = 3 × 2n > 0, ∀n  N, se sigue

que (un) es una sucesión estrictamente creciente. El recorrido de esta
sucesión es el conjunto {3 × 2n | n  N}.
120
Suma de los primeros términos de una progresión geométrica
Sean a, d  R no nulos y n  N, la progresión geométrica (un) defi-
nida como un = adn, ∀n  N. Consideramos la suma de los primeros
n + 1 términos de esta progresión:
Sn = u0 + u1 + … + un
n
= a + ad + ad2 + … + adn–1 + adn = a ∑ dk. Conexiones con las TIC
k=0
Para reforzar el tema de
Si multiplicamos a Sn por d, tenemos
sucesiones y, en forma particu-
dSn = ad + ad2 + ad3 + … + adn + adn+1. lar, de las progresiones geomé-
tricas, puedes mirar el siguiente
Luego, dSn – Sn = adn+1 – a = a(dn+1 – 1), o lo que es lo mismo, video:
(d – 1)Sn = a(dn+1 – 1). bit.ly/2PENMfu
Si d = 1, entonces (un) es la sucesión constante a, en cuyo caso

Sn = (n + 1)a. Si d ≠ 1, entonces
n
dn+1 – 1 1 – dn+1
Sn = a ∑ dk = a =a .
k=0 d–1 1–d
Particularmente, si a = 1, obtenemos
n
∑ d = dd ––11 , si d ≠ 1.
n+1
Sn = 1 + d + d2 + … + dn = j
j=0
Ejercicios resueltos
1. De una progresión geométrica (gn) se conocen los términos
9 243
g2 = , y g5 = .
8 64
Obtén el término general de esta progresión, así como la suma de
los n primeros términos.
Se ha visto que el término general de una progresión geométrica

(gn) está definido como gn = adn, n  N. Con la información dada,
obtenemos las constantes a y d. Tenemos el siguiente par de ecua-
ciones:
9 243
g2 = = ad2, g5 = = ad5.
8 64
9
De la primera ecuación se obtiene a = 2 , y se reemplaza en
8d
243 9 9
la segunda ecuación, = 2 d5 = d3,
64 8d 8
27 3
de donde d = 3
, y en consecuencia, d = . Calculamos a:
8 2
a = 92 = 9 =1.
8d 3 2 2
8
2
Así, el término general de la progresión geométrica está dado
n
1 3
como gn = , … n  N.
2 2
Nota que esta sucesión es estrictamente creciente.
121
Calculamos la suma de los n primeros términos:
Sn = g0 + g1 + … + gn–1
n
3
0 1 –1n–1 n
1 3 1 3 1 3 1 2 3
= + +…+ = = – 1, n  N.
2 2 2 2 2 2 2 3 2
–1
2
Interdisciplinariedad 2. Considera la fracción periódica u = 3,525252… . Se trata de
a +
determinar un número racional r = con a, b  Z , tal que
Muchas veces nos b
hemos preguntado “¿para r = 0,525252… . En primer lugar, al número r = 0,525252… lo expre-
qué me va a servir tal o cual samos como
tema que aprendo en el aula?”. 52 52 52 52 1 1
Analizando las cosas de forma
r = 0,525252 … = 2 + 4 + 6 + … = 2 1 + 2 + 4 + … .
10 10 10 10 10 10
diferente, podremos entender
que, por ejemplo, la matemáti- 1 1 100 1
Ponemos d = . Se define: S = = = .
ca nos sirve para lo más simple 102 1–d 1 99
1– 2
(saber cuánto dinero tenemos 10
+
en el bolsillo) y también para Para n  Z , la suma de los n + 1 primeros términos de la progresión
lo más complejo (determinar geométrica de constante d está dada como:
el número de bacterias que se
reproducen en un laboratorio). dn+1 – 1 1 dn+1
Sn = 1 + d + d2 + … dn = = – .
De forma particular, las progre- d–1 1–d 1–d
siones geométricas nos permi-
n+1
ten determinar los intereses de 1 1
Entonces, dn+1 = = .
nuestros ahorros, o el beneficio 102 102(n+1)
o utilidad de un capital inicial
puesto a una tasa de interés 1
La sucesión es positiva, estrictamente decreciente.
durante un tiempo. He ahí la 102n
importancia de la matemática. 1
Para n suficientemente grande, es positivo y tiende o se
102(n+1)
1
Shutterstock, (2020). 142344334
aproxima cada vez a 0, lo que se escribe 2(n+1) n→→∞ 0.

10
Luego, para n suficientemente grande
n+1
1
dn+1 102 1
= = → 0,
1–d 1 99×102n n→∞
1– 2
p Cajero de banco. 10
1 dn+1
y en consecuencia, Sn = – → S,
1 – d 1 – d n→∞
1
siendo S = 1 + d + d2 + … + dn + … = .
1–d
52 1 1 52 100 52
Así, r = 2 1 + 2 + 4 + … = 2 × =
10 10 10 10 99 99
es el número racional buscado. Por lo tanto,
52 349
u = 3,525252… = 3 + 0,525252… = 3 + = .
99 99
Para verificar este resultado, basta dividir 349 para 99.
122
Aplicación de progresiones en finanzas
Valor futuro
Dispongo de $ 100 que deposito en una cuenta de una entidad finan- Interdisciplinariedad
ciera. Esta entidad paga el 5,2 % de interés cada año.
Matemática y finanzas
¿Cuánto tengo al final del primero, segundo, …, n-ésimo período? El En la actualidad, cada dólar
período puede ser anual, semestral, quinquenal, etc. del que se dispone es más que
un dólar. Efectivamente, si se
Notaciones: VP designa el valor presente o capital; VP = $ 100, la tasa dispone de una cantidad de
de interés anual que paga la entidad financiera r es r = 5,2 % = 0,052; dinero, esta se puede invertir,
ganar interés y, así, es posible
el interés que se gana durante el año es Int. Para este ejemplo,
obtener una cantidad mayor de
Int = VP × r = 100 × 0,052 = 0,52. dinero en el futuro. La cantidad
de dinero de la que se dispone
El número de períodos se designa con n; el valor futuro al final de n actualmente se conoce como
períodos es VFn. En este ejemplo, en el primer año, n = 1, se tiene ‘valor presente’, y se nota VP.
El proceso de convertir valores
VF1 = VP + Int = VP + Vp×r = VP(1 + r).
actuales en valores futuros se
Con r = 0,052, VP = 100, se obtiene VF1 = 105,2. conoce como ‘valor futuro’,
y se nota VF. Al proceso de
determinar el valor de un flujo
Interesa calcular el valor futuro VFn al cabo de n períodos.
de caja o de sucesiones de flujo
Se comienza el segundo año con la cantidad de $ 105,2, gana interés de caja, algunas veces en el
de r = 5,2 % = 0,052. Al final del segundo año, se tiene futuro, cuando se aplica interés
VF2 = VF1 + Int = VF1 + VF1 × r = VF1(1 + r) = VP (1 + r)2. compuesto, se lo conoce como
‘composición’.
Así,
VF2 = 100(1 + 0,052)2 = 100 × 1,106 704 = 110,670 4.
Razonando del mismo modo que el precedente, al final del tercer año
se tiene
Shutterstock, (2020). 381867490

VF3 = VF2 + Int = VF2 + VF2×r = VF2(1 + r) = VP(1 + r)3.
VF3 = 100(1 + 0,052)3 = 100 × 1,164 252 608 = 116,425 260 8.
Por su parte, en el cuarto año se obtiene

VF4 = VF3 + Int = VF3 + VF3×r = VF3(1 + r) = VP(1 + r)4. p Dinero en efectivo.
VF4 = 100(1 + 0,052)4 = 100 × 1,124 793 744 = 122,479 344.
De manera general, para n períodos se obtiene el siguiente resultado:

VFn = VFn–1 + Int = VFn–1(1 + r) = VP(1 + r)n, n = 0, 1, 2, … .
Nota que esta fórmula define una progresión geométrica de valor

constante VP razón 1 + r. Además, en esta fórmula se tienen cuatro
variables: n, r, VP, VFn. Para calcular una de estas, se debe disponer de
tres datos restantes. Por ejemplo, si se conocen r, n, VFn, entonces de
la fórmula anterior se obtiene:
VP = VFN n ,
(1 + r)
que en el medio financiero se conoce como ‘descuento’. Por ejemplo,
122,48 122,48
VP = = = 100,000 510 8 ≈ 100.
(1,052) 4
1,224 783 744
123
Taller práctico
DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o va- b) an = 2n, ∀n  N, (estrictamente creciente).
rios parámetros de una progresión (aritmética o
geométrica) conocidos otros parámetros.
M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y pro-
blemas con la aplicación de las progresiones
aritméticas, geométricas y sumas parciales fini-
tas de sucesiones numéricas.
1 En cada ítem se define una progresión
geométrica (pn). Escribe la razón d de la pro- n
1 3
gresión, y calcula los primeros 5 términos. c) an = , ∀n  N, (estrictamente
2 2
creciente).
a) pn = 5–n, ∀n  N.
n
1
b) pn = 2n, ∀n  N. d) an = 5 – , ∀n  N, (ni creciente
2
ni decreciente).
n
1 3
c) pn = , ∀n  N.
2 2
términos de una progresión geométrica
(am). Halla el término general de dicha
progresión, verifica su resultado con el
1
n
quinto término, y calcula el término am
d) pn = 5 – , ∀n  N. que se indica.
2
a) 3, 6, 12, …, a4 = 48, a10 =

geométrica (an). Escribe la razón d de la
progresión, y prueba la afirmación que 2 4 16
se indica. b) 1, , , …, a4 = , a =
3 9 81 8
a) an = 5–n, ∀n  N, (estrictamente decreciente).
124
c) 2 , – 2, 2 2 , …, a4 = 4 2 , …, a11 = Trabajo colaborativo
en el aula
Al trabajar en equipo con niños y jóvenes con ne-

cesidades educativas especiales es bueno utilizar
música para crear un ambiente tranquilo y relajado.
1
d) 3, 3 , 1, …, a4 = , …, a12 =
3
5 Consideren las progresiones geométri-

cas cuyos términos generales son
n n n
2 3 4
an = ,b = ,c = , ∀n  N.
3 n 4 n 5
Se define Vn = an + bn + cn, ∀n  N.
geométrica (bn). Prueba que la suma de a) Obtengan los 5 primeros términos de la
los n + 1 primeros términos es la que se sucesión (Vn).
indica.
b) Calculen la suma de los 5 primeros térmi-
5 nos de las progresiones geométricas
a) bn = 5–n, Sn = (1 – 5–n–1), ∀n  N.
4 (an)., (bn)., (cn).,
c) Calculen la suma de los 5 primeros térmi-

nos de la sucesión (Vn).
6 Consideren la fracción periódica

n n+1
0,213 213 213… . Determinen un número
1 3 3 a
b) bn = , Sn = – 1, ∀n  N. +
racional r = , con a, b  Z ,
2 2 2 b
tal que r = a = 0,213213213… .
b
7 En cada ítem se da una fracción periódi-

ca. Mediante la aplicación de progresio-
n
3
n+1
nes geométricas, prueben que el resulta-
c) bn = 5 – 3 , Sn = 2 (–1)n + 1 , ∀n  N. do es el indicado.
2 2
5
a) u = = 1,666 666…
3
1
b) u = = 0,142 857 142 857…
7
1
c) u = = 0,111 1…
9
125
DCCD: M.5.3.14. Reconocer variables aleatorias discretas, cuyo recorrido es un conjunto discreto, en ejemplos numéricos y experimentos, y la
distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta como una función real a partir del cálculo de probabilidades acumuladas definidas
bajo ciertas condiciones dadas.
M.5.3.16. Resolver y plantear problemas que involucren el trabajo con probabilidades y variables aleatorias discretas.
Saberes previos
¿Qué aspectos de tu
Variables aleatorias
entorno puedes contar?
Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde a un
resultado de un experimento aleatorio.
Definición. Se le llama variable aleatoria a cualquier función defini-
¿Qué es para ti una
variable aleatoria? da en un espacio muestral Ω con recorrido en un subconjunto finito
o infinito de .
Ω→
Tenemos, entonces, la función X:
w → X(w)'
donde w es un evento y X es una variable aleatoria.
ab Glosario Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire tenemos dos eventos: que
c salga cara (C) o que salga sello (S). La variable aleatoria X se puede
aleatorio. Perteneciente definir de la siguiente manera:
o relativo al juego de azar.
subconjunto. Conjunto de ele- X(w) = 1 si “sale cara”; X(w) = 0 si “sale sello”.
mentos que pertenecen a otro
conjunto. Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas. En este
texto centraremos nuestro estudio en las primeras.
Variable aleatoria discreta

Definición. Una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede
tomar valores dentro de un conjunto finito o infinito numerable.
Recuerda que…
Función de probabilidad
Se utilizan letras ma- Sea X la variable aleatoria discreta que toma los valores x1, x2 ,… xn, se
yúsculas (X, Y, …) para desig- define la función de probabilidad X como:
nar variables aleatorias, y las
respectivas minúsculas (x, y, …) p(X = xi) = pi ; i ≥ 1.
para designar valores concretos
de estas. Una vez que se han determinado las probabilidades asociadas a cada
uno de los valores de una variable aleatoria discreta (v.a.d.), se orga-
niza la información en una tabla con todos los posibles valores y las
correspondientes probabilidades.
Variable aleatoria discreta xi x1 x2 x3 … xn–1 xn

Probabilidad pi p1 p2 p3 … pn–1 pn
Ejercicio resuelto
C C
Se define la variable aleatoria discreta X = “número de caras que se
→ →
C S obtiene al lanzar una moneda dos veces”. ¿Cuál es la función de pro-
→ → babilidad? ¿Qué significa?
S S
p Figura 3.4.
Efectuemos un diagrama de árbol para determinar la probabilidad del
evento. Ver Figura 3.4.
126
De acuerdo con el diagrama del árbol, podemos llenar nuestra fun-
ción de probabilidad f(x).
Recuerda que…
Número de caras en el lanzamiento Las propiedades de la
de una moneda dos veces función de probabilidad son:
Valores de v.a.d xi 0 1 2
p[X = xi] > 0
Probabilidad P[X = xi] 1/4 1/2 1/4 n
∑ p[X = x ] = 1;
i =1
i
La interpretación que damos a la función de probabilidad es la si-
es decir,
guiente:
p[X = x1] + p[X = x2] +…
+ p[X = xn] = 1.
p[x = 0] = 1/4; es la probabilidad de obtener cero caras.
p[x = 1] = 1/2; es la probabilidad de obtener una cara. Las propiedades de la función de
p[x = 2] = 1/4; es la probabilidad de obtener dos caras. distribución son las siguientes:
• La función es creciente, con
Función de distribución
Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x1, x2 ,… xn, lím F(x) = 0 y lím F(x) = 1
x→–∞ x→∞
se define la función de distribución de X como: • p[a < x ≤ b] = p[x ≤ b] –
p[x ≤ a]
F(x) = p(X ≤ x) = ∑ p[X = x ].
xi<x
i • p[x > a] = 1 – p[x ≤ a].
Ejercicio resuelto
En el ejemplo que estamos xi 0 1 2
tratando: P[X = xi] 1/4 1/2 1/4
F(0) = p[X ≤ 0] = p[X = 0] = 1/4. Interdisciplinariedad

F(1) = p[X ≤ 1] = p[X = 0] + p[X = 1] = 1/4 + 1/2 = 3/4.
F(2) = p[X ≤ 2] = p[X = 0] + p[X = 1] + p[X = 2] = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. En la vida cotidiana
observamos varios fenómenos
aleatorios, cuyos resultados se
La función de distribución se puede expresar así:
expresan mediante números. Por
0, si x < 0, ejemplo, el número de personas
1/4, si 0 ≤ x < 1, en la sala de un cine, la velo-
F(x) = cidad de conexión a la red, el
3/4, si 1 ≤ x < 2,
número de estudiantes aproba-
1, si x ≥ 2.
dos o reprobados, el número
Los gráficos de la función de probabilidad y de la función de distribu- de pacientes que se clasifican
en ‘sanos’ y ‘enfermos’. En todas
ción se muestran a continuación.
estas situaciones, de forma in-
consciente, estamos trabajando
con variables aleatorias discretas.
0,6
0,5 y
0,4 1,0
0,3 0,8
0,6
0,2
0,4
0,1
0,2
0,0
0 1 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 x
p Ilustración 1. Función de probabilidad p Ilustración 2. Función de distribución

127
Taller práctico
DCCD: M.5.3.14. Reconocer variables aleatorias discre- a) ¿Cuál es la probabilidad de que una cama-
tas, cuyo recorrido es un conjunto discreto, en ejem-
plos numéricos y experimentos, y la distribución de
da tenga dos crías?
probabilidad para una variable aleatoria discreta como _______________________________________________
una función real a partir del cálculo de probabilidades
acumuladas definidas bajo ciertas condiciones dadas.
M.5.3.16. Resolver y plantear problemas que involu- b) Efectúa el gráfico de la función de probabi-
cren el trabajo con probabilidades y variables alea- lidad.
torias discretas.
1 De acuerdo con la función de probabili-
dad analizada en los ejemplos anteriores:
xi 0 1 2
P[X = xi] 1/4 1/2 1/4
Observa y completa el cálculo de las si-

guientes probabilidades.
c) Completa la función de distribución.
a) p[x  (0, 1)] = p[x = 0] = 1/4.
b) p[x  (0,5; 2)] = ____________________________. 0, si x < 0,

0,2 , si 0 ≤ x < 1,
c) p[x  (0,5; 2]] = ____________________________. F(x) = ______, si 1 ≤ x < 2,
_________, si _________________,
2 ___________, si _________________.
De acuerdo con las propiedades de la
función de distribución, determina las d) Elabora el gráfico de la función de distribu-
siguientes probabilidades. ción.
a) p[0 < x ≤ 1] =
b) p[x > 2] =
e) Determina la probabilidad de que el nú-
mero de crías sea menor o igual a 2,2. F(2,2)
3 Analiza y responde. Se desea realizar un

estudio sobre el número de crías en una
f) ¿Cuál es el número de crías que divide a la
camada. Se define la variable aleatoria dis-
camada en dos partes iguales?
creta X = “número de crías de una cama-
da”; xi toma los valores 0, 1, 2, 3, con las pro-
babilidades que se muestran en la tabla.
xi 0 1 2 3
P[X = xi] 0,2 0,3 0,3 0,2
128
4 De acuerdo con el ejemplo anterior, ha-
lla las siguientes probabilidades: 6 Una variable aleatoria X puede tomar
a) p[x ≤ 1] = los valores 30, 40, 50 y 60 con probabi-
lidad de: 0,4; 0,2; 0,1 y 0,3. Representa
en una tabla la función de probabilidad
p(X = x), y la función de distribución de
probabilidad F(X) = p(X ≤ x). Determi-
nen las siguientes probabilidades:
b) p[x < 1] = a) p[x ≤ 25].

b) p[x ≥ 60].
c) p[x < 40].
d) p[x > 40].
e) p[30 ≤ x ≤ 60].
f) p[30 ≤ x < 60].
c) p[1 < x ≤ 2] = g) p[30 < x ≤ 60].
h) p[30 < x < 60].
Dibujen los gráficos de la función de pro-

babilidad y de la función de distribución.
7 Analicen y resuelvan.
Se define la variable aleatoria discreta
5 La función de distribución de una varia- X = “número de caras que se obtiene al
ble aleatoria discreta X se define así: lanzar tres monedas al aire”.
0, si x < –4.
a) Realicen un diagrama de árbol y determi-
2/5, si –4 ≤ x < 0. nen el espacio muestral.
F(x) =
3/5, si 0 ≤ x < 4. b) ¿Cuál es la función de probabilidad? ¿Qué
1, si x ≥ 4. significa?
Elabora el gráfico de la función de dis- c) Realicen el gráfico de la función de proba-
tribución. bilidad.
d) Determinen la función de distribución.
e) Dibujen el diagrama de la función de dis-
Trabajo colaborativo tribución.
en el aula 8 Una distribución de probabilidad de una
Al agrupar a los estudiantes es necesario que variable aleatoria discreta X está determi-
cada uno tenga una responsabilidad individual nada por la siguiente tabla:
de tal manera que todos participen y valorar el
trabajo que están realizando. xi 1 2 3 4 5
pi 0,1 0,3 0,2 0,3
• ¿Cuál es el valor de p[x = 3]?
129
DCCD: M.5.3.15.Calcular e interpretar la media, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.
M.5.3.17. Juzgar la validez de las soluciones obtenidas en los problemas que involucren el trabajo con probabilidades y variables aleatorias discretas
dentro del contexto del problema.
Saberes previos
Media, varianza y desviación
estándar
Explica con tus pala-
bras, ¿qué entiendes por ‘valor
esperado’?
Media o esperanza matemática E(X) de una variable
aleatoria discreta
Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de
¿Qué relación existe probabilidad pi , la media (µ) o esperanza E(X) de una variable aleato-
entre ‘valor esperado’, ‘varianza’ ria discreta X es:
y ‘desviación típica’? n
µ = E(X) = ∑ xi pi .
i =1
Varianza de una variable aleatoria discreta

Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de
probabilidad pi , y media (µ), la varianza indica qué tan alejados se
encuentran los valores de la media y se define como:
Recuerda que…
n
La esperanza matemá- σ2 = ∑xi =1
i
2
pi – µ2.
tica tiene algunas propiedades
que enunciamos a continua- Desviación típica o estándar de una variable aleatoria discreta
ción: Definición. La desviación típica o estándar de una variable aleatoria
1. La esperanza de una constan- discreta es la raíz cuadrada de la varianza.
te es el valor de la constante. n
E(c) = c.
σ= ∑x
i =1
i
2
pi – µ2 .
2. La esperanza de la suma de Ejercicio resuelto

dos variables aleatorias inde- Se lanzan al aire, varias veces, dos dados iguales y se define la variable
pendientes es igual a la suma
aleatoria discreta X = “suma de los puntos de las caras obtenidas”. El
de las esperanzas de los dos
sumandos. espacio muestral de este evento se detalla en la tabla.
E(X + Y) = E(X) + E(Y).

1 2 3 4 5 6 Primer dado
3. La esperanza del producto de
dos variables aleatorias inde- 1 2 3 4 5 6 7
pendientes es igual al producto 2 3 4 5 6 7 8
Segundo dado
de las esperanzas de los dos

factores. 3 4 5 6 7 8 9 Suma de
E(X Y) = E(X) E(Y). 4 5 6 7 8 9 10 puntos
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Determina:
a) La media o esperanza matemática

b) La varianza
c) La desviación típica o estándar
130
Construimos la tabla de distribución de probabilidad de la variable
aleatoria discreta, X = “suma de los puntos de las caras obtenidas”.
Para el cálculo Para el cálculo

Suma de las Recuerda que…
Probabilidad de la media o de la varianza y
dos caras
esperanza desviación típica
La varianza de una
xi pi xi pi Pi xi 2
variable aleatoria X, Var(X) o σ2,
2 1/36 2/36 4/36
es un número no negativo que
3 2/36 6/36 18/36 también se puede calcular así:
4 3/36 12/36 48/36
5 4/36 20/36 100/36 Var(X) = E(X2) – (E(X))2.
6 5/36 30/36 180/36 Las propiedades de la varianza
7 6/36 42/36 294/36 son:
8 5/36 40/36 320/36 1. La varianza de una constante
9 4/36 36/36 324/36 es cero, es decir, para toda c:
10 3/36 30/36 300/36
Var(c) = 0.
11 2/36 22/36 242/36
12 1/36 12/36 224/36 2. Un valor constante c se puede
Total 36/36 = 1 252/36 1974/36 sacar del símbolo de la varianza,
elevándolo al cuadrado:
Var(cX) = c2Var(X).
Cálculo de la media Cálculo de Cálculo de la
o esperanza la varianza: desviación típica o 3. La varianza de la suma de dos
matemática: n
estándar: variables aleatorias indepen-
σ2 = ∑x
i=1
i
2
pi – µ2.
n
dientes es igual a la suma de las
∑x
n
µ = E(X) = ∑ xi pi . 1 974 σ= 2
pi – µ2 . varianzas de los dos sumandos:
σ2 = – 72. i =1
i
i =1 36 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).
252 σ = 5,8 = 2,4.
µ= = 7. σ2 = 5,8.
36
Ejercicio resuelto
La variable aleatoria discreta xi 2 3 4
X está definida mediante la si- pi 0,3 0,5 0,2
guiente tabla:
ab Glosario
Determina la esperanza y la varianza de: a) la variable aleatoria X; b) la c
variable aleatoria Y = 0,2X + 1. varianza. Media de las
desviaciones cuadráticas de una
a) Calculamos la esperanza y la varianza de la variable aleatoria X. variable aleatoria, referidas al
n valor medio de esta.
E(X) = ∑ x p = 2(0,3) + 3(0,5) + 4(0,2) = 2,9 µ .
i =1
i i
2
E(X2)= 22(0,3) + 32(0,5) + 42(0,2) = 8,9.

Var(X) = E(X2) – (E(X))2 = 8,9 – 2,92 = 0,49.
b) Para calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria Y,

aplicamos sus propiedades:
E(Y) = E(0,2X + 1) = E(0,2X) + E(1) = 0,2E(X) + 1 = 0,2(2,9) + 1 = 1,58,
Var(Y) = Var(0,2X + 1), Var(Y) = Var(0,2X) + Var(1).

Var(Y) = 0,22Var(X) + 0, Var(Y) = 0,04(0,49) = 0,019 6.
131
Taller práctico
DCCD: M.5.3.15.Calcular e interpretar la media, la b) Escribe la función de probabilidad y de
varianza y la desviación estándar de una variable
aleatoria discreta. M.5.3.17. Juzgar la validez de las
distribución.
soluciones obtenidas en los problemas que involu-
cren el trabajo con probabilidades y variables alea-
torias discretas dentro del contexto del problema.
1 Sea la siguiente función de probabilidad:
xi 1 3 5 7 9
pi 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
c) Determina la esperanza matemática,
a) Escribe la función de distribución. la varianza y la desviación típica.
b) Calcula p(X ≤ 5) y p(3 ≤ X ≤ 7).

3 Analiza y resuelve. Se define la variable
aleatoria X como: X = “camiones que se
usan para repartición de mercaderías en un
día de trabajo”. La distribución de probabi-
lidad para la empresa A y la empresa B es:
c) Determina la media y la desviación típica. Empresa A

xi 1 2 3
pi 0,25 0,45 0,3
Empresa B
xi 0 1 2 3 4
pi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
a) ¿Cuál es la media o esperanza matemática

2 Considera la variable aleatoria discreta de cada distribución?
X, cuya distribución de probabilidad es la
siguiente:
xi 1 2 3
pi c 0,36 c
a) Calcula el valor de c.
b) ¿Cuál de las dos empresas tiene mayor varianza?
132
c) ¿Cuál de las dos empresas mantiene una me- xi –10 –5 0 5
jor organización en cuanto al uso del trans- pi c 2c 3c 4c
porte para reparto de mercancías? ¿Por qué?
_______________________________________________
a) ¿Cuál es el valor de c?
b) Escriban la función de probabilidad.
_______________________________________________
c) Determinen la función de distribución.
d) Calculen la esperanza, la varianza y la des-
4 viación típica.
Analiza y resuelve.
Supón que la variable aleatoria X repre-
senta el número de arandelas defectuo- 6 Una fundación realiza una rifa de soli-
sas que produce una máquina de una daridad. Para ello venden 500 boletos a
fábrica. Se obtiene una muestra de tres un dólar cada uno. El primer premio es
partes y se someten a prueba. Se obtiene de $ 120; el segundo de $ 100; y hay tres
la siguiente distribución de probabilidad: premios más de $ 20 cada uno. Si una
persona compra un boleto, ¿cuál es la es-
xi 0 1 2 3
peranza matemática de que gane?
pi 0,32 0,24 0,30 0,14
a) ¿Cuál es la varianza de la distribución de

probabilidad? 7 Se toma el conjunto formado por los
elementos {1, 2, 3}, y se forman pares
ordenados que son el resultado de las
posibles combinaciones. Se obtiene el
espacio muestral de 9 elementos de la
siguiente forma:
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
b) ¿La varianza puede ser un número negativo? (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.
¿Por qué?
Se define la variable aleatoria
_______________________________________________
X = “suma de los dos números”.
_______________________________________________
a) Determinen la función de distribución.
Trabajo colaborativo b) Encuentren el valor esperado E(X).
c) Calculen la Var(X) y la desviación típica.
en el aula
8 En un concurso de abrir puertas, se le en-
El aprendizaje es más fácil y la atención de los tregan al participante 6 llaves, de las cua-
grupos se mantiene cuando lo que se está les solo una corresponde a la cerradura
aprendiendo es divertido, de interés y está rela- de la puerta. El concursante va eligiendo
cionado con su entorno.
al azar y probando abrir la puerta. Se de-
fine la variable aleatoria discreta
X = “número de llaves usadas”.
a) Determinen la función de probabilidad.
5 b) Calculen la esperanza y la varianza del nú-
Considera la variable aleatoria X, cuya mero de intentos si el concursante separa
función de probabilidad está dada por la la llave que probó anteriormente.
siguiente tabla.
133
Solución de problemas
cotidianos
Contaminación ambiental 1
�1 = 8V1 = 2 × 3 V0 = V0.
V 3
2
1. Se debe tratar agua que con- Dividamos cada uno de los cubos resultantes en 8
tiene algún contaminante. cubos iguales. El área de la superficie de cada uno
Para el efecto, se procede a pu- de los cubos es:
Shutterstock, (2020). 555842185

rificarla con un filtro de arena. 2
Suponemos que los gra- Contaminación ambiental. p L 2
nos de arena tienen for- Â2 = 6 2 = 6 L = 12 2 A0.

2 4 (2 )
ma de pequeños cubos. Además, se asume que la
retención del contaminante es proporcional al área Se tienen 64 cubos. El área total de las superficies
total de las superficies de cada uno de los cubos. Sea de todos los cubos contenidos es
L > 0, L medido en metros o en centímetros, consi- 1 A = 22 A .
Â2 = 64A2 = 64
deremos un cubo de lado L. El área de la superficie (22)2 0 0
del cubo es A0 = 6L2 y su volumen es V0 = L3.

El volumen de cada cubo es
Dividamos el cubo en 8 partes iguales, como se L
2
V2 = 2 = L2 3 = 13 2 V0 = 16 V0,
3
muestra en la figura.
2 (2 ) (2 ) 2
L y el volumen total de todos los cubos es
L 1
�2 = 64V2 = 26 6 V0 = V0.
V
2
Continuando con este procedimiento, en la k-ési-
ma etapa se obtienen las siguientes progresiones
geométricas:
k
número total de cubos: (23) , k = 0,1…
L área de superficie de cada cubo:
Âk = 1k A0, k = 0,1…
L 22
2 L área total de todos los cubos: �
Ak = 2kA0, k = 0,1…
2
L volumen de cada cubo: Vk = 1k V0, k = 0,1…
p Figura 3.5. 2 23
Practica en tu cuaderno
3
El volumen de cada cubo es V1 = L = 13 V0, 2. Una persona decide invertir una suma de dólares
2 2 S a una tasa nominal 𝐼% anual, en un tiempo de
y el área de la superficie de cada uno de los cubos
años. El interés se capitaliza 4 veces al año.
resultantes es
2
A1 = 6 L = 1 (6L2) = 1 A0. a)
Prueba que el monto compuesto al final
2 4 4 del primer año es
El área total de la superficie de todos los cubos es
M1 = S 1 + 𝐼 .
4
la suma de las áreas de las superficies de cada uno 4

de los cubos; esto es,
b) Supón que 𝐼 = 0,06 % y S = $ 1 000,00.
� = 8A = 8 × 1 A = 2A ;
A Calcula M1.
1 1
4 0 0
mientras que el volumen total se mantiene cons- c) Supón que 𝐼 = 0,05 % y S = $ 8 000,00.
tante: Calcula M1.
134
La matemática y deporte
¿Qué tiene que ver la matemática con el deporte? Muchas personas pue-
den pensar que una sucesión no tiene relación con el deporte. Sin embar-
go, ese criterio cambia el momento en que se reconoce la utilidad de las
sucesiones en un deporte muy conocido como es el tenis.
En una competencia de tenis, siempre existe el jugador o jugadora que, lue-

go de varias competiciones, llega a la fase final; es decir, son dos las personas
que juegan la final y una de ellas es la ganadora. Para determinar quién gana
el torneo, en la semifinal participan 4 jugadores. En la etapa anterior a esta,
Shutterstock, (2020). 290704832

compiten 8 tenistas, y así sucesivamente, en cada etapa de la competición
siempre se clasifica la mitad para la siguiente etapa. Es decir, el número de
tenistas en cada etapa es la mitad de la etapa anterior, ya que en cada par-
tido se elimina a uno de los contrincantes.
Como puedes apreciar, en un torneo de tenis se aplican las progresio- p Rafael Nadal, Paris, 2015, Grand Slam
Champion.
nes geométricas de razón ½.
Adaptado de: http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u5/M3_U5_
contenidos/4_progresiones_cotidianas.html
La matemática
y las profesiones
Licenciatura en Ciencias de la Actividad

Física, Deportes y Recreación
La carrera está orientada a formar profesionales capaces de fomentar la
salud mediante la actividad física, el deporte formativo-competitivo y
la recreación, así como también a formarlos en el ámbito técnico de-
portivo, a fin de alcanzar un alto rendimiento deportivo de calidad.
Shutterstock, (2020). 290626610
Para optar por esta carrera, el aspirante debe tener afinidad con:
• Matemática básica, asignatura que recibirá en primer se-

mestre de la carrera.
• Estadística descriptiva y los temas relacionados con medidas
de tendencia central, medidas de posición y medidas de dis-
persión.
p Adolescentes de un equipo femenino de
Para optar por esta carrera puedes postular por una de las Universidades fútbol, practicando con su entrenador.
de nuestro país, legalmente reconocida por el Senescyt.
Los posibles escenarios de trabajo radican principalmente en empresas de-

portivas y de actividad física, instituciones educativas, fundaciones y organiza-
ciones no gubernamentales (ONG), empresas públicas y empresas privadas.
Tomado de: http://cafder.espe.edu.ec/campo-ocupacional/
135
TIC
Préstamo con cuotas crecientes en progresión
aritmética
Un préstamo en cuota creciente en progresión aritmética determina
una cuota igual a la anterior, más una cantidad fija determinada.
Vamos a utilizar una hoja de cálculo (en este caso, una hoja Excel) para
resolver el siguiente problema.
Se trata de determinar cuál es la cuota anual que debe pagar una perso-
na por un préstamo de $ 50 000, con una cuota creciente en progresión
aritmética de $ 500 durante 10 años, y un préstamo postpagable (es de-
cir que la persona debe ir pagando al final del período).
1. Ingresa los datos en una hoja

de cálculo.
2. Determina los parámetros que

se calcularán.
3. En la columna Capital Vivo se

coloca el valor del préstamo.
Da clic en C7, escribe =. Da
clic en B1 y aparecerá el valor
del préstamo.
4. El período 1 es el final del

período 0 que es igual al
capital vivo + capital vivo por
el interés, menos el valor de la
cuota. Da clic en C8, escribe:
= C7 + (C7*$B$2) – B8 y opri-
me el botón Enter. Aparece
en el período 2 el capital vivo.
Arrastra hasta el período 10.
Notas
• Las cantidades en miles deben ingresarse con el punto cada tres períodos.
• Para el símbolo de dólares vas a formato de celda, moneda, símbolo y
seleccionas: $ Español (Ecuador).
• Para no modificar un valor, seleccionas la celda y oprimes F4.
136
5. Para el caso del período 1,
suponemos una cuota de $ 1.
6. El cálculo de la cuota 2 es la
cuota anterior más $ 500 fijos.
Da clic en B9, escribe:
= B8 + $B$3. Luego, oprime
el botón Enter. Aparecerá la
cuota 2. Arrastra con el cursor
hasta el período 10.
7. Como puedes apreciar en el período 10, el Capital Vivo debería ser 0,

pero no lo es. Por ello, corregimos el último valor de la siguiente manera:
8. Ingresa a Datos, Análisis y si.
Luego, da clic en Buscar objetivo.
9. En Buscar objetivo, selecciona

la celda de Capital Vivo que
corresponde al período 10.
En Definir la celda escribe
$C$17, en Con el valor va cero
(0) y Para cambiar la celda,
selecciona aquella en la que se
colocó el valor supuesto (en
este caso, 1 en la celda B8). Da
11. Aparece la hoja de cálculo, en 10. La hoja de cálculo te da el clic en Aceptar.
la cual la cuota está en progre- estado de búsqueda y la
sión aritmética con crecimien- solución.
to constante de $ 500.
137
Justificación
Tema: Simulación de Cuando una persona quiere comprar un bien
préstamos bancarios
inmueble (como, por ejemplo, una casa o un
terreno), muchas veces accede a los bancos
con progresiones para adquirir un préstamo. En ocasiones, se

utilizan progresiones aritméticas para calcular
aritméticas las cuotas, las cuales pueden ser crecientes en

razón de una cantidad fija que se incrementa en
cada anualidad o período de liquidación. Esto hace Servicios bancarios. p
Shutterstock, (2020). 400246663

que la cuota no solo varíe en función del tipo de
interés devengado en cada momento, sino que, además, año a año su
importe se incremente en función de la diferencia de la progresión.
Objetivos
Recursos
• Sala de computación o • Utilizar una hoja de cálculo para realizar simulaciones de présta-
tablets con el paquete de mos bancarios y de préstamos con cuotas crecientes en progresio-
Excel nes aritméticas.
• Espacio físico para desa-
rrollar la feria de bienes Actividades
inmuebles
• Grupos de 2 o 3 personas.
• Organizar una feria de bienes inmuebles, donde los estudiantes
puedan simular la compra de casas, departamentos o terrenos.
• Averiguar, en los diarios impresos o en las inmobiliarias, los costos
de las viviendas y los terrenos para así trabajar con datos reales.
• Adicionalmente, averiguar en las entidades bancarias el porcentaje
de interés anual que cobran por los préstamos que realizan.
• Los estudiantes deben tener una hoja de cálculo en una tablet o
en una computadora, como la que se desarrolló en la sección TIC
de este libro.
• Invitar a otros estudiantes y a padres de familia a la feria de bienes
inmuebles. Cada grupo de la inmobiliaria estará en capacidad de
calcular la cuota creciente en progresión aritmética por el valor
otorgado. Para ello, deben utilizar la hoja de cálculo desarrollada
anteriormente.
Conclusiones
Coevaluar y autoevaluar la ejecución de esta actividad.
Es importante conocer cuál fue el grado de aceptación del proyecto

por parte de los estudiantes, y cómo se sintieron con la ejecución
de este. Por ello, al término de la actividad, se puede establecer un
diálogo para conversar acerca de cómo se sintieron al realizar este
proyecto.
138
Shutterstock, (2020). 604850642

Shutterstock, (2020). 95036140
Dinero. p
Estadística y probabilidad p Juegos de azar.
Sucesión numérica real Probabilidades

En síntesis
Variables aleatorias
Sucesiones definidas
Progresiones aritméticas Progresiones geométricas
por recurrencia
Variable aleatoria discreta
Sucesiones Cálculo de términos de Cálculo de términos de
monótonas una progresión aritmética una progresión geométrica
Media, varianza
Función de probabilidad
Suma de n términos Suma de términos y desviación estándar
Aplicaciones de Función de distribución

progresiones en finanzas
139
Heteroevaluación
M.5.4.1. Identifica las sucesiones según sus caracterís-
ticas y halla los parámetros desconocidos; aplica pro- términos de una progresión geométrica
gresiones en situaciones cotidianas, y analiza el sistema (am). Halla el término general de dicha
financiero local, apreciando la importancia de estos co-
nocimientos para la toma de decisiones asertivas. (J.2.) progresión, verifica su resultado con el
1 Considera la sucesión (pm) definida como quinto término y calcula el término am
que se indica.
pm = 1 024 –2m , m  N. Calcula los tres
primeros términos de esta sucesión finita y a) 4, 12, 36,… a10 =
el conjunto en el que está bien definida..
3 9
b) 1, , ,… a8 =
2 4
2 1
En cada ítem se define el término general c) 8, 4, 2, 1, , … a10 =
2
de una sucesión (ak). Calcula los prime-
ros 5 términos. A continuación, indica el 6 La suma de los siete primeros términos
recorrido de la sucesión y traza su gráfica.
de una progresión geométrica de razón
3 3 es 7 651. ¿Cuáles son el primero y el
a) ak = , k  . séptimo término?
2 + (–1)k
1 + (–1)k
b) ak = , k  Z+.
2k
c) ak = 1 +(–1)k + 2(–1)
k+1
, k  N.
7 ¿Qué cantidad de dinero se obtiene si
k k k–1
se colocan en una cuenta $ 5 000 al 6 %
d) ak = 1 – 2(–1) + 3(–1) – 4(–1) , k  N. de interés anual compuesto, durante 10
años? Recuerda que para determinar la
razón utilizas: r = 1 + i/100, donde i es el
interés y r es la razón.
términos de una progresión aritmética
(am). Halla el término general de dicha I.M.5.10.2. Identifica variables aleatorias discre-
progresión, verifica su resultado con el tas y halla la media, varianza y desviación típica,
para emplearlas en la resolución de problemas
tercer término, y calcula el término am cotidianos y en el cálculo de probabilidades;
que se indica. realiza gráficos con el apoyo de las TIC. (I.3.)
8 Se toma el conjunto formado por los
2 2 elementos {4, 5, 6} y se forman pares
a) – , 0, , …, a30 =
3 3 ordenados que son el resultado de las
b) –2, –7, –12, …, a15 = posibles combinaciones. Se obtiene el
espacio muestral de 9 elementos de la
c) 0,1; 0,4; 0,7; …; a25 = siguiente forma:
S = {(4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
4 Sean (um) una progresión aritmética y (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.
E = {um | m  N} el recorrido de dicha
Se define la variable aleatoria X = “suma
progresión, verifica la suma Sm de los
de los dos números”.
primeros términos que se indican.
2 1 3 170 a) Determina la función de distribución.

a) E = + m | m  N , S100 = . b) Encuentra el valor esperado E(X).
3 5 3
c) Calcula la Var(X).
b) E = 1 – m 2 | m  N , S8 = 4(2 – 7 2 ). d) Obtén la desviación típica.
140
Resuelve cada ejercicio y selecciona la res-
puesta correcta. 11 ¿Cuál es la suma de los números impares
comprendidos entre 100 y 200?
9 Considera la sucesión (pm) definida como a) 7 000. c) 7 400.
pm = 1 024 –2m . Determina el dominio b) 7 500. d) 7 600.
o conjunto de salida I de esta sucesión.
a) 𝐼 = {m   | 0 ≤ m ≤ 10}. 12 ¿Cuál es el valor de a para que los tér-

b) 𝐼 = {m   | 2 ≤ m ≤ 10}. minos a + 2, 3a + 2, 9a – 2 formen una
c) 𝐼 = {m   | 0 ≤ m ≤ 8}. progresión geométrica?
d) 𝐼 = {m   | 2 ≤ m ≤ 12}.
a) 0. c) 2.
b) 1. d) 3.
10 Se define el término general de una suce-
sión real. Los primeros cuatro términos de
la sucesión 13 ¿Cuál es la fracción generatriz de
5m2 0,181 818…?
tm = , m  Z+, m ≥ 4
(m – 1)(m – 2)(m – 3)
son: 18 2
a) . c) .
100 11
a) 5, 20, 45, 80 c) 40, 125, 3, 49 9 18
40 125 49 40 25 3 49 b) . d) .
b) , , 3, d) , , , 50 90
3 24 24 3 4 5 6
Autoevaluación
Siempre A veces Nunca

Identifico las sucesiones según sus características.
Aplico progresiones para resolver situaciones cotidianas.
Utilizo progresiones para resolver problemas financieros.
Empleo variables aleatorias discretas para el cálculo de probabilidades.
Coevaluación

Al trabajar en equipo todos aportamos con ideas para solucionar problemas.
Trabajar en equipo no permitió conocernos mejor y socializar nuestras ideas.
Metacognición
a) ¿En qué situaciones reales utilizas progresiones?
____________________________________________________________________________________________________
b) ¿Para qué te sirve el cálculo de probabilidades?
____________________________________________________________________________________________________
141
Derivadas de funciones
polinomiales de grado ≤ 4
y de funciones racionales
Dos problemas básicos del cálculo
diferencial e integral
E
l cálculo diferencial surgió de las ideas del
matemático francés Pierre Fermat que
trató de resolver el problema del cálculo
de los valores extremos (máximos y mínimos)
de una función. Los esfuerzos realizados por
Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz
(1646-1716) son los que permitieron ligar los
problemas del cálculo del área bajo una curva
y de la tangente a la gráfica de una curva en
un punto dado de esta, dando lugar al cálculo
diferencial e integral.
En la actualidad, el cálculo diferencial e inte-
gral no solo constituye un instrumento de cál-
culo en las ciencias y la técnica, es también un
conjunto de ideas y problemas que han sido
objeto de estudio como parte del pensamien-
to humano. Forman parte del lenguaje con el
que muchas leyes y principios se expresan en
forma matemática. Son la base para el desa-
rrollo de otras áreas de la matemática, de la
física, la química, la biología, las ciencias eco-
nómicas y sociales, y las distintas ramas de la
ingeniería y de la industria.
Tomado de Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral,
(Benalcázar, 2017)
Observa y contesta
• ¿Qué cálculos matemáticos se requieren
para la construcción de una represa?
• ¿Será posible el logro de megaconstruc-
ciones sin cálculos matemáticos especí-
ficos como del cálculo diferencial?
142
4
Flavio Muñoz M., (2011). Coleccion Rally Sangolquí
unidad
Objetivos
• O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a
situaciones concretas de la realidad nacio-
Central Hidroeléctrica Coca Codo Sinclair, (2020). www.flirckminenergiaecuador
nal y mundial mediante la aplicación de

las operaciones básicas de los diferentes
conjuntos numéricos, y el uso de modelos
funcionales, algoritmos apropiados, estra-
tegias y métodos formales y no formales
de razonamiento matemático, que lleven
a juzgar con responsabilidad la validez de
procedimientos y los resultados en un
contexto.
• O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar

información, de manera escrita, verbal, sim-
bólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la
aplicación de conocimientos matemáticos y
el manejo organizado, responsable y honesto
de las fuentes de datos, para así comprender
otras disciplinas, entender las necesidades y
potencialidades de nuestro país, y tomar de-
cisiones con responsabilidad social.
• O.G.M.3. Desarrollar estrategias individua-

les y grupales que permitan un cálculo
mental y escrito, exacto o estimado; y la
capacidad de interpretación y solución de
situaciones problémicas del medio.
• O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para

realizar cálculos y resolver, de manera ra-
zonada y crítica, problemas de la realidad
nacional, argumentando la pertinencia de
los métodos utilizados y juzgando la vali-
dez de los resultados.
143
DCCD: M.5.1.47. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones polinomiales de grado ≤ 4 a partir del cociente incremental.
Saberes previos
¿Cómo explicas qué es

Cociente incremental
una función continua? Asumimos, sin demostración, que las funciones polinomiales de gra-
do ≤ 4 son funciones continuas. Con esta premisa, las nociones que
introducimos en esta sección corresponden a los primeros pasos que
Desequilibrio cognitivo se dan en el cálculo diferencial.
¿Qué aplicaciones tiene
el cálculo del cociente incre- Definición. Sea x, y  . La distancia de x a y se denota d(x, y), y se
mental? lee “distancia de x a y”. Se define como d(x, y) = |x – y|.
De la definición de valor absoluto y de la distancia entre dos números

reales, tenemos:
Recuerda que…
d(x, y) = x – y, si x ≥ y,
Los conceptos de límite d(x, y) = y – x, si x < y.
y continuidad son la base del
estudio del cálculo diferencial A la distancia entre dos números reales arriba definida la denomina-
del que aquí se dan los primeros remos métrica usual en , y, como se dijo, esta nos permite medir la
pasos. Comencemos primera- proximidad o lejanía entre dos números reales. Sea 0 < δ < 1, x, y  ,
mente observando el significa- se dice que y es próximo a x respecto de δ si y solo si se verifica
do más próximo al matemático d(x, y) = |x – y| < δ.
de la palabra “límite”, según el
diccionario de la lengua españo-
la. Encontramos, entonces, los
En primer año de BGU se estudió, de forma intuitiva, la derivada
siguientes: “término”, “fin”, “ex- de funciones cuadráticas, llamadas también funciones polinomiales
tremo”, “confinante”, “ aledaño”, de grado ≤ 2. En esta sección, continuamos con la metodología ahí
“línea que separa dos terrenos establecida para funciones polinomiales de la forma:
contiguos”, “punto del cual no p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4, ∀x  ,
se puede extender una acción,
una influencia, un estado”.
donde a0, a1, a2, a3   fijos. El conjunto de todas las funciones poli-
De la palabra “continuo”, nomiales de grado ≤ 4 con coeficientes reales se denota con P4[]. Se
encontramos los siguientes tiene la siguiente equivalencia:
significados: “sin interrupción
en el tiempo o en el espacio”, p  P4 [] ∃a0, a1, a2, a3, a4  ,
“que se hace o se extiende sin
interrupción”, “todo compues- tal que p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4, ∀x  .
to de partes unidas entre sí”,
“incesante”. Recordemos que P4[], con las operaciones habituales de adición y
En cuanto a la palabra “con-
producto de polinomios por números reales, es un espacio vectorial
tinuidad”, se tiene el siguiente real.
significado: “calidad o condición
de las funciones o transforma- Definición. Sean p  P4 [], a   fijo, h  , tal que h ≠ 0. El co-
ciones continuas”. ciente incremental de la función polinomial p en el punto a se denota
Intuitivamente, la palabra “límite”
Q(h) y se define como sigue:
en matemática debe ser asociada p(a + h) – p(a)
Q(h) = .
a las ideas de proximidad, ten- h
dencia, aproximación y esta, a su En general, los valores de |h| ≠ 0 son suficientemente pequeños; esto
vez, debe asociarse a la idea de es, si 0 < δ < 1, 0 < |h| < δ. Este cociente incremental tiene muchas
cercanía a un punto, a un valor
aplicaciones, y es un paso previo al cálculo de la derivada de una
numérico, o también de tenden-
cia a alejarse como se quiera. función.
144
Derivada de la función cuadrática
Sean a, b, c   con a ≠ 0. La función cuadrática está definida como: Recuerda que…
f(x) = ax2 + bx + c, x  . De la función polinomial

tenemos, entre otros, estos tres
Calculemos df (x) o f '(x). Para el efecto, estudiemos el límite del tipos:
dx
cociente incremental. Para x   y h ≠ 0, de la definición de la fun- Lineal, definida por
f(x) = mx + b, x  .
ción f, se tiene:
Cuadrática, definida por
f(x + h) = a(x + h)2 + b(x + h) + c f(x) = ax2 + bx + c, x  .
= a(x2 + 2xh + h2) + b(x + h) + c
= ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c Cúbica, definida por
= ax2 + bx + c + h(2ax + b + ah) f(x) = x3 + bx + c, x  .
= f(x) + h(2ax + b + ah).
Luego,
f(x + h) – f(x) h(2ax + b + ah)
= = 2ax + b + ah.
h h Conexiones con las TIC
Como a es constante, es claro que para |h| suficientemente pequeño, Visita esta página para
ah también lo es. Entonces, conocer más sobre el cálculo de
funciones derivadas:
f(x + h) – f(x) h(2ax + b + ah)
lím = lím = 2ax + b, bit.ly/2XUMlfV
h→0 h h→0 h
f(x + h) – f(x)
Así, f'(x) = lím = 2ax + b.
h→0 h
Conclusión: f(x) = ax2 + bx + c, ∀x  , f'(x) = 2ax + b.
1. Para f(x) = x2, ∀x  , df (x) = 2x. Para x = –1, se tiene f'(–1) = 2.
dx
df
2. Para f(x) = 10x2 – 3x + 1, ∀x  , (x) = 20x – 3.
dx
df
Para x = 0,4, (0,4) = 5.
dx
df df Simbología matemática
3. f(x) = –7x2 + 9, ∀x  , (x) = –14x, (0) = 0.
dx dx
5 df df 1 Sean x, y  . La distan-
4. f(x) = – x2 + 0,1x, (x) = –5x + 0,1, = 0. cia de x a y se denota d(x, y), y
2 dx dx 50
se lee “distancia de x a y".
El conjunto de todas las fun-
Recuerda que…
ciones polinomiales de grado
De la derivada primera obtenemos los intervalos de crecimiento y ≤ 4 con coeficientes reales se
decrecimiento de la función y los posibles máximos y mínimos relativos. denota con P4[].
El límite El cociente incremental de la

lím f(x + h) – f(x) , función polinomial p en el pun-
h→0 h to a se denota Q(h). Cuando
se usa para definir la derivada de una función de f en x. Si el límite existe, p  P4[], a   fijo, h  , tal
este y se denota con f'(x) o también con df (x). Esto se lee "f prima de x".
que h ≠ 0.
dx
f'(x) = lím f(x + h) – f(x) .
h→0 h
145
Cociente incremental
Recuerda que…
Sea p la función polinomial definida como p(x) = 2x3 – 1 con x  .
Dada una función f Fijemos el punto a = –2. Sea x = –2 + h con h ≠ 0, se tiene
definida en un subconjunto A p(–2) = 2 · (–2)3 – 1 = –17,
de , esta es derivable en x  A
si y solo si existe p(–2 + h) = 2(–2 + h)3 – 1 = –17 + 24h – 12h2 + 2h3.
lím f(x + h) – f(x) . El cociente incremental está definido como
h→0 h
En tal caso, este límite es notado p(–2 + h) – p(–2) –17 + 24h – 12h2 + 2h3 + 17
Q(h) = = =
df h h
(x), f'(x) llamado derivada 24 – 12h + 2h2, h ≠ 0.
dx
de f en x.
Para valores de |h| no nulos y cada vez más próximos a 0, el cociente
El proceso de cálculo de la incremental se aproxima cada vez a 24. Calculemos la distancia de 24
derivada consiste en formar el
a Q(h), esto es, d(24, Q(h)), h ≠ 0. Se tiene
cociente incremental:
f(x + h) – f(x) , d(24, Q(h)) = |24 – Q(h)| = |24 – (24 – 12h + 2h2)| = |12h – 2h2|.
h
donde x  A, h   con h ≠ 0, Por la desigualdad triangular, se tiene
x + h  A. d(24, Q(h)) = |12h – 2h2| ≤ 12|h| + 2h2.
A continuación, se realizan
los cálculos pertinentes en el Notemos que si 0 < |h| < 1, entonces 0 < h2 ≤ |h| < 1. Luego,
cociente incremental, para 1
0 < 12|h| + 2h2 < 1 siempre que 0 < |h| < . Así
simplificar. Luego se hace |h| 14
suficientemente pequeño, y se
d(24, Q(h)) = |12h – 2h2| ≤ 12|h| + 2h2 < 1 siempre que 0 < |h| < 1,
calcula
f(x + h) – f(x)
es decir, d(24, Q(h)) puede hacerse tan pequeño como se quiera, to-
lím . mando valores de |h| cada vez más cercanos a 0. En estas condiciones,
h→0 h
se dice que Q(h) se aproxima tanto como se quiera a 24. Se escribe
Al cociente incremental se le
denomina también tasa de p(–2 + h) – p(–2)
lím Q(h) = lím = lím(24 – 12h + 2h2) = 24,
variación de la función f en x. h→0 h→0 h h→0
El análisis de la función, el cálcu- que se lee “límite del cociente incremental igual a 24 cuando h tiende
lo de su derivada, la aplicación a 0”. A este valor se le llama derivada de la función p en el punto
de la derivada al trazado de su dp
gráfica, la aplicación al cálculo x = –2, y se escribe (–2) = 24, o también, p'(–2) = 24.
dx
de valores extremos, entre
otros, se estudian en el cálculo Ejercicio resuelto
diferencial. 1. Sean c   con c ≠ 0 y p la función polinomial definida por
p(x) = cx4 + 2x – 5, ∀x  . Sea a  , calculemos el cociente
incremental Q(h) para h  , tal que h ≠ 0.
Simbología matemática
Q(h) = p(a + h) – p(a) = c(a + h) + 2(a + h) – 5 – (ca + 2a – 5)
4 4

Las notaciones que se h h
= c(a + 4a h + 6a h + 4ah + h ) + 2a + 2h – 5 – ca – 2a + 5
4 3 2 2 3 4 4
usan más comúnmente para
denotar la derivada de una h
= ch(4a + 6a h + 4ah + h ) + 2h
3 2 2 3
función son:
dy , y', d [f(x)] , df(x) , h
dx dx dx = c(4a3 + 6a2h + 4ah2 + h3) + 2, h ≠ 0.
Dx f, Dx y, f'(x).
1
Para c = y a = 2, se tiene
Y se lee como “derivada de la 4
función y con respecto a x". p(2 + h) – p(2) 1
Q(h) = = (32 + 24h + 8h2 + h3) + 2, h ≠ 0.
146 h 4
Para valores de |h| no nulos y cada vez más próximos a 0, el cociente
incremental se aproxima cada vez a 10. Calculemos la distancia de 10 Interdisciplinariedad
a Q(h), esto es, d(10, Q(h)), h ≠ 0. Se tiene
Matemática e Historia
d(10, Q(h)) = |Q(h) – 10| = |
1
4
(32 + 24h + 8h2 + h3) + 2 – 10 = | El concepto de derivada de una
función real contiene la exis-
tencia del límite del cociente
| 1
|
6h + 2h2 + h3 , h ≠ 0.
4 incremental y sus aplicaciones.
Una de las primeras fue hallar la
Observamos que para |h| no nulo y suficientemente pequeño, ecuación de la recta tangente
a la gráfica de una curva en un
1
| |
|h| < 1, d(10, Q(h)) = 6h + 2h2 + h3 es también suficientemente
4
punto asignado.
pequeño. En efecto, sea ε > 0. Entonces, como 0 < |h3| < h2 ≤ |h|, y por Los primeros trabajos en esta
la desigualdad triangular, se tiene dirección fueron realizados por
Fermat, Newton, Leibniz entre
| 1
| 1
d(10, Q(h)) = 6h + 2h2 + h3 ≤ 6|h| + 2h2 + |h|3 <
4 4
33
4
|h| < ε, otros, pero, fue Fermat quién
obtuvo un método para hallar
4ε 4ε
de donde 0 < |h| < . Así, 0 < |h| < d(10, Q(h)) < ε, la ecuación de la recta tangente
33 33 a una curva definida por una
que significa que función polinomial mediante
el análisis del cociente incre-
p(2 + h) – p(2) 1
lím = lím (32 + 24h + 8h2 + h3) + 2 = 10. mental.
h→0 h h→0 4
El modelo de la derivada de una
A este número real se le llama derivada de la función p en el punto función real de una sola variable
dp real, como límite de la tasa de
x = 2. Se escribe (2) = 10.
dx variación, no ha sido superado
hasta la actualidad a pesar de
2. Sea p la función polinomial definida como p(x) = 12 – x4, ∀x  .
los grandes esfuerzos realizados
Calculemos el cociente incremental Q(h) con h   \ {0} y encon- por muchos matemáticos en el
tremos la derivada en a = 2. estudio de funciones.
Sea a  , calculemos el cociente incremental Q(h) para h  , En la actualidad el cálculo dife-
tal que h ≠ 0. De la definición de la función polinomial p y del rencial tiene gran importancia
cociente incremental se tiene en aplicaciones prácticas como
p(a + h) – p(a) 12 – (a + h)4 – (12 – a4) en procesos cognitivos y desa-
Q(h) = = rrollo de las ciencias en forma
h h
transversal.
h(–4a3 – 6a2h – 4ah2 – h3)
= = –4a3 – 6a2h – 4ah2 – h3; h ≠ 0.
h
Para a = 2, se tiene:
p(a + h) – p(a)
Q(h) = = –4(2)3 – 6(2)2h – 4(2)h2 – h3, h ≠ 0.
h
Para valores de |h| no nulos y cada vez más próximos a = 2, el
cociente incremental se aproxima cada vez a –32.
p(–2 + h) – p(–2)
lím Q(h) = lím =
h→0 h→0 h ab Glosario
c
lím(–4(2)3 – 6(2)2h – 4(2)h2 – h3) = –32, derivada. Valor límite de
h→0
la relación entre el incremento
que se lee "límite del cociente incremental igual a –32 cuando h del valor de una función y el
tiende a 0". Es decir, la derivada de la función p en el punto x = 2 incremento de la variable inde-
dp pendiente, cuando este
que se escribe (2) = –32.
dx tiende a cero.
147
Taller práctico
Estos ejercicios requieren el uso de una cal-
culadora científica.
DCCD. M.5.1.47. Calcular de manera intuitiva
la derivada de funciones polinomiales de gra-
do ≤ 4 a partir del cociente incremental.
1 Completa la siguiente tabla:
1
h h2 h2 – h
2
3 Para los valores de h, tal que |h| ≤ 0,1,
0,2
0,1 calcula –2h2, 4h3.
0,012
h –2h2 4h3
0,001 2 0,1
0,000 03 –0,04
a) Para h suficientemente pequeño, ¿son 0,004
1 –0,000 4
h2 y h2 – h suficientemente pequeños?
2 0,000 04
Justifica tu respuesta.
–0,000 004
a) Para h suficientemente pequeño, ¿a qué

número real tiende –2h2? Analiza de
modo similar para 4h3.
b) Calcula las distancias d(0, –2h2), d(0, 4h3) y

muestra los resultados en una tabla.
¿Qué puedes decir acerca de los resultados?
2 Para los valores de h, tal que | h | ≤ 0,2,
calcula
p = –2 – | h |, q = –2 + 4h2,
r = –2 – h + 10h3.
h p = –2 –|h| q = –2 +4h2 r = –2 – h + 10h3

–0,2
–0,015
–0,002 2 4 Para los valores de h, tal que |h| ≤ 0,1,
–0,000 33 calcula – 1 – 2h2, – 1 + 4h3.
–0,000 002
h – 1 – 2h2 – 1 + 4h2
a) Para h < 0 y que se aproxima a cero, calcula
0,1
p = –2 – |h|, q = –2 + 4h2,
–0,05
r = –2 – h + 10h3. ¿Tienden todos a –2?
0,005
b) Calcula las distancias d(–2, p), d(–2, q) y –0,000 2
d(–2, r). Muestra los resultados en una
0,000 03
tabla. ¿Qué puedes decir acerca de los
–0,000 001
resultados?
148
a) ¿Qué puedes decir acerca de los resultados? Trabajo colaborativo
b) Para |h| suficientemente pequeño, ¿a qué Diversidad funcional
número real tiende – 1 – 2h2, – 1 + 4h3? en el aula
Calcula y justifica tu respuesta en térmi-
nos de d(–1, –1 – 2h2) y de d(–1, –1 + 4h3). Al trabajar con estudiantes que tienen dificulta-
des de comunicación se debe crear situaciones
en las que pueda practicar el nuevo vocabulario
que se va empleando.
6 Considera la función polinomial p defi-

5 Considera que ε = 0,05, h  . En cada nida como p(x) = –3 – x3, ∀x  .
ítem se define un número real S. Mues- Calcula el cociente incremental Q(h),
tra que se satisface la desigualdad |S| < ε con h   \ {0}.
cuando |h| satisface la desigualdad que
se indica; o sea, |h| es pequeño, entonces
|S| es también pequeño respecto de ε.
Ten presente que si 0 < t < 1, entonces 7 Calcula tres números reales A, B, C sobre
t4 < t3 < t2 < t. [–0,3; 0,3]. Para valores |h| ≤ 0,3 que se
dan en la tabla.
a) S = 2h, |h| ≤ 0,012 5.
1
h A = 0,5 – h2 B = 0,5 + h2 C = 0,5 – 4 h2
0,3
–0,025
b) S = h2, |h| ≤ 0,05 , también |h| < 0,05. 0,001 5
–0,000 05
–0,000 002
a) Calculen:
1
A = 0,5 – h2, B = 0,5 + h2, C = 0,5 – h2.
c) S = 0,5h2, |h| ≤ 2 0,025 , también |h| < 0,05. 2
b) Calculen las distancias d = (0, 5, A),
d = (0, 5, B), d = (0, 5, C) y muestren los
resultados en la tabla.
c) Analicen y respondan. ¿A qué número

real tiende A = 0,5 – h2, B = 0,5 + h2,
d) S = h3, |h| ≤ 0,025 , también |h| < 0,05. 1
C = 0,5 – h2?
4
¿Qué pueden decir de los resultados?
149
DCCD: M.5.1.48. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones
polinomiales de grado ≤4, con apoyo de las TIC.
M.5.1.51. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones racionales cuyos numeradores y denominadores sean polinomios de grado ≤2, para
analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas funciones y graficarlas con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets).
M.5.1.52. Resolver aplicaciones reales o hipotéticas con ayuda de las derivadas de funciones polinomiales de grado ≤4 y de funciones racionales cuyos
numeradores y denominadores sean polinomios de grado ≤2, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.
Saberes previos
Interpretación geométrica del cociente
incremental y de la derivada
¿Cuál es la ecuación
cartesiana de la recta a partir de
dos puntos dados? ¿Cuál es la
pendiente de dicha recta?
Sean f  P4[], a  , fijo y h  , tal que h ≠ 0. El grafo de la fun-
¿Cómo interpretas ción f es el conjunto definido como G(f) = {(x, f(x))} | x  }.
geométricamente a la derivada?
Consideramos dos puntos del grafo de f: P0 = (a, f(a)), al que lo mante-
nemos fijo, y P = (a + h, f(a + h)), que variará conforme |h| tienda (se
aproxime) a cero. Determinemos la ecuación cartesiana de la recta Lh
que pasa por estos dos puntos. La ecuación cartesiana de la recta que
pasa por los puntos P0 = (a, f(a)) y P = (a + h, f(a + h)) está definida
como el conjunto de puntos que satisfacen la condición: (x, y)  2,
tales que y – f(a) = Q(h)(x – a), con h ≠ 0.
Observamos que la pendiente de la recta es el cociente incremental

Interdisciplinariedad f(a + h) – f(a)
Q(h) que se define como: Q(h) = , h ≠ 0.
h
En ocasiones en la vida
Luego, la ecuación cartesiana de la recta Lh se escribe como (x, y)  2,
nos enfrentamos a problemas
f(a + h) – f(a)
que requieren un mejor modo tal que y – f(a) = (x – a), con h ≠ 0.
de realizar las cosas. Por ejem-
h
plo un agricultor siempre trata En la Figura 4.1. se muestran las y
de escoger la mejor mezcla de Lh
posiciones de los puntos P1, P2,
cultivos de tal manera que sea P3, P4, …, que corresponden a
f(a+h1) P1
la más apropiada para aprove-
valores de h > 0 que tienden o L(1)h
char el suelo. Algunas veces un
problema de esta naturaleza
se aproximan a 0. También se L(2)h
P2
Ministerio de Agricultura y Ganaderia Ecuador, ( 2020). www.flirck.com
muestran las posiciones de las L(3)h

implica el uso de la derivada f(a+h4) P3
para su solución. rectas Lh(1), Lh(2), Lh(3), …, que pasan P4 L
f(a)
por el punto P0 y por cada uno P0
de los puntos P2, P3, P4, …, res- 0 a+h4 a+h1 x
pectivamente, y la recta tangen-
te L a la gráfica de la función f.
p Figura 4.1.
Para |h| que tiende a 0, los puntos P1, P2, P3, P4, … se aproximan cada
vez más a P0 = (a, f(a)), y las pendientes de las rectas Lh(1), Lh(2), Lh(3), …
se aproximan cada vez más a la pendiente m de la recta L. En tal caso
se escribe
f(a + h) – f(a) df(a)
m = lím Q(h) = lím = .
h→0 h→0 h dx
Así, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
df
polinomial f en el punto x = a es (a). La ecuación cartesiana de la
dx
recta tangente a la gráfica de la función f está definida como:
df(a)
(x, y)  2, tal que y – f(a) = (x – a).
150 dx
Análisis de funciones polinomiales de grado ≤ 4
Recuerda que…
Definición. Sean p  P4[].
i) Se dice que p es par, si y solo si se verifica la condición: Uno de los temas de
interés del cálculo diferencial
p(–x) = p(x), ∀x  . de funciones reales de una sola
variable es el análisis de la varia-
ii) Se dice que p es impar, si y solo si se verifica la condición: ción de la función. Esto significa
p(–x) = –p(x), ∀x  . que con cada función se debe
realizar el estudio de la determi-
Ejercicios resueltos nación de los subconjuntos del
1. La función p, definida como p(x) = –x4 + 5x2 –1, ∀x  , es una conjunto de salida en los que
función par. En efecto, la función es creciente, decre-
p(–x) = –(–x)4 + 5(–x)2 – 1 = –x4 + 5x2 – 1 = p(x), ∀x  . ciente, así como los valores
extremos de la función, es decir,
la existencia de los máximos o
2. La función u, definida como u(x) = x3 – 2x, ∀x  , es una fun-
mínimos locales, máximos o
ción impar. En efecto, mínimos globales, paridad de
u(–x) = (–x)3 – 2(–x) = –(x3 – 2x) = –u(x), ∀x  . la función, e intersección de la
gráfica de la función con los ejes
Definición. Sean p  P4[], A  , no vacío. coordenados.
i) Se dice que p es estrictamente creciente en el conjunto A, si y solo
si se verifica la condición:
∀u, v  A, u < v ⇒ p(u) < p(v).
ii) Se dice que p es creciente en el conjunto A, si y solo si se verifica la Interdisciplinariedad
condición:
∀u, v  A, u < v ⇒ p(u) ≤ p(v). Matemática y física
Para resolver diversos proble-
iii) Se dice que p es estrictamente decreciente en el conjunto A, si y mas vinculados al movimien-
solo si se verifica la condición: to de los cuerpos, así como
problemas de tipo geométrico
∀u, v  A, u < v ⇒ p(u) > p(v). en el ámbito de la óptica, utili-
iv) Se dice que p es decreciente en el conjunto A, si y solo si se verifica zamos el cálculo de derivadas y
la condición: los valores máximos y mínimos
de una función.
∀u, v  A, u < v ⇒ p(u) ≥ p(v).
La derivada de una función
v) Se dice que p es monótona en el conjunto A, si allí p es creciente puede interpretarse geométri-
o decreciente. camente como la pendiente
de una curva, y físicamente,
En cursos más avanzados se demuestra que una función p es estric- como una razón instantánea de
cambio.
tamente creciente en el conjunto A, si y solo si df(x) > 0, ∀x  A.
dx
De manera similar, p es estrictamente decreciente en el conjunto A,
Shutterstock, (2020). 377986132
si y solo si df(x) < 0, ∀x  A.

dx
La función p es creciente en el conjunto A, si y solo si
df(x)
≥ 0, ∀x  A; y, p es decreciente en el conjunto A, si y solo si
dx
df(x)
≤ 0, ∀x  A. p Lente de cámara.
dx
151
Definición. Sean p  P4[], c  . Se dice que c es un punto
df(c)
crítico de la función p, si = 0.
dx
Recuerda que… La búsqueda de puntos críticos de una función p conduce a resolver

df(c)
ecuaciones de la forma = 0.
La derivada de una dx
función cúbica es una función Estos puntos tienen mucho interés en las aplicaciones.
cuadrática.
Así, sea p la función polinomial Definición. Sean p  P4[], A  , no vacío, c  A.
definida por
p(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 1, ∀x  . i) Se dice que p(c) es un mínimo local de la función p, si y solo si
p(c) ≤ p(x), ∀x  A.
La derivada primera es ii) Se dice que p(c) es un máximo local de la función p, si y solo si
dp
= p'(x) = 6x2 + 6x – 36, p(c) ≥ p(x), ∀x  A.
dx
∀x  . iii) Se dice que p(c) es un valor extremo local, si y solo si este es máxi-
mo o mínimo local en el conjunto A.
Si la función p tiene un mínimo
La determinación de extremos locales conduce a la resolución de
global, se escribe
ecuaciones e inecuaciones.
p(c) = mín p(x),
x
lo que se lee “mínimo de la Definición. Sean p  P4[], c  .

función p cuando x recorre
todo ". Se tiene la siguiente i) Se dice que p(c) es un mínimo global de la función p, si y solo si
equivalencia: p(c) ≤ p(x), ∀x  .
p(c) = mín p(x) ⇔ ii) Se dice que p(c) es un máximo global de la función p, si y solo si
x p(c) ≥ p(x), ∀x  .
p(c) ≤ p(x), ∀x  .
De manera similar, si la función Ejercicio resuelto
p tiene un máximo global, se Sea p la función polinomial definida por
escribe
p(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 1, ∀x  .
p(c) = máx p(x),
x
lo que se lee “máximo de la Analicemos esta función, es decir, determinemos los intervalos en los
función p cuando x recorre que la función es monótona, así como la determinación de los valores
todo ". Se tiene la siguiente extremos locales y globales, y la paridad de la función. Para el efecto,
equivalencia: sea x  , calculemos el cociente incremental Q(h) para h  , tal
p(c) = máx p(x) ⇔ que h ≠ 0. De la definición de la función polinomial p y del cociente
x incremental, se tiene:
p(c) ≥ p(x), ∀x  .
p(x + h) – p(x)
Q(h) = =
h
2(x + h)3 + 3(x + h)2 – 36x + 1 –(2x3 + 3x2 – 6x + 1)
=
h
2(x +3x h+3xh +h )+3(x +2xh+h2)–36(x+h)+1–(2x3+3x2–36x+1)
3 2 2 3 2
=
h
= 2h(3x + 3xh + h ) – 3h(2x + h) – 36h
2 2

h
= 6x + 6x – 36 + 6xh + 2h2 + 3h, h ≠ 0.
2
152
Luego,
dp(a) = lím Q(h) = lím p(a + h) – p(a) Interdisciplinariedad
dx h→0 h→0 h Matemática e historia
= lím (6x2 + 6x – 36 + 6xh + 2h2 + 3h) = 6x2 + 6x – 36, ∀x  . A través de la historia se
reconoce que a finales del siglo
dp(a) XVII y principios del XVIII se
En primer lugar, determinamos los puntos x   en los que = 0.
dx dio origen al cálculo diferencial
a partir de algunos problemas,
Se tiene por ejemplo, el trazado de la
dp(x) = 0 ⇔ 6x2 + 6x – 36 = 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x = –3 ∨ x = 2. tangente a una curva y las con-
dx diciones para obtener máximos
La función p es estrictamente creciente, si y solo si dp(x) > 0. y mínimos, la velocidad de los
dx cuerpos en movimiento, entre
dp(x) otros.
Entonces, > 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) > 0 ⇔ x  ]–∞, –3[  ]2, ∞[,
dx
Flavio Muñoz M., (2020). Colección Rally

y la función es estrictamente decreciente, si y solo si dp(x) < 0, luego
dx
dp(x)
< 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) < 0 ⇔ x  ]–3, 2[.
dx
Estos resultados se resumen a continuación:
p estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, –3[  ]2, ∞[,
p Auto de rally.
p estrictamente decreciente en el intervalo ]–3, 2[.
En el punto x = –3, la función p tiene un máximo local, mientras que

en x = 2, la función tiene un mínimo local. Determinemos si este es
mínimo global. Para ello, escribimos p(x) como sigue:
ab Glosario
c
p(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 1 = x3 2 + 3 – 362 + 13 , ∀x  . diferencial. Diferencia
x x x
infinitamente pequeña de una
Para x > 0 suficientemente grande, se tiene que x3 > 0 es mucho más variable.
grande, mientras que 3 , 362 y 13 son positivos y tienden a cero.
x x x
Con estas características, decimos que p(x) → ∞, lo que se lee “p(x)
tiende a infinito cuando x tiende a infinito”. En forma similar, para
x < 0, tal que | x | suficientemente grande, se tiene x3 → –∞ Conexiones con las TIC
(| x |3 es suficientemente grande), mientras que 3 , 362 y 13 tienden Para conocer más sobre
x x x
a cero. Resulta así que p(x) → –∞. En el punto x = 2, la función p tiene derivadas, visita esta página:
un mínimo local, y en el punto x = –3 la función p tiene un máximo local. bit.ly/2V8Nfsv
Por otro lado, p(0) = 1, es decir que la gráfica de la función p corta al

eje y en el punto (0, 1). Para hallar los puntos de corte de la gráfica de
p con el eje x, se debe resolver la ecuación en el conjunto :
p(x) = 0 ⇔ 2x3 + 3x2 – 36x + 1 = 0,
lo cual no es tarea fácil.
La función p no es par, pues p(–x) ≠ p(x), ∀x  ; tampoco es impar,

ya que p(–x) ≠ –p(x), ∀x  .
153
Taller práctico
DCCD. M.5.1.48. Interpretar de manera geomé- d) lím h3 = 0.
trica (pendiente de la secante) y física el cociente h→0
incremental (velocidad media) de funciones po-
linomiales de grado ≤ 4, con apoyo de las TIC.
1 En cada ítem se indica el valor del límite.
Justifica la respuesta en términos de la
distancia entre el valor del límite L que se
indica, y el que figura dentro del símbolo
de límite, que es la función real a la que
notamos con S(h). 2 Encuentra el límite que se indica. Justifi-
Esto es, d(S(h), L) = |S(h) – L| < 0,000 1 ca la respuesta en términos de la distancia
(*) siempre que |h| < δ , donde 0 < δ < 1 entre el valor del límite L y el término que
se escoge en forma apropiada de (*). Por figura dentro del símbolo de límite, que
ejemplo, lím(5 – 3h + 0,1h2) = 5, pues si es la función real a la que notamos con
h→0 g(h). Esto es, d(g(h), L) = |g(h) – L| < ε(*)
S(h) = 5 – 3h + 0,1h2 para h  , entonces
siempre que |h| < δ, donde 0 < δ se esco-
d(5, S(h)) = |5 – 3h + 0,1h2 – 5| = ge en forma apropiada de (*).
|–3h + 0,1h2| ≤ 3|h| + 0,1h2 ≤
3|h| + 0,1|h| ≤ 3,1|h| < 0,000 1. a) lím (–1 – h).
h→0
De la desigualdad
d(5, S(h)) ≤ 3,1|h| ≤ 0,000 1 se obtiene
|h| < 0,000 1 = δ. Notemos que |h| < 1.
3,1
Así, |h| < 0,000 1= δ ⇒ d(5, S(h)) < 0,000 1,
3,1
o sea que si |h| es suficientemente pe-
b) lím (2 – 2h).
queño, entonces d(5, S(h)) también lo es. h→0
a) lím (–1 + h2) = –1.

h→0
c) lím 1 h2.
h→0 5
b) lím (–2 + h3) = –2.
h→0
1 2 d) lím 125 h3.

c) lím (1 – h ) = 1. h→0 4
h→0 5
154
1
3 c) S(h) = h – 0,4h3, |h| < 0,55.
Encuentra el límite que se indica y justi- 2
fica la respuesta.
a) lím (0,3 + h2) = 0,3.

h→0
1 3
d) S(h) = 0,1h – 5h2 + h , |h| < 0,002.
2
b) lím (0,1 – 2h2) = 0,1.

h→0
Trabajo colaborativo
4 Supón que ɛ = 0,05, h  . En cada ítem
en el aula
se define una función real S. Muestra
que se satisface la desigualdad |S(h)| < ɛ Cuando en el aula existen estudiantes con difi-
cuando |h| satisface la desigualdad que cultades de aprendizaje es conveniente revisar
se indica (pueden darse muchas otras en clase en forma oral las respuestas de las
desigualdades); o sea, |h| es pequeño, actividades planteadas.
entonces |S(h)| es también pequeño res-
pecto de ɛ. Ten presente que si 0 < t < 1,
entonces t4 < t3 < t2 < t. Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
7 4
a) S(h) = 2h3 –
10
h , |h| < 0,1. 5 Consideren la función polinomial p defi-
nida como p(x) = –5 – x3, ∀x  .
a) Calculen el cociente incremental Q(h) con

h   \ {0} y prueben que la derivada es
dp(x)
= –3x2, ∀x  .
dx
Para ello, justifiquen que la distancia
1 2 1 4 d Q(h)), dp(x) es suficientemente
b) S(h) = –5 h + h , |h| < 0,02.
4 2 dx
pequeña para |h| suficientemente pequeño.
b) Prueben que la función es decreciente y la

función no es par o impar.
c) Demuestren que la función es biyectiva.
155
DCCD: M.5.1.49. Interpretar de manera geométrica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, velocidad instantánea) de funciones
polinomiales de grado ≤ 4, con apoyo de las TIC. M.5.1.50. Interpretar de manera física la segunda derivada (aceleración media, aceleración instantánea)
de una función polinomial de grado ≤4, para analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas funciones y graficarlas con apoyo de
las TIC (calculadora gráfica, software, applets).
Saberes previos
Interpretación física de la primera
y segunda derivada
¿Cómo calculas la pri-
mera derivada de una función
polinomial de grado ≤4?
Velocidad media e instantánea, aceleración
Desequilibrio cognitivo En física, en el estudio de la cinemática de un cuerpo, una de las apli-
caciones de las derivadas de funciones reales es el cálculo de la velo-
¿Qué aplicaciones tiene cidad y de la aceleración de cuerpos.
la derivada de una función
polinomial ≤4? Consideremos un automóvil que se mueve en una vía que supone-
mos horizontal y recta. El conductor observa un obstáculo en la vía
y frena. La función de desplazamiento de este automóvil, medido en
metros, está definida como
S(t) = 3 + 15t – 0,5t2 – 0,025t4, t > 0.
Recuerda que…
Para funciones polino- Calculamos los desplazamientos en los cinco primeros segundos:
miales de grado 2, la derivada
de esta función se aplicó a la S(1) = 17,475 m, S(2) = 30,6 m, S(3) = 41,475 m, S(4) = 48,6 m,
obtención de la pendiente de S(5) = 49,875 m.
la recta tangente a la gráfica del
polinomio en un punto asigna- Calculamos la velocidad v(t) en cada uno de estos instantes. Para el
do, al cálculo de velocidades, efecto, calculamos la derivada de la función S. Se tiene
aceleraciones de cuerpos así,
S(t + h) – S(t)
si p es un polinomio de grado 2, v(t) = lím = 15 – t – 0,1t3, t > 0.
h→0 h
a  , se tiene:
dp Desde el punto de vista físico, la velocidad mide el cambio de despla-
m= (a) pendiente,
dx
zamiento instantáneo. Notemos que la velocidad se mide en
dp
v(t) = (t) velocidad, metros , lo que se abrevia m (también en kilómetros , que se
dt
d2p segundos s horas
a(t) = 2 (t) aceleración. km
dt escribe ). En los automotores se tiene un dispositivo que mide
h
Nota que: la velocidad, llamado velocímetro. En el panel de los automotores, la
d
a(t) =
dt
(v(t)) velocidad a la que este se mueve se marca en km . Calculamos
h
d dp d2p m m
= = 2. algunos valores de velocidades v(1) = 13,9 , v(2) = 12,2 ,
dt dt dt s s
m m m
v(3) = 9,3 , v(4) = 4,6 , v(5) = 2,5 .
s s s
Observamos que la velocidad decrece, y que, en casi cinco segundos,
el automóvil se detiene, habiendo recorrido aproximadamente 49 m.
La aceleración se denota con a(t) y se define como

dv
a(t) = (t) = lím v(t + h) – v(t) .
dt h→0 h
Desde el punto de vista físico, la aceleración mide el cambio de velo-
cidad instantáneo. Dado que
S(t + h) – S(t) d2S
v(t) = lím , tenemos que a(t) = 2 (t).
h→0 h dt
156
La aceleración se mide en (metro/segundo) , lo que se abrevia m2 .
segundo s
Para la función de desplazamiento S, se tiene
v(t + h) – v(t)
a(t) = lím
h→0 h
15 – (t + h) – 0,1(t + h)3 – (15 – t – 0,1t3)
= lím
h→0 h
= lím (–1 – –0,03t2 – 0,3ht – 0,1h2)
h→0
= –1 – 0,3t2, t > 0.
Calculamos la aceleración en los primeros cinco segundos:

a(1) = –1,3 m2 , a(2) = –2,2 m2 , a(3) = –3,7 m2 , a(4) = –5,8 m2 ,
s s s s
m
a(5) = –8,5 2 .
s
El signo negativo de la aceleración significa que la velocidad decrece.
Este ejercicio requiere el uso de una calculadora científica.
1. En una pista larga y recta, un automóvil parte del reposo.

Su velocidad, en m , está dada por:
s
1 2
V(t) = 2 t , si t ≤ 8, Interdisciplinariedad
33,6 – 0,2t, si t > 8.
Matemática y fenóme-
a) Calculamos la velocidad y la aceleración en t = 5 s. nos físicos
Para calcular la velocidad en t = 5 s, reemplazamos este valor en la Muchos fenómenos físicos que
primera función. implican cantidades variables
(por ejemplo, la velocidad de
V(5) = 1 t2 ; un cohete, la devaluación de la
2
moneda por la inflación, el nú-
V(5) = 1 (5)2 = 25 = 12,5 m . mero de bacterias de un cultivo,
2 2 s
la intensidad de un movimien-
Determinamos la aceleración en t = 5 s. to telúrico, el voltaje de una
señal eléctrica, entre otras) son
La función V(t) = 1 t2 , t ≤ 8 es una función polinómica; por lo estudiados en la asignatura de
2 Física y en otras áreas mediante
tanto, es derivable en t = 5s. derivadas.
a(t) = dv (t) = lím v(t + h) – v(t) , a(t) = 1 lím (t + h) – t

2 2

dt h→0 h 2 h→0 h
Shutterstock, (2020). 458325136
a(t) = 1 lím t + 2th + h – t ; a(t) = t; a(5) = 5 m2 .

2 2 2

2 h→0 h s
b) Constatamos si existe aceleración al instante t = 8.
Para ello, se verifica si la función es continua y derivable en 8. Se
comprueba, entonces, que en t = 8 la función es continua pero no p Nave espacial.
derivable.
157
Taller práctico
Estos ejercicios requieren el uso de una cal- c) Procediendo como en el caso anterior,
culadora científica. muestra que d p(x)
3
= 600x – 72x, ∀x  .
dx3
DCCD. M.5.1.49. Interpretar de manera geomé-
trica y física la primera derivada (pendiente de la
tangente, velocidad instantánea) de funciones
polinomiales de grado ≤4, con apoyo de las TIC.
1 Sea p la función polinomial definida como
p(x) = –8x2 + x4, ∀x  .
a) Calcula el cociente incremental y prueba que

dp(x) = –16x + 4x3, ∀x  .
dx
3 En cada ítem se define un polinomio p

de grado ≤ 4. Calcula el cociente incre-
mental Q(h) con h   \ {0}, y prueba
que la derivada es la que se precisa.
Estudia en cada caso la monotonía de
b) Mediante el cálculo del cociente incremen- la función y la existencia de máximos o
tal, prueba que mínimos locales y globales. Discute si la
d2p(x) función es par o impar.
= –16 + 12x2, ∀x  .
dx2
a) p(x) = –2x2 + 3x4, ∀x  .
dp(x) = –4x + 12x3, ∀x  .
dx
c) Procediendo como en el caso anterior,

d3p(x)
muestra que = 24x, ∀x  .
dx3
b) p(x) = 5x – x4, ∀x  .
dp(x) = 5 – 4x3, ∀x  .
dx
2 Sea p la función polinomial definida como

p(x) = 100x3 – 3x4, ∀x  . c) p(x) = 3 – 2x – x3, ∀x  .
dp(x) = –2 – 3x2, ∀x  .
a) Calcula el cociente incremental y prueba que dx
dp(x)
= 300x2 – 12x3, ∀x  .
dx
b) Mediante el cálculo del cociente incremental,
d2p(x)
prueba que = 600x – 36x2, ∀x  .
dx2
158
4 Una pista de un aeropuerto tiene una lon-
gitud de 3 000 m. Para despegar, un tipo
de avión debe alcanzar una velocidad de
al menos 280 km en los 30 primeros
segundos.
h Trabajo colaborativo
La función de posición viene dada por Diversidad funcional
S(t) = 2t + 0,95t2 + 0,11t3, t  [0,60], en el aula
medida en metros.
Al trabajar en equipo con compañeros con
a) En 30 segundos, ¿alcanza el avión la veloci- necesidades educativas especiales es necesario
dad mínima requerida? explicar con claridad la actividad de aprendizaje
y la integración grupal que se persigue.
5 En el mismo aeropuerto del ejercicio

anterior, un avión de carga debe alcanzar
b) Calcula la distancia recorrida en 30 km
una velocidad mínima de 216 .
segundos. h
La función de posición está dada por
S(t) = 0,05t + 0,2t2 + 0,008t3, t  [0, 60],
medida en metros.
a) Calcula el tiempo t en el que

km
el avión alcanza la velocidad de 216 .
h
c) ¿Qué aceleración alcanza el avión en 30 b) Calcula la distancia recorrida en ese tiem-

segundos? po y su aceleración.
c) Calcula la distancia recorrida, y la velocidad

y aceleración alcanzada al instante t = 60 s.
6 Sea p la función polinomial definida

como p(x) = ax + bx3 + cx5, ∀x  ,
d) En 40 segundos, ¿qué distancia ha recorri-
donde a, b, c   fijos y no todos nulos.
do? ¿Qué velocidad tiene el avión?
a) Prueben que p es una función impar.
b) Demuestren que
dp(x)
= a + 3bx2 + 5cx4, ∀x  .
dx
c) Supongan a > 0, b > 0, c > 0. Prueben que
p es estrictamente creciente en todo .
e) ¿A qué distancia del extremo del aeropuer-
d) Demuestren que d p(x)
2
to se encuentra el avión al minuto de haber = 6bx + 20cx3,

dx2
iniciado el despegue? ∀x  .
159
cotidianos
Aplicación de la regla de la cadena = 6 k + 2kl(t) k
2
1. El volumen de un cubo de lado l (medido en cm) k h

está definido como V = l 3 en cm3. El área lateral
= 6[k + 2l(t)] l(t + h) – l(t) .
de la superficie del cubo es S = 6 l 2 en cm2, donde h
l > 0 designa la longitud del lado. Se definen dos S(t + h) – S(t) l(t + h) – l(t) ,
Así, = 6[k + 2l(t)]
funciones: una del área de la superficie lateral del h h
cubo y la función volumen del cubo. Las dos fun- h ≠ 0.
ciones son estrictamente crecientes.
De manera similar con la función V
S: ]0, ∞[ → ]0, 2∞[ , V: ]0, ∞[ → ]0,3 ∞[ . V(t + h) – V(t) V(l(t + h)) – V(l(t))
l → S(t) = 6l l → V(t) = l =
h h
Supongamos que la longitud del lado del cubo es l(t + h) – l(t)
= [k + 3kl(t) + 3l (t)]
2 2
, h ≠ 0.
una función del tiempo, esto es, h
[0, T] → [0, ∞[ , donde t denota el tiempo. ii. Calculamos la derivada de la función S. Toman-
l:
t → l(t) do límites en el cociente incremental, se tiene
Se asume que esta función es derivable en cada dS(t) S(t + h) – S(t)
dl l(t + h) – l(t) = lím
t  ]0, T[, esto es, (t) = lím . dt h→0 h
dt h→0 h l(t + h) – l(t)
= lím 6[k + 2l(t)] =
Nos interesa calcular las tasas de variación (co- h→0 h
cientes incrementales) de las funciones S, y V, así = 12l(t) dl(t) .
como sus derivadas dt
dS (t) = dV (t), de modo que, conociendo una Nota que la existencia de una derivada implica

dt dt la existencia de la otra. Calculamos la derivada
de estas tres derivadas, puedan calcularse las otras de la función V.
dos. Es claro que podemos definir las funciones dV(t) V(t + h) – V(t)
= lím
compuestas (Sol)(t), (Vol)(t) como sigue: dt h→0 h
l(t + h) – l(t)
S(t) = (Sol)(t) = S(l(t)) = 6l2(t), ∀t  [0, T], = lím[k2 + 3kl(t) + 3l2(t)]
h→0 h
V(t) = (Vol)(t) = V(l(t)) = l3(t), ∀t  [0, T]. dl(t)
= 3l2(t) = .
dt
i. Calculamos los cocientes incrementales de las
funciones S y V. Las relaciones buscadas son
Sea t  [0, T], h   con h ≠ 0, tal que dS(t) dl(t)
= 12l(t) , ∀t  [0, T],
x + h  [0, T]. dt dt
dV(t) dl(t)
Como la función l es derivable, entonces = 3l 2(t) , ∀t  [0, T].
dt dt
l(t + h) – l(t)h→
→0
0.
Supón que el volumen del cubo está aumentando
Ponemos k = l(t + h) – l(t) ≠ 0, luego a razón de 10 cm3/s cuando l(t) = 20 cm. Calcula-
l(t + h) = k + l(t), mos la razón de cambio del área de la super-
ficie del cubo. Se tiene dV = 10 cm , entonces:
3
S(t + h) – S(t) S(l(t + h)) – S(l(t))
= dt s
h h 1 cm
2 dl(t) dl(t)
S(k + l(t)) – S(l(t)) 10 = 3 × (20 ) = ,
= dt dt 120 s
h
dS(t) dl(t) 1 cm2
S(k + l(t)) 2
– 6l2(t)) = 12l(t) = 12 × 20 × =2 .
= dt dt 120 s
h
k2 + 2kl(t) + l2(t) – l2(t) k Este es un ejemplo de derivación de funciones
=6
h k compuestas, conocido como regla de la cadena.
160
La matemática y la física
¿Qué tiene que ver la matemática con velocidad y tiempo tratados en física?
En física, las derivadas se aplican en aquellos casos en los que es ne-

cesario medir velocidades, no solo de un cuerpo sino también de
crecimiento, de decrecimiento, de enfriamiento y de separación de
Shutterstock, (2020). 215569234

fluidos. En general, se puede calcular la rapidez con que se produce
el cambio de una magnitud o situación.
Uno de los múltiples casos es la velocidad instantánea. El concep-

to de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo es la deri-
vada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.
Por ejemplo, si la posición de un objeto, en función del tiempo, está

dada por la ecuación
p Persona corriendo y medición del tiempo.
x(t) = 2t – 4, su velocidad es la primera derivada x' (t) = 2.
Si la posición de un objeto está determinada por la ecuación
x(t) = –16t2 + 16t + 32, entonces su velocidad es la primera derivada x' (t) = –32t + 16.
La matemática
y las profesiones
La matemática en la Ingeriería Civil

Un ingeniero o ingeniera civil debe tener dominio de los conceptos
que sustentan la resistencia de materiales y los modelos matemáticos
del cálculo diferencial para analizar y precisar el comportamiento de
los materiales utilizados en la construcción.
El campo de acción de un profesional en Ingeniería Civil es la cons-

trucción, la administración de ambientes urbanos, el mantenimiento,
control y operación de obras, planificación, diseño, construcción, con-
Shutterstock, (2020). 291609950
servación y operación de obras civiles, manejo de recursos hídricos y,

en general, la organización territorial en lo que respecta a obras civiles.
El entorno de trabajo de un ingeniero o ingeniera civil son las institu-

ciones públicas y privadas, donde se desempeñan funciones encami-
nadas a atender las necesidades del desarrollo social en términos de p Cálculo en la ingeniería.
planificación, organización, elaboración de proyectos, diseño, cons-
trucción y mantenimiento de la infraestructura física requerida en los
sectores de comunicación, salud, educación, recreación, turismo e
industria, entre otros.
Adaptado de: http://www.epn.edu.ec/wp-content/uploads/2014/07/Catálo-
go-de-la-Facultad-de-Ingenier%C3%ADa-Civil-y-Ambiental.pdf
161
TIC
GeoGebra para graficar la derivada
de una función ≤ 4
GeoGebra es un software dinámico de uso libre. Para comprobar que la
derivada de una función es correcta, podemos graficarla con la ayuda de
GeoGebra.
Gráfica de funciones
Ingresamos la función en la barra de Entrada.
Toma en cuenta la manera de digitar la función. Por ejem-

plo, a: f(x)=x3 – 1 deberás digitarla como se observa en la
barra de Entrada.
Haces clic y el programa automáticamente muestra

la función, tanto en la Vista Algebraica como en
la Vista Gráfica.
Revisa la relación de los ejes p. Para ello, haz doble clic

sobre la cuadrícula y elige Eje X : Eje Y. La relación es 1:1.
Ahora, define el máximo por

mostrar que se evidenciará en
los ejes. Haz doble clic sobre la
cuadrícula y elige Vista Gráfica.
Para x elige, por ejemplo,

Min –1 y Máx 3.
Para y elige, por ejemplo,
Min –1,5 y Máx 3.
Introduce un punto P,
que tenga de
coordenadas P =
2 ,– 7 .
3 8
Para ello, ingresamos las coordenadas
en la barra de Entrada.
Ahora, traza la recta tangente a

la función en el punto P. Elige la
ventana de rectas y selecciona
Tangentes. Luego, haz clic sobre
la gráfica de la función, en el
punto P.
162
Gráfica de la derivada de una función ≤ 4
Ubica otro punto sobre la gráfica de
la función. Elige la segunda ventana
y selecciona Punto. Luego, haz clic
sobre la gráfica de la función. Será
el punto A.
Traza rectas paralelas a los

ejes x y y, que pasen por los
puntos P y A.
Elige la segunda ventana de

rectas y selecciona Recta Para-
lela. Luego, haz clic sobre cada eje y el respectivo punto.
Encuentra el punto de intersección de las rectas paralelas

a los ejes x y y. Será el punto C.
Traza los segmentos PC y AC.

Elige la ventana de segmentos
y selecciona Segmento. Luego,
haz clic sobre los puntos P y
C y luego, sobre los puntos A
y C. Elige el estilo de los seg-
mentos;, puedes colocarlos
con línea cortada para identificarlos mejor.
Ahora realiza la razón de

cambio, introduce en la barra
de Entrada la razón =
delta x .
delta y
Traza la secante que pase por los puntos P y A.
Esta es la recta secante a la función f(x) = x3 – 1.
Elige la ventana de segmentos y selecciona Recta.

Luego, haz clic sobre los puntos P y A.
Al deslizar el punto A sobre la función delta

x varía el valor, aproximándose cada vez a
cero.
163
Justificación
Tema: Cálculo de El estudio del cálculo diferencial es muy útil en Ingeniería Civil y en
la resistencia de
otras áreas. El cálculo de máximos y mínimos a través de la derivada
permite conocer las dimensiones de una viga que debe soportar un
una viga y cálculo determinado peso.
diferencial Objetivos
• Calcular la máxima resistencia de una viga de madera, en función
de sus dimensiones (espesor, ancho, largo).
Actividades
Recursos
• Diseños de la sección • Formar equipos de trabajo, con no más de tres estudiantes por grupo.
transversal de un tronco • Consultar el concepto de viga —a partir del conocimiento que se
de madera. tiene en Ingeniería y Arquitectura— como un elemento estructu-
ral lineal que trabaja principalmente a flexión.
• Revisar los elementos y ecuaciones de la elipse.
• Calcular la resistencia de una viga de madera, conociendo que está
determinada por la relación directamente proporcional entre su
ancho y el cuadrado del espesor. Aplicar el cálculo de máximos y
mínimos a partir de la primera derivada.
Toma en cuenta que la viga puede cortarse de un tronco cuya sec-
ción transversal es una elipse de semiejes a (mayor) y b (menor).
x2 y2
I 1. 2 + 2 = 1.
a b
x
2. R = (2x)(2x)2 = 8xy2, siendo R resistencia, 2x ancho de la viga (a),
2y espesor de la viga (b).
F
x 3. b2x2 + a2y2 = a2b2. Multiplicamos la ecuación (1) por a2b2.
b2x2
4. y2 = b2 – 2 . Despejamos y2 de la ecuación (4).
a
b2x2
R = 8xy2 = 8x b2 – 2 . Introducimos ecuación (4) en
barra a
ecuación (2).
b b x
2 3
2y 5. R = 8 xb2 – 2 . Introducimos la variable x dentro del
a
paréntesis.
2x x2 y2
+ =1 dR 3b2x2
a2 b2 6. = 8 b2 – 2 e igualamos a cero.
dx a
a
Despejamos x de esta ecuación: x = (c).
3
b2
2 2
7. Remplazamos x, y2 = b2 – = b2 y obtenemos y = b (d).
k 3 3 3
Resultados
a 2
2x Ancho de la viga: 2x = 2 . Espesor de la viga: 2y = 2b .
3 3
2y Recomendación
Consultar más información sobre el uso de derivadas en el cálculo de
resistencia de vigas de acero, de madera en estructuras.
Adaptado de: http://es.slideshare.net/michaelpradomacias/
proyecto-clculo-i-definitivo
164
En síntesis
Shutterstock, (2020). 250606393

Derivadas de funciones polinomiales de
grado ≤ 4 y de funciones racionales
p Gráficas de funciones.
Cociente incremental de una función Análisis de funciones

polinomial de grado ≤4 . Definición polinomiales de grado ≤4
Análisis de funciones polinomiales de grado

Obtención intuitiva de la derivada menor o igual a 4:
• Paridad
• Monotonía
• Máximos y mínimos absolutos y relativos
Derivada de las funciones constante,

lineal y cuadrática
Interpretación física de la primera
y segunda derivadas
Interpretación geométrica
del cociente incremental
165
M.5.1.48. Interpretar de manera geométrica
Heteroevaluación (pendiente de la secante) y física el cociente
incremental (velocidad media) de funciones
M.5.1.47. Calcular de manera intuitiva la polinomiales de grado ≤ 4, con apoyo de las TIC.
derivada de funciones polinomiales de gra- 4 Sea p la función polinomial definida
do ≤ 4 a partir del cociente incremental.
1 Considera que ε = 0,05 para h  . En como p(x) = a + bx2 + cx4, ∀ x  ,
cada ítem se define un número real S. donde a, b, c   fijos y no todos nulos.
Muestra que se satisface la desigualdad
a) Prueba que p es una función par.
cuando | S | < ε y cuando | h | satisface la
desigualdad que se indica. O sea, | h | es dp(x)
b) Muestra que = 2bx + 4cx3, ∀ x  .
pequeño, entonces | S | es también pe- dx
queño respecto de ε. Ten presente que si c) Supón b > 0, c > 0. Prueba que p es
0 < t < 1, entonces t4 < t3 < t2 < t. estrictamente decreciente en ]–∞, 0[ y
estrictamente creciente en ]0, ∞[. Además,
a) S = 5h3, | h | < 0,01. demuestra que p(0) es mínimo global.
0,05 d2p(x)
b) S = 2h – h2, | h | < . d) Muestra que = 2b + 12cx2, ∀x  .
2 dx2
c) S = –h – h2, | h | < 0,025.
e) Mediante cálculo del cociente incremental,
d3p(x)
obtén = 24cx, ∀x  .
2 Sea p la función polinomial definida dx3
1
como p(x) = 4 + x – x4, ∀x  .
4 5 Un objeto se mueve en línea recta de
a) Calcula el cociente incremental Q(h) con acuerdo con la ecuación s(t) = 2t2 – 6t + 4,
h   \ 0, y prueba que la derivada t ≥ 0, donde s(t) representa el desplaza-
dp miento del objeto medido en metros, y t
es (x) = 1 – x3, ∀x  .
d(x) es el tiempo medido en segundos.
Para ello, muestra que la distancia
dp(x) a) ¿Cuál es la velocidad del objeto al cabo de
d(Q(h), es suficientemente pequeña 2s y 5s?
dx
para | h | suficientemente pequeño.
b) ¿En qué instante el objeto se encuentra en
b) Prueba que la función es decreciente en reposo?
el intervalo ]1, ∞[ y creciente en el intervalo c) ¿Cuál es la aceleración del objeto al cabo de
]–∞, 1[. 2s y 5s?
c) Muestra que máx p(x) = 19 .
4
6 Se observa el movimiento que describe
d) Prueba que la función no es par ni impar.
una partícula determinada por la expre-
sión S(t) = 2t3 – 6t2 + 28t – 10, donde S(t)
3 Calcula la primera derivada de las representa la distancia recorrida por la
siguientes funciones polinómicas de partícula medida en metros, y t represen-
grado ≤ 4. ta el tiempo transcurrido en segundos.
a) f(x) = 4 – 5x2 + 7x3, x  . a) Determina la posición, velocidad y ace-

leración de la partícula en los siguientes
b) f(x) = –x + 3x2, x  . instantes: t = 0s, t = 1s, t = 5s, t = 10s.
c) f(x) = –5x + 2, x  . b) Usa una calculadora gráfica o un software y
d) f(x) = x – 2x + 4, x  .
4
representa gráficamente v – t y a – t.
166
puesta correcta. 9 La tercera derivada
d3p
del polinomio anterior, 3 (x), es:
dx
7 Sea p(x) = x4, ∀x  . Entonces, a) p'''(x) = 24x4, ∀x  .
dp(x) (x + h)4 – x4 b) p'''(x) = 24x3, ∀x  .
(x) = lím .
dx h→0 h c) p'''(x) = 24x2, ∀x  .
La primera derivada es igual a: d) p'''(x) = 24x, ∀x  .
a) p'(x) = 4x4 + 4.
b) p'(x) = 3x4 + 4. 10 Sea f(x) = 3x2 – x + 5, ∀x  . Entonces,
c) p'(x) = 3x4.
la primera derivada es igual a:
d) p'(x) = 4x3.
a) f'(x) = 6x3 – 1. c) f'(x) = 6x – 1.
b) f'(x) = 6x2 – 1. d) f'(x) = 6x.
8 La segunda derivada del
polinomio anterior, d p2 (x), es:
2
dx 11 Sea f(x) = 6x2 + 5x – 6 ∀x  . Entonces,

a) p''(x) = 14x3, ∀x  . la primera derivada es igual a:
b) p''(x) = 12x3, ∀x  .
a) f'(x) = 12x2 + 5. c) f'(x) = 12x – 5.
c) p''(x) = 14x2, ∀x  .
b) f'(x) = 12x2 – 1. d) f'(x) = 12x + 5.
d) p''(x) = 12x2, ∀x  .
Autoevaluación

Calculo fácilmente el cociente incremental.
Determino de forma intuitiva la derivada de una función.
Aplico el concepto de derivada para determinar la velocidad y la aceleración
de un objeto.
Interpreto de manera geométrica la pendiente de la secante de una función.
Coevaluación

Al trabajar en equipo demostramos unidad de criterios para establecer solu-
ciones valederas.
Cuando trabajamos en equipo todos aportamos con nuestras ideas.
Metacognición
a) ¿Qué es lo que más te llamó la atención en esta unidad?
____________________________________________________________________________________________________
b) ¿De qué manera el uso de las Tics aportaron al conocimiento de esta unidad?
____________________________________________________________________________________________________
167
Funciones trigonométricas
Matemática y fenómenos periódicos
L
as funciones trigonométricas son la he-
rramienta matemática más adecuada
para describir fenómenos periódicos
tan diversos como la actividad cardíaca, el
movimiento de los planetas, la variación de
presión que produce en el aire la propaga-
ción de un sonido, el movimiento del pén-
dulo de un reloj, la vibración de un puente
por el peso de un vehículo, entre otros.
Observa y contesta
• ¿Qué observas en las imágenes?
• ¿Cómo describes el gráfico de la acti-
vidad cardíaca?
• ¿Qué forma tienen las gráficas de los
fenómenos descritos en las imágenes?
168
5
Shutterstock, (2020). 208846012

unidad
Objetivos
• O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pen-

samiento crítico, creativo, reflexivo y lógi-
co, la vinculación de los conocimientos
matemáticos con los de otras disciplinas
científicas y los saberes ancestrales, para
así plantear soluciones a problemas de la
realidad y contribuir al desarrollo del en-
torno social, natural y cultural.
• O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la

creatividad a través del uso de herramien-
tas matemáticas al momento de enfrentar
Shutterstock, (2020). 289820669
y solucionar problemas de la realidad na-

cional, demostrando actitudes de orden,
perseverancia y capacidades de investiga-
ción
169
DCCD: M.5.1.70. Definir las funciones seno y coseno a partir de las relaciones trigonométricas en el círculo trigonométrico (unidad) e identificar sus
respectivas gráficas a partir del análisis de sus características particulares. M.5.1.71. Reconocer y graficar funciones periódicas determinando el período
y amplitud de estas, su dominio y recorrido, monotonía y paridad.
Saberes previos
¿Qué es una función

periódica? En este capítulo definiremos las funciones trigonométricas: seno, co-
seno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Se observarán algu-
nas propiedades, como, por ejemplo, la periodicidad, y se construirán
Desequilibrio cognitivo funciones trigonométricas.
Si en una función
periódica conoces la forma Funciones periódicas
de gráfica en un intervalo 2T, Iniciamos el estudio con una clase de funciones denominadas perió-
¿cómo reproduces la gráfica de dicas, cuya definición se da a continuación.
la función al lado positivo y al
lado negativo de los números Definición. Sean T > 0 y f una función real definida en todo R. Se
reales? dice que f es periódica de período 2T, si y solo si f verifica la siguiente
condición:
f(x + 2T) = f(x), ∀x  R.
En la Figura 5.1. se representa una función periódica de período 2T.
ab Glosario y y = f(x)
c
amplitud. Distancia o
valor máximo de una cantidad –3T –2T –T 0 T 2T 3T 4T 5T x
variable, de su valor medio o
p Figura 5.1.
valor base, o la mitad del valor
máximo pico a pico de una La característica fundamental de las funciones periódicas es que bas-
función periódica, como un ta conocer la función en un intervalo de longitud 2T, por ejemplo
movimiento armónico simple. [–T, T], y luego reproducir esta porción de función del lado positi-
periódicos. Dicho de un fenó-
vo de los números reales a intervalos de la formas [T, 3T], [3T, 5T],
meno de fases que se repiten
con regularidad. [5T, 7T] y así sucesivamente, a continuación del lado negativo a in-
tervalos de la formas [–3T, –T], [–5T, –3T], y así sucesivamente. La
gráfica de la función periódica en el intervalo [–T, T] se reproduce
sucesivamente a cada uno de los intervalos de los tipos antes indica-
dos. Las funciones trigonométricas son funciones periódicas.
Función seno, gráfico y características

Recuerda que… Esta función se designa con Sen y se define como sigue:
Basta conocer la gráfica Sen: R → R,

de la función en el intervalo x → sen(x) .
[–π, π] y luego reproducir en Observa que sen(x)  R denota el valor de la función sen en x  R.
forma idéntica al lado izquierdo
Se tiene así, Dom(Sen) = R.
y al lado derecho en intervalos
de longitud 2π.
He aquí algunos valores típicos de sen(x) para x  R que han sido
obtenidos como relación trigonométrica en el círculo trigonométrico:
sen(0) = 0, sen π = 1 , sen π = 2 , sen π = 3 , sen π = 1,

6 2 4 2 3 2 2
sen – π = – 1 , sen – π = – 2 , sen – π = – 3 , sen – π = –1.
6 2 4 2 3 2 2
170
Además, de las relaciones trigonométricas se sabe que
Recuerda que…
sen(x)  [–1, 1], ∀x  R, por lo tanto, Rec(Sen) = [–1, 1].
Las características de la
La función seno es periódica de período 2π, esto es, función seno son:
sen(x + 2π) = sen(x), ∀x  R.
1. Dominio:
La función seno es impar, es decir, sen(–x) = –sen(x), ∀x  R. Dom(Sen) = R.
2. Recorrido:
El grafo de la función seno está definido como el conjunto Rec(Sen) = [–1, 1].
3. El período es 2π.
G(Sen) = (x, sen(x))  R2 | x  R .
4. La función seno es impar.
Una porción de la gráfica de esta función se indica en la Figura 5.2. 5. La gráfica de y = sen(x) inter-
cepta al eje X en los puntos
y cuyas abscisas son x = nπ
y = sen(x) para todo número entero n.
1
π 3π
–
2 2
6. El valor máximo de sen(x) es
–2π –
3π –π π π 2π 3π x 1, y el valor mínimo es –1.
4 2
–1 7. La amplitud (A) de la fun-
ción y = sen(x) es 1.
p Figura 5.2.
Función coseno, gráfico y características

Esta función se designa con Cos y se define como sigue:
Cos: R → R,
x → cos (x) .
Observa que cos(x)  R denota el valor de la función cos en x  R. Recuerda que…
Se tiene Dom(Cos) = R. Tal como en el caso de la función seno, de las
relaciones trigonométricas en el círculo trigonométrico se sabe que Las características de la
Rec(Cos) = [–1, 1]. He aquí algunos valores típicos de cos(x): función coseno son:
1. Dominio:
π 3 π 2 π 1 π
cos(0) = 1, cos
= , cos = , cos = , cos = 0, Dom(Cos) = R.
6 2 4 2 3 2 2
π 3 π 2 π 1 π 2. Recorrido:
cos – = , cos – = , cos – = , cos – = 0. Rec(Cos) = [–1, 1].
6 2 4 2 3 2 2
3. El período es 2π.
La función coseno es periódica de período 2π, es decir, esta función
es par: cos(–x) = cos(x), ∀x  R. 4. La función coseno es par.
5 . La gráfica de y = cos(x) inter-
El grafo de la función coseno es el conjunto G(f) definido como cepta al eje X en los puntos
cuyas abscisas son
G(f) = (x, cos(x)) | x  R ,
π
x = + nπ
2
cuya porción de gráfica se muestra en la Figura 5.3. para todo número entero n.
y 6. El valor máximo de cos(x) es
1, y el valor mínimo es –1.
1
y = cos(x) 7. La amplitud (A) de la función
3π π 0 π 3π x y = cos(x) es 1.
–2π – –π – π 2π
4 2 2 2
–1
p Figura 5.3.
171
Transformaciones de las gráficas de funciones trigonométricas
Funciones sinusoidales
Sean A, B, C, D  R con A ≠ 0, B ≠ 0 funciones reales definidas como:
y = Asen(Bx + C) + D; y = Acos(Bx + C) + D, ∀x  R.
Características
Amplitud |A|, con A ≠ 0, es el promedio entre los valores máximo y
mínimo de la función. Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. La amplitud es 3.
• Si A > 1 o si A < –1, la función sufre un proceso de dilatación.

• Si –1 < A < 1, la función se contrae.
Período (T). Establece cuánto se requiere del dominio para que

Eje transversal 2π
la función describa un ciclo completo, T = .
B
Salud Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. T = π. Hasta π se completa un ciclo.
Las funciones trigonométricas
son un grupo de funciones Frecuencia. Se relaciona con las veces que se repite el ciclo. Está de-
reales muy importantes en ma- terminada por el valor de B.
temática. Estas tienen muchas
aplicaciones en física, química, Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. Como B es 2, el ciclo se repite 2 veces.
economía, en las distintas
ramas de la ingeniería, entre Desplazamiento vertical. Traslación vertical en D unidades.
otras áreas.
• Si D > 0, la gráfica se desplaza hacia arriba D unidades.
Por ejemplo las funciones trigo-
• Si D < 0, la gráfica se desplaza hacia abajo D unidades.
nométricas son muy utilizadas
en la lectura de electrocardio-
gramas. Desfase: –C , desplazamiento horizontal de –C unidades a
B B
la derecha o a la izquierda, según si C es negativo o positivo.
Shutterstock, (2020). 180444167
π
Ejemplo: y = 4sen x – ; la gráfica de la función se desplaza π/2
2
unidades a la derecha con relación al sen(x).
Ejercicio resuelto
Grafiquemos la función f(x) = –3sen 2x – π , ∀x  R.
3
2π 2π
Amplitud = |A| = |–3| = 3. Período = T = = = π.
B 2
π
– –
–C 3 = π . Vamos a graficar cada función.
Desfase = =
B 2 6
2 2
1 1
0 0
–3π –2π –π π 2π 3π –3π –2π –π π 2π 3π
–1 –1
–2 –2
p Figura 5.4. y = sen(x) p Figura 5.5. y = sen(2x)

172
3
2 2
1 1
0 0
–3π –2π –π π 2π 3π –3π –2π –π π 2π 3π
–1 –1
–2 –2
p Figura 5.6. y = sen(2x – π/3) p Figura 5.7. y = 3sen(2x – π/3)
3
Interdisciplinariedad
2
Matemática y otras
ciencias
1 La relación de la trigonometría
Shutterstock, (2020). 607078130

y en particular de las funcio-
0 nes trigonométricas con otras
–3π –2π –π π 2π 3π ciencias permite resolver varios
–1
problemas en áreas como las
que se citan a conti-
nuación.
–2
• En física, per-
–3 mite resolver
p Figura 5.8. y = –3sen(2x – π/3) problemas
de mecá-
nica clásica,
El dominio de la función f, es definida como óptica, vibracio- Engranajes. p
π nes y ondas en
f(x) = –3sen 2x – , ∀x  R.
3 sólidos y fluidos, electricidad
El recorrido es [–3, 3], el período es π, la amplitud es 3, la gráfica de y electromagnetismos.
la función se refleja sobre el eje de las x, y tiene un desplazamiento • En informática, sirve en la
horizontal hacia la derecha de π/6 unidades. construcción de juegos com-
putarizados, para simular Shutterstock, (2020). 601019018
Ejercicio resuelto procesos naturales o físicos.

Grafiquemos la función f, definida como • La teoría de la señal, en
f(x) = 2cos(2x) + 1, ∀x  R. el procesamiento digital
de imágenes, tiene como
4 fundamento las series
de Fourier que
se expresan
2 como senos
y cosenos.
0
Una de estas
–π π π π 3π 2π aplicaciones
–
2 2 2 se da en la
p Figura 5.9. y = –3sen(2x – π/3) música. Estudio de
El dominio de esta función es R. grabación. p
El recorrido es [–1, 3], el período es π, la amplitud es 2, y la gráfica de

la función se desplazó una unidad hacia arriba del eje de las x.
173
Taller práctico
DCCD: M.5.1.70. Definir las funciones seno, coseno a partir de las relaciones trigonométricas en el círculo trigo-
nométrico (unidad) e identificar sus respectivas gráficas a partir del análisis de sus características particulares.
M.5.1.71. Reconocer y graficar funciones periódicas, determinando el período y amplitud de estas, su dominio
y recorrido, monotonía, paridad.
1 Completa la tabla que se presenta en cada ejercicio. Luego, traza la gráfica de la función seno
que se define para el efecto. Obtén algunos valores de la función.
a) f(x) = sen (2x), ∀x  R.
Función par
Amplitud Período Frecuencia Recorrido de f(x)
o impar
b) f(x) = 2 sen (3x), ∀x  R.
Función par
Amplitud Período Frecuencia Recorrido de f(x)
o impar
c) f(x) = 2 sen (x + π), ∀x  R.
Recorrido de Función par

Amplitud Período Desfase Frecuencia
f(x) o impar
174
2 Completa la tabla que se presenta en cada ejercicio. Luego, traza la gráfica de la función
coseno que se define para el efecto. Obtén algunos valores de la función.
a) f(x) = cos (2x) + 1, ∀x  R.
Desplazamiento Recorrido de Función par

Amplitud Período Frecuencia
vertical f(x) o impar
1 π
b) f(x) = 3 cos x– , ∀x  R.
2 2
Recorrido de Función par
Amplitud Período Desfase Frecuencia
f(x) o impar
Diversidad funcional b) f(x) = –cos 1 x + 3, ∀x  R.
3
en el aula
c) h(x) = |sen (x)|, ∀x  R.
Es conveniente en un mismo grupo incluir alum-
nos con diferentes capacidades de comunicación d) f(x) = 2 sen 1 x – 1, ∀x  R.
3
por ejemplo los parlanchines y los muy tranquilos.

4 Determinen el subconjunto de R que
3 se define en cada ítem.
Estudien la función real que se define en
cada caso. Tracen la gráfica de la función. a) {x  R | sen (x) = 0}.
a) f(x) = cos (4x), ∀x  R. b) {x  R | sen (x) = 1}.
175
DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas, tangente, cotangente, sus propiedades y las relaciones existentes entre estas funciones, y
representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets).
Saberes previos
¿Cómo se define la
Funciones tangente y cotangente
función tangente? Función tangente
Esta función se denota con Tan y el valor numérico en x  R en el
que está definida se designa con tan(x) que, a su vez, se define como
Desequilibrio cognitivo sen(x)
tan(x) = , cos(x) ≠ 0.
¿Cuál es el recorrido de
cos(x)
la función tangente? Para determinar el dominio de la función tangente, resolvemos la
ecuación x  R, tal que cos(x) = 0, cuya solución es
π
x = + kπ, k  Z.
2
Por lo tanto,
π
{x  R | cos(x) = 0} = + kπ | k  Z ,
2
π
de donde Dom(Tan) = R \ + kπ | k  Z .
2
Mostremos que Rec(Tan) = R. En efecto, sea y  R. Supongamos
sen(x) π
Recuerda que… y = tan(x) = , para algún x ≠ + kπ.
cos(x) 2
Algunas identidades sen (x)
2
Entonces, y2 = , y de la relación sen2(x) + cos2(x) = 1
trigonométricas fundamentales cos2(x)
son:
se sigue que
sen(x)
• tan(x) = , siempre que y2
cos(x) y2cos2(x) = sen2(x) ⇔ y2(1 – sen2(x)) = sen2(x) ⇔ sen2(x) = .
cos(x) ≠ 0. 1 + y2
Como 0 ≤ y 2 ≤ 1, la ecuación x  R, tal que sen(x) = y 2 ,
2
cos(x)
• cot(x) = , siempre que
sen(x) 1+y 1+y
sen(x) ≠ 0. π
tiene solución en R. Es decir, existe x  R \ + kπ | k  Z ,
• sen2(x) + cos2(x) = 1. 2
1 + tan2(x) = sec2(x), cos(x) ≠ 0. y
tal que sen(x) = .
1 + y2
1 + cot2(x) = csc2(x), sen(x) ≠ 0.
Nota que no estamos interesados en el valor numérico de la ecua-
ción, sino en la existencia de soluciones.
La función tangente está definida como sigue:

Dom(Tan) → R,
Tan: sen(x) .
x → tan(x) =
cos(x)
y
La función tangente es periódica de período π, esto es,
y = tan(x)
tan(x + π) = tan(x), ∀x  Dom(Tan).
– 5π –2π – 3π –π – π 0 π π 3π 2π 5π x
Además, esta función es impar, pues
2 2 2 2 2 2
sen(–x) –sen(x) sen(x)
tan(–x) = = =– = –tan(x), ∀x  Dom(Tan).
cos(–x) cos(x) cos(x)
p Figura 5.10. El grafo de Tan esta definido como:
G(Tan) = {(x, tan(x)) | x  Dom(Tan)}.
176
En la Figura 5.10. se muestra la gráfica de la función tangente:
Función cotangente
La función cotangente se denota con Cot y se define como sigue:
cot(x) = cos(x) ; sen(x) ≠ 0.
sen(x)
Para determinar el dominio de la función cotangente, resolvemos la Recuerda que…
ecuación siguiente: x  R, tal que sen(x) = 0. La solución de esta
ecuación es x = kπ, k  Z. Por lo tanto, Las características de la
función tangente son:
{x  R | sen(x) = 0} = {kπ | k  Z}, 1. Dominio:
Dom(Tan) =
de donde Dom(Cot) = R \ {kπ | k  Z}. π
R\ + kπ | k  Z .
2
Determinemos el recorrido de la función cotangente. 2. Recorrido:
Rec(Tan) = R.
Obviamente, por definición, Rec(Cot) = {cot(x) | sen(x) ≠ 0}  R. 3. El período es π.
Mostremos que Rec(Cot) = R, es decir que R  Rec(Cot). 4. La función tangente es impar.

Sea y  R, consideramos la ecuación {x  R \ kπ | k  Z}, tal que 5. El período de la función
cot(x) = y. tangente y = Atan(Bx) es la
distancia entre dos asíntotas
Tenemos y = cos(x) , de donde y2 = cos2(x) .
2
verticales.
sen(x) sen (x) π
T= .
|B|
De la relación sen2(x) + cos2(x) = 1 se sigue que
y2sen2(y) = cos2(x) ⇔ y2sen2(x) = 1 – sen2(x) ⇔ y2sen2(x) + sen2(x) = 1 Las características de la función
cotangente son:
⇔ (y2 + 1)sen2(x) = 1 ⇔ sen2(x) = 2 1 .
y +1 1. Dominio:

1 Dom(Cot) =
Como 0 ≤ sen2(x) ≤ 1, ∀x  R, 0 ≤ 2 ≤ 1, ∀y  R, se sigue
y +1 R \ kπ | k  Z .
que la ecuación sen2(x) = 2 1 tiene solución en R \ {kπ | k  Z}. 2. Recorrido:
y +1
Rec(Cot) = R.
De todos estos resultados, la función cotangente está definida como
3. El período es π.
sigue:
R \ kπ | k  Z → R, 4. La función cotangente es
Cot: impar.
cos(x) .
x → cot(x) =
sen(x)
Verifiquemos que es periódica de período π.
Tenemos cos(x + π) = –cos(x), sen(x + π) = –sen(x), ∀x  R. Luego,
cot(x + π) = cos(x + π) = –cos(x) = cos(x) = cot(x),
sen(x + π) –sen(x) sen(x) y
x  R \ {kπ | k  Z}. y = cot(x)
La función cotangente es impar. En efecto,

0
cot(–x) = cos(–x) = cos(x) = – cos(x) = –cot(x), x  R \ {kπ | k  Z}.

–2π – 3π –π – π π π 3π 2π 5π 3π x
2 2 2 2 2
sen(–x) –sen(x) sen(x)

En la Figura 5.11. se muestra el gráfico de la función cotangente y su
grafo se define como sigue:
p Figura 5.11.
G(Cot) = {(x, cot(x))  R2 | x  R\{kπ | k  Z}}.
177
Taller práctico
DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas, tangente, cotangente, sus propiedades y las relaciones existen-
tes entre estas funciones, y representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets).
1 Completa la tabla que se presenta en cada ejercicio. Luego, traza la gráfica de la función que
se define para el efecto. Obtén el dominio de la función f que se nota con A, esto es, Dom(f) = A.
Luego, calcula algunos valores de la función y el período.
a) f(x) = tan (2x), x  A.
Función par
Dominio Período Frecuencia Recorrido de f(x)
o impar
1
b) f(x) = tan x , x  A.
2
Función par
o impar
c) f(x) = tan(x) + 2, x  A.
Función par
o impar
178
2 Para cada función f que se define, determina Dom(f) = A. Traza la gráfica de la función.
Para el efecto, primeramente obtén algunos valores de la función y el período.
a) f(x) = cot (2x), x  A.
1
b) f(x) = cot x , x  A.
2
Diversidad funcional a) u(x) = tan2(x), x  A.
en el aula
b) v(x) = tan3(x), x  A.
Cuando hay dificultades de aprendizaje es con-
veniente incluir en un mismo grupo alumnos c) w(x) = tan2(2x), x  A.
con diferentes habilidades para obtener el equili-
brio y que todos puedan completar la tarea. d) f(x) = tan2 1 x , x  A.
2
Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. 5 Determinen el subconjunto de R que

se define en cada ítem.
3 Determinen el subconjunto de R que se
define en cada ítem. a) {x  R | cot (x) = 0}.
a) {x  R | tan (x) = 0}. b) {x  R | cot (x) = 1}.
b) {x  R | tan (x) = 1}. c) {x  R | cot (x) = 3 }.
c) {x  R | tan (x) = 3 }.
6 Determinen el dominio que se nota con
A, y el recorrido de la función real que se
4 Estudien la función real que se define en define en cada caso. Tracen la gráfica.
cada caso. Determinen el dominio cuyo
recorrido se nota con A. Tracen la gráfica a) u(x) = cot2(x), x  A.
de la función. b) h(t) = 3 – cot(2t), t  A.
179
DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas secante y cosecante, sus propiedades y las relaciones existentes entre estas funciones, y
representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC. M.5.1.73. Reconocer y resolver (con apoyo de las TIC) aplicaciones, problemas o situaciones
reales o hipotéticas que pueden ser modelizados con funciones trigonométricas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre
ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.
Saberes previos
¿Cómo se define la
Funciones secante y cosecante
función secante?
Función secante
La función secante se denota como Sec, para x  R en el que está
definida Sec(x). Se suele notar y definir como
¿Cuál es el recorrido de 1
la función secante y cosecante? sec(x) = , cos(x) ≠ 0.
cos(x)
Determinemos el subconjunto de R en el que cos(x) = 0.
π
Tenemos cos(x) = 0 ⇔ x = + kπ, k  Z, luego,
2
π
{x  R | cos(x) = 0} = + kπ | k  Z .
2
Por lo tanto, la función secante queda definida como sigue:
R\
π + kπ | k  Z → R.
Sec: 2
En la Figura 5.12. se muestra el
gráfico del conjunto G(sec) al 1
x → sec (x) = .
que lo denominamos repre- cos(x)
sentación gráfica de la función Determinemos el recorrido de esta función, esto es,
secante.
π
1 Rec (Sec) = sec(x) | x  R \ + kπ | k  Z .
y
y = sec(x) =
cos(x)
.
2
Rec (Sec) = ]–∞, –1]  [1, ∞[.
1
La función secante es periódica de período 2π.
–5 –4 –3 –2 –1
–2π – 3π –π – π 0
1 2 3 4 5 6
π π 3π 2π 5π 3π x
La función secante es par. En efecto, como cos(–x) = cos(x), ∀x  R,
2 2 2 2 2
–1
se sigue que:
sec (–x) = 1 = 1 = sec(x), ∀x  R \ π + kπ | k  Z .

cos(–x) cos(x) 2
Por otro lado, el grafo de la función secante se nota G(sec) y se define
p Figura 5.12.
como el conjunto.
π
G(sec) = (x, sec(x))  R2 | x  R \ + kπ | k  Z .
2
Función cosecante
La función cosecante se designa con Csc y se define como
1
csc(x) = , sen(x) ≠ 0.
sen(x)
Determinemos el subconjunto de R en el que sen(x) = 0. Tenemos
sen(x) = 0 ⇔ x = kπ, k  Z,
con lo que
{x  R | sen(x) = 0} = {kπ | k  Z}.
De este resultado, la función cosecante queda definida como se indica:

180
R \ kπ | k  Z → R.
Conexiones con las TIC
Csc:
1
x → csc (x) = . Existen softwares libres,
sen(x)
como por ejemplo GeoGebra,
Determinemos el recorrido de esta función: que permiten realizar las gráfi-
cas de las funciones trigonomé-
Rec (Csc) = csc(x) | x  R \ kπ | k  Z . tricas de forma precisa, ágil e
interactiva.
Rec (Csc) = ]–∞, –1]  [1, ∞[. Más adelante en la página 181
te indicaremos el trazo de estas
La función cosecante es periódica de período π. gráficas con el uso de GeoGebra.
La función cosecante es impar, pues
1 1
csc (–x) = = = –csc(x), ∀x  R \ kπ | k  Z .
sen(–x) –sen(x)
El grafo de la función cosecante se define así:
G(Csc) = (x, csc(x))  R2 | x  R \ kπ | k  Z .
Aplicaciones de las funciones trigonométricas En la Figura 5.13. se muestra

Ejercicio resuelto una parte del gráfico del con-
El movimiento de un objeto sobre un resorte vertical puede describirse junto G(Csc) al que lo denomi-
mediante la función coseno modificada. Una masa suspendida en el re- namos representación gráfica
sorte está en su punto de equilibrio cuando el resorte está en reposo. Si de la función cosecante.
se comprime el resorte una cierta longitud sobre el punto de equilibrio y
y = csc(x).
y se suelta, la masa oscila hacia abajo y hacia arriba del punto de equi-
librio. El tiempo que tarda la masa en oscilar desde el punto más alto
hasta el punto más bajo y de regreso al punto más alto es su período. 1
–2π – 2π –π – π 1 π π 3π 2π 3π 3π
x
La ecuación y = 3,5 cos t k describe el desplazamiento vertical
2 2 –1 2 2 2
m
del objeto para cualquier tiempo t, al comprimirse 3,5 cm. Se tiene
que k es la constante del resorte y m es la masa del objeto. p Figura 5.13.
a) Si k = 19,6 y m = 1,99 g, ¿cuál es el desplazamiento vertical después

de 0,9 segundos y de 1,7 segundos?
Shutterstock, (2020). 598826750
b) ¿Cuánto estará el objeto en el punto de equilibrio por primera vez? Recuerda que…
La calculadora debe
De acuerdo con los datos y la ecuación que describe el movimiento. estar en modo de radianes
a) Sustituyamos los valores de los datos. para resolver problemas que
impliquen uso de
19,6
y = (0,9) = 3,5 cos 0,9 = –3,33 cm; funciones trigo-
1,99
nométricas.
19,6
y(1,7) = 3,5 cos 1,7 = 2,04 cm. Calculadora
1,99 científica. u
k
b) En el punto de equilibrio, y = 0, 0 = 3,5 cos t
m
k 1,5708
t = cos–1(0) = 1,5708, t = = 0,5 s.
m 3,1384
Cuando t = 0,5 segundos, el objeto está en el punto de equilibrio.
181
Taller práctico
DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas secante y cosecante, sus propiedades y las rela-
ciones existentes entre estas funciones, y representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC.
M.5.1.73. Reconocer y resolver (con apoyo de las TIC) aplicaciones, problemas o situaciones reales o hi-
potéticas que pueden ser modelizados con funciones trigonométricas, identificando las variables signifi-
cativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.
1 Completa la tabla que se presenta en cada ejercicio. Luego, para cada función f que se indica,
determina Dom(f) = A, Rec(f). Traza la gráfica de la función. Para el efecto, primeramente
obtén algunos valores de la función y el período.
a) f(x) = sec (2x), x  A.
Función par
o impar
1
b) f(x) = sec x , x  A.
2
Función par
o impar
c) f(x) = csc(2x), x  A.
Función par
o impar
182
2 Determina el subconjunto de R que se
define en cada ítem. Diversidad funcional
en el aula
a) {x  R | sec (x) = 2 }.
Cada persona tiene diferentes capacidades por
ello no se debe aislar a ningún compañero por
el contrario si alguien no tiene equipo, se debe
dialogar con el grupo para que todos los inte-
grantes sean aceptados.

b) {x  R | sec (x) = 1}.
4 Para cada función f que se indica, deter-
minen Dom(f) = A, Rec(f). Tracen la grá-
fica de la función. Para el efecto, prime-
ramente obtengan algunos valores de la
función y el período.
c) {x  R | sec (x) = 2}.
a) f(x) = csc(3x), x  A.
1
b) f(x) = csc x , x  A.
2
c) f(x) = csc(4x), x  A.
1
d) {x  R | csc (x) = 2 }. d) f(x) = csc x , x  A.
3
5 Resuelvan el siguiente problema.

La ecuación P = 100 + 20 sen(2πt) repre-
e) {x  R | csc (x) = 1}. senta la presión sanguínea P de una perso-
na en milímetros de mercurio. En esta ecua-
ción, t es el tiempo en segundos. La presión
sanguínea oscila 20 milímetros por arriba y
por abajo de 100 milímetros, lo cual signifi-
ca que la presión sanguínea de la persona es
de 120 sobre 80. Esta función tiene un pe-
3 ríodo de 1 segundo; es decir que el corazón
Para cada función que se da, determina de la persona late 60 veces por minuto.
el dominio (al que se lo denota con A) y
el recorrido. Estudia la función y traza a) Encuentra la presión sanguínea en t = 0,
su gráfica. Utiliza un software libre. t = 0,25, t = 0,5, t = 0,75 y t = 1 segundos.
a) u(x) = sec2(x), x  A. b) Durante el primer segundo, ¿cuándo estuvo
la presión sanguínea en un máximo?
b) v(x) = sec3(x), x  A.
c) Durante el primer segundo, ¿cuándo estuvo
c) w(x) = sec2(2x), x  A. la presión sanguínea en un mínimo?
183
cotidianos
Aplicaciones de funciones trigonométricas c) ¿Cuál es el gráfico de la función?
Utiliza un software como GeoGebra. La gráfi-
ca que obtendrás es:
Shutterstock, (2020). 550622476

p Variación de temperatura en un día.
d) ¿Cuál es la temperatura máxima? ¿A qué hora
1. Las funciones trigonométricas se aplican con fre- se alcanzó?
cuencia para simular la variación de temperatura.
_______________________________________________
La siguiente función se usa para tal efecto:
_______________________________________________
π
F(t) = 23 + 7 sen (t – 8); 0 ≤ t ≤ 24,
2
e) ¿Cuál es la temperatura mínima? ¿A qué hora
donde F es la temperatura en grados Celsius a t se alcanzó?
horas después de la medianoche de cierto día.
_______________________________________________
a) ¿Cuál es la temperatura a las 8 a. m.? ¿Y a las 12 _______________________________________________
p. m.?
b) ¿A qué hora la temperatura es de 23 °C? Practica en tu cuaderno
c) ¿Cuál es el gráfico de la función?
d) ¿Cuáles son las temperaturas máxima y míni- 2. En un punto del océano, el
ma? ¿A qué hora se alcanzaron? cambio vertical en el agua, de-
bido a la acción de las ondas,
Analiza la información proporcionada está dado por
Shutterstock, (2020). 606858788

y completa.
π
y = 8 cos (t – 6), 0 ≤ t ≤ 72, Olas del mar. p
• ¿Cuál es la función para simular la variación de 6
temperatura? donde y está en metros y t es el tiempo en segun-
_______________________________________________ dos. ¿Cuál es la amplitud, el período y el desplaza-
miento de la fase? Traza la gráfica de la función.
Responde las preguntas.
a) ¿Cuál es la temperatura a las 8 a. m.? 3. Un adulto que está sentado aspira
y expira casi 0,80 litros de aire
π cada 4 segundos. El volumen
F(8) = 23 + 7sen (8 – 8);
2 de aire V en los pulmones (en
F(8) = ________________________________________ litros) y t en segundos, des-
pués de la exhalación, está ex-
Shutterstock, (2020). 605688053
¿Y a las 12 p. m.? presado aproximadamente por

Persona inhalando. p
_______________________________________________
_______________________________________________ V(t) = 0,45 – 0,4cos πt , 0 ≤ t ≤ 8.
2
A las 8 a. m. la temperatura es de ____________, a) ¿Cuál es la cantidad máxima y mínima de aire
y a las 12 p. m. es de ____________. en los pulmones? Explica cómo obtienes estas
b) ¿A qué hora la temperatura es de 23 °C? cifras.
Toma en cuenta el resultado anterior para ob- b) ¿Cuál es el período de la respiración?
tener tu respuesta. c) ¿Cuántas respiraciones se hacen por minuto?
_______________________________________________ d) Traza la gráfica V(t).
184
La trigonometría y los electrocardiogramas

¿Qué tiene que ver la matemática con los electrocar-
Graficos electro, (2020). www.prezi.com

diogramas? Pues en realidad, mucho. Los gráficos de las
funciones trigonométricas se encuentran presentes en
medicina. Un caso particular es el electrocardiograma,
procedimiento de diagnóstico médico con el que se
obtiene un registro gráfico de la actividad eléctrica del
corazón en función del tiempo. En un electrocardiogra-
ma se estudian las ondas mecánicas periódicas, apare-
p Electrocardiograma gráfico donde se regis-
cen funciones trigonométricas como el seno y el coseno. En este caso, el tran los movimientos del corazón.
período es la longitud de la onda y la amplitud es la intensidad de la onda.
Para el estudio y análisis del electrocardiograma, se aplican funciones tri-

ab Glosario
gonométricas como, por ejemplo, las series de Fourier, que usan como c
base las funciones seno y coseno. serie. Expresión de la
suma de los infinitos términos
Adaptado de: https://prezi.com/lszoi5vfkyir/funciones-trig-en-un-ecg/;
http://danielwend.blogspot.com/
de una sucesión.
La matemática
y las profesiones
Médico con especialidad en Cardiología

Las escuelas de Medicina forman médicos líderes en el campo de la salud,
en cualquier escenario, con habilidades y destrezas en promoción de sa-
lud, prevención y tratamiento de enfermedades, con el fin de generar
una mejor calidad de vida en las personas.
Shutterstock, (2020). 519223276

Durante los primeros años de formación, el estudiante de Medici-
na debe tomar asignaturas básicas, relacionadas con el campo de
la matemática. Entre ellas se encuentran:
• Matemáticas en Ciencias de la Salud

• Economía y estadística.
• Informática
Una cardióloga o cardiólogo se encarga del estudio del corazón y de los

problemas circulatorios referentes a él. Para optar por esta especialidad, se p Médico especialista en Cardiología.
debe tener el título de médico general, y cursar al menos seis semestres en
una de las universidades que acrediten esta especialidad.
El especialista en Cardiología egresado del programa puede desempeñar-

se en:
• Atención directa del paciente adulto con factores de riesgo cardio-

vascular, hospitalización de cardiología, servicios de urgencias, cuida-
dos intensivos, consulta externa, entre otras áreas.
Adaptado de: http://www.javeriana.edu.co/especializacion-cardiologia
185
TIC
Uso de GeoGebra para representar funciones
trigonométricas
1) Vamos a graficar paso a paso la función y = 2cos(3x + π) – 1.
a) Vamos a graficar la función y = cos(x), y sobre este mismo gráfico, la

función con amplitud 2, y = 2cos(x).
En Entrada escribe y = cos. Ense-
guida aparece el recuadro con la
función. Selecciónala.
Aparece el gráfico de la función Da clic en Vista Gráfica, luego en Ingresa la función y = 2cos(x).
coseno. Eje X y cambia la distancia en el Puedes ver el cambio con la
eje horizontal a π/2. función original.
b) Graficamos la función y =2cos(3x + π), con amplitud 2, período 2π/3

y desfase –π/3.
Gráfica de la función coseno con

amplitud 2 y período 2π/3.
Gráfica de la función coseno

con amplitud 2, período 2π/3 y
desfase –π/3.
186
c) Graficamos la función y =2cos(3x + π) – 1, con amplitud 2, período
2π/3, desfase –π/3 y desplazamiento vertical –1.

con amplitud 2, período 2π/3 y
desfase –π/3.

con amplitud 2, período 2π/3,
desfase –π/3 y desplazamiento
vertical –1.
2) Vamos a realizar, en un solo plano, la gráfica de la función

1 π
y = sen x + + 1.
2 4
Gráfica de la función sen(x). Gráfica de la función sen(x) con Gráfica de la función sen(x) con
amplitud 0,5. amplitud 0,5 y desfase –π/4.
Practica la representación gráfica de estas funciones

Gráfica de la función sen(x) con
trigonométricas en GeoGebra amplitud 0,5, desfase –π/4 y
a) y = 3sen(x + π) + 1,5. desplazamiento vertical +1.
b) y = –cos(2x) + 2.
c) y = –0,5 tan(x – π/2).
187
Justificación
Tema: Las mareas En los océanos, se observan fenómenos naturales denominados ma-
en los océanos
reas, que pueden ser altas o bajas. La marea sube durante seis horas
(marea alta) y desciende durante seis horas siguientes (marea baja).
Este fenómeno se repite aproximadamente dos veces al día.
Recursos
• Sala de computación con Objetivos
suficientes computadoras • Analizar el comportamiento de las mareas mediante el análisis de
para cada estudiante la información acerca de la altura del agua sobre el nivel del mar.
• Software libre GeoGebra, Graficar los datos y determinar si existe una función cíclica.
instalado en las computa-
doras que se van a utilizar Actividades
• Formen grupos de 2 o 3 personas.
• Analicen la siguiente información:
De la marea alta De la marea baja
En la primera hora, el nivel En la cuarta hora, el nivel En la primera hora, el En la cuarta hora, el agua
de agua sube 1/12 de su de agua sube 3/12 de su agua desciende 1/12 de su desciende 3/12 de su
altura total. altura total. altura total. altura total.
En segunda hora, el nivel En la quinta hora, el nivel En segunda hora, el agua En la quinta hora, el agua
de agua sube 2/12 de su de agua sube 2/12 de su desciende 2/12 de su desciende 2/12 de su
En la tercera hora, el nivel En la sexta hora, el nivel En la tercera hora, el agua En la sexta hora, el agua
de agua sube 3/12 de su de agua sube 1/12 de su desciende 3/12 de su desciende 1/12 de su
Se puede decir que la altura cero es aquella a la que está el agua en

la marea baja, y que la marea alta alcanza 6 m de altura.
• Llenen la tabla con la altura de las aguas sobre el nivel de lo que se
considera como marea baja.
ab Glosario • Grafiquen los datos obtenidos.
c • Definan la gráfica para un día completo de 24 horas de marea.
mareas. Movimiento pe-
• Determinen la amplitud y el período lo de la gráfica obtenida.
riódico y alternativo de ascenso
y descenso de las aguas del mar,
producido por la atracción del Horas después
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sol y de la Luna. de la marea baja
Altura del agua
0 0,5 1,5 6
(m)
Conclusiones
Existen situaciones reales en las que se aplican los gráficos de las fun-
ciones trigonométricas. Una de ellas es el estudio de las mareas.
Shutterstock, (2020). 518868286
Expongan los resultados que obtuvieron con este proyecto y expli-

quen cómo se sintieron al realizarlo. Consulten o cambien los datos
para determinar si se obtienen funciones cíclicas.
Proyecto adaptado de: http://fractus.uson.mx/CV/
p Cambio de período del nivel del mar o de courses/PM/document/Materiales_del_Curso/MaterialesSeccion8.pdf
las mareas.
188
Shutterstock, (2020). 330206678

Shutterstock, (2020). 118853278
p Péndulo de reloj.
Gráficas p Olas del mar.
y = sen(x) y = cos(x) y = tan(x) y = cot(x) y = sec(x) y = csc(x)
Las características: Las características: Las características: Las características: Las características: Las características:
1. Dom(sen) = R 1. Dom(cos) = R 1. Dominio: 1. Dominio: 1. Dominio: 1. Dominio:
2. Rec(sen) = [–1, 1] 2. Rec(sen) = [–1, 1] Dom(Tan) = Dom(Cot) = Dom(sec) = Dom(csc) =
En síntesis
3. El período es 2π 3. El período es 2π π π
R\ + kπ | k  Z R \ kπ | k  Z R\ + kπ | k  Z R \ kπ | k  Z
4. La función es impar 4. La función coseno es 2 2
5. La gráfica de par 2. Rec(tan) = R 2. Rec(cot) = Reales 2. Rec(sec) = 2. Rec(csc) =
y = sen(x) intercepta 5. La gráfica de y = cos(x) 3. El período es π 3. El período es π ]–∞, –1]  [1, ∞[ ]–∞, –1]  [1, ∞[
al eje X en los puntos intercepta al eje X 4. La función tangente es 4. La función cotangente 3. La función secante 3. La función cosecante
cuyas abscisas son en los puntos cuyas impar es impar es periódica de perío- es periódica de perío-
x = nπ para todo abscisas son 5. El período de la fun- do 2π do π
número entero n π ción tangente 4. La función secante es 4. La función cosecante
x = + nπ par es impar
6. El valor máximo de 2 y = Atan(Bx) es la
para todo número distancia entre dos
sen(x) es 1, y el valor
entero n asíntotas verticales.
mínimo es –1
6. El valor máximo de π
7. La amplitud (A) de la T=
cos(x) es 1, y el valor |B|
función y = sen(x) es 1
mínimo es –1
7. La amplitud (A) de la
función y = cos(x) es 1
189
Heteroevaluación a) El punto A tiene de
coordenadas (π, 1). __________________________
M.5.3.4. Halla gráfica y analíticamente el domi-
nio, recorrido, monotonía, periodicidad, despla- b) La abscisa del punto B es cero. ______________
zamientos, máximos y mínimos de funciones
trigonométricas para modelar movimientos cir- c) La función es decreciente
culares y comportamientos de fenómenos na- en el intervalo [0, π]. _________________________
turales, y discute su pertinencia; emplea la tec-
nología para corroborar sus resultados. (J.3., I.2.) d) La ordenada del punto C es cero. ___________
1 Construye el gráfico de la función
e) La función tiene una
1
f(x) = sen x , x  R, amplitud de 1. _______________________________
2
y luego determina: f) El menor valor que toma
la función es y = –1. _________________________
a) La amplitud,
b) El recorrido, g) La función se anula
c) El período, en el valor de π/2. ___________________________
d) Los valores máximos y mínimos.
4 Analiza y resuelve.
2 Analiza la Figura 5.14. Un cuerpo está vibrando verticalmente
de acuerdo con la función
y
π
f(t) = 8 cos t , t ≥ 0,
5
3
4 donde f(t) es el desplazamiento desde su
3 posición en centímetros es la distancia di-
2
rigida del cuerpo desde su posición central
(el origen) a los t segundos, considerando
1
x ‘hacia arriba’ como sentido positivo.
–π –π/2 0 π/2 π
–1 a) ¿Cuál es el máximo desplazamiento del cuerpo?

b) ¿Qué tiempo se requiere para que el cuer-
p Figura 5.14. po tenga una vibración completa?
Determina:
c) ¿Cuál es la gráfica de la función?
a) La amplitud,
b) El recorrido,
c) El desfase, 5 Considerando la Figura 5.16. determina:
d) El desplazamiento, la amplitud, el período, la desfase, el des-
e) La función que representa. plazamiento vertical y la ecuación que
representa.
3 En la Figura 5.15. se muestra la gráfica de la a)
función coseno. Escribe verdadero (V) o 4
falso (F) de acuerdo con cada enunciado. 3
2
1
A B C D 1
0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
0 π/2 π 3π/2 2π
–1
p Figura 5.15. p Figura 5.16.
190
puesta correcta. 8 ¿Cuál es el período?
a) 2π. c) π/2.
6 Analiza la siguiente gráfica y responde. b) π. d) No es periódica.
y
4
9 A la Figura 5.18. le corresponde una
3
expresión analítica. ¿Cuál es?
2
y
1
x
–2π –π 0 π 2π
2
p Figura 5.17.
¿Cuál es la expresión analítica que repre- –
3π
–
π
0
π 3π x
2 2 2 2
senta la Figura 5.17.?
–2
a) y = 3 – sen(x). c) y = 3 + cos(x).
b) y = 3 – cos(x). d) y = 3 + sen(x).
p Figura 5.18.
a) y = tan(x).
7 ¿Cuál es el dominio de la función? π
b) y = tan x + .
4
a) Todos los núme- c) [0, 4]. c) y = tan(x + π).
ros reales. d) [0, 2π]. π
b) [–2π, 2π]. d) y = tan x + .
2
Autoevaluación

Utilizo las Tics para graficar funciones trigonométricas.
Determino el dominio y el recorrido de las funciones trigonométricas.
Resuelvo problemas que impliquen el uso de funciones trigonométricas.
Identifico la amplitud de las funciones seno y coseno.
Coevaluación

Al trabajar en equipo aprendo de mis compañeros.
Todos los integrantes del grupo aportamos con ideas y estrategias para resol-
ver las tareas planteadas.
Metacognición
a) ¿Cómo son las gráficas de las funciones seno y coseno?
____________________________________________________________________________________________________
b) ¿De qué manera el uso de las tic aportó para la comprensión de este tema?
____________________________________________________________________________________________________
191
Composición de funciones
reales y el espacio vectorial
3

Aplicaciones en la vida diaria
de elementos en R3
U
no de los ejemplos más recientes (que
utilizó la aplicación de elementos de R3)
es el eclipse, ocurrido en septiembre de
2015. Las personas especializadas en este tipo
de fenómenos físicos utilizaron planos con
tres ejes de coordenadas para visualizar en
qué parte del espacio quedaría la Luna exac-
tamente y, mediante cálculos exactos, llega-
ron a la conclusión de la hora a la que iba a
ocurrir dicho fenómeno y en qué posición se
iba a situar la Luna.
Otras aplicaciones de los elementos en R3 son

realizadas por los arquitectos al momento de
diseñar los edificios y operar con simuladores.
De igual manera, en el caso de construcción
de juegos para consolas u ordenadores, todo
se representa geométricamente en la pantalla
para simular procesos naturales o físicos.
Observa y contesta
• ¿Qué observas en las imágenes?
• ¿Qué elementos matemáticos inter-
vienen en la construcción de juegos
para computadoras?
• ¿Te gusta algún juego de computado-
ra? ¿Cuál?
192
6
Flight simulator ( 2020) . www.store.steampowered.com

unidad
Geometría y medida
Objetivos
• O.G.M.2. Producir, comunicar y gene-
ralizar información, de manera escrita,
verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica,
mediante la aplicación de conocimien-
tos matemáticos y el manejo organizado,
responsable y honesto de las fuentes de
datos, para así comprender otras discipli-
nas, entender las necesidades y potenciali-
dades de nuestro país, y tomar decisiones
con responsabilidad social.
• O.G.M.3. Desarrollar estrategias individua-

les y grupales que permitan un cálculo
mental y escrito, exacto o estimado; y la
capacidad de interpretación y solución de
situaciones problémicas del medio.

Shutterstock, (2020). 342610388

193
DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas para calcular la función inversa (de funciones biyectivas) comprobando
con la composición de funciones.
Saberes previos
Tipos de funciones: inyectivas,
sobreyectivas y biyectivas
¿Qué es una función?
Desequilibrio cognitivo Función inyectiva

¿Cuál es la diferencia
Definición. Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Se dice
entre función inyectiva y que una aplicación f de A en B es inyectiva, o uno a uno, si y solo si se
sobreyectiva? verifica la siguiente condición:
∀x1, x2  A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
En forma equivalente, f es inyectiva si y solo si se verifica:

∀x1, x2  A, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
Esto se lee como: "f es inyectiva si a cada par de elementos distintos

de A asocia imágenes distintas". La negación se lee: "la función f no es
inyectiva si y solo si existen x1, x2  A, tal que x1 ≠ x2, pero f(x1) = f(x2)".
1. Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4} y h la función de A en B definida
como sigue:
h(a) = 3, h(b) = 1, h(c) = 4, h(d) = 2.
Recuerda que…
Primeramente, observamos que h define una función de A en B.
Una de las primeras ta- Esta función es inyectiva, pues a cada par de elementos distintos
reas en el estudio de funciones del conjunto A, asocia imágenes distintas. Por ejemplo, a ≠ b y
es el reconocimiento del tipo h(a) = 3 ≠ h(b) = 1.
de función que corresponde; 2. Nuevamente, consideremos los conjuntos A = {a, b, c, d},
es decir, distinguir si la función
B = {1, 2, 3, 4} y u la función de A en B definida como se indica:
es inyectiva, sobreyectiva o
biyectiva. En este último caso, u(a) = 2, u(b) = 3, u(c) = 2, u(d) = 4.
es posible determinar o definir
la función inversa. Esta función no es inyectiva ya que a ≠ c, pero u(a) = u(c) = 2.
Función sobreyectiva
Definición. Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Una fun-
ción f de A en B es sobreyectiva si y solo si Rec(f) = B.
La igualdad de los conjuntos Rec(f) = B significa las dos inclusiones

siguientes: Rec(f)  B y B  Rec(f). De la definición del conjunto reco-
rrido de f, se tiene Rec(f)  B. De la inclusión B  Rec(f), se sigue que
y  B ⇒ y  Rec(f), y por la definición del conjunto Rec(f), se tiene la
equivalencia siguiente:
y  Rec(f) ⇔ ∃x  A tal que y = f(x).
Por lo tanto, la sobreyectividad de la función f puede ser expresada

con la siguiente equivalencia:
Rec(f) = B ⇔ ∀y  B, ∃x  A tal que y = f(x).
194
Si una función f de A en B es tal que Rec(f) es un subconjunto propio
de B, f no es sobreyectiva.
1. Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4} y f la función de A en B definida
como f(a) = 3, f(b) = 2, f(c) = 1, f(d) = 4.
Se tiene Rec(f) = B = {1, 2, 3, 4} = B, es decir, f es función sobreyec-
tiva. Interdisciplinariedad
2. Consideremos los conjuntos A = {–1, 0, 1, 2}, B = {5, 10, 15, 20} En forma general, las
y g la función de A en B definida como: funciones (sean estas inyectivas,
g(–1) = 20, g(0) = 10, g(1) = 20, g(2) = 10. sobreyectivas o biyectivas) son
Entonces, Rec(g) = {10, 20} ≠ B, por lo que g no es sobreyectiva. muy utilizadas para resolver
problemas de la vida real. Por
Función biyectiva ejemplo, en la geología, a fin
Definición. Sean A y B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Una de determinar la intensidad de
función o aplicación f de A en B es biyectiva si y solo si f es inyectiva un sismo, se utiliza una función
denominada escala de Richter.
y sobreyectiva.
La negación de la biyectividad de una función se expresa como sigue:

una función f de A en B no es biyectiva si y solo si f no es inyectiva o
f no es sobreyectiva.
1. Sea A = {–1, 0, 1, 2}, B = {5, 10, 15, 20}.
Se define la función v de A en B como sigue: p Tarjeta de sismología.
v(–1) = 5, v(0) = 10, v(1) = 15, v(2) = 20.
La función v es inyectiva. Como Rec(v) = B, la función v es sobre-

yectiva. Luego v es una función biyectiva.
2. Se define una función u. Demuestra o refuta que u es biyectiva.
u: R → R,
x → u(x) = –x + 1.
a) Inyectividad
∀x1, x2  R; x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Supongamos f(x1) = f(x2), entonces se tiene que:
–(x1) + 1 = –(x2) + 1. Por la ley cancelativa: x1 = x2.
Se comprueba que f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. Por lo tanto, la función u
es inyectiva.
b) Sobreyectiva
Rec(u) = R.
Sean z  R, entonces z  Rec(u), luego z = u(x), o sea
z = –x + 1, x = 1 – z.
Resulta u(x) = –(1 – z) + 1 = z,
se concluye que u es sobreyectiva.
Por los literales a y b se

R → R,
ha demostrado que la función u:
x → u(x) = –x + 1
es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto, es biyectiva.
195
Taller práctico
DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyecti- c) v(1) = z, v(2) = x, v(3) = z.
vas, sobreyectivas y biyectivas para calcular la
función inversa (de funciones biyectivas), com-
probando con la composición de funciones.
1 Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}. En cada
ítem se define una correspondencia f de
A en B. Indica si es función. Justifica tu
respuesta. En caso de ser función, halla
d) v(1) = x, v(2) = x, v(3) = x.
Rec(f) e indica si es inyectiva.
a) f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3.
3 Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}. Indi-

b) f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 4. ca cuáles de las siguientes son funciones
biyectivas.
a) f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 1, f(d) = 1.
c) f(a) = 2, f(b) = 4, f(c) = 1, f(a) = 3.
b) f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3, f(d) = 4.
2 Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {x, y, z}. En cada

ítem se define una correspondencia v de
A en B. Indica si es función. En caso de c) f(a) = 2, f(b) = 2, f(c) = 2, f(d) = 2.
serlo, halla Rec(v) e identifica si es una
función sobreyectiva.
a) v(1) = x, v(2) = z, v(3) = x, v(4) = z.
4 Sean A = {5, 10, 15, 20, 25},

B = {10, 20, 30, 40, 50}. En cada ítem se
define una función u de A en B. Indica
b) v(1) = x, v(2) = x, v(3) = y, v(4) = y.
si u es biyectiva.
a) u(5) = 10, u(10) = 20, u(15) = 50,

u(20) = 30, u(25) = 40.
196
en el aula
Es importante organizar los equipos de trabajo

b) u(5) = 50, u(10) = 40, u(15) = 10, y la duración de los mismos de tal manera que
u(20) = 20, u(25) = 50. todos trabajen con todos a lo largo del año
escolar.
6 Escriban todas las funciones sobreyecti-

c) u(5) = 30, u(10) = 10, u(15) = 30, vas f de A en B.
u(20) = 40, u(25) = 50.
a) A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}.
b) A = {a, b, c}, B = {1, 2}.
c) A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3}.
5 7 Escriban todas las funciones biyectivas

En cada ítem se define una función u.
f de A en B.
Demuestra o refuta que u es biyectiva.
R → R,
a) A = {a, b}, B = {1, 2}.
a) u:
x → u(x) = 3x + 2. b) A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}.
c) A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}.
8 En cada ítem se define una función u. De-

muestren o refuten que u es biyectiva.
b) u: R → R,
t → u(t) = t3. a) u: R → R,
t → u(t) = –t + t2.
R → R,
b) u: t2
t → u(t) = t – .
20
Q → Q,
R → R, c) u: –y + 1
c) u: 1 y → u(y) = 2 + 1.
p → u(p) = – p3 – 1. y +4
8
Q → Q,
d) u: a
a → u(a) = – a2.
5
Q → Q,
e) u: 7 1
r → u(r) = r + (r – 1)2.
6 5
197
DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas para calcular la función inversa (de funciones biyectivas), comprobándola
mediante la composición de funciones. M.5.1.24. Resolver y plantear aplicaciones de la composición de funciones reales en problemas reales o
hipotéticos.
Saberes previos
y funciones inversas
¿Qué es una función
biyectiva?
Definición. Sean A, B, C tres conjuntos no vacíos cualesquiera, f una

Desequilibrio cognitivo función de A en B, g una función de B en C. La composición de la fun-
¿Cómo representas en ción g con la de f, que se nota g  f, es la función de A en C definida como:
un diagrama de Venn la com- (g  f)(x) = (g(f(x)), ∀x  A.
posición de funciones?
De la definición se tiene g  f: A → C,
x → (g  f)(x) = g(f(x)).
1. Sean A = {–30, –25, –20, –15}, B = {0, 1, 2, 3, 4},
C = {10, 20, 30, 40, 50}, f y g son las funciones que se muestran en
los siguientes diagramas de Venn-Euler:
A f B B f 10 C
–30 0 0
1 1 20
–25 30
2 2 40
–20 3 3
–15 50
4 4 60
La función g  f está definida del modo que se indica a continuación:

A gf 10 C
–30 20 g  f(–30) = g(f(–30)) = g(4) = 20,
–25 30
40
g  f(–25) = g(f(–25)) = g(2) = 60,
–20
–15 50 g  f(–20) = g(f(–20)) = g(0) = 40,
60 g  f(–15) = g(f(–15)) = g(3) = 30.
p Figura 6.1.
En la Figura 6.1. se muestran los resultados de la función g  f.
Recuerda que… Ejercicios resueltos

2. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = C = A. Consideremos las funciones f, g
Teorema. Sean A, B, C definidas como sigue:
tres conjuntos no vacíos, f una f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 1,
función de A en B, g una fun- g(1) = 3, g(2) = 4, g(3) = 1, g(4) = 2.
ción de B en C. Entonces,
Claramente, las funciones f, g son inyectivas, sobreyectivas, biyec-
i. Si f, g son inyectivas, g  f
es inyectiva. tivas. Determinemos la función g  f. Tenemos:
ii. Si f, g son sobreyectivas, g  f (g  f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 4, (g  f)(2) = g(f(2)) = g(3) = 1,

es sobreyectiva. (g  f)(3) = g(f(3)) = g(4) = 2, (g  f)(4) = g(f(4)) = g(1) = 3.
iii. Si f, g son biyectivas, g  f
Observamos que g  f es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. ¿Cómo
es biyectiva.
está definida la función compuesta f  g?, ¿es f  g = g  f?
iv. Si g  f es inyectiva,
f es inyectiva. 3. Sean u, v las funciones definidas de Q en Q que se especifican
v. Si g  f es sobreyectiva, a continuación: u(x) = x2 + 1, v(x) = – x – 1, ∀x  Q.
3
g es sobreyectiva.
Determinemos las funciones compuestas v  u y u  v.
198
De la definición de las funciones u y v se tiene:
x2 + 1 x2 4
(v  u)(x) = v(u(x)) = v(x2 + 1) = – – 1 = – – , ∀x  Q, Recuerda que…
3 3 3
x x 2
x 2
Teorema. Sean A, B, C, D
(u  v)(x) = u(v(x)) = u – – 1 = – – 1 +1 = + 1 + 1, ∀x  Q.
3 3 3 conjuntos no vacíos f: A → B,
Observa que, en general, (u  v)(x) ≠ (v  u)(x). g: B → C, h: C → D tres aplica-
ciones, entonces:
Función inversa (h  g)  f = h  (g  f).
Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera, f una función de A
en B con f biyectiva. Por ser f sobreyectiva, para cada y  B existe Teorema. Sean A, B dos con-
juntos no vacíos, f una función
x  A, tal que y = f(x). Supongamos que existen x1, x2  A, tales que
biyectiva de A en B, entonces:
y = f(x1), y = f(x2). Como f es inyectiva, de la igualdad f(x1) = f(x2) se
sigue que x1 = x2. Así, para cada y  B, existe un único x  A, tal que i. f–1 es biyectiva.
y = f(x). Este hecho permite definir la función inversa. ii. f  f–1 = IB.
iii. f–1  f = IA.
Definición. Sean A, B dos conjuntos no vacíos, f una función biyec-
tiva de A en B. Se define la función inversa f–1 de B en A mediante la iv. IB  f = f.
siguiente relación: v. f  IA = f.
x  A, y  B, y = f(x) ⇔ x = f–1(y).
Teorema. Sean A, B, C conjun-
Ejercicios resueltos tos no vacíos, f una función de
1. Sea A = {a, b, c}, B = {0, 1, 2}. y f la función de A en B definida como A en B, g una función de B en C
f(a) = 0, f(b) = 1, f(c) = 2. con f y g funciones biyectivas,
Obviamente f es biyectiva. Determinemos f–1. Tenemos: entonces:
0 = f(a) ⇔ a = f–1(0), 1 = f(b) ⇔ b = f–1(1), 2 = f(c) ⇔ c = f–1(2). (g  f)–1 = f–1  g–1.
La función f–1 de B en A está definida como f–1(0) = a, f–1(1) = b,
f–1(2) = c.
2. Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {i, j, k, m}. Consideramos las

funciones f y g definidas como se indica a continuación:
f(a) = 2, f(b) = 4, f(c) = 1, f(d) = 3,
g(1) = k, g(2) = m, g(3) = j, g(4) = i.
Claramente, las funciones f y g son biyectivas. Las funciones inver-
sas f–1 y g–1 se definen a continuación:
f–1(1) = c, f–1(2) = a, f–1(3) = d, f–1(4) = b,
g–1(i) = 4, g–1( j) = 3, g–1(k) = 1, g–1(m) = 2.
Entonces, la función f–1  g–1 se define como sigue:
(f–1  g–1)(i) = f–1(g–1(i)) = f–1(4) = b,
(f–1  g–1)( j) = f–1(g–1(j)) = f–1(3) = d
(f–1  g–1)(k) = f–1(g–1(k)) = f–1(1) = c,
(f–1  g–1)(m) = f–1(g–1(m)) = f–1(2) = a,
y la función (g  f)–1 se obtiene del modo siguiente:
(g  f)(a) = g(f(a)) = g(2) = m ⇒ (g  f)–1(m) = a,
(g  f)(b) = g(f(b)) = g(4) = i ⇒ (g  f)–1(i) = b,
(g  f)(c) = g(f(c)) = g(1) = k ⇒ (g  f)–1(k) = c,
(g  f)(d) = g(f(d)) = g(3) = j ⇒ (g  f)–1(j) = d.
Comparando los resultados, se concluye que (g  f)–1 = f–1  g–1.

199
Taller práctico
DCCD: M.5.1.24. Resolver y plantear apli-
caciones de la composición de funciones 3 Sean A = {–1, 0, 1, 2}, u, v, w tres funciones
reales en problemas reales o hipotéticos.
1 Sean A = {a, b, c, d}, B = {–3, –2, –1}, de A en A definidas a continuación:
C = {10, 20}, f la función de A en B defi- u(–1) = 0, u(0) = 2, u(1) = 1, u(2) = –1,
nida como f(a) = –1, f(b) = –2, v(–1) = 0, v(0) = 1, v(1) = 2, v(2) = –1,
f(c) = –3, f(d) = –1, g la función w(–1) = 0, w(0) = –1, w(1) = 2, w(2) = 1.
de B en C, dada como se indica Determina w  (v  u), (w  v)  u, y verifi-
a continuación: ca que w  (v  u) = (w  v)  u.
g(–1) = 10, g(–2) = 20, g(–3) = 10.
Determina la función compuesta g  f.
Completa el proceso.
a) (g  f)(a) = g(f(a)) = g(–1) = 10,

b) (g  f)(b) = g(f(b)) = g(–2) = _______ ,
c) (g  f)(c) = g(f(c)) = ________________ ,
4 En cada ítem se definen las funciones u y
d) (g  f)(d) = g(f(d)) = ________________ .
v. Determina las funciones compuestas
La función g  f de A en B está definida como u  v y v  u. Calcula algunos valores de
estas dos funciones compuestas y com-
e) (g  f)(a) = 10, (g  f)(b) = ___________ , prueba que, en general, u  v ≠ v  u.
f) (g  f)(c) = _______ , (g  f)(d) = _______ .
a) u: Z → Z, v: Z → Z,
n → u(n) = 1. n → v(n) = 3n.
2 Sean A = {–1, 0, 1, 2}, u, v la función de A
en A definidas a continuación:
u(–1) = 0, u(0) = 2, u(1) = 1, u(2) = –1,
v(–1) = 0, v(0) = 1, v(1) = 2, v(2) = –1.
Determina las funciones v  u.
b) u: Z → Z,
n → u(n) = –n + 5.
v: Z → Z,
1
n → v(n) = n(n – 1).
2
Determina u  v.
c) Resuelve en tu cuaderno:
u: Z → Z,
¿Qué conclusión obtienes? m → u(m) = m – 5.
_______________________________________________
v: Z → Z,
_______________________________________________ m → v(m) = –m2 + 5.
200
DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyectivas,
sobreyectivas y biyectivas para calcular la función
inversa (de funciones biyectivas), comprobándo-
la mediante la composición de funciones. Diversidad funcional
5 Sean A = {5, 10, 15, 20, 25}, en el aula
B = {10, 20, 30, 40, 50}. En cada ítem se
Es importante juntar a los alumnos que tienen al-
define una función u de A en B. Indica si guna discapacidad grave con aquellos más atentos
u es biyectiva. En caso de serlo, define la para asegurar la participación total del equipo.
función inversa u–1.
a) u(5) = 10, u(10) = 20, u(15) = 50, Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
u(20) = 30, u(25) = 40.
7 En cada ítem se definen las funciones u y
v. Determinen las funciones compues-
tas u  v y v  u.
a) u: Z → Z,
b) u(5) = 50, u(10) = 40, u(15) = 10, m → u(m) = m + 5.
u(20) = 20, u(25) = 50.
v: Z → Z,
m → v(m) = –m2 + 5.
b) u: Q → Q,
x → f(x) = –x + 1.
v: Q → Q,
6 1
Considera los conjuntos x → g(x) = 3x + .
5
A = {–2, –1, 0, 1, 2}, B = {4, 8, 12, 16, 20},
C = {15, 18, 21, 24, 27}, u la función de A
en B, v la función de B en C que en cada 8 Consideren los conjuntos
caso se definen. Halla v  u. En el caso en
A = {–2, –1, 0, 1, 2}, B = {–4, 0, 4, 8, 12},
que u y u sean biyectivas, halla u–1  v–1 y
u la función de A en B, definida como si-
(v  u)–1 y compara los resultados.
gue: u(–2) = –4, u(–1) = 8, u(9) = 0,
a) u(–2) = 4, u(–1) = 8, u(0) = 12, u(1) = 8, u(1) = 12, u(2) = 4.
u(2) = 4, v(4) = 15, v(8) = 18, v(12) = 24, Comprueben que la función u es biyecti-
v(16) = 27, v(20) = 15. va y determinen las funciones u–1 y (u–1)–1.
Comparen los resultados de (u–1)–1 con
los de la función u y concluyan.
9 En cada ítem se define una función u.

b) u(–2) = 20, u(–1) = 16, u(0) = 12, u(1) = 8, Demuestren o refuten que u es biyec-
u(2) = 4, v(4) = 27, v(8) = 24, v(12) = 21, tiva y, en caso de serlo, hallen su inversa.
v(16) = 18, v(20) = 15.
a) u: Q → Q,
x → u(x) = 4x – 3.
b) u: Q → Q,
x → u(t) = 125t3.
201
DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición entre elementos de R3 y de producto por un número escalar de manera geométrica y analítica,
aplicando propiedades de los números reales; y reconocer los vectores como elementos geométricos de R3.
Saberes previos
¿Cómo son los elemen-

El conjunto R3
tos de 2? Los elementos del espacio vectorial R3 se identifican con los vectores
en el plano. Las ecuaciones vectoriales recta y de planos, así como sus
representaciones gráficas, constituyen otros elementos importantes
Desequilibrio cognitivo en las aplicaciones.
¿Cuántos elementos tie-
ne una terna elemento de 3? Se designa con R3 al producto cartesiano R × R × R, esto es,
R3 = {(x, y, z) | x, y, z  R}. Los elementos de R3 son ternas ordenadas.
Si (x, y, z)  R3, x  R se denomina primera componente o abscisa,
y  R se denomina segunda componente u ordenada, z se llama
tercera componente. A los elementos de R3 los representamos con
las letras mayúsculas del alfabeto y a sus componentes, siempre con
letras minúsculas del alfabeto, con o sin subíndices. Así, escribiremos
U = (x, y, z)  R3. También escribiremos A  R3. En este último caso,
Interdisciplinariedad quedará sobreentendido que A es una terna ordenada, esto es, que
existen a, b, c  R, tal que A = (a, b, c). Se tiene, entonces, la siguiente
Matemática y física equivalencia:
Muchas de las aplicaciones en
el campo de la física y, en estos A  R3 ⇔ ∃a, b, c  R tal que A = (a, b, c).
últimos años, en la computa-
ción gráfica, como, por ejemplo, Ejercicio resuelto
5
el diseño asistido por computa- Los siguientes son elementos de R3: A = (0, 1, 5), B = –8, – , 2 ,
2
dora y la simulación numérica, 5 4
requieren del conocimiento C = (0, 0, –3), D = (2, 0, 0), M = (0, 1, 0), N = (– 2 , – 2, 2 ),
matemático de los espacios 0 = (0, 0, 0). El elemento 0 = (0, 0, 0) se llama elemento nulo de R3.
vectoriales.
Así, por ejemplo, en física, el Igualdad de elementos de R3
movimiento de una partícula o Definición. Sean A = (a, b, c), B = (x, y, z)  R3. Diremos que A es
de un cuerpo se determina por igual a B, que se escribe A = B, si y solo si a = x, b = y, c = z.
el vector de posición, la veloci-
dad, la aceleración, las fuerzas De la definición de igualdad de ternas ordenadas, tenemos la siguien-
que obran sobre dicho movi-
te equivalencia:
miento, entre otros elementos.
A = B ⇔ (a = x ∧ b = y ∧ c = z),
donde ∧ denota el conectivo lógico conjunción. La definición expresa

que dos elementos de R3 son iguales si y solo si sus respectivos com-
ponentes son iguales. De la definición de igualdad se desprende in-
mediatamente su negación: si A = (a, b, c), B = (x, y, z)  R3, entonces
Diseño CADD, (2020). www.esquemat.es
A ≠ B ⇔ (a ≠ x ∨ b ≠ y ∨ c ≠ z), donde ∨ denota el conectivo lógico

disyunción.
Sistemas de coordenadas espaciales

Primeramente establecemos una correspondencia biunívoca (biyec-
ción) entre los puntos del espacio y las ternas ordenadas (a, b, c)  R3.
p Torre Eiffel. Denotamos con E3 el conjunto de puntos del espacio.
202
En la Figura 6.2. se muestran tres rectas del espacio L1, L2, L3, que se cor-
tan en el punto O y L1  L2, L1  L3, L2  L3, A  L1, B  L2, C  L3. El L3
símbolo  colocado en los ejes indica que el ángulo formado es recto.
L2
C 1
Al punto O le asociamos el elemento nulo (0, 0, 0) de R3. Las longitu- B
des de los segmentos OA, OB, OC son 1. 1
O
A la recta L1 con la graduación OA la denominamos eje x; a la recta L2 1
A
con la graduación OB la denominamos eje y; a la recta L3 con su gra-
L1
duación OC la denominamos eje z. Estos ejes no necesariamente son
ortogonales. A estos tres ejes los denominamos sistema de referencia p Figura 6.2.
del espacio o sistema de coordenadas espaciales.
Cuando los ejes son ortogonales, llamaremos sistema de referencia

ortogonal y, si no hay peligro de confusión, simplemente diremos sis- Recuerda que…
tema de coordenadas espaciales xyz.
Un sistema de coor-
En las Figuras 6.3. y 6.4. se muestran tres sistemas de coordenadas es- denadas tridimensional se
paciales xyz y el punto (2, –3, 3)  R3, así como el punto (3, 5, 2)  R3. construye trazando un eje Z,
perpendicular en el origen de
coordenadas a los ejes X y Y.
Cada punto viene determinado
por tres coordenadas P = (x, y, z).
Los ejes de coordenadas deter-
minan tres planos coordena-
dos: XY, XZ y YZ. Estos planos
coordenados dividen el espacio
en ocho regiones llamadas oc-
tantes. En el primer octante, las
tres coordenadas son positivas.
3
+Z
p Figura 6.3. XOZ ZOY
0
XOY 4 2
1
8 +Y +X 6
p Figura 6.5.
p Figura 6.4.
203
Taller práctico
DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición e) (–4, –3, –5).
entre elementos de R3 y de producto por un núme-
ro escalar de manera geométrica y analítica, apli- 4 z
cando propiedades de los números reales; y recono- 3
cer los vectores como elementos geométricos de R3.
1 Para cada ejercicio en el sistema de coor- –5
–4
2
x
–3 1 –5
–4
denadas tridimensionales x, y, z, repre- –2
–1
0 –1
–2
–3
senta los siguientes puntos de R3. x

3
2
1
–1
1
2
4 3
–2 4
5 y
a) (–2, 1, 4). –3
6
–4
4 z
2
f) (0, 2, 3).
–5
–4
–3 1 –5 4 z
–4
–2 –3
–1 –2
0 –1 3
x 1 1
2 –1 2 2
3 –5 x
4 3
–2 4 –4
–3 1 –5
5 y –4
6 –2 –3
–3 –1 –2
0 –1
x 1 1
–4 2 –1 2
3
4 3
–2 4
5 y
b) (3, –1, 2). –3
6
4 z –4
2 g) (–3, 2, 0).
–5
–4 –5
–3 1
–4 4 z
–2 –3
–1 –2
0 –1
3
x 1 1
2 –1 2
3 2
4 3 –5 x
–2 4 –4
5 y –3 1 –5
–4
6 –2 –3
–3 –2
–1 –1
0
–4 x 1 1
2 –1 2
3
4 3
–2 4
c) (2, 4, 3). 5
6
y
–3
4 z –4
3
2
–5
–4
–3
–2
1
–2
–3
–4
–5
2 Identifica los signos de las ternas ordena-
–1 –1
0
x 2
1
–1
1
2
das en cada octante. Observa la figura.
3
4 3
–2 4
5 y z
6 7
–3
–4 6
5
d) (–3, –2, 4). 4
3
4 z
2
3 –5
–4
–3 1 –4
2 –2 –3
–5 –2
–4 –1 –1
–3 1 –5 0
–4 x 1 1
–2 –3 2 –1
–1 –2 3 2
0 –1 4 3
x 1 1 –2 4
2 –1 5 y
3 2
4 3 6
–3
–2 4
5 y
6 –4
–3
–5
–4
204
a) I octante (+, +, +) Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
b) II octante _____________________________
c) ________________________________________ 4 En el sistema de coordenadas espaciales xyz,
d) ________________________________________ representen los siguientes puntos de R3.
e) ________________________________________
a) (0, 0, 2). c) (–2, 0, 0). e) (0, 3, 0).
f) ________________________________________ b) (0, 0, –3). d) (2, 0, 0). f) (0, –3, 0).
g) ________________________________________
h) ________________________________________
5 Sea z = x2 + y2. Completen la siguiente
3 tabla, grafiquen los puntos en el plano
Sea z = x2 + y2. Completa la siguiente ta- tridimensional, y luego unan los puntos.
bla, grafica los puntos en el plano tridi-
mensional, y luego une los puntos. x y z
0 0
x y z –1 0
0 0 –2 0
–3 0
1 0
0 –1
2 0
0 –2
3 0 0 –3
0 1
0 2
0 3 6 Analicen el siguiente gráfico y respon-
z
dan las preguntas.
10 z
9
7
A2
6
5
A3 A(3, 4, 6)
3
2
0 (3, 0, 0)
1
B x
0
x 1 1
2 2
3 y
4 3
4
A1(3, 4, 0)
Trabajo colaborativo a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto A?

Diversidad funcional b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto A1?
en el aula
c) ¿Cuáles son las coordenadas del punto A3?
Cuando en un equipo hay miembros con alguna
discapacidad, es importante enseñar a los alum- d) ¿Dónde está localizado el punto (8, 5, 6)?
nos a trabajar con todos los miembros del equi-
e) ¿Cuántos puntos podrías colocar en
po y aprender sobre ellos mismos y los demás.
la cuadrícula del dibujo?
205
Saberes previos
¿Qué operaciones se
Operaciones en R3
pueden efectuar en 3? Tal como en el estudio del espacio vectorial R2, definiremos en R3 las
operaciones de adición “+”, y de producto de números reales por ele-
mentos de R3. Con estas dos operaciones, obtendremos la estructura
Desequilibrio cognitivo de espacio vectorial al que lo denominaremos espacio vectorial R3, o
¿Las propiedades de la simplemente espacio R3.
adición de los números reales se
cumplen para 3? Adición en R3
Definición. Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z) dos elementos de R3. Se
define la suma de u con v, que se escribe u + v, como sigue:
u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z).
La definición expresa que la adición de dos elementos de R3 se realiza

sumando sus respectivos componentes. El resultado es otro elemen-
to de R3.
Recuerda que… 1. Sean u = (–5, 8, 10), v = (3; –5,5; –4). Entonces,
u + v = (–5, 8, 10) + (3; –5,5; –4)
Estas son las propieda- = (–5 + 3; 8 – 5,5; –10 –4) = (–2; 2,5; –14).
des de la adición de números
reales:
2. Dado a  R, se definen u = (a, –a, a), v = (–a, a, –a)  R3. Entonces,
• Conmutativa: para todo u + v = (a, –a, a) + (–a, a, –a) = (a – a, –a + a, a – a) = (0, 0, 0) = 0.
x, y  , x + y = y + x.
• Asociativa: para todo La definición de suma de elementos de R3 muestra que la suma
x, y, z  , de dos elementos de R3 es otro elemento de R3. Más aún, la ope-
x + (y + z) = (x + y) + z. ración adición en R3 es una ley de composición interna, esto es,
• Existencia de elemento neutro: “+” es una función de R3 × R3 en R3 definida como sigue:
existe 0  , tal que para
R3 × R3 → R3,
todo x  , x + 0 = 0 + x = x. +:
(u, v) → u + v,
• Existencia de opuestos aditi-
vos: para cada x  , existe donde u + v está arriba definido. Se tiene así la propiedad clausu-
–x  , tal que x + (–x) = 0. rativa que se expresa del modo siguiente:
∀u, v  R3 ⇒ u + v  R3.
Teorema. La operación “+” en R3 satisface las siguientes propiedades:
i. Conmutativa: para todo u, v  R3, u + v = v + u.

ii. Asociativa: para todo u, v, w  R3, u + (v + w) = (u + v) + w.
iii. Existencia del elemento neutro: existe 0  R3 tal que para todo
u  R3, u + 0 = 0 + u = u.
iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada u  R3, existe v  R3 tal
que u + v = 0.
206
Demostración. Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z), w = (p, q, r) tres elemen-
tos arbitrarios de R3.
Recuerda que…
i. Conmutativa. De la definición de suma de elementos en R3 se
tiene u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z). Grupo conmutativo
Además, v + u = (x, y, z) + (a, b, c) = (x + a, y + b, z + c), (3, +)
y por la propiedad conmutativa de la operación adición “+” en R, El conjunto 3 en el que se
ha definido la igualdad de
obtenemos v + u = (a + x, b + y, c + z). Por la definición de igual-
elementos de 3 junto con la
dad de elementos en R3 se tiene operación adición “+” tiene
u + v = v + u = (a + x, b + y, c + z). estructura algebraica de grupo
Conclusión: u + v = v + u. abeliano o conmutativo; esto
es, la operación adición “+” es
ii. Existencia del elemento neutro. El elemento 0 = (0, 0, 0) pertene- cerrada en 3 y satisface las pro-
ce a R3, donde 0  R es el elemento neutro. Entonces piedades i) a iv) del teorema de
u + 0 = (a, b, c) + (0, 0, 0) = (a + 0, b + 0, c + 0). Como a + 0 = a, la página 206.
b + 0 = b, c + 0 = c, se sigue que
u + 0 = (a + 0, b + 0, c + 0) = (a, b, c) = u. Teorema.
Conclusión: 0  R3 es tal que para todo u  R3, u + 0 = u. Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z)
dos elementos de R3. Entonces,
iii. Existencia de opuestos aditivos. Dado u = (a, b, c)  R3 y como –(u + v) = (–u) + (– v).
a, b, c  R, por la existencia de opuestos aditivos en R, existen
–a, –b, –c  R, tales que a +(–a) = 0, b +(–b) = 0, c +(–c) = 0. Teorema. Ley cancelativa.
Definimos v = (–a, –b, –c)  R3. Entonces, Para todo A , B , C  3,
u + v = (a, b, c) + (–a, –b, –c) = (a + (–a), b + (–b), c + (–c)) = A + B = A + C ⇔ B = C.
(0, 0, 0) = 0.
Conclusión: dado u = (a, b, c)  R3, existe v = (–a, –b, –c)  R3, Teorema.
tal que u + v = 0. i. El elemento 0 de 3 es único.
ii. Dado u  3, el opuesto
Ejercicios resueltos aditivo –u  3 es único.
1. El opuesto aditivo de u = (0, –8, 10) es –u = (0, 8, –10). Nota que
u + (–u) = (0, –8, 10) + (0, 8, –10) = (0 – 0, –8 + 8, 10 – 10) =
(0, 0, 0) = 0.
2. El opuesto aditivo de A = –2, – 1 , – 2 es –A = 2, 1 , 2 .

2 3 2 3
1 2 1 2
Se tiene A + (–A) = –2, – , – + 2, , =
2 3 2 3
2 – 2, – 1 + 1 , – 2 + 2 = (0, 0, 0) = 0.
2 2 3 3
Resta en R3
Definición. Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z)  R3. Se define u – v como
sigue: u – v = u +(–v) = (a – x, b – y, c – z).
Observa que el opuesto aditivo de v = (x, y, z)  R3 es

–v = (–x, –y, –z)  R3, u – v, que se opera como la suma de u con el
opuesto aditivo de v.
Ejercicio resuelto
1. Sean A = (5, –2, 3), B = (15, 3, –8). Entonces –B = (–15, –3, 8), y
A – B = A +(–B) = (5, –2, 3) + (15, –3, 8) = (5 – 15, –2 – 3, 3 + 8)
= (–10, –5, 11).
207
Taller práctico
DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición
entre elementos de R3 y de producto por un nú- 3 1
mero escalar de manera geométrica y analítica, apli- Sean A = (4, –2, 3), B = –2, – , 1 ,
cando propiedades de los números reales; y recono- 2
 1
cer los vectores como elementos geométricos de R3. C = 21, 4, – . Realiza las sumas que
1 3
Escribe el opuesto aditivo de cada ele- se proponen en cada caso.
mento p de R3 que se da, y verifica que
p + (–p) = 0 . a) A + B + C .
1
a) p = , 2, 2 .
4
_______________________________________________
3 1 2
b) p = , ,– .
2 3 5 b) A – B + C .
_______________________________________________
5 3 51
c) p = ,– ,– .
9 5 4
_______________________________________________
d) p = – 5 , –
22 31
,– . c) –A –(–B + C ).
31 2
_______________________________________________
2 Con los vectores A , B de R3 que en cada

caso se proponen, halla A + B y A – B .
1
a) A = (–3, 8, –5), B = , –2, 20 . 4 1 2 2 1
5 Sea u = , – , 1 , v = – , , –2 ,
3 5 3 2
5 3 1
w = – , – , – . Verifica la igualdad
3 10 4
que se propone en cada caso. Para el
efecto, realiza los cálculos en el lado
izquierdo de la igualdad, luego en el lado
b) A = (–1, 4, 1), B = (–5, –3, –4). derecho, y compara los resultados.
a) u – (v + w) = u – v – w.
c) A = (3 2 , 2 3 , 5 5 ),
3 2 5
B = – 2,– 3,– 5 . b) –(u + v) = –u – v.
2 3 3
208
c) –(u + v + w) = –u – v + w. Trabajo colaborativo
en el aula
Una forma de evaluación cuando se trabaja

con estudiantes con necesidades educativas es
d) u – (v – w) = u – v + w. recompensar al grupo por establecer estrategias
para ayudarse mutuamente.
6 Sea u  R3. Prueben que:

5 Completa el proceso de demostración a) –(–u) = u.
de la propiedad asociativa.
b) –(–(–u)) = –u.
• Demostración. Sean u = (a, b, c),
v = (x, y, z), w = (p, q, r) tres elementos arbi-
trarios de R3. 7
Por la definición de la adición “+” en R3, se Sean u, v, w  R3. Demuestren las igual-
tiene v + w = (x, y, z) + (p, q, r) = dades siguientes:
= _____________________________________________ a) u – (v – w) = u – v + w.
Luego,
b) –(u – v + w) = –u – v – w.
u + (v + w) = (a, b, c) + (x + p, y + q, z + r) =
_______________________________________________ c) –(u – (v – w) = –u + v – w.
_______________________________________________
d) –(–u – (v – w) = u + v – w.
y debido a la propiedad asociativa de la adi-
ción en R, resulta a + (x + p) = a + x + p, 8
b + (y + q) = _____________________________, Sea u  R3. Prueben que el opuesto adi-
c + (z + r) = _____________________________, tivo de u es único. Para el efecto, asuman
que existe otro opuesto aditivo distinto
con lo cual al opuesto de u, y obtengan una contra-
u + (v + w) = (a + x + p, b + y + q, c + z + r). dicción.
Por otro lado,
u + v = (a, b, c) + (x, y, z)
= ___________________________________________ . 9 Exhiban ejemplos que muestren que la
Luego, operación resta en R3 no es ni conmuta-
(u + v) + w = (a + x, b + y, c + z) + (p, q, r) = tiva ni asociativa.
= ___________________________________________ .
Por la misma propiedad asociativa de la adi-
ción en R, se obtiene: 10 Sean A = (a , b , c ), A = (a , b , c ),
1 1 1 1 2 2 2 2
(u + v) + w = (a + x + p, b + y + q, c + z + r). A 3 = (a3, b3, c3), A 4 = (a4, b4, c4) cuatro
De la definición de igualdad de elementos elementos de R3. Demuestren que se
de R3, se concluye que tiene la siguiente igualdad:
u + (v + w) = (u + v) + w. • A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = A 1 + A 2 + A 3 + A 4.
209
Saberes previos
Producto de escalares por
elementos de R3
¿Son los escalares ele-
mentos de ?
En lo sucesivo, a los elementos de R los denominamos escalares.

¿Es el producto escalar Definición. Sean a  R y u = (x, y, z)  R3. Se define el producto de a

por elementos de 3 una ope- por u, que se escribe a ∙ u, como sigue: a ∙ u = a ∙ (x, y, z) = (ax, ay, az).
ración de composición interna?
De la definición se sigue que el producto de un número real por un
vector de R3 es otro elemento de R3, cuyos componentes son los pro-
ductos del número real por los respectivos componentes del vector.
El producto de escalares (números reales) por vectores de R3 es una

operación que notamos “∙” y es una función de R × R3 en R3, definida
como sigue:
Recuerda que…
∙: R × R3 → R3,
(a, u) → a ∙ u ,
Algunas propiedades del
producto “ ∙ ” de números reales con a ∙ u arriba definido. Además, se asume que
son: a ∙ u = u ∙ a = (ax, ay, az), donde a  R, u = (x, y, z)  R3.
• Conmutativa: para todo
x, y  , x ∙ y = y ∙ x. Ejercicios resueltos
2 4 2 4
• Asociativa: para todo 1. Para a = –2 y u = – , , –5 , se tiene au = –2 – , , –5
15 19 15 19
x, y, z  , x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z.
2 4 4 8
• Existencia de elemento = (–2) – , (–2) , –2(–5) = , – , 10 .
15 19 15 19
unidad: existe 1  , tal que
para todo x  , 1 ∙ x = x. 2 1
2. Sean A = (5, 2, –1), B = –1, , – . Entonces,
5 4
• Existencia de opuestos multi-
plicativos: para cada x  , 2 1
3A – 20B = 3(5, 2, –1) – 20 –1, , –
x ≠ 0, existe 5 4
1 = (15, 6, –3) – (–20, 8, –5) = (35, –2, 2).
x–1 =  , tal que xx–1 = 1.
x
Al conjunto  provisto de Propiedades del producto de escalares por elementos de R3
la operación producto “ ∙ ”, y Teorema. Para todo a, b   y para todo u, v  R3, se verifican las
que verifica las propiedades siguientes propiedades:
i) a iv) precedentes, lo de-
nominamos grupo conmu- i. a(bu) = (ab)u = b(au).
tativo para el producto, y lo ii. (a + b)u = au + bu.
denotamos como ( – {0}, ∙). iii. a(u + v) = au + av.
x, y, z  . iv. 1 ∙ v = v.
• La adición y el producto de
números reales están ligados Demostración de iv. Notemos que 1  R, v = (x, y, z)  R3, es el
por la propiedad distributiva: elemento unidad para el producto de números reales. Se tiene
para todo x, y, z  ,
1 ∙ v = 1 ∙ (x, y, z) = (1 × x, 1 × y, 1 × z) = (x, y, z) = v.
x(y + z) = xy + xz.
Conclusión: 1 ∙ v = v.
210
Teorema. Sean a, b  R, u, v  R3. Se verifican las propiedades
siguientes:
i. (–a)v = –av; ii. a(–v) = –av; iii. (–a)(–v) = av; Recuerda que…
iv. (a – b)v = av – bv; v. a(u – v) = au – av
Nota. Sean a  ,
Demostración. u  3. Los resultados i), ii), iii)
v. Por la definición de resta en R3, u – v = u +(–v). Luego, del teorema se conocen como
regla de los signos que a conti-
a(u – v) = a[u + (–v)] = au + a(–v) = au – av. nuación repetimos:
Conclusión: a(u – v) = au – av. (–a)v = –av,
a(–v) = –av,
Ejercicio resuelto (–a)(–v) = av.
1. Sean a, b  R, u, v  R3 y A = (a + b)(u – v) – (a – b)(u + v).
Simplificamos la escritura de A , aplicamos las propiedades de la adi-
ción en R3 y del producto de números reales por elementos de R3.
A = (a + b)(u – v) – (a – b)(u + v)
= (a + b)u – (a + b)v – (a – b)u – (a – b)v
= (a + b)u – (a – b)u – (a + b)v – (a – b)v
= (a + b – a + b)u – (a + b + a – b)v = 2bu – 2av = 2(bu – 2av).
Luego, A = 2(bu – av). z
c
Interpretación geométrica de las operaciones en R3
Consideremos el sistema de coordenadas ortogonales xyz; y denote- A
OA
mos con O el punto de intersección de los tres ejes. Sea 0
A = (a, b, c)  R3. Tal como procedimos en el caso bidimensional, b y
trazamos el vector geométrico OA. Se establece una identificación a
entre cada punto A  R3 con el respectivo vector geométrico OA. En
la Figura 6.6. se muestra este vector OA. x
p Figura 6.6.
Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z) dos elementos de R . De la definición de

3
suma de elementos de R3 se tiene

u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z).
Interpretemos geométricamente este resultado. Primeramente, los

puntos (a, b, c), (x, y, z)  R3 se identifican con los vectores geométri-
cos notados u, v respectivamente. Representamos el vector geomé-
trico u + v que se identifica con el punto (a + x, b + y, c + z)  R3. En
la Figura 6.7. se muestra esta representación.
y
z Conexiones con las TIC
v
Para representar grá-
u
ficamente puntos y vectores
c+z u + v
en el espacio, puedes utilizar
u software libre, como GeoGebra,
c b+y tal como se indica al final de
z b v esta unidad en la página 216.
y
0 a x a+x x t Figura 6.7.
211
Taller práctico
DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición
entre elementos de R3 y de producto por un núme- 3 Con los vectores A , B , C que se dan en
ro escalar de manera geométrica y analítica, apli-
cando propiedades de los números reales; y recono- cada caso, halla x, y  R, tal que
cer los vectores como elementos geométricos de R3.
1 xA + yB = C.
Con el escalar a  R y el vector v  R3
que se dan en cada ítem, obtén el pro- a) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (–3, –58, 0).
ducto av.
a) a = –5, v = (2, 3, 4).

_______________________________________________
b) a = 100, v = (2,85; 3,22; 5,56).

b) A = (0, 2, –1), B = (0, –1, 3), C = (0, 1, 7).
_______________________________________________
c) a = –1, v = (–2 5 ; – 2 ; 3 ).
_______________________________________________
d) a = –5, v = (0, –3, –8).

_______________________________________________ c) A = (0, 0, –2), B = (4, 0, 1), C = (20, 0, 11).
7 3
e) a = 40, v = – , 0, – .
5 4
_______________________________________________
2 Dados los vectores A = (–5, –3, 1),

B = (–1, 2, 2), C = (2, 0, 3), obtén el vec-
tor u que se define en cada caso.
4 Halla x  R3 solución de la ecuación
que se da en cada caso.
a) u = 2A + B + C .
a) 3x – (10, 20, 30) = (0, 0, 0).
1
b) u = –A + 5B + C .
3 11 2 1
b) –3x + (–1, 5, 1) = x – (–2, 2, 3).
15 5 3
c) u = –3A – 10B – 20C .
5 Completa las siguientes demostraciones.
a) Sean a, b  R, u, v  R3.

Verifica (–a)v = –av.
212
i) El opuesto aditivo de av es _________________. Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
Probemos que el opuesto aditivo de (–a)v
es –av y, en consecuencia, (–a)v = –av. 7 Sean a  R, u  R3. Prueben que:
En efecto, (–a)v + av = [(–a) + _________ ]v a) –(–au) = au.
= 0 × _______ = _______.
b) –a(–a(u)) = –au.
Luego, por la unicidad del opuesto aditivo,
se tiene (–a)v = ________________________ . c) u + u = 2u.
b) Sean a, b  R, u, v  R3. d) u + u + u = 3u.

Verifica (–a)(–v) = av.
Por la parte i), se tiene –v = –1 ∙ v = (–1)v, 8 Sean a, b, c  R, u, v, w  R3. En cada
entonces ítem, demuestren que se verifica la
(–a)(–v) = (–a)[(–1) × v] = [(–a)(–1)]v = igualdad. Para el efecto, partan del lado
_____________________________________________ . izquierdo y obtengan el lado derecho.
Conclusión: (–a)(–v) = ____________________ .
a) a(u + v + w) = au + av + aw.
b) (a + b + c)u = au + bu + cu.

6 Representa gráficamente en el plano xyz
la suma de: A = (1, 2, 2) y B = (3, 2, 4). c) c(au + bv) = (ac)u + (bc)v.
d) c(au – bv) = (ac)u – (bc)v.

z
6 e) a(u + v – w) = au + av – aw.
5
f) (a + b – c)u = au + bu – cu.
4
3
9 Sean a, b  R, u, v, w  R3. En cada ítem,
2
simplifiquen la escritura de A justifican-
1
do cada operación que se realiza.
0
x
5 4 3 2 1 1
2 a) A = a(u – v + w) – a(u + v – w).
6 3
4 y
5
6 b) A = (a + b)(u – v) – (a – b)u + av.
c) A = a(u + v) + (b – a)u – b(u – v).
d) A = 2a(u + v) + (2b – 3a)u – 2b(u – v).

Diversidad funcional 10 Sean a  R, u, v  R3. Si a ≠ 0 y au = av,
en el aula
prueben que u = v.
Es importante proporcionar a todos los alumnos
ayuda para que todos lleguen al éxito, identificar
los errores y ayudarlos a que los corrijan paulati- 11 Sean a, b  R, u  R3. Si u ≠ 0 y au = bu,
namente. prueben que a = b.
213
cotidianos
Evaporación del agua Practica en tu cuaderno
1. Un charco circular de
agua se está evapo- 2. Los defensores del
rando y disminuye medio ambiente han
lentamente su ta- estimado que el nivel
maño. Después de t promedio de mo-
nóxido de carbono
Shutterstock, (2020). 364116620

minutos, el radio del
charco mide en el aire es

18 M(m) = (1 + 0,6 m)
centímetros, Charco de agua. p partes por millón
12t + 3
es decir, el radio es una función del tiempo. El área cuando el número de
del charco está dada por A = πr2, es decir, el área personas es m-miles .
es una función del radio. Si la población en mi-
les en el momento t Pila de humo. p
Responde las preguntas es P(t) = 400 + 30t + 0,5t2, entonces:
a) ¿Cómo expresarías el área como una función a) Expresa el nivel de monóxido de carbono en
del tiempo? el aire como una función del tiempo.
b) ¿Cuál es el área del charco después de 10 mi- b) Calcula el nivel de monóxido de carbono en
nutos? t = 5.
3. Se conoce que la población de ranas R, calculada
Escribe las funciones que intervienen
en miles en una determinada región, depende de
la población de insectos m en millones. La pobla-
• El radio en función del tiempo se puede expresar así:
ción de insectos I a su vez varía con la cantidad
R(t) = 18 . de lluvia c dada en centímetros. Si la población de
12t + 3 ranas es
• El área en función del radio se expresa así: A = πr2.
m
R(m) = 65 +
8
Establece la composición de funciones
y la población de insectos es I(c) = 43c + 7,5, en-
a) ¿Cómo expresarías el área como una función tonces:
del tiempo?
(AoR)(t) = A(Rt). a) Expresa la población de ranas como una fun-
ción de la lluvia.
18 2. b) Estima la población de ranas cuando la lluvia
A(R(t)) = π es de 1,5 centímetros.
12t + 3
b) ¿Cuál es el área del charco después de 10 mi- 4. Después de muchas investigaciones, una compa-
nutos? ñía farmacéutica determinó que la concentración
Reemplaza el valor de 10 en la anterior expre- de una droga en la corriente sanguínea puede cal-
sión. cularse de la siguiente manera: concentración igual
2 a dos veces el tiempo transcurrido desde la inyec-
A(R(10)) = π 18 . ción, dividido entre el tiempo transcurrido al cubo.
12(10) + 3
a) Encuentra la ecuación de la concentración
A(R(t)) = 1,9 cm2.
con respecto al tiempo.
b) Encuentra el dominio, el rango y la gráfica de
Conclusión
la función.
El área de charco después de 10 minutos es de
1,9 cm2. Problemas adaptados de: http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/
Documents/Funcion/Problemario_Funciones.pdf
214
Matemática y deporte
¿Qué tiene que ver la matemática con la animación en 3D y los video-
juegos? Pues, en realidad, mucho. Para realizar un juego de mesa o más
aún para realizar juegos de computadoras y animaciones, es necesa-
rio desarrollar un pensamiento estructural, un pensamiento lógico
Shutterstock, (2020). 100900786

y, sobre todo, descubrir cómo ciertos conceptos matemáticos de
álgebra y geometría se pueden aplicar en el desarrollo de videojue-
gos en 3D. Cualquier videojuego en 3D del mercado, sea de un ce-
lular, de la PC o de una consola, hace uso exhaustivo de los cálculos
matemáticos que se enseñan en el bachillerato.
En la tercera dimensión o 3D lo que se hace fundamentalmente es

simular volumen. Esto se logra cuando en un plano X, Y, se incorporan
valores numéricos en Z. Estos valores sirven para formar polígonos me-
p Animación en 3D.
diante algoritmos que permiten modelar en 3D.
Adaptado de: http://www.digitalacb.com/explicacion.html
La matemática
y las profesiones
Ingeniería en Ciencias de la Computación

La carrera en Ingeniería en Ciencias de la Computación está comprome-
Animación digital, (2020). www.tecnologiadehoy.net

tida en formar futuros líderes y emprendedores en el área de producción
audiovisual animada, desde la idea original hasta el producto terminado,
en el cálculo científico desarrollo de sotware.
Desde el principio de la carrera, los estudiantes desarrollan y aprenden

nuevas técnicas y, a la par, aprenden a utilizar herramientas computacio-
nales para crear sus obras, elaborar programas computacionales, para rea-
lizar simulaciones virtuales
p Animación digital.
Para optar por esta carrera, es necesario que el aspirante haya desarrolla-
do en el bachillerato competencias básicas, y tenga afinidad con:
• Matemática básica.
• Geometría y geometría computacional.
• Informática, navegación en Internet y búsqueda de información.
Si quieres optar por la carrera de Animación Digital puedes postular en

una de las universidades reconocidas por el Senescyt.
El campo ocupacional de un profesional en Ciencias de la Computación

está en productoras de televisión, estudios de postproducción, estudios
de desarrollo de videojuegos, simulaciones en la industria.
215
TIC
Gráfico de vectores en R3 con GeoGebra
Vamos a utilizar GeoGebra para representar los vectores:
p = (–5, 5, 9); r = (2, 5, 7); u = (–4, –7, 5).
1. Como primer paso, ingresa a Vista y selecciona Gráficas en 3D.

Aparecerá el plano en tres dimensiones, con la orientación de los
ejes x, y, z.
2. En la parte de Entrada, ingre- 3. Ingresa cada vector con una 4. En Vista Algebraica aparece-
sa cada uno de los vectores. letra minúscula, seguida del rán, en forma de matriz, las
signo igual, y entre paréntesis coordenadas de cada vector
la coordenada. con su respectivo color.
216
Suma de vectores en R3
Sumamos los vectores p = (–5, 5, 9) y q = (–4, –7, 5).
1. Ingresa en Entrada los dos 2. En Entrada escribe otra letra minúscula y la operación.
vectores p y q. r = p + q. Aparece el nuevo vector.
Producto de un escalar por elementos de R3

En el gráfico de los vectores p = (–5, 5, 9) y q = (–4, –7, 5), vamos a di-
bujar los vectores m  = –0,5p y n = 1,5 q.
1. Ingresa los vectores origina-

les, p y q.
2. Escribe una letra minúscula y

la operación. Así: m = –0,5p y
n = 1,5q. Aparecerá el gráfico
del producto de un escalar
por un vector.
• Practica el trazo del gráfico de vectores y las operaciones de suma y

producto de un escalar por vectores en R3 con otros vectores.
217
Justificación
Tema: Crear con Stop motion es una técnica de rodaje ba-
la técnica de stop
sada en continuas tomas fotográficas,
en las que cada plano varía ligeramen-
motion te del anterior, creando así la ilusión

de una animación (como seguramen-
te lo has visto en los dibujos animados
Recursos y en los cortos con muñecos de plasti-
• Sala de computación o lina o materiales moldeables).
tablets con cámara web
Objetivos
Stop motion ex, (2020). www.uniat.com

incorporada
Stop motion. p
• Espacio físico con buena
iluminación para tomar la • Crear una animación de stop motion utilizando un software de
secuencia de fotografías fácil acceso, y de manera cómoda y rápida.
• Plastilina, legos, alambres
y material que sirva para Actividades
construir personajes
• Formar grupos de 2 o 3 personas.
• Instalar un software de stop motion. Existen programas con perío-
do de prueba que se pueden usar para este fin.
• Redactar, en cada grupo, un breve guion de la escena que se desea
animar.
• Buscar objetos y figuras que se puedan usar en el proyecto (plas-
tilina, alambre, legos o figuras similares para armar los personajes y
la escenografía).
• Organizar la escena de tal manera que con una cámara se puedan
tomar las fotografías necesarias. Por lo general, se puede utilizar
una cámara web para asociarla con el software.
• Tomar fotos de objetos o figuras en la posición inicial. Luego, se
mueven poco a poco las figuras y se toman fotografías después
de cada movimiento.
• Revisar el software. Cada vez que se haya tomado una foto, debe
aparecer un cuadro de stop motion.
• Convertir el proyecto en un archivo de video y compartirlo con la
clase.
En este enlace, hay más información sobre el tema:

http://cedec.educalab.es/luciole-stopmotion-en-dos-pasos/
Conclusiones
Prepare un documento que permita la coevaluación y la autoevalua-
ción de la ejecución de esta actividad.
Es importante conocer cuál fue el grado de aceptación del proyec-

to por parte de los estudiantes y cómo se sintieron con la ejecución
de este. Por ello, establezca un diálogo con los jóvenes y pregúnteles
cómo se sintieron al realizar este proyecto.
218
En síntesis
Geometría y medida
Animacion 3D, (2020). www.latinoamerica.autodesk.com

Shutterstock, (2020). 417498211
Medicinas varias. p p Animación 3D.
Funciones El conjunto R3
Inyectivas Sobreyectivas Igualdad de elementos Sistema de coordenadas

en R3 espaciales
Biyectivas
Operaciones en R3
Producto de escalares
Funciones inversas Adición en R3
por elementos de R3
Propiedades Propiedades
Resta en R3 Interpretación
geométrica de
las operaciones en R3
219
Heteroevaluación Recuerda que el volumen de la esfera es:
4
V = πr3.
M.5.3.1. Reconoce si una función es inyectiva, 3
sobreyectiva o biyectiva; realiza operaciones con
funciones aplicando las propiedades de los núme-
ros reales en problemas reales e hipotéticos. (I.4.)
1 Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}. Indica
I.M.5.7.1. Opera analítica, geométrica y grá-
ficamente, con vectores en el espacio. (I.2.)
si es función. Justifica tu respuesta. En 5 Localiza los siguientes puntos en el siste-
caso de ser función, halla Rec(f) e indica ma de coordenadas espaciales.
si es inyectiva.
a) (2, 3, 5). c) (4, –4, –4).
a) f(a) = 4, f(b) = 3, f(c) = 2, f(b) = 1. b) (–1, 0, –6).
b) f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 1.
c) f(a) = f(b) = f(c) = 1, f(c) = 4.
6 Con los vectores A , B de R3 que en cada
2 caso se proponen, halla A + B y A – B.
Sean A = {5, 10, 15, 20, 25},
B = {10, 20, 30, 40, 50}. 1 1 1 4 5 7
En cada ítem se define una función u de a) A = – , – , – , B = , , .
25 8 3 25 8 3
A en B. Indica si u es biyectiva.
1 7 1  1 5 1
b) A = – , , , B= ,– ,– .
a) u(5) = 20, u(10) = 10, u(15) = 50, 4 5 3 5 7 2
u(20) = 40, u(25) = 30.
b) u(5) = 40, u(10) = 50, u(15) = 30, 7 1

u(20) = 10, u(25) = 20. Sean A = (4, –2, 3), B = –2, – , 1 ,
2
1
C = 21, 4, – . Realiza las sumas que se
3
3 Se define la función f. Demuestra o re- proponen en cada caso.
futa que u es biyectiva. Grafica la fun-
ción. a) –A + B – C . c) A – (B – C ).
b) –A – B – C . d) –A –(–B + C ).
1 1
a) f(x) = x – , x  R.
2 2
1 2
b) f(x) = x – 1, x  R.
2
8 Con los vectores A , B , C que se dan en
c) f(x) = x3 – 1, x  R. cada caso, halla x, y  R, tal que
5 xA + yB = C.
d) f(x) = x2 – x + , x  R.
4
1 1 1
a) A = – , – , 0 , B = 2, , 0 ,
2 3 4
4 Resuelve el siguiente problema de com-
C = (–11, –3, 0).
posición de funciones. Si se infla un glo-
bo, su radio varía en función del tiempo 1 1
durante el cual se ha soplado. Si el radio b) A = (0, 3, 2), B = 0, – , – ,
5 6
aumenta a razón de 2 mm por segundo,
se tiene la función C = (0, 6, 5).
R(t) = 2t + r0, donde r0 es el radio inicial.
c) A = (–5, –3, 1), B = (–1, 2, 2),
¿Cuál es la función del volumen del glo-
bo en función del tiempo? C = (–15, 4, 12).
220
Resuelve cada ejercicio y selecciona la res- 1
c) f–1(x) = 2x – . d) f–1(x) = x – 2.
puesta correcta. 2
9 Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, 11 Con el escalar a  R y el vector v  R

C = {m, n, o, p}. Considera las funciones u que se dan en cada ítem, determina el
de A en B y v de B en C definidas a conti- producto av; a = –5, v = (2, 3, 4).
nuación:
u(a) = 2, u(b) = 4, u(c) = 1, a) av = (–10, –15, 4).
v(1) = p, v(2) = o, v(3) = n, v(4) = m. b) av = (–3, –2, –1).
c) av = (–10, –15, –20).
Entonces, v  u es la función de A en C. ¿Cuál d) av = (–10, 15, 20).
de los siguientes literales es correcto?
a) (v  u)(a) = v(u(a)) = v(2) = o. 12 Dados los vectores, A = (–5, –3, 1),

b) (v  u)(b) = v(u(b)) = v(4) = b.
c) (v  u)(c) = v(u(c)) = v(1) = 2. B = (–1, 2, 2), C = (2, 0, 3), obtén el vec-
d) (v  u)(0) = v(u(c)) = v(1) = b. tor u que se define así:
u = 10A – 8B + 4C .
a) u = (–14, –46, 6).

10 Sea f(x) = 2x + 1, la función inversa de
b) u = (–24, –56, 16).
f(x) es: c) u = (–34, –46, 6).
d) u = (34, –46, 16).
1 1 1
a) f–1(x) = x– . b) f–1(x) = x – .
2 2 2
Autoevaluación

Reconozco si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Resuelvo problemas de composición de funciones.
Opero analíticamente con vectores en el espacio.
Determino el producto de un escalar por un vector en el espacio.
Coevaluación

Cuando trabajamos en equipo aprendemos más y mejor porque todos apor-
tamos con ideas.
En equipo no comunicamos de manera respetuosa para logra el objetivo propuesto.
Metacognición
a) ¿Qué aprendiste en esta unidad?
____________________________________________________________________________________________________
b) ¿Qué tema te causo mayor dificultad?
____________________________________________________________________________________________________
221
Respuestas a las evaluaciones sumativas
Unidad 1 (páginas 50 y 51) y 2. a) a0 = 1, a1 = 3, a2 = 1, a3 = 3, a4 = 1, …
1. x = 1, y = 5, z = 9. 14 Rec(ak) = {1, 3}.
2. a) x = y = z = 3. b) x = y = z = 0. 12 h: x = 1 y
c) No tiene solución. 10 4
3. Respuestas varias 8 3
a) x = 1, z = 2 – y, y  . g: y = 5 6 2
x = 1, y = 1, z = 1.
x = 1, y = 2, z = 0. 4 4 1
f(x) = 5 –
x–1
1 6 2
x = – z, y = + z, z  . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
10 5
9 11 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 x
b) para z = 1, x = – , y = . –2 b) a1 = 0, a2 = 1/2, a3 = 0,
10 5 a4 = 1/4, a5 = 0, …
1 13 2. Dom(u) =  – {–4, –1}.
para z = , x = 0, y = . Asíntotas: V1 = {(–4, y) | y  }, 1
10 10 Rec(ak) = {0}  |k = 1, 2, 3,…
V2 = {(–1, y) | y  }, 2k
4. a) x = 3, y = –2.
H = {(x, 0) | x  }. y
b) No tiene solución.
5. 24. Gráfico 1
6. 126. y 0,5
h: x = –4 x
5 5 i: x = –1
7. a) ≈ 0,83, H: hombre, 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
6
5 3
M: mujer. P(M|alto) = . 2 c) a0 = 6, a1 = 1, a2 = 6, a3 = 1, a4 = 6, …
6
3 3 g: y = 0 1 Rec(ak) = {1, 6}.
b) ≈ 0,375, P(H|no alto) = .
8 8 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 y
1 2 3 4 x
8. a) 9. d) 10. a) 11. a) 6
–2
–3 4
2
f(x) = – –4
2
Unidad 2 (páginas 106 y 107) (x + 4)(x + 1)
–5
1. a) Dom(k) =  – {0}.
–2x – 11x + 6
2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
Asíntotas: V = {(0, y) | y  } 3. a) =
x(x + 2)(x – 3)
H = {(x, 1) | x  }. d) a0 = 1, a1 = 37/48, a2 = 1,
A B C
Gráfico + + , x ≠ 0, –2, 3. a3 = 37/48, a4 = 1, …
x x+2 x–3
y 37
x2 + 6x + 9 Rec(ak) = 1, .
b) = 48
5 h: x = 0
(x – 1)(x – 2)(x + 4) 2 2
1 3. a) d = , am = (–1 + m),
f(x) = 1 – 4 A B C 3 3
x + + , x ≠ –4, 1, 2. 29
3 x–1 x–2 x+4 m = 0, 1, 2, …, a30 = .
g: y = 1 2 3
x2 + 2x – 1 A B C
1 c) = + + , b) d = –5, am = –2 – 5m,
x(2x – 1)(x + 2) x 2x – 1 x + 2
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
m = 0, 1, 2, …, a15 = –77.
1 2 3 4 x 1
x ≠ –2, 0, . 1
–2 2 c) d = 0,3, am = (1 + 3m),
–3 10
4. (x, y)  2 tal que 2x + 5 y + 9 = 0. m = 0, 1, 2, …, a25 = 7,6.
b) Dom(I) =  – {–5}. 5. Vértice: V = (–1, 3),
4. a) Correcta. b) Correcta.
Asíntotas: V = {(–5, y) | y  } 1
Foco: F , 3 , ecuación del eje 5. a) d = 3, an = 4 × 3n, n  N;
H = {(x, –3) | x  }. 2 a10 = 236 196.
Gráfico y = 3. Gráfico.
3 3 2 6 561
b) d = , an = , n  N; a8 = .
y y 2 2 256
h: x = –5 5
5 1 1 1
4 c: = –y2 + 2x + 6y = 7 c) d = , an = 8 × n , n  N; a10 = .
3 4 2 2 128
7 651 7 651
2 3 6. a = , g = × 3n, n  N;
1 3 280 n 3 280
2
167 327 37
–13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 x 1 g7 = .
3 280
–2
g: y = –3 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x 7. VF(10) = 895 4,24.
–3
–1
2 –4 8. a) 0, si x < 8,
f(x) = –3 –
x+5 –5 b 2 x0 3 3 1
6. Pendiente m = – = . , si 8 ≤ x < 9,
a y0 2 9
7. x = 2, y = –4. 1
c) Dom(r) =  – {1}. , si 9 ≤ x < 10,
Asíntotas: V = {(1, y) | y  } 9. a) 10. b) 11. a) F(x) = 32
H = {(x, 5) | x  }. , si 10 ≤ x < 11,
3
Gráfico 8
=, si 11 ≤ x < 12,
Unidad 3 (páginas 140 y 145) 9
1. A = {0, 1, …, 10}, u0 = 32, 1, si x ≥ 12.
u1 = 1 022 , u2 = 1 020 . b) E(x) = 10.
222
c) Var(x) = 4/3. d2S(t) b) No es biyectiva.
c) a(t) = = 4, t > 0,
2 3 d(t) y
d) d = Var(x) = . f(x) = 0,5x2 – 1
2 aceleración constante.
4
9. a) 10. b) 11. c) 12. c) 13. c) a(2) = 4, a(5) = 4.
6. a) Posición: s(0) = –10 m, s(1) = 14 m, 3
s(5) = 230 m, s(10) = 1 670 m.
dS(t) 2
Unidad 4 (páginas 166 y 167) velocidad: v(t) = =
1. a) |S| = 5|h|3 ≤ 5|h| ≤ 0,05, |h| < 0,01 d(t) 1
b) |S| = |2h – h2|≤ 2|h| + h2 < 6t2 – 12t + 28, t > 0.
0,05 v(0) = 28 m/s, v(1) = 22 m/s, –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x
3|h| < 0,05, |h| < . v(5) = 118 m/s, v(10) = 22 m/s.
3 –1
c) |S| = |–h – h | ≤ |h| + h2 <
2 dv(t)
aceleración: a(t) = = c) No es biyectiva.
2|h| < 0,05, |h| < 0,25. dt
d S(t)
2
y
3 h3 = 12t – 12, t > 0.
2. a) Q(h) = 1 – x3 – x2h – xh2 – , h ≠ 0. dt2
2 2 a(0) = –12 m/s2, a(1) = 0, 2
dp(x)
= 1 – x3, ∀x  . a(5) = 48 m/s2, a(10) = 108 m/s2. 1
dx
dp(x) 7. d) 8. d) 9. d) 10. c) 11. d)
d Q(h), ≤ 0
dx –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x
–1
3 2 f(x) = x – 1
x + |x| + 1 |h|, h → 0 Unidad 5 (páginas 190 y 191)
3
2 –2
dp(x) 1. a) A = 1.
b) = (1 – x)(x2 + x + 1), b) [–1, 1]. –3
dx
dp(x) c) T = 4π.
> 0 ⇔ 1 – x > 0 ⇔ x < 1. d) mín f(x) = –1, máx f(x) = 1. d) No es biyectiva.
dx
dp(x) 2. a) A = 3. y
< 0 ⇔ 1 – x < 0 ⇔ x > 1. b) [–1, 5].
dx 5
19 dp(1) c) π/2.
c) p(1) = pues =0y d) f(t) = 2 + 3 sen(3t + π), t  .
4 dx 4
p creciente en ]–∞, 1[, 3. a) F d) F g) V
3
decreciente en ]1, ∞[. b) V e) V
1 c) V f) V 2
d) p(–x) = 4 – x – (–x)4 = 4. a) máx f(t) = 8 cm.
4 1 5
1 b) T ≥ 0. f(x) = x2 – x +
4 – x – x4 ≠ 0 p(x) y 4
4 c) El gráfico es:
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x
p(–x) = p(x), ∀x  .
y –1
df
3. a) (x) = –10 + 21x2, ∀x  . 8
dx 4
df 6 4. V(t) = π(2t + r0), t ≥ 0.
b) (x) = –1 + 6x, ∀x  . 3
dx 4 3 1
6. a) A + B = , ,2 .
df 25 2
c) (x) = –5, ∀x  . 2
dx 1 3 8
df –2 0 2 4 6 8 10 x A – B = – , – , – .
d) (x) = 4x3 – 2, ∀x  . –2 5 4 3
dx 1 24 1
–4 
b) A + B =  , ,– .
4. a) p(–x) = a + b(–x)2 + c(–x)4 = 20 35 6
p(x), ∀x  . –6
9 74 5
dp(x) –8 A – B = – , – , .
b) = 2bx + 4cx3 = p(x), ∀x  . 20 35 6
dx
5. a) A = 2. 5 5
dp(x) 7. a) –A + B – C = –27, – , – .
c) = x(2b + 4cx2) con b > 0, c > 0, b) T = 2π. 2 3
dx c) 0.
dp(x)    3 11
> 0 para x  ]0, ∞[, p creciente, d) [0, 4]. b) –A – B – C = –23, – , – .
dx 2 3
e) f(t) = 2 + 2cos(t + π), t  .
dp(x) 5 5
< 0 para x  ]–∞, 0[, 6. b) 7. a) 8. a) 9. d) c) A – (B – C) = 27, , .
dx 2 3
p decreciente.
dp dp d) –A – (B + C) = –A + B – C =
(x + h) – (x) Unidad 6 (páginas 220 y 221) 5 5
d) d p(x)
2
= lím dx dx –27, – , – .
1. a) No, f(b) = 3, f(b) = 1. 2 3
dx2 h→0 h
b) Rec(f) = {1, 2, 3}, f inyectiva. 8. a) x = 6, y = –4.
= 2b + 12cx2, ∀x  . c) No, f(c) = 1, f(c) = 4. b) x = 0, y = –30.
d2p d2p 2. a) Biyectiva. b) Biyectiva.
(x + h) – 2 (x) c) x = 2, y = 5.
e) Q(h) = dx dx
2
= 3. a) Biyectiva. 9. a) 10. a) 11. c) 12. c) 13. c)
h
24cx + 12ch, h ≠ 0. y
d3p(x) 0,5
= lím Q(h) = 24cx, ∀x  .
dx3 h→0
–3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 x
dS(t)
5. a) v(t) = = 4t – 6, t > 0. –0,5
dt –1
v(2) = 2 m/s, v(5) = 14 m/s.
–1,5
b) v(t) = 0 ⇔ 2t2 – 6t + 4 = 0
f(x) = 0,5x – 0,5
⇔ (t = 1 ∨ t = 2). –2
223
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224
n
ió
ac
iz
al
ci
er
m
co
su
a
id
ib
oh
Pr
Bachillerato General Unificado

Segundo curso
Matemática
El ladrón de naranjas
Anónimo
Un ladrón un cesto de naranjas

del mercado robó
n
y por entre los huertos escapó;
ió
al saltar una valla,
la mitad más media perdió;
ac
perseguido por un perro,
la mitad menos media abandonó;
iz
tropezó en una cuerda,
al
la mitad más media desparramó;
en su guarida, dos docenas guardó.
ci
Vosotros,
los que buscáis la sabiduría,
er
decidnos:
m
¿cuántas naranjas robó el ladrón?
co
Tomado de https://bit.ly/2KitI3J (31/10/2018)

su
a
id
Fractales
ib
José García Velázquez

oh
No dejan de sorprenderte,
si miras con inocencia,
Pr
los secretos de la mente

y de la naturaleza…
Como en un caleidoscopio
de figuras naturales,
destacan con brillo propio
las formas de los fractales:
si los descubres podrás
ir de sorpresa en sorpresa
y admirado quedarás
al descubrir su belleza.
n
ió
¡Disfruta la variedad
y la serena armonía
ac
en el mundo del fractal,
mundo de la simetría!
iz
al
ci
Tomado de https://bit.ly/2I6qPRz (01/03/2018)
José García Velásquez. Divulgador de la matemática en obras literarias.

er
m
co
Más veloz que un tren

Aline Guevara
su
En este instante viajo en metro, por la calzada de Tlalpan. Voy

sentada y veo por la ventana que un coche va a la par de mi va-
a
gón. En relación con el metro, ni el coche ni yo nos movemos, pues

id
los trenes nos desplazamos a la misma velocidad; en otras pala-

ib
bras, con respecto al metro, el auto y yo llevamos velocidad cero.

oh
Si me levanto y camino hacia una de las salidas, con respecto al

vagón y al coche iré apenas a un kilómetro por hora, aproxima-
Pr
damente... Si ustedes estuvieran parados en una vereda y desde

ahí me vieran, aunque yo vaya sentada en el vagón del metro,
para ustedes yo habría pasado como un bólido. Con respecto a
ustedes, mi velocidad sería de unos 90 km/h, la misma del coche
que va a la par del tren. Pero si me levanto y camino a 1 km/h, en
la misma dirección en la que avanza el metro, mi velocidad con
relación a ustedes sería de 91 km/h. Iría, en cierto sentido, más
rápido que el tren.
n
Lo anterior nos sirve para afirmar lo siguiente: solo podemos de-
ió
cir que algo se mueve y a qué velocidad con respecto a un pun-
ac
to de vista. Y los puntos de vista funcionan, en este caso, como
sistemas de referencia a partir de los cuales se puede medir el
iz
movimiento. El vagón del metro es un sistema de referencia que
al
el coche y yo compartimos; la vereda desde la que ustedes me
hubieran visto pasar es otro sistema de referencia.
ci
er
Pero todavía queda otro modo de ver esta situación. Ustedes, que
observan desde la vereda, pueden afirmar que me han visto pasar
m
a 90 km/h porque decidieron que su sistema de referencia es su
co
propio estado de reposo. Pero, ¿qué tal si yo decido que el metro,

el coche y yo somos lo fijo, y ustedes los que pasan rápidamente?
Con respecto a mi sistema de referencia eso es posible, y si el me-
su
tro tuviera un movimiento inercial, no habría manera de confir-

mar quién se desplaza: si ustedes, que me ven desde la banqueta,
a
o yo, que voy en el metro. La decisión sobre cuál sistema de refe-

rencia se encuentra en reposo y cuál en movimiento es arbitraria
id
y, generalmente, se toma por conveniencia.

ib
oh
Por ejemplo, cuando los astrónomos estudian el Sistema Solar, les

conviene considerar que el Sol se encuentra en reposo y los pla-
netas en movimiento. En cambio, el Sol puede ser el que está en
Pr
movimiento si lo que quieren estudiar es la Vía Láctea. Para los

fines prácticos, casi todos hemos decidido que la Tierra está fija
(aunque sepamos que está en movimiento). Es posible escoger un
sistema de referencia en lugar de otro sin enfrentar consecuen-
cias, gracias a que las leyes de la física funcionan igual en todos
los casos. Lo que se cumple en un sistema, se cumple en el otro.
Einstein dijo esto más o menos así: las leyes de la física deben ser
las mismas para todos los observadores que se muevan en siste-
mas de referencia inerciales.
n
En suma, nosotros podemos afirmar que no hay un sistema de
ió
referencia privilegiado… Hacer una cita con alguien, o indicar en
qué momento pasó algo, implica siempre la idea de simultaneidad.
ac
iz
al
Tomado de Guevara Villegas, A. (2005). Un viaje especial. Mexico: Ediciones Castillo.
Aline Guevara Villegas (1974). Científica mexicana especialista en comunicación visual de
ci
la ciencia. Escribe textos y artículos, participa en programas de radio, y en el desarrollo de
acciones para llevar el saber científico y tecnológico a grandes sectores de la población.
er
m
Trigonometría
co
Adonai Jaramillo Garrido

su
Egipcios y babilonios me iniciaron

a
Los Griegos me comenzaron a elaborar

id
Hiparlo de Nicea entre quienes estudiaron

Lo que hoy podemos mostrar.
ib
oh
De mí surgió el Almagesto
Ptolomeo así lo concibió
Pr
Con la astronomía se trabajó esto

En la India también se escribió.
Con los triángulos me relacionan

Con Pitágoras realizo acción
A los triángulos solucionan
Las trigonométricas como función.
A una seno y a otra tangente
En el triángulo rectángulo me definen
En el mundo sirve a mucha gente
Situaciones diferentes me asignen
n
ió
Tengo ecuaciones e identidades
Ojalá busques mis diferencias
ac
Aunque ambas somos igualdades
Al cerebro damos experiencias.
iz
Mi origen estuvo en la astronomía
al
Así lo confirman datos históricos
ci
Me llamaron trigonometría
Gracias le damos a los retóricos
er
m
Tomado de https://bit.ly/2UprhB5 (09/03/2019)
co
su
El hombre que calculaba (fragmento)

Malba Tahan
a
id
—Quiero ahora —prosiguió, volviéndose a Beremís— que nuestro

calculista nos diga cuántos camellos hay en el patio, delante de
ib
nosotros.
oh
Esperé aprensivo el resultado. Los camellos eran muchos y se

confundían en medio de la agitación en que se hallaban. Si mi
Pr
amigo, en un descuido, errase el cálculo, terminaría nuestra visita,

en consecuencia, con el más grande de los fracasos.
Después de dar un vistazo a todos los camellos, el inteligente Be-
remís dijo:
—Señor visir, creo que se encuentran, ahora en el patio, 257 ca-
mellos.
—Es verdad —confirmó el visir, ha acertado. El total es ese, pre-
cisamente: 257.
n
—¿Cómo llegó al resultado con tanta rapidez y precisión? —pre-
ió
guntó con grandísima curiosidad el poeta Iezid.
—Muy simplemente —explicó Beremís—. Contar los camellos uno
ac
por uno, sería, a mi modo de ver, tarea sin importancia, una ba-
gatela. Para hacer más interesante el problema, procedí de la si-
iz
guiente manera: conté primero todas las patas y después todas
al
las orejas, hallando de ese modo un total de 1.541. A ese resultado
sumé una unidad y dividí por 6. Hecha esa división, hallé como
ci
cociente exacto, 257.
er
—¡Por el nombre del profeta! —exclamó el visir—. Todo esto es ori-
m
ginalísimo, admirable. ¡Quién iba a imaginar que este calculista,
para hacer más interesante el problema, fuese capaz de contar
co
todas las patas y orejas de 257 camellos! ¡Por la gloria de Maho-

ma!
—Debo decir, señor ministro —retrucó Beremís—, que los cálculos
su
se vuelven a veces complicados y difíciles como consecuencia de

un descuido o de la falta de habilidad del propio calculista. Cierta
a
vez en Khói, en Persia, cuando vigilaba el rebaño de mi amo, pasó

id
por el cielo una bandada de mariposas. Me preguntó un pastor,

si podía contarlas. “Son ochocientas cincuenta y seis” —respondí.
ib
—¡Ochocientas cincuenta y seis! —respondió mi compañero, como

oh
si hubiese exagerado el total—. Fue entonces que noté que por

descuido había contado, no las mariposas, sino sus alas. Después
de dividir por 2, le dije el resultado verdadero.
Pr
Al oír el relato de ese caso, lanzó el visir estrepitosa carcajada,

que sonó en mis oídos como si fuera una música deliciosa.
—Hay, sin embargo —insistió muy serio el poeta Iezid— una par-
ticularidad que escapa a mi raciocinio. Dividir por 6 es aceptable,
ya que cada camello tiene 4 patas y 2 orejas, cuya suma (4+2) es
igual a 621. No obstante, no comprendo por qué razón antes de
n
dividir sumó una unidad al total.
—Nada más simple —respondió Beremís—. Al contar las orejas
ió
noté que uno de los camellos era defectuoso (sólo tenía una ore-
ac
ja). Para que la cuenta fuese exacta era, pues, necesario aumentar
uno al total obtenido.
iz
Y volviéndose hacia el visir, preguntó:
—¿Sería indiscreción o imprudencia de mi parte preguntaros,
al
señor, ¿cuál es la edad de aquella que tiene la ventura de ser
ci
vuestra novia?
—De ningún modo —respondió sonriente el ministro—. Asir tiene
er
16 años.
m
Y añadió, subrayando las palabras con un ligero tono de descon-
fianza:
co
—Pero no veo relación alguna, señor calculista, entre la edad de

mi novia y los camellos que voy a ofrecer como presente a mi
futuro suegro.
su
—Deseo apenas —refutó Beremís— haceros una pequeña suges-

tión. Si retiraseis del conjunto, el camello defectuoso (sin oreja),
a
el total sería 256. Ahora bien: 256 es el cuadrado de 16, o sea, 16

veces 16. El presente ofrecido al padre de la encantadora Asir
id
tomará, de ese modo, alto significado matemático. El número de

ib
camellos que forman la dote será igual al cuadrado de la edad de

la novia. Además, el número 256 es potencia exacta del número 2
oh
(que para los antiguos era número simbólico), mientras que 257
es primo. Esas relaciones entre los números cuadrados son buen
Pr
augurio para los enamorados. Cuéntase que el rey Salomón, para

asegurar la base de su felicidad, dio a la reina de Saba —la famo-
sa Balkis— una caja con 529 perlas.
Es precisamente 529 el cuadrado de 23, que era la edad de la
reina. El número 526 presenta, no obstante, gran ventaja sobre el
529. Si sumamos los guarismos de 256 obtenemos 13, que eleva-
do al cuadrado da 169; la suma de las cifras de ese número es 16,
cuyo cuadrado nos reproduce precisamente, 256. Por ese motivo
n
los calculistas llaman reversible al número 256. Existe, pues, en-
ió
tre los números 13 y 16 curiosa relación, que podría ser llamada
“amistad cuadrática”. Realmente, si los números hablasen podría-
ac
mos oír la siguiente conversación: El dieciséis diría al trece:
“Quiero ofrecerte mi homenaje, amigo.
iz
Mi cuadrado es 256, cuya suma de guarismos es 13.”
Y el trece respondería:
al
“Agradezco tu bondad y quiero retribuirla en la misma forma. Mi
ci
cuadrado es 169, cuya suma de guarismos es 16.”
El calculista agregó: er
—Creo haber justificado plenamente la preferencia que debe ser
m
otorgada al número 256, que excede en propiedades al 257.
—Su idea es bastante curiosa —acordó prontamente el visir— y
co
voy a adoptarla, aunque caiga sobre mí la acusación de plagiario,

del rey Salomón.
Y dirigiéndose al poeta Iezid, concluyó:
su
—Veo que la inteligencia de este calculista no es menos que su

habilidad para descubrir analogías e inventar leyendas. Estuve
a
muy acertado en el momento en que decidí ofrecerle ser mi se-

id
cretario.
ib
oh
Tomado de Malba Tahan. (1945). El hombre que calculaba. Quito: Casa Editorial Medina.
Malba Tahan (1895-1974). Fue un profesor y escritor brasileño, conocido por sus libros
sobre las ciencias matemáticas, en particular por El hombre que calculaba.
Pr
Un crononauta en Brooklyn
Roberto Montero
Paul Auster, en uno de los pasajes de su novela La noche del orá-
n
culo, nos propone la posibilidad de viajar en el tiempo. El asunto
ió
se le presenta a su protagonista cuando acepta el encargo de
escribir un guion cinematográfico para adaptar la famosa nove-
ac
la de H. G. Wells, La máquina del tiempo; una historia de ciencia
ficción donde un científico de finales del siglo XIX consigue des-
iz
plazarse hasta el año 802.701.
al
El protagonista de la novela de Auster piensa que, si alguien tu-
ci
viese capacidad para inventar una máquina que nos llevase al
er
futuro, con esa misma lógica, la gente del futuro podría hacer lo
mismo, inventando una máquina para desplazarse al pasado. En
m
sus cavilaciones, llega a pensar que si la gente pudiera ir hacia
delante y hacia atrás a través de los siglos, tanto el pasado como
co
el futuro estarían llenos de personas fuera de su época.
Cada vez que leemos una novela donde el viaje en el tiempo es el

su
tema central, como ocurre en el relato de H. G. Wells, nos pregun-

tamos qué hay de cierto en todo ello. ¿Son ocurrencias de nove-
listas y de personas con un exceso de imaginación o realmente
a
podemos viajar en el tiempo?

id
Vamos a intentar desvelarlo, porque después de que Einstein for-

ib
mulase su teoría de la relatividad especial, nuestra comprensión

oh
del espacio y del tiempo se verá modificada y, con ello, también

los viajes a través del tiempo. Sin duda, la teoría de la relatividad
formulada por Einstein nos va a dar la clave para hacer el viaje a
Pr
través del tiempo, ya que dicho viaje está condicionado por la luz
y por el espacio. Por tanto, para viajar al pasado hay que adelan-
tar a un rayo de luz, y para viajar al futuro hay que perseguirlo.
Según esta teoría, el paso del tiempo no es inmutable ni absoluto,
depende del movimiento. En pocas palabras, la teoría de la relati-
vidad especial viene a decir que se puede viajar al futuro y, para
ello, basta con salir de viaje y regresar después de un tiempo. Esto
ha sido comprobado experimentalmente con un reloj atómico que,
n
después de dar la vuelta al mundo en un avión, fue comparado
ió
con otro con el que anteriormente había sido sincronizado.
ac
Einstein, para desarrollar la teoría de la relatividad especial, pro-
puso el ejemplo de los dos gemelos. El primero de ellos se intro-
duce en una nave espacial y hace un largo viaje a velocidades
iz
cercanas a la velocidad de la luz, mientras el otro gemelo se que-
al
da en la Tierra. A la vuelta, el gemelo que regresa del viaje es
más joven que el gemelo que espera en la Tierra. En este caso, el
ci
tiempo del gemelo que viaja ha pasado de manera más lenta que
er
el tiempo del gemelo terrestre por lo cual, este último, envejece
más rápido.
m
Debido a esto, y con ayuda de la tecnología actual, podemos via-
co
jar a un futuro tan próximo que solo se encuentra a unas centési-

mas de segundo de nuestro presente, de tal manera que podemos
conocer el resultado de un partido de fútbol poco antes de que
su
termine, pero, con un margen tan pequeño de tiempo que no nos

permite su acierto en la quiniela. Lo de viajar al pasado es más
a
complejo y solo es posible con la mente, pero nunca con el cuer-

id
po. De acuerdo con el segundo principio de la termodinámica, el

envejecimiento es irreversible, aunque en el espacio existan sen-
ib
deros que conduzcan al pasado, “atajos espaciales” por los que

oh
podamos adelantar a un rayo de luz.
Tal y como apunta Paul Auster en su novela, si una persona pu-

Pr
diera viajar a través del tiempo, el tiempo dejaría de existir como

entidad propia. Con tal asunto, Auster nos lleva hasta el lugar co-
mún del principio antrópico, el mismo principio que propone que
si existiera un universo que permitiese desplazarse en el tiempo,
estaríamos ante un universo donde la inteligencia no evoluciona-
ría debido a que sería confuso, por no decir imposible, registrar
los sucesos acontecidos o por acontecer.
“Una vez que la gente del futuro hiciera sentir su influencia en
los hechos del pasado y la gente del pasado empezara a influir en
los acontecimientos del futuro, la naturaleza del tiempo se modi-
ficaría”, escribe Paul Auster en La noche del oráculo, llevándonos
a los terrenos de la ficción científica hasta hacernos comprender
n
que, con un futuro que supiese regresar al pasado y con un pasa-
ió
do que supiera alcanzar el futuro, el tiempo, tal y como lo cono-
cemos, dejaría de existir.
ac
iz
Tomado de https://bit.ly/2I9c6Fr (13/03/2019)
al
Roberto Montero González (1965). Escritor español.
ci
er
m
Oda al número cero
Enrique Morón
co
Redonda negación, la nada existe

su
encerrada en tu círculo profundo

y ruedas derrotado por el mundo
a
que te dio la verdad que no quisiste.

id
Como una luna llena es tu figura

ib
grabada en el papel a tinta y sueño.

oh
Dueño de ti te niegas a ser dueño

de toda la extensión de la blancura.
Pr
Tu corazón inmóvil y vacío

ha perdido la sangre que no tuvo.
Es inútil segar donde no hubo
más que un cuerpo en el cuerpo sin baldío.
Redonda negación, redonda esencia
que no ha podido ser ni ha pretendido.
Solo la nada sueña no haber sido
porque no ser es ser en tu existencia.
n
ió
Tomado de https://bit.ly/2WWHXN3 (01/01/2018)
Enrique Morón (1942). Poeta y dramaturgo español. Catedrático universitario. Entre
ac
sus obras tenemos Poemas, Romancero alpujarreño y El alma gris.
iz
al
Medir
ci
Bernardo Recamán
er
Hombres y mujeres aprendieron a medir por la misma necesi-
dad y curiosidad que tuvieron para aprender a contar, cuando
m
finalmente dejaron su vida de nómadas, empezaron a construir
viviendas y se dedicaron al pastoreo y la agricultura. Incluso mu-
co
cho antes el hombre había necesitado arroparse con las pieles de

los animales que cazaba. Todo ello requirió que aprendiera a me-
su
dir, y en un principio lo hizo de una forma tan rudimentaria como

había comenzado a contar, es decir, utilizando las partes de su
cuerpo. Las grandes distancias las medía contando los días que
a
ocupaba para cubrirlas, las distancias más cortas contando los

id
pasos que daba, el tamaño de sus prendas y el de los materiales

que usaba para construir sus viviendas los medía con las partes
ib
de su cuerpo.
oh
Poco a poco el proceso de medir se volvió más sofisticado, ade-

más de que surgieron nuevos y variados fenómenos susceptibles
Pr
de ser medidos, tales como la extensión o el área de un terreno;

el espacio que ocupan los objetos sólidos, es decir, su volumen; el
peso que tienen; el transcurso del tiempo; las temperaturas; la in-
clinación del sol. La medición de todos estos fenómenos necesitó
nociones e instrumentos cada vez más complicados. Comenzó así
el matrimonio largo y feliz de las matemáticas con la mecánica
y la tecnología, el concurso de relojeros, astrónomos, mecánicos
y matemáticos.
n
En parte, la geometría, y posteriormente la trigonometría, tuvo
ió
sus orígenes en las numerosas preguntas y problemas acerca de
la medición que surgieron cuando los hombres examinaron a fon-
ac
do el terreno y el espacio que los rodeaba, e indagaron sobre las
diversas figuras, formas y sólidos que veían. ¿Cuál es el camino
iz
más corto ente dos puntos? ¿Cuántas reses caben en un campo
determinado? ¿Qué cantidad de agua cabe en una vasija? ¿Cuán-
al
tos granos pueden almacenarse en un espacio dado? ¿A qué al-
ci
tura se encuentra la cima de una montaña inaccesible?
er
Cuando se intentó sistematizar y organizar las respuestas a estas
y muchas otras preguntas, apareció la geometría formal. Unas
m
preguntas condujeron a otras, y ya no eran asuntos que surgían
co
de problemas prácticos, sino cuestiones puramente teóricas. Aun-

que la geometría compartía con la aritmética el uso de los núme-
ros y la necesidad de buscar formas eficientes de representarlos
su
y operar con ellos, su objeto de estudio era bien diferente, ya no

tanto la capacidad, sino el espacio.
a
Los conocimientos aritméticos y físicos, pero en especial los

id
geométricos, acumulados a lo largo de los años, debieron ser for-

midables para hacer posible la construcción de las pirámides de
ib
Gizeh hacia el año 2 000 a.C. Ciertamente, para ese entonces los
egipcios conocían fórmulas para hallar el área de rectángulos y
oh
triángulos, e incluso trapezoides.

Pr
Sin embargo, son los griegos quienes convirtieron la geometría

en una verdadera ciencia, y no simplemente un método para en-
contrar respuestas a los problemas de medición. Los geómetras
griegos no se concentraban en resolver problemas numéricos,
sino que exigían además la demostración de que eran correctos.
Aparecieron así los primeros teoremas, verdades demostradas
categóricamente a partir de unos conceptos y principios elemen-
tales e incontrovertibles.
El primer gran geómetra de quien se tenga noticia fue Tales de
Mileto, que vivió en los siglos VII y VI a.C. Entre los logros que se
atribuyen a Tales está el de haber predicho el eclipse solar de 585
a.C., y el de utilizar las propiedades de los triángulos para medir
la distancia de un barco en el mar. A él también se le atribuye
n
haber descubierto y demostrado, entre otros, el teorema sobre la
igualdad de ángulos de la base de un triángulo isósceles, el cual
ió
afirma que el diámetro de un círculo lo divide en dos partes iguales.
ac
Pitágoras, quizá el matemático más nombrado y conocido de toda
la historia, fue un estudioso tanto de la aritmética como de la
geometría. El teorema que lleva su nombre y que permite calcular
iz
la longitud de cualquier lado de un triángulo rectángulo si se co-
al
noce la longitud de los otros dos, en realidad existía desde mucho
antes. Pitágoras reunió a su alrededor a un grupo de discípulos,
ci
denominados los pitagóricos, en quienes inculcó un gran amor
er
por el estudio de los números y sus propiedades, en general por
todo lo que entonces ya podía reconocerse como matemáticas.
m
No obstante, es otro matemático griego, Euclides, el que más in-
co
fluyó en la historia de la naciente ciencia, no tanto por sus con-

tribuciones originales como por la recopilación que hiciera de
todos los conocimientos geométricos y aritméticos acumulados
su
hasta su época. Los trece libros de los Elementos son, en efecto,

el compendio de prácticamente toda la sabiduría adquirida por el
hombre contando y midiendo en unos ocho mil años.
a
id
La aritmética, pero sobre todo la geometría, que nació de la nece-

ib
sidad de medir distancias grandes y pequeñas, se había converti-

do en trece gruesos volúmenes repletos de símbolos y dibujos que
oh
a primera vista nada tenían que ver con las tareas que les dieron
origen. Tal es la importancia de los Elementos, que durante más
Pr
de dos mil años sirvió de texto para la enseñanza de la aritmética

y la geometría.
Tomado de Recamán, B. (2004). Ciencia Explicada: Matemáticas. Bogotá: Stilo Impresores Ltda.
Bernardo Recamán Santos (1954). Matemático de origen colombiano, muy conocido

por sus libros Póngame un problema y Los números, una historia para contar.
Lisa Simpson, reina de las mates y de los bates (fragmento)
Simon Singh
Veamos en acción ese don para las matemáticas en “El club de

los patteos muertos” (1990), un episodio en el que Homero y Bart
n
desafían a Ned y Todd Flanders, sus santurrones vecinos, a un
ió
torneo de minigolf. En la concentración previa a la gran partida,
Bart intenta mejorar su técnica de putting, de modo que se dirige
ac
a Lisa para que le aconseje. Ella tendría que haber sugerido a Bart
que cambiase la forma de empuñar el palo, porque es zurdo, y a lo
iz
largo de todo el episodio adopta la postura de un diestro.
al
Sin embargo, Lisa se concentra en la geometría como clave para
el putting, porque usa esa parte de las matemáticas para calcular
ci
la trayectoria ideal de la bola y garantiza a Bart un hoyo en uno,
er
en cada ocasión. En una sesión práctica, enseña a Bart a hacer
rebotar la pelota en cinco paredes y meterla en el hoyo, y Bart
m
acaba diciendo: “No puedo creerlo, ¡le has encontrado una utilidad
práctica a la geometría!”.
co
Es una broma, claro, pero los guionistas usan el personaje de Lisa

para explorar ideas matemáticas más profundas en “Estadistic-
su
Bart” (2010). En la primera escena de este episodio, la glamorosa

Dhalia Brinkley vuelve a la Escuela Primaria de Springfield tras
ser la única estudiante que ha conseguido asistir a una universi-
a
dad de élite. No resulta sorprendente que el director Skinner y el

id
superintendente Chalmers intenten congraciarse con la señorita

Brinkley, igual que algunos de los estudiantes, incluyendo al ig-
ib
norante de Nelson Muntz, que intenta impresionar a la alumna de

más éxito de Springfield fingiendo ser amigo de Lisa. Simulando
oh
que le interesan las aptitudes matemáticas de Lisa, la anima a

demostrar sus habilidades ante la señorita Brinkley:
Pr
–Hace operaciones de mates de las que tienen letras. ¡Mira! ¿Qué

es, Lisa?
–Bueno, depende.
–Lo siento. Ayer lo supo.
Tomado de Singh, S. (2013). Los Simpson y las matemáticas. Barcelona: Planeta.
Simon Singh (1964). Físico inglés. Escribe sobre matemáticas y ciencia para un público
diverso. Entre sus libros destacan Los códigos secretos y El enigma de Fermat.
Pr
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Bachillerato General Unificado - Segundo BGU

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Bachillerato General Unificado

TEXTO DEL ESTUDIANTE

Viceministra de Educación MAYA EDICIONES CÍA. LTDA.

Este libro fue evaluado por la Universidad SEK, mediante

© MAYA EDICIONES CÍA. LTDA., 2020

© Ministerio de Educación del Ecuador

La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma y

una progresión aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Funciones tangente y cotangente . . . . . . . . . . 176

Media, varianza y desviación estándar . . . . . . . 130 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . 185

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Composición de funciones

de grado ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Operaciones en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Interpretación física de la primera Producto de escalares por elementos

BC 1 Bloque Curricular 1: Álgebra y funciones

Contenidos científicos y pedagógicos

Desafíos y proyectos matemáticos

El patrón de las semillas dentro de la cabeza

Cuadro ventas, (2020). www.deculture.es

• O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pen-

• O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la

y solucionar problemas de la realidad na-

Ministerio de Educación, (2016).

Definición. Sea 𝐼  N, 𝐼 ≠ Ø. Se llama sucesión numérica real a toda

No se debe confundir una sucesión finita (𝐼 es finito) con una suce-

Definición. Sean 𝐼  N, con 𝐼 ≠ Ø. Diremos que las sucesiones reales

1, 1 , 1 , 1 , 1 , … . El recorrido de la sucesión es el conjunto 1

sión es el conjunto {(–1)n | n  N } = {–1, 1}. Este es un ejemplo de

En la Figura 3.2. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión y

{p + 1 + (–1)p | p  N} = {2, 1, 4, 3, 6, …, p + 1 + (–1)p, …}.

En la Figura 3.3. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión

Determinemos el término general de esta sucesión, siempre que sea

Shutterstock, (2020). 367715540

c) Considera la sucesión (up), definida como up = p + 1 + (–1)p, p  N.

d) La sucesión (–n) es estrictamente decreciente, pues

2 En cada ítem se define el término general

4 En cada ítem se define el término general

Si un estudiante tiene alguna discapacidad, es

7 Los cinco primeros términos de una su-

¿Cómo se forma el con-

Así, el término general un de una progresión aritmética (un) está defi-

Si u0   está fijado y si Ejercicio resuelto

Otra forma de obtener d es la siguiente:

Y, por lo tanto, un+1 = un + 4, n  N.

Como un+1 – un = –2,5 < 0, ∀n  N, se sigue que (un) es una sucesión

Ponemos a0 = 20, a1 = 17, entonces, a1 = a0 + d, con lo que

Luego, para n = 10 se tiene

b) –20, –15, –10, … , a15 =

a) Si (vn) es una progresión aritmética, existen

2 Sean (um) una progresión aritmética y S = vk + vk+1 + … + vk+m con k, m  N y m ≥1.

4 Completa el proceso. 5 De una progresión aritmética (vm) se co-

Se formó, así, el siguiente sistema de ecua- a) b5 = – 19 , b10 = – 17 .

7 Hallen los resultados que se indican:

¿Cómo se forma una

u1 = du0, u2 = du1 = d(du0) = u0d2,

Si u0   está fijado y si Ejercicio resuelto

u1 = u0d ⇔ 6 = 3d ⇔ d = 2. Por lo tanto,

Como un+1 – un = 3 × 2n+1 – 3 × 2n = 3 × 2n > 0, ∀n  N, se sigue

(d – 1)Sn = a(dn+1 – 1). bit.ly/2PENMfu

Si d = 1, entonces (un) es la sucesión constante a, en cuyo caso

Se ha visto que el término general de una progresión geométrica