Pendiente (matemáticas)

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En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un
elemento lineal, natural o constructivo respecto de la horizontal (de 0° o 180°).
En geometría analítica, puede referirse a la pendiente de la ecuación de una recta (o
coeficiente angular)1 como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo caso
representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante,
por ejemplo, en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas o canales.

Índice

 1Ángulo de inclinación
 2Pendiente de una recta
o 2.1Geometría
o 2.2La pendiente de las ecuaciones de la recta
o 2.3Propiedades
 3Cálculo
 4Véase también
 5Referencias

Ángulo de inclinación[editar]
El ángulo α, definido tal como aparece en la figura, se llama ángulo de inclinación de la
recta respecto al eje OX. La tangente (trigonométrica) del ángulo de inclinación  se
llama coeficiente angular de la recta y se designa usualmente con la letra  y entonces

En realidad, el coeficiente angular y la pendiente tienen el mismo significado

geométrico. En la ecuación  que involucra el coeficiente angular y la ordenada en el
origen: k es el coeficiente angular y b la ordenada en el origen. 2

Pendiente de una recta[editar]

Pendiente: 

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano

cartesiano), suele estar representada por la letra , y está definida como la diferencia en
el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. En
la siguiente ecuación se describe:
Geometría[editar]
Dado un sistema de ejes cartesianos x y, una recta horizontal paralela o
congruente con el eje x tiene pendiente igual a 0 (cero), y su representación se
define por la coordenada por donde ésta atraviesa el eje y. En aquellos casos
donde la recta se encuentra formando un ángulo distinto de cero, cuanto menor
sea el valor de la pendiente, menor ángulo tendrá la recta con respecto al eje x;
por ejemplo, una recta inclinada (que se eleve) un ángulo de 45° con respecto al
eje x tendrá una pendiente positiva , y una recta declinada (que caiga) 30° tendrá
una pendiente negativa . La pendiente de una recta vertical no está definida, y su
representación se indica por la coordenada donde ésta atraviesa al eje x.
El ángulo  que una recta forma con el eje horizontal está relacionado con la
pendiente  por medio de la siguiente relación trigonométrica:
o equivalentemente:
Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si
ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; dos o más
rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas) si el
producto de sus pendientes es igual a -1.
La pendiente de las ecuaciones de la recta[editar]

Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m)
que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al
eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al
origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la

pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de las
siguientes maneras:
entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de  puede ser
interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y, es
decir, el valor de  cuando . Este valor también es llamado ordenada en
el origen.
entonces "m" sigue siendo la pendiente. Pero en esta ecuación, el
valor  puede ser interpretado como el punto donde la recta se
 interseca con el eje X, es decir, el valor de  cuando . Este valor
también es llamado abcisa en el origen.

Si la pendiente  de una recta y el punto  de la recta son conocidos,

entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:
La pendiente de la recta en la fórmula general:
está dada por:
Propiedades
 Teniendo como datos los coeficientes angulares
de dos rectas , uno de los ángulos μ formados
por estas dos rectas se determina por la fórmula
.

 La pauta de paralelismo de dos rectas es la

igualdad de sus coeficientes angulares
.

 La pauta de perpendicularidad de dos

rectas se determina por las relaciones:
 Si en la ecuación  se mantiene
constante k, sólo varía b, se tiene
una familia de rectas paralelas con
coeficiente angular constante k, que
cubre todo el plano, al recorrer b todo
el conjunto ℝ.

Cálculo[editar]
El concepto de pendiente es central en
el cálculo diferencial. La pendiente de
una recta es la tangente del ángulo que
forma la recta con la dirección positiva
del eje de abscisas. En funciones no
lineales, la razón de cambio varía a lo
largo de la curva. La derivada de la
función en un punto dado es la pendiente
de la línea tangente en dicho punto.

Pendiente (geografía)
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Señal carretera polaca que indica un camino con pendiente.

Una pendiente es un declive del terreno y la inclinación, respecto a la horizontal, de

una vertiente.
Los procesos de modelado de las vertientes dependen de la inclinación de éstas y
una pendiente límite (de unos 45°, aunque variable según la índole de la roca), a partir de
la cual se superan las fuerzas de rozamiento que retienen a los materiales sueltos en las
vertientes. Por lo general existe un cambio de pendiente más o menos brusco entre la
vertiente y el talud de derrubios que se forma en su base; la pendiente límite de ese talud
suele ser de unos 35°. Tras un largo proceso de modelado, una vertiente puede tener
una pendiente de equilibrio cuya inclinación ya no cambiará sensiblemente mientras duren
las mismas condiciones climáticas y biológicas.
La medición de una pendiente se expresa a menudo como un porcentaje de la tangente.
Se usa para expresar la inclinación de, por ejemplo, un camino sobre una elevación de
terreno, donde cero indica que se está "a nivel" (con respecto a la horizontal) mientras que
cifras correlativas ascendentes designan inclinaciones más empinadas. Hay tres sistemas
de numeración:

 el ángulo de una horizontal en grados, normlmente expresado en grados

sexagesimales,
 como porcentaje: la tangente del ángulo de inclinación, o
 una definición alternativa como porcentaje: el seno del ángulo: la razón del cambio
de altitud a la longitud de la superficie entre dos puntos cualquiera.
En ingeniería vehicular, varios diseños basados en accidentes
geográficos (automóviles, utilitarios, camionetas, trenes, etc.) están tasados por su
habilidad para ascender el terreno.

Diseño geométrico de carreteras

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 Autovía del Olivar en España. Un buen diseño geométrico ahorra dinero en la construcción pero
también es muy importante para evitar accidentes una vez la carretera entra en servicio.

El Diseño geométrico de carreteras es la técnica de ingeniería civil que consiste en

situar el trazado de una carretera o calle en el terreno. Los condicionantes para situar una
carretera sobre la superficie son muchos, entre ellos la topografía del terreno, la geología,
el medio ambiente, la hidrología o factores sociales y urbanísticos.1 El primer paso para el
trazado de una carretera es un estudio de viabilidad2 que determine el corredor donde
podría situarse el trazado de la vía. Generalmente se estudian varios corredores y se
estima cuál puede ser el coste ambiental, económico o social de la construcción de la
carretera. Una vez elegido un corredor se determina el trazado exacto, minimizando el
coste y estimando en el proyecto de construcción el costo total, especialmente el que
supondrá el volumen de tierra desplazado y el firme necesario.

Índice

 1Clasificación de las carreteras

 2Introducción a la geometría de una vía
o 2.1Distancia de parada
 3Diseño en planta
o 3.1Tipos de alineaciones horizontales
o 3.2Clotoide
 4Diseño en vertical
o 4.1Tipos de alineaciones verticales
o 4.2Características de los acuerdos verticales
 5Diseño transversal
o 5.1Peraltes
o 5.2Gálibo
 6Aplicaciones informáticas para diseño de carreteras
 7Referencias

Clasificación de las carreteras[editar]

Artículo principal: Clasificación de carreteras
Cuanto menor son las dimensiones de la carretera (menor calzada, radios pequeños, menor
arcén...) menores son las velocidades que pueden alcanzar los vehículos, y menor el tráfico a
soportar.

Las carreteras se clasifican en función del número de calzadas, la dimensión del carril de
la calzada o la dimensión del arcén. Cuanto mayor sean las dimensiones de la vía, más
tráfico podrá soportar y más exigentes serán los parámetros de trazado, es decir, será
necesario realizar radios mayores de curva, acuerdos verticales más extendidos o peraltes
más inclinados. Al aumentar estos parámetros la carretera se ajustará menos al terreno, lo
que encarece la carretera.
El dato más importante para el diseño es la velocidad de proyecto, que es a la máxima
velocidad para circular con comodidad y seguridad.

Introducción a la geometría de una vía[editar]

La geometría de una carretera queda determinada en las 3 direcciones del espacio y
queda fijada mediante 3 planos:

 La planta donde se fijan las alineaciones horizontales

 El perfil longitudinal donde se fijan las alineaciones verticales
 El perfil transversal donde se fijan los peraltes, el bombeo y la inclinación
transversal de la rasante.
Distancia de parada[editar]
Un conductor debe de ser capaz de ver una distancia por delante suficiente como para
poder frenar en caso de encontrar un obstáculo. La distancia de parada de un vehículo es
igual a3
Siendo  la velocidad en km/h,  el tiempo de percepción y reacción (2 s),  el coeficiente de
rozamiento longitudinal rueda-pavimento,  la inclinación de la rasante en tanto por uno y  la
distancia de parada en metros. En el diseño geométrico de carreteras debe asegurarse en
todo el punto del trazado que vea esta cantidad de metros por delante de él, lo que implica
despejar el terreno, alisar los cambios de rasante y cuidar la visibilidad en curvas.

Diseño en planta[editar]
Tipos de alineaciones horizontales[editar]
Alineaciones rectas muy prolongadas o seguidas de curvas muy pronunciadas pueden generar
accidentes.

Las alineaciones horizontales o alineaciones en planta (visto desde el punto de vista

superior) son de tres tipos:

 La alineación recta: Es una línea recta. Es la alineación más deseada, con buena

visibilidad e ideal para carreteras que requieren amplios tramos de adelantamiento. A
pesar de esto se ha demostrado que los conductores tienden a perder la
concentración en tramos muy largos por lo que tienen que ser combinadas con otros
tipos de alineaciones. La normativa española 4 impone una limitación máxima para la
longitud de las rectas que equivale a la longitud que recorre un vehículo a la velocidad
máxima de la carretera durante 60 segundos, y una longitud mínima de recta de 10
segundos.
 La alineación curva o circular: Las curvas de una carretera son circulares o
sectores de circunferencia. Cuanto mayor sea el radio mayor será la velocidad que
puedan alcanzar los vehículos al paso por curva.
 La alineación de transición: la clotoide es la curva que va variando de radio según
avanzamos de longitud. Las clotoides se intercalan entre las alineaciones rectas y las
alineaciones curvas para permitir una transición gradual de curvatura. Todos los
vehículos desarrollan una clotoide cuando van girando su eje director disminuyendo o
aumentando la curvatura que describen. Las clotoides también permiten cambiar el
peralte en su recorrido lo que posibilita que los vehículos no tengan que frenar antes
de entrar en una curva.5
Clotoide[editar]

La línea roja es una clotoide y sirve para cambiar gradualmente de curvatura desde la recta a la
circunferencia.

Artículo principal: Clotoide

El parámetro de la clotoide que se ejecuta viene impuesto por la normativa de trazado 6 y

viene en función del tipo de carretera y del radio de entrada y de salida de la clotoide.

Diseño en vertical[editar]
La definición de la carretera implica un trazado en horizontal y otro en vertical. El trazado
en vertical se traza sobre un plano que indica el eje de la carretera, generalmente
exagerando la escala vertical con respecto a la horizontal.
Tipos de alineaciones verticales[editar]
Las alineaciones verticales son de dos tipos:

 Alineaciones rectas verticales

 Acuerdos verticales que son parábolas que unen alineaciones rectas. La razón
de usar parábolas es que son las curvas de acuerdo que permiten una mayor
visibilidad según se avanza en la carretera. Los acuerdos verticales son de dos tipos:
o Acuerdos convexos: Aquellos cuyo punto más elevado se encuentra en el
centro. Se estudia para permitir que el vehículo tenga siempre visibilidad de una
distancia por delante de él que le permita frenar con seguridad. En carreteras de
grandes velocidades estos acuerdos deben permitir visualizar un obstáculo a
centenares de metros.
o Acuerdos cóncavos: Aquellos con la cavidad en el centro o cuyo punto
más bajo se encuentra en el centro. 7 Sus dimensiones y características se
estudian para que permita una correcta visibilidad en condiciones nocturnas.
Características de los acuerdos verticales[editar]
Los acuerdos verticales vienen definidos por dos parámetros (y uno tercero dependiente):

 θ: Que es la diferencia de inclinación entre las dos alineaciones rectas que unen el
acuerdo. (tanto por uno)
 Kv: Que es el radio de la circunferencia osculatriz a la parábola. (m)
 L: Siendo la longitud total del acuerdo (m)

Diseño transversal[editar]
Peraltes[editar]
Artículo principal: Peralte

Curva en una carretera. El peralte sería la inclinación transversal de la vía que hace que el arcén
izquierdo quede más alto que el arcén derecho.

El peralte es la inclinación transversal de la vía en las curvas. Se construye para

compensar la fuerza centrífuga (que haría que el vehículo se saliera de la calzada) con la
fuerza del peso sobre la rasante de la curva. La fórmula que se emplea para hallar el
peralte sería:
Siendo  la velocidad de proyecto en km/h,  el radio en metros,  el coeficiente de rozamiento
transversal (que varía entre 0,180 a 40km/h y 0,087 a 120 km/h) y  la inclinación del
peralte en %. Por razones de seguridad el peralte está limitado según el país. En España
el peralte está limitado al 8% en autopistas y a 7% en carreteras de una calzada.
Gálibo[editar]
Artículo principal: Gálibo

En distintos países se exige que una altura máxima que quede libre debajo de puentes o
señalización, que suele ser mayor que la altura máxima de los vehículos:
 Gálibo según el país (metros)

Lugares Carretera urbana Carretera interurbana

 España 5,0 5,3

 Unión
>4,08 >4,0
Europea

 México9 5,5 5,5

 Colombia 5,010 5,0

 Perú 5.5 5.5

 Venezuela 6.0 6.0

Aplicaciones informáticas para diseño de carreteras[editar]

 CLIP [1] TOOL, S.A.
 Civil CAD
 InRoads
 TopoCal
 Cartomap
 Road Calc
 Istram Ispol

Referencias[editar]
1. ↑ Profe Espinoza. «Diseño geométrico de las carreteras». Archivado desde el
original el 21 de septiembre de 2011. Consultado el 23 de abril de 2012.
2. ↑ JUNTA DE ANDALUCIA. «Estudio de Viabilidad Carretera Baza-
Purchena». Página web consejería de fomento.
3. ↑ Normativa de trazado de España. Capítulo 3.2.1
4. ↑ BOE Ministerio de Fomento. Gobierno de España. «Rectas. Normativa de
trazado». Archivado desde el original el 4 de febrero de 2012. Consultado el 23 de abril de
2012.
5. ↑ Construmática. «Clotoide».
6. ↑ Ministerio de Fomento de España. «Normativa de trazado 3IC de carreteras».
Archivado desde el original el 21 de octubre de 2012.
7. ↑ Wikivia. «Acuerdo vertical cóncavo».
 8. ↑ Unión Europea (subido en la página de infraestructuras
serbias. «Recomendaciones de construcción de puentes (en inglés)».
9. ↑ Secretaría de Comunicaciones y Transporte de México. «Proyecto de Puente y
Estructuras». Archivado desde el original el 25 de noviembre de 2011.
10. ↑ Ministerio de Ambiente, Vivienda y Territorio. «Ley 1083/2016 Colombia».

Curvas verticales
Las curvas verticales son las que enlazan dos tangentes consecutivas del
alineamiento vertical, para que en su longitud se efectúe el paso gradual de la
pendiente de la tangente de entrada a la de la tangente de salida. Deben dar por
resultado una vía de operación segura y confortable, apariencia agradable y con
características de drenaje adecuadas.

El punto común de una tangente y una curva vertical en su origen se denomina PCV, y
PTV al punto común de la tangente y la curva al final de ésta. Al punto de intersección
de dos tangentes consecutivas se le designa como PIV, y a la diferencia algebraica de
pendientes en ese punto se le representa por la letra “A”. (Invías, 2008).
Curvas verticales
Tipos de curvas verticales
El Manual de diseño geométrico de carreteras (Invías, 2008) establece que las curvas
verticales se pueden clasificar por su forma como curvas verticales cóncavas y
convexas y de acuerdo con la proporción entre sus ramas que las forman como
simétricas y asimétricas.
Curvas verticales
Descripción y cálculo de los elementos
geométricos
La curva vertical recomendada para carreteras es la parábola cuadrática, cuyos
elementos principales y expresiones matemáticas se incluyen a continuación, tal como
se aprecia en la figura.

Asumiendo una curva vertical cuya pendiente de entrada P1 es igual a la de salida P2,
y en la cual, el vértice de la parábola coincide con el origen (0,0) del sistema
coordenado X, Y.

La ecuación de la parábola es: Y = k*X2

Revise:

 la ecuación de la tangente
 el cálculo de la parábola en el punto A
 las curvas verticales asimétricas.

Curvas verticales
Determinación de la longitud de la curva
vertical
Según el Manual de diseño geométrico de carreteras (Invías, 2008) los criterios para
la selección de la longitud de la curva vertical son aplicables para las curvas
simétricas y asimétricas.
Para determinar la longitud de la curva vertical, es necesario determinar la longitud
mínima de la curva convexa y la curva cóncava según el criterio de seguridad,
operación y drenaje respectivamente.

Curvas verticales
Ejemplo de la determinación de longitudes para
curvas verticales simétricas
La figura presenta el perfil del terreno para el eje de una vía con base en la nivelación
del eje materializado de un alineamiento horizontal previamente diseñado.

Sobre el plano de este perfil se han ubicado los PIV uno y dos que dan origen a una
curva convexa y a una curva cóncava, teniendo en cuenta que la velocidad de diseño
(VTR) es 50 km/h y que las velocidades específicas de las curvas (VCV1 y VCV2) son
iguales a la velocidad de diseño, razón por la cual de DP es igual a 65 metros.

 Determinación de la curva vertical convexa

 Determinación de la curva vertical cóncava

Resumen
En la presente unidad se desarrollaron los criterios de diseño para establecer la
tangente vertical, como son la definición de la pendiente minina y máxima y las
longitudes mínimas y máximas utilizadas en el diseño.

Se desarrollaron las deducciones de los elementos geométricos de las curvas

verticales, de igual manera se realizaron ejemplos de cálculo de cada curva utilizando
las fórmulas establecidas.
Finalmente se describieron los criterios que se utilizan para la definición de las
longitudes de las curvas verticales.

Bibliografía
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American Association of State Highways and Transportation Officials.
 Baker, R. (1975). Handbook of Highway Engineering. EUA: Litton Educational
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 Board, Transportation Research. (2000). Manual de capacidad de carreretras.
Washington D.C: Transportation Research Board.
 Bruce, A. -C. (1950). Higway Desingn and Construction. Scranton,
Pennsylvania: International Textbook Company.
 Cárdenas Grisales, J. (2002). Diseño geométrico de carreteras. Bogotá: Ecoe
ediciones.
 Chocontá Rojas, P. (1998). Diseño geométrico de vías. Bogotá: Editorial
Escuela Colombiana de Ingeniería.
 Garber, N. J. (2002). Traffic and Highway Engineering. Virginia: Brooks Cole.
 González Vergara, C. -V. (2011). Localización de carreteras. Bogotá: Ediciones
Universidad Distrital FJC.
 González, C. &. (2011). Localización de Carreteras. Bogotá: Publicaciones
Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
 Instituto Nacional de Vias INVIAS. (1996). Manual de capacidad de carreteras
de dos carriles. Popayan: Ministerio de Transporte.
 INVIAS. (1998). Manual de diseño geométrico para carreteras. Bogotá D.C.:
Instituto Nacional de Vías - Ministerio de Transporte.
 INVIAS. (2008). Manual de diseño geométrico de carreteras. Bogotá D.C.:
Instituto Nacional de Vías - Mnisterio de Transporte.
 Kraemer, C. -P.-R.-R.-S. (2033). Ingeniería de carreteras. Madrid: Mc Graw Hill.
 Mannering, F. -K. (1998). Principles of Highways Engineering and Traffic
Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc.
 Rincón Villalba, M. -V. (2010). Planimetría. Bogotá: Policromia Digital.
 Vargas Vargas, W. E., Gonzalez Vergara, C., & Rincon Villalba, M. A.
(2013). Diseño geometrico de vias. Bogotá: Fondo de publicaciones de la
Universidad Distrital.
 Vargas Vargas, W. -R. (2011). Manual de Eagle Point. Bogotá: Ediciones
Universidad Distrital FJC.

3.8. - TRAZO DE CURVAS VERTICALES.

Una curva vertical es un arco de parábola de eje vertical que

une dos tangentes del alineamiento vertical; la curva vertical
puede ser en columpio o en cresta, la curva vertical en
columpio es una curva vertical cuya concavidad queda hacia
arriba, y la curva vertical en crestaes aquella cuya concavidad
queda hacia abajo.

ELEMENTOS DE CURVA VERTICAL.

 

PIV
Punto de intersección de las tangentes verticales
PCV Punto en donde comienza la curva vertical
PTV Punto en donde termina la curva vertical
PSV Punto cualquiera sobre la curva vertical
p1 Pendiente de la tangente de entrada, en m/m
p2 Pendiente de la tangente de salida, en m/m
A Diferencia algebraica de pendientes
L Longitud de la curva vertical, en metros
K Variación de longitud por unidad de pendiente (parámetro)
x Distancia del PCV a un PSV, em metros
p Pendiente en un PSV, en m/m
p´ Pendiente de una cuerda, en m/m
E Externa, en metros
F Flecha, en metros
T Desviación de un PSV a la tangente de entrada, en metros
Zo Elevación del PCV, en metros
ZxElevación de un PSV, en metros

Nota: Si X y L se expresan en estaciones de 20 m la elevación de un PSV

puede calcularse con cualquiera de las expresiones:

Zx = Zo + (20 p1 – (10AX/L))X

Zx = Zx – 1 + 20 p1 – (10A/L)(2X – 1)

= P1 – (-P2)

=L/A

= P1 – A (X/L)

P´

= ½ (P1 + P)

= (AL) /8

=E
T

= 4E (X / L)^2

Zx

= Zo + [P1 – (AX/2L)] X

Las normas de servicios técnicos de la Secretaria de Comunicaciones y

Transportes, en sección de proyecto geométrico de carreteras, indica las
siguientes normas de calculo para las curvas verticales:

Tangentes.- Las tangentes verticales estarán definidas por su pendiente y su

longitud.

a.- Pendiente gobernadora.-

Los valores máximos determinados para la pendiente gobernadora se indican

en la siguiente tabla de valores máximos de las pendientes gobernadora y de
las pendientes máxima para los diferentes tipos de carreteras y terreno.

b.- Pendiente máxima.-

Los valores determinados para pendiente máxima se indican en la siguiente

tabla de valores máximos de las pendientes gobernadora y de las pendientes
máxima para los diferentes tipos de carreteras y terreno.

c.- Pendiente mínima.-

La pendiente mínima en zonas de sección en corte y/o bacón no deberá ser

menor del cero punto cinco por ciento (0.5%) y en zonas con sección de
terraplén la pendiente podrá ser nula.

d.- Longitud critica.-

 Los valores de la longitud critica de las tangentes verticales con pendientes con
pendientes mayores que la gobernadora, se obtendrán de la grafica de longitud
critica de tangentes verticales con pendiente mayor que la gobernadora.

Valores máximos de las pendientes gobernadora y de las pendientes

máximas

PENDIENTE GOBERNADORA (%) PENDIENTE MÁXIMA (%)

CARRETERA TIPO DE TERRENO

TIPO DE TERRENO
TIPO
PLANO LOMERIO
PLANO LOMERIO MONTAÑOSO
MONTAÑOSO
E -- 7 9 7 10 13
D -- 6 8 6 9 12
C -- 5 6 578
B -- 4 5 467
A -- 3 4 456

LONGITUD CRITICA DE TANGENTES VERTICALES CON PENDIENTE

MAYOR QUE LA GOBERNADORA
  

Visibilidad

a.- Curvas verticales en creta.-

Para que las curvas verticales en cresta cumplan con la distancia de visibilidad
necesaria su longitud deberá calcularse a partir del parámetro K, que se
obtiene con la expresión:

 
  

Donde:

D = distancia de visibilidad, en metros

H = altura al ojo del conductor (1.14m)

h = altura del objeto (0.15 m)

b.- Curvas verticales en columpio.-

Para que las curvas verticales en columpio cumplan con la distancia de

visibilidad necesaria, su longitud deberá calcularse a partir del parámetro K,
que se obtiene con la expresión:

Donde:

D = distancia de visibilidad, en metros

T = pendiente del haz luminoso de los faros (0.0175)
H = altura de los faros (0.64 m)

c.- Requisitos de visibilidad.-

 
 1. La distancia de visibilidad de parada deberá proporcionarse en todas las
curvas verticales, este requisito esta tomado en cuenta en el valor del
parámetro K, especificado en la siguiente tabla "Valores mínimos del
parámetro K y de la longitud mínima aceptable de las curvas verticales"

2. La distancia de visibilidad de encuentro deberá proporcionarse en las

curvas verticales en cresta de las carreteras tipo "E", tal como se
especifica en la siguiente tabla, "Valores mínimos del parámetro K y de
la longitud mínima aceptable de las curvas verticales"

VALORES MINIMOS DEL PARÁMETRO k Y DE LA LONGITUD MINIMA

ACEPTABLE DE LAS CURVAS VERTICALES

Valores del parámetro K (m/%)

Velocidad de Curvas en cresta Curvas en columpio Longitud
proyecto mínima
Carretera tipo Carretera tipo
(km/h) aceptable (m)
E D,C,B,A E,D,C,B,A
30 4 3 4 20
40 7 4 7 30
50 12 8 10 30
60 23 12 15 40
70 36 20 20 40
80 - 31 25 50
90 - 43 31 50
100 - 57 37 60
110 - 72 43 60

 
 La distancia de visibilidad de rebase solo se proporcionara cuando así lo
indiquen las especificaciones de proyecto y/o lo ordene la secretaria, los
valores del parámetro K, para satisfacer son:

Velocidad de
30 40 50 60 70 80 90 100 110
proyecto en km/h
Parámetro K para
18 32 50 73 99 130 164 203 245
rebase en m/%

Curvas verticales.-

Las curvas verticales serán parábolas de eje vertical y están definidas por su
longitud y por la diferencia algebraica de las pendientes de las tangentes
verticales que une.

a.- Longitud mínima:

 La longitud mínima de las curvas verticales se calculara con la expresión:

L=KA

En donde:

L = Longitud mínima de la curva vertical, en metros

K = Parámetro de la curva cuyo valor mínimo se especifica

En la tabla de valores mínimos del parámetro K y de la longitud mínima

aceptable de las curvas verticales
 A = Diferencia algebraica de las pendientes de las Tangentes verticales.

 La longitud mínima de las curvas verticales en ningún caso deberá ser

menor a las mostradas en las siguientes dos tablas: "Longitud minima de las
curvas verticales en cresta" y "Longitud minima de las curvas verticales en
columpio"

b).- Longitud máxima.-

No existirá limite de longitud máxima para las curvas verticales. En caso de

curvas verticales en cresta con pendiente de entrada y salida de signos
contrarios, se deberá revisar el drenaje cuando a la longitud de la curva
proyectada corresponda un valor del parámetro K superior a 43.

LONGITUD MINIMA DE LAS CURVAS VERTICALES EN CRESTA

 
  

LONGITUD MINIMA DE LAS CURVAS VERTICALES EN COLUMPIO

 
  

Calculo de curvas verticales

Pasara el calculo y trazo de las curvas verticales es necesario contar con un

perfil del terreno, así como las longitudes y pendientes de cada segmento del
camino. Es necesario revisar que la pendiente en estos segmentos del camino
nunca sea mayor a la pendiente máxima dada por la tabla de tipos y
características de caminos.

Es necesario también respetar las condiciones de longitud mínima de las

curvas verticales en cresta y columpio.
  

Las formulas de trazo de curvas verticales son en comparación, más simples

que las de curvas verticales, como se muestra a continuación.

Po = pendiente de entrada

Pi = pendiente de salida

L = numero total de estaciones

Perfil del terreno

 Calculo de curva vertical en columpio

L = (-0.50)-(0.8) = 1.3 = 2 estaciones de 20 mts = 40 mts

K = (1.3) / (10)(2) = 0.065

E = (1.3)(40)/8 = 6.5

 
 F = 6.5

0.50-------------100

x-----------------20

X = 0.1

0.8-------------100

x-----------------20

X = 0.16

PIV = 512.48

PCV = 512.48 – 0.1 = 512.38

PTV = 512.48 + 0.16 = 512.64

Punto Elevación X^2 K Y Cota

0 512.38 0 0.065 0 512.38
1 512.48 1 0.065 0.0315 512.4485
0 512.64 0 0.065 0 512.64

 
  

Valores máximos de las pendientes gobernadora y de las pendientes

máximas

PENDIENTE PENDIENTE MÁXIMA

GOBERNADORA (%) (%)
CARRETERA TIPO DE TERRENO TIPO DE TERRENO
TIPO
PLANO LOMERIO PLANO LOMERIO
MONTAÑOSO MONTAÑOSO
E -- 7 9 7 10 13
D -- 6 8 6 9 12
C -- 5 6 578
B -- 4 5 467
A -- 3 4 456
De la sección transversal.

La sección transversal esta definida por la corona, las cunetas, los taludes, las
contra cunetas, las partes complementarias y el terreno comprendido dentro del
derecho de vía, como se muestra en las siguientes figuras, "Sección
transversal en tangente del alineamiento horizontal para carreteras tipos E, D,
C, B y A2" y "Sección transversal en tangente del alineamiento horizontal para
carreteras tipos A4"

Corona.-

La corona esta definida por la calzada y los acotamientos con

su pendiente transversal, y en su caso, la faja separadora
central.

En tangentes del alineamiento horizontal el ancho de corona para cada tipo de

carretera y de terreno, deberá ser el especificado en la tabla "Anchos de
corona, de calzada, de acotamientos y de la faja separadora central" que
continuación se muestra.

Anchos de
Tipo de Faja
carretera Acotamientos
Corona (m) Calzada (m) separadora
(m)
central (m)
E 4.00 4.00 -- --
D 6.00 6.00 -- --
C 7.00 6.00 0.50 --
B 9.00 7.00 1.00 --
(A2) 12.00 7.00 2.50 --
EXT INT
A (A4) 22.00 mínimo 2 x 7.00 1.00 mínimo
3.00 0.50
(A4S) 2 x 11.00 2 x 7.00 3.00 1.00 8.00 mínimo

 
Dados los datos anteriores, podemos deducir las siguientes medidas según
nuestro tipo de camino "C".

Tipo de carretera "D"

Corona = 6.0 mts

Calzada = 6.0 mts.

Acotamientos = 0.0 mts

Faja separadora central = 0.0 mts

En curvas y transiciones de alineamiento horizontal el ancho de la corona

deberá ser la suma de los anchos de la calzada, de los acotamientos, y en su
caso de la faja separadora central.

Calzada.- el ancho de la calzada deberá ser:

a. En tangente del alineamiento horizontal, el especificado en la tabla

anterior "Anchos de corona, de calzada, de acotamientos y de la faja
separadora central"

b. En curvas circulares del alineamiento horizontal, el ancho en tangente

mas una ampliación en el lado interior de la curva circular, cuyo valor se
especifica en las siguientes cuatro tablas "Ampliaciones, sobre
elevaciones y transiciones para carreteras"

c. En curvas espirales de transición y en transiciones mixtas.

El ancho en tangente mas una ampliación variable en el lado interior de la

curva espiral o en el de la transición mixta, cuyo valor esta dado por la
expresión:
 

En donde:

A = Ampliación del ancho de la calzada en un punto de la curva espiral o de la

transición mixta, en metros.
L = Distancia del origen de la transición al punto cuya ampliación de desea
determinar, en metros
Le = Longitud de la curva espiral o de la transición mixta, en metros.
Ac = Ampliación total del ancho de la calzada correspondiente a la curva
circular, en metros.

En tangentes y curvas horizontales para carretera tipo E.

1. El ancho de la calzada en carreteras tipo "E", no requerirá ampliación

por curvatura horizontal.

2. Por requisitos operacionales será necesario ampliar el ancho de la

calzada, formando libraderos, para permitir el paso simultaneo a dos
vehículos, el ancho de la calzada en la zona del libradero será el
correspondiente al de la carretera tipo "D".

3. La longitud de los libraderos será de veinte metros mas dos transiciones

de cinco metros cada una.
  

4. Los libraderos se espaciaran a una distancia de doscientos cincuenta

metros o menos, si así lo requiere la visibilidad entre ellos.

Acotamientos.-

El ancho de los acotamientos deberá ser para cada tipo de carretera y tipo de
terreno, según se indica en la tabla "Anchos de corona, de calzada, de
acotamientos y de la faja separadora central"

Pendiente transversal.-

En tangentes de alineamiento horizontal el bombeo de la corona deberá ser:

a. De menos dos por ciento en carreteras tipo A, B, C, y D pavimentadas

b. De menos tres por ciento en carreteras tipo D y E revestidas.

3.11. - DETERMINACIÓN DE LAS SECCIONES DE CARRETERA.

La determinación de las secciones de carretera, es un procedimiento sencillo

pero laborioso, ya que a cada veinte metros de nuestra línea del camino, se
tendrá que determinar veinte metros a la izquierda y veinte metros a la derecha
la intersección de las curvas de nivel, el objeto que sean veinte metros los que
se tengan que determinar hacia los lados, obedece a que por disposición
federal, todos los caminos de carreteras federales comprenden veinte metros
hacia la izquierda y derecha del centro del camino.
 

A continuación se ilustra la determinación de las secciones de carretera de un

tramo cualquiera de doscientos metros.

Secciones de trazo de carretera.

114.15 115.2 116.0 115.85

20.0 0.00 15.5 20.0
114.0 115.1 116.0 115.9
20.0 20.0 16.0 20.0
113.75 114.0 115.0 116.0 115.92
20.0 17.0 40.0 18.0 20.0
113.6 114.0 114.75 116.0
20.0 15.0 60.0 20.0
 113.5 114.0 114.62 115.85
20.0 14.0 80.0 20.0
113.4 114.0 114.55 115.65
20.0 14.0 100.0 20.0
113.5 114.0 114.54 115.55
20.0 15.0 120.0 20.0
113.6 114.0 114.51 115.5
20.0 18.0 140.0 20.0
113.82 114.0 114.42 115.20
20.0 16.2 160.0 20.0
113.78 114.0 114.3 114.9
20.0 12.1 180.0 20.0
113.2 114.0 114.7 114.6
20.0 6.05 200.0 20.0

Las secciones antes determinadas, son necesarias para el calculo de la curva

masa, en estas se ubicara nuestro camino como se muestra a continuación,
con una sección tipo para carreteras D,C,B y A2.

Otro de los aspectos por lo que es necesario la determinación

de las secciones de construcción, es el hecho de que esta son
los indicadores de la cantidad de corte y terraplén necesarios
en el camino.

 
 Calculo de las áreas de sección.

 
 
 
 
http://www.construaprende.com/docs/tesis/297-trazo-construccion-carretera?
mid=153&ufeedpage=2&start=28