Modelamiento y sistemas de primer orden

Wilmar Antonio Meneses Hernández

Diego Hernán Romero Moreno
Nicolas Ruiz Cruz

Sistemas de control I
Escuela Tecnológica Instituto Técnico Central
wamenesesh@itc.edu.co
dhromerom@itc.edu.co
nmruizc@itc.edu.co

RESUMEN: En este trabajo se evidencia el uso de Probar en el modelo las diferentes alternativas o
ecuaciones diferenciales para el modelamiento de políticas que solucionan el problema, e implementar la
fenómenos físicos, y su análisis de parámetros. Con la mejor solución. [1]
ayuda de Matlab se contrastan los resultados del
software y los obtenidos con los cálculos en papel. El OBJETIVOS
procesamiento de sus parámetros permite analizar de
forma más efectiva el comportamiento de los OBJETIVO GENERAL
fenómenos físicos planteados para su posterior
control. Comprender las técnicas de modelamiento
matemático de sistemas dinámicos y su relación con
ABSTRACT: This work demonstrates the use of las funciones de transferencia para sistemas de primer
differential equations for modeling physical orden.
phenomenal, and their respective analysis of them
parameters. Using Matlab assistance, the results OBJETIVOS ESPECIFICOS
obtained with the software are contrasted with the
data resulted in paper. The processing of its Realizar el modelamiento de un sistema de primer
parameters makes possible to analyze more effectively orden y segundo orden utilizando el fenómeno físico y
the behavior of the physical phenomenal posed for su representación matemática.
later control. Obtener Funciones de transferencia a partir de un
modelo matemático de ecuaciones diferenciales.
INTRODUCCIÓN Identificar los parámetros que definen el
comportamiento de un sistema de primer orden en su
La Dinámica de Sistemas permite la construcción función de transferencia
de modelos tras un análisis cuidadoso de los elementos
del sistema. Este análisis permite extraer la lógica METODOLOGÍA
interna del modelo, y con ello intentar un
conocimiento de la evolución a largo plazo del 1. Por medio de ecuaciones diferenciales llevar a
sistema. Debe notarse que en este caso el ajuste del cabo el modelo para el sistema hidráulico de la figura,
modelo a los datos históricos ocupa un lugar para el cual, qi es la entrada y q2 es la salida:
secundario, siendo el análisis de la lógica interna y de
las relaciones estructurales en el modelo los puntos
fundamentales de la construcción del mismo.
Esta metodología permite:
Identificar el problema.
Desarrollar hipótesis dinámicas que explican las
causas del problema.
Construir un modelo de simulación del sistema que
permita analizar la raíz del problema.
Verificar que el modelo reproduce de forma
satisfactoria el comportamiento observado en la
realidad.

1
 Figura 1. Ejercicio planteado
τ = 10
𝑑ℎ1
𝐴1 = 𝑞𝑖 − 𝑞1 k=1
𝑑𝑡
ℎ1 = 𝑞1 𝑅1 𝐴𝐾(1 − 𝑒 −τ/𝑇 )

𝑑 𝑡𝑐 = 𝐴(1 − 𝑒 −4 )
𝐴1 𝑅1 𝑞 = 𝑞𝑖 − 𝑞1
𝑑𝑡 1
A partir del modelo matemático corroboramos que el
𝑑 tiempo de establecimiento T= τ4 = 40s lo cual se puede
𝐴1 𝑅1 𝑞1 + 𝑞1 = 𝑞𝑖
𝑑𝑡 evidenciar en la gráfica, además se verifica que la
ganancia del sistema ante una entrada escalón unitario
(𝐴1 𝑅1 )(𝑆𝑄1 (𝑠) + 𝑄1 (𝑠) = 𝑄𝑖 (𝑠)
es de 1. Por lo tanto, se puede afirmar que el
modelamiento matemático calculado de este sistema
se acerca al comportamiento físico del mismo.
2. A partir del modelo de ecuaciones diferenciales
del numeral 1 obtenga la función de transferencia del 5. Por medio de ecuaciones diferenciales llevar a
sistema cabo el modelo para el sistema hidráulico de la figura,
para el cual, qi es la entrada y q2 es la salida:
𝑄1 (𝑠)(((𝐴1 𝑅1 )(𝑠)) + 1) = 𝑄𝑖 (𝑠)

𝑄1 (𝑠) 1
=
𝑄𝑖 (𝑠) 10𝑠 + 1

3. Utilizando Matlab aplique una entrada escalón

unitario a la función de transferencia del sistema y
grafique la respuesta.

Figura 2. Ejercicio planteado

𝑑𝑞1
𝑅1 𝐴1 = 𝑞𝑖 − 𝑞1
𝑑𝑡
𝑑𝑞2
𝑅2 𝐴2 = 𝑞1 − 𝑞2
𝑑𝑡
𝑑𝑞1 𝑑𝑞2
𝑅1 𝐴1 = 𝑞𝑖 − [𝑅2 𝐴2 + 𝑞2 ]
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑞1 𝑑𝑞2
𝑅1 𝐴1 = 𝑞𝑖 − 𝑅2 𝐴2 − 𝑞2
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Figura 3. Grafica respuesta sistema 1
𝑑 𝑑𝑞2 𝑑𝑞2
𝑅1 𝐴1 [𝑅2 𝐴2 + 𝑞2 ] = 𝑞𝑖 − 𝑅2 𝐴2 − 𝑞2
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
4. Verifique los parámetros (τ y k) de la respuesta
a la función paso y concluya a cerca de los resultados 𝑑 2 𝑞2 𝑑𝑞2 𝑑𝑞2
𝑅1 𝐴1 𝑅2 𝐴2 + 𝑅1 𝐴1 = 𝑞𝑖 − 𝑅2 𝐴2 − 𝑞2
obtenidos con respecto a la realidad física del sistema 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
que modeló.

2
 𝑑 2 𝑞2 𝑑𝑞2 𝑑𝑞2 13 1
𝑅1 𝐴1 𝑅2 𝐴2 + 𝑅1 𝐴1 + 𝑅2 𝐴2 + 𝑞2 = 𝑞𝑖 𝑆2 + 𝑆+ = 𝑆 2 + 2𝜁ῳ𝑛 𝑆 + 𝑤𝑛2
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 30 30
6. Por medio de ecuaciones diferenciales llevar a 1
𝑤𝑛2 =
cabo el modelo para el sistema hidráulico de la figura, 30
para el cual, qi es la entrada y q2 es la salida:
1
ῳ𝑛 =
√30
(𝑅1 𝐴1 𝑅2 𝐴2 )(𝑆 2 𝑄2 (𝑠)) + (𝑅1 𝐴1 )(𝑆𝑄2 (𝑠)) +
ῳ𝑛 = 0.1825
… (𝑅2 𝐴2 )(𝑆𝑄2 (𝑠)) + 𝑄2 (𝑠) = 𝑄𝑖 (𝑠)
13
𝑄2 (𝑠)[(𝑅1 𝐴1 𝑅2 𝐴2 )(𝑆 2 ) + (𝑅1 𝐴1 )(𝑆) + 2𝜁ῳ𝑛 =
30
… (𝑅2 𝐴2 )(𝑆) + 1] = 𝑄𝑖 (𝑠)

𝑄2 (𝑠) ῳ𝑛 = 0.1825 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠𝑒𝑔

𝑄𝑖 (𝑠) 13
1 𝜁=
= 2ῳ𝑛 30
2
(𝑅1 𝐴1 𝑅2 𝐴2 )(𝑆 ) + (𝑅1 𝐴1 )(𝑆) + (𝑅2 𝐴2 )(𝑆) + 1
13√30
𝜁=
2(30)
𝑄2 (𝑠) 1
= 𝜁 = 1,1867 Sobre amortiguado
𝑄𝑖 (𝑠) 30𝑆 2 + 13𝑆 + 1

7. Utilizando Matlab aplique una entrada escalón 1

𝐾=
unitario a la función de transferencia del sistema y 30
grafique la respuesta.
9. A partir de la función de transferencia indique el
índice de amortiguamiento, la frecuencia natural del
sistema y la ganancia estática.
Frecuencia natural

Figura 4. Grafica respuesta sistema 2

8. A partir de la función de transferencia indique el

índice de amortiguamiento, la frecuencia natural del 𝑦(∞) = 48
sistema y la ganancia estática.
𝑦(𝑚𝑎𝑥) = 51.5
Frecuencia natural 𝑦(𝑚𝑎𝑥) − 𝑦(∞)
𝑀𝑃 = 100%
1 𝑦(∞)
𝑄2 (𝑠) 1 30
= =
𝑄𝑖 (𝑠) 30𝑆 2 + 13𝑆 + 1 𝑆 2 + 13 𝑆 + 1 51.5 − 48
30 30 𝑀𝑃 = 100% = 7.29% = 0,0729
48

3
 𝑇𝑃 = 20𝑠𝑒𝑔
1
𝐺 (𝑠 ) =
𝑆 2 + 2𝜁ῳ𝑛 𝑆 + 𝑤𝑛2 1
𝜁𝜋
−−
𝑀𝑃 = 𝑒 √1−𝜁 2

𝜁𝜋
−−
2 √1−𝜁 2 2
[ln(𝑀𝑃 )] = [ln(𝑒 )]

[ln(𝑀𝑃 )]2 [1 − 𝜁 2 ] = 𝜁 2 𝜋 2

[ln(𝑀𝑃 )]2
𝜁=√
[ln(𝑀𝑃 )]2 + 𝜋 2

[ln(0,0729)]2
𝜁=√
[ln(0,0729)]2 + 𝜋 2

𝜁 = 0,64
𝜋
𝑇𝑝 =
ῳ𝑛 √1 − 𝜁 2
𝜋
ῳ𝑛 =
𝑇𝑝 √1 − 𝜁 2

𝑤𝑛 = 0,204 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠𝑒𝑔

2,007
𝐺 (𝑠 ) =
𝑆 2 + 0,2618 𝑆 + 0,04181
k=1

CONCLUSIONES

El modelamiento de fenómenos físicos es posible

a través de representaciones matemáticas que permiten
describir su funcionamiento facilita el análisis de
dicho fenómeno en específico.
El uso de ecuaciones diferenciales, aplicando la
transformada de Laplace hace posible hallar un
modelo para el estudio del fenómeno físico donde se
halla la relación de la salida con respecto a la entrada.
Matlab es una herramienta que permite graficas las
funciones relacionadas a los fenómenos físicos. Con
ayuda de esta herramienta es posible graficar el
comportamiento de un sistema, y a por medio de ellas
podemos hacer el análisis de parámetros que permiten
la corrección de fallas en el sistema que se analiza.

REFERENCIAS

[1] http://www.dinamica-de-sistemas.com