UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

TAREA 4 - GEOMETRÍA ANALITICA, SUMATORIA Y PRODUCTORIA

PRESENTADO A:
BRUNO ERICSON SINISTERRA
TUTOR

REALIZADO POR:
ELKIN ARBOLEDA VÉLEZ
CÓDIGO: 1.027.885.290

CÓDIGO CURSO:
301301_474

MEDELLÍN, NOVIEMBRE DE 2018

 INTRODUCCIÓN

El propósito del desarrollo de la actividad propuesta relacionada con algebra, trigonometría y

geometría analítica está centrada en identificar los conceptos propios de la geometría analítica,
sumatoria y productoria, en la comprensión de problemas, teniendo en cuenta las propiedades, leyes
y teoremas
 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Ejercicio 1: La Recta

1. El administrador de una planta encuentra que el costo total necesario para manufacturar 50
unidades de cierto producto es de $500 y de 100 unidades es de $900. Suponiendo que la relación
entre ambas variables es lineal, encontrar la ecuación que relaciona el costo y la producción.

Y = costo total
b = costo fijo
m = costo marginal
mx = costo variable

El valor de la pendiente es:

(𝟗𝟎𝟎−𝟓𝟎𝟎) 𝟒𝟎𝟎
m= = =𝟖
(𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟎) 𝟓𝟎

El valor del intercepto es:

b = 900 – 8(100) = 100

Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Y = 100 + 8X
2. Supongamos que para vender $10,000 el costo total de una empresa es de $14,200 y para vender
$40,000 es de $23,200. Suponiendo que la relación es lineal, encontrar la ecuación que relaciona
ambas variables.

El valor de la pendiente es:

23.200−14.200 9.000
m= = = 0.3
40.000−10.000 30.000

m = 0.3

El valor del intercepto es:

b = 14,200 – 0.3(10,000) = 11,200

Por lo tanto, la ecuación de la recta es:

Y = 11,200 + 0.3X
Ejercicio 2: Circunferencia y Elipse

5. Un servicio sismológico de Cali detectó un sismo con origen en el municipio de Pradera a 5km
este y 3km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de
la circunferencia del área afectada? ¿Utilizando esta ecuación, indica si afectó al municipio de
Pradera?
Para resolver este problema se tiene que la ecuación de la circunferencia es la siguiente:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Los datos son:

h = 5 km

k = - 3 km

r = 4 km

Sustituyendo los datos se tiene que la ecuación de la circunferencia es:

(x - 5) ² + (y + 3) ² = 4²

(x - 5) ² + (y + 3) ² = 16

𝑥 2 − 10𝑥+ 25 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 9 = 16
𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 9 + 25 = 16

𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 34 = 16

𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 6𝑦 + 34 − 16 = 0

Finalmente se sustituye el punto O (0, 0) y se determina si fue afectado:

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 3)2 = 16

(0 − 5)2 + (0 − 3)2 = 16

52 + 32 = 16

25+9=16

34=16
6. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol. Sabiendo que el semieje
mayor de la elipse es 148,5 millones de kilómetros y que la excentricidad vale 0,017. ¿Hallar la
máxima y mínima distancia de la tierra al sol?
e = c/a

siendo:

c = semidistancia focal

a = semieje mayor = 148,5 MM Km

calculemos c:

c = (a)(e)

c = (148,5)(0,017)

c = 2,5245 MM Km

c = 3 MM Km

Entonces, si llamamos d a la distancia mínima y D a la distancia máxima:

d=a-c

d = 148,5 - 3

d = 145,5

d ≈ 146 MM Km = distancia mínima aproximada de la Tierra al Sol

D=c+a

D = 3 + 148,5

D = 151,5

D ≈ 152 MM Km = distancia máxima aproximada de la Tierra al Sol

Ejercicio 3: Hipérbola y Parábola

9. La estación guardacostas B se encuentra situada 400 km, al este de la estación A. Un barco

navega 100 km al norte de la línea que une A y B. Desde ambas estaciones se envían señales de
radio simultáneamente a una velocidad de 290.000 km/seg. Si la señal enviada desde A llega al
barco 0’001 segundo antes que la enviada desde B, localiza la posición del barco. ¿A qué distancia
está de cada una de las estaciones?
Para resolver este problema se debe tener en cuenta que la velocidad de la señal es constante, por
lo tanto, debe cumplir con la condición del movimiento rectilíneo uniforma con la siguiente
ecuación:

V = X/t

Los datos son:

V = 290000 km/s
t2 = t1 + 0.001 s
Sustituyendo se tiene que:
𝑋1
290000 =
𝑡1
𝑋2
290000 =
𝑡1+0.001
Sustituyendo el valor de t1:
𝑋1
t1 =
290.000
290000 = X2/ (X1/290000 + 0.001)

Ahora se tiene que:

X1 = √100² + (400 - X2) ²

Sustituyendo y despejando se tiene que:

290000 = X2/ (√100² + (400 - X2) ²/290000 + 0.001)
X2 = 269.258 km
X1 = 180.28 km
10. Un túnel con arco parabólico en la carretera Cali – Buenaventura, tiene una altura máxima en
su centro de 6,4 metros en su centro y su anchura al nivel del suelo es de 5,6 metros.

a) ¿A qué distancia del punto más bajo del cable se ubica el foco? (Distancia Focal)

b) Escriba la ecuación del perfil parabólico de acuerdo con el bosquejo realizado

c) ¿A qué distancia del centro la altura del túnel es de 4 metros?

Para resolver este problema se tiene que la ecuación de una parábola es la siguiente:

(x - h)² = 4*P*(y - k)

Los datos son los siguientes:

V (h, k) = (0, 6.4)
P (x, y) = (2.8, 0)

Sustituyendo:
(2.8 - 0) ² = 4*P*(0 - 6.4)
P = -0.3063

a) La distancia focal es de 0.3063 m.

b) La ecuación de la parábola es:

x² = -4*0.3063*(y - 6.4)

c) Para y = 4, se tiene que:

x² = -4*0.3063*(4 - 6.4)
x = 1.714 m
Ejercicio 4: Sumatoria

15. En una institución educativa hay 6 cursos, denominados del 1 al 6. Para cada uno de los cuales
hay 5 secciones de estudiantes.

Curso (i) /sección (j) 1 2 3 4 5

1 30 25 22 42 31
2 31 23 36 20 37
3 34 30 34 31 27
4 25 34 28 20 31
5 23 20 35 36 26
6 23 25 29 39 33

a) Usando la notación de sumatorias, el número total de estudiantes del curso 2 es:

n
j 1
2j

Encuentre el número total de estudiantes para este curso, aplicando la definición de sumatoria.

n
j 1
2j
= 𝟑𝟏 + 𝟐𝟑 + 𝟑𝟔 + 𝟐𝟎 + 𝟑𝟕 = 𝟏𝟒𝟕

El número total de estudiantes para curso 2 es de 147

b) Identifique la notación de sumatorias que representa al número total de estudiantes que

pertenecen a la sección 4.

 j 4 = 𝟒𝟐 + 𝟐𝟎 + 𝟑𝟏 + 𝟐𝟎 + 𝟑𝟔 + 𝟑𝟗 = 𝟏𝟖𝟖
j 1
 16. En un almacén hay 5 cajas registradoras codificadas con números del 1 al 5. Para un estudio de
ventas durante una semana se llevó registro día a día del dinero recibido en cada caja. Los días se
numeraron del 1 al 7.
Caja 1 2 3 4 5 6 7
(i)\Dia (j)
1 $ 559.660 $ 1.008.030 $ 886.386 $ 565.490 $ 549.497 $ 878.182 $ 319.580

2 $ 325.546 $ 1.165.561 $ 943.391 $ 858.817 $ 702.580 $1.081.730 $ 894.730

3 $ 1.020.155 $ 407.854 $ 531.938 $ 723.493 $ 461.080 $ 374.433 $1.021.694

4 $ 76.176 $ 1.064.021 $ 828.276 $ 1.091.018 $ 990.094 $ 675.245 $ 985.183

5 $ 888.689 $ 781.542 $ 863.514 $ 974.406 $ 687.342 $ 816.584 $ 427.408

a) Las ventas totales correspondientes al tercer día, se representan por:

D
i 1
i3

Utilice la definición de sumatoria para calcular las ventas totales del tercer día
5

D
i 1
j3 = 886.386 + 943.391 + 531.938 + 828.276 + 863.514 = 4.053.505

Las ventas totales del tercer día fueron por $ 4.053.505

b) Represente en notación de sumatorias, las ventas totales recibidas en la caja 4.

5

Ci 1
i4 = 76.176 + 1.064.021 + 828.276 + 1.091.018 + 990.094 + 675.245 + 985.183

= $ 5.710.013
Las ventas totales recibidas en la caja 4 fueron: $ 5.710.013
Ejercicios propuestos:

17. Una fábrica de juguetes, la cual es responsable de producir la muñeca de moda, ha diseñado un
kit de guardarropa para esta muñeca, el cual está compuesto de tres vestidos: un azul, un gris y un
negro; así como también de dos pares de zapatos: un par de color rojo y un par de color amarillo.
¿Cuántas formas de organizar la ropa para esta muñeca se puede lograr con este kit de guardarropa?

Determinar el número de combinaciones posibles del guardarropa de la muñeca, teniendo un total

de:
Vestidos: 3
Zapatos: 2 pares

Esto quiere que, por cada vestido, la muñeca tendrá una combinación diferente para cada par de
zapatos. Por lo tanto:

Combinaciones = Cada vestido × cada par de zapatos

Combinaciones = 3 × 2

Combinaciones = 6 formas diferentes de organizar la ropa de la muñeca

18. Una permutación es un arreglo donde los elementos que lo integran y su orden no importa.
Considere el siguiente conjunto: {a,b,c,d}.
¿Cuántas permutaciones de tres elementos pueden obtenerse de este conjunto?

(a,b,c) –(b,a,d)- (c,b,d)

(a,c,d) –(b,a,c)-(c,d,a)
(a,b,d )–(b,c,d)-(d,b,c)
(d,a,b)- (c,a,b) –(d,a,c)
Por lo tanto, a*b = 3*4=12
Se puede obtener 12 permutaciones, cada una de 3 elementos.
 CONCLUSIÓN

Habiendo estudiado las temáticas de: La recta, circunferencia, elipse, hipérbola, parábola,
sumatoria y productoria podemos evidenciar el dominio de las temáticas usadas, hallando solución
a los planteamientos iniciales.
 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 Gallent, C., & Barbero, P. (2013). Programación didáctica. 4º ESO: matemáticas opción B.
Alicante, ES: ECU. Páginas 115 - 146. Recuperado de
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=115&docID=1075
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 Mesa, O. J., & González, P. L. (2009). Propiedades de las sumatorias. Córdoba, AR: El Cid
Editor | apuntes. Páginas 1 – 9. Recuperado de
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 Martínez, B. C. (2011). Estadística básica aplicada (4a.ed.). Bogotá, CO: Ecoe Ediciones.
Páginas 33 – 38. Recuperado de
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Editorial Patria. Páginas 48 – 140. Recuperado de
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 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 285–347,348-354,360-
372.Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/11583