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    Ejercicio 1 Series de Potencia

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    El documento describe el método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales. Este método supone que la solución puede expresarse como una serie de potencias e introduce esta serie en la ecuación diferencial original. Luego iguala los coeficientes de las potencias iguales para obtener una relación de recurrencia que permite calcular sucesivamente los coeficientes desconocidos. Como ejemplo, se resuelve la ecuación dy'/dx - 9xy = 0 usando este método.

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    El documento describe el método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales. Este método supone que la solución puede expresarse como una serie de potencias e introduce esta serie en la ecuación diferencial original. Luego iguala los coeficientes de las potencias iguales para obtener una relación de recurrencia que permite calcular sucesivamente los coeficientes desconocidos. Como ejemplo, se resuelve la ecuación dy'/dx - 9xy = 0 usando este método.

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    serie de potencia

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    Ejercicio 1 series de potencia

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    PASO 3

    EJERCICIOS INDIVIDUALES
    A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

    TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE


    POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
    l método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural,
    se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples
    cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver  lo que está ocurriendo.
    Para una ecuación dada:

    y , , + p ( x ) y , + q ( x ) y=0
    se representa primero p ( x ) y q ( x ) por series de potencias en potencias de x (o de ( x−x 0 ) si
    se desea obtener soluciones de potencias de x−x 0 ¿. En muchas ocasiones p ( x ) y q ( x )son
    polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una
    solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.
    ∞
    y= ∑ am x m=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ …
    m=0

    Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:


    ∞
    y , = ∑ m am x m−1=a1 +2 a2 x+ 3 a3 x 2 +…
    m=1

    ∞
    y , ,= ∑ m ( m−1 ) am x m−2=2 a2 +3∗2 a3 x+ 4∗3 a4 x 2 +…
    m=1

    Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de x y la


    suma de los coeficientes de cada potencia de x que se presente se iguala a cero, empezando
    con los términos constantes, los términos que incluyen a x, los términos que incluyen a x 2
    etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera
    sucesiva los coeficientes desconocidos en y.
    De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:
    .

    ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: LUCAS CAQUIMBO LUNA


    d y ' −9 xy=0
    PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN
    EXPRESIÓN MATEMÁTICA

    y ' −9 xy=0 Ecuación original

    suponemos que la solución de la ecuación


    dada existe y tiene la forma
    ∞
    y=∑ c n x n
    n=0

    ∞
    y '=∑ n c n x n−1
    n=1

    ∞ ∞
    n−1 Remplazamos los datos en la ecuación
    ∑ n cn x −9 x ∑ c n x n=0 original
    n =1 n=0

    ∞ ∞
    Antes de sumar las series hay que convertir,
    ∑ (k +1)c k+1 x k −9 ∑ c k x k=0 para que inicien con el mismo valor
    k=0 k=0
    aplicando la regla.
    ∞ ∞

    ∑ f ( n )=¿ ∑ f ( n+ k )=¿ ¿ ¿
    n=k n=k

    Remplazamos la n=K sumándole el


    valor k a cada una de las n que
    aparezcan y sacamos la x del -9x junto
    con la otra x n. Quedando,
    ∞
    Ya igualada, podemos sumar las series
    ∑ [ ( k +1 ) c k+1−9 c k ] x k=0 quedando de la siguiente manera con x k
    k=0

    factor común.
    ( k +1 ) c k +1−9 c k =0 Ahora igualamos los coeficientes a cero
    los del paréntesis rectangular
    ∞

    ∑ [ ( k +1 ) c k+1−9 c k ] x k=0
    k=0

    9 ck Ahora buscamos la formula de


    c k +1=
    ( k +1 ) concurrencia buscamos la C con mayor
    índice ( k +1 ) c k +1−9 c k =0 y la
    despejamos, −9 c k esta restando
    pasa a sumar, ( k +1 ) esta
    multiplicando pasa a dividir.
    Quedando
    9 c0 Ahora le damos valores a k a parir de
    c 0+ 1=
    ( 0+ 1 ) 0
    9 k =0
    c 1= c 0
    1
    9 c1 Ya con el valor de c 0 remplazamos el
    c 1+1=
    ( 1+1 ) valor en la siguiente.
    9 99 k =1
    c 2= c 1 c 2= c
    2 21 0
    999 Ya con el valor de c 1 remplazamos el
    c 3= c
    321 0 valor en la siguiente.
    k =2
    9999 k =3
    c4 = c
    4321 0
    99999 k =4
    c 5= c
    54321 0
    999999 k =5
    c 6= c
    654321 0
    ∞
    9k Ahora expresamos la serie en expresión
    ∑ k ! c0 de sumaatoria
    k=0

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