1

Unidad 2: Paso 3 – Planificar métodos y

herramientas para el diseño de filtros digitales
FIR e IIR
Procesamiento Digital De Señales
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD

Resumen— Para esta actividad denominada paso 3, encontrar

el desarrollo de cada uno de los puntos establecidos en la guía de
APORTES RAMIRO ALVARADO
actividades del curso de procesamiento digital de señales, se  Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su
interpretara la transformada Z y los sistemas descritos mediante ecuación de diferencia en la página de internet:
ecuaciones en diferencia, a través de simulación y análisis
matemático en el dominio del tiempo y la frecuencia https://www.draw.io/

Abstract—For this activity step 3, find the development of each

of the points established in the guide of the activities of the digital
signal processing course, the interpretation of the transformation
and the changes in the results of the equation in the difference,
through simulation and mathematical analysis in the domain of
time and frequency

I. INTRODUCCIÓN
El procesamiento digital de señales es un área de la electrónica;
que ha tenido grandes avances en los últimos años, debido a los
desarrollos tecnológicos del hardware; hoy en día, juega un
papel importante en ramas tan diversas como las
comunicaciones, el diseño de circuitos, la acústica, el
procesamiento de voz, y los sistemas de regeneración y  Cada estudiante realizará la transformada Z de la
distribución de energía. El filtrado digital de señales tiene la ecuación de diferencias. Esta debe realizarse en el editor
ventaja de ser modificado por medio de software para después de ecuaciones de Word. No se aceptan pantallazos.
ser realizado por el hardware. Con la implementación de estos
sistemas se consigue mayor precisión en comparación con los
circuitos analógicos y los sistemas de procesamientos de Para la transformada z tenemos:
señales analógicas.
𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] + 𝑏2𝑥[𝑛 − 2]
II. DESARROLLO
Ecuaciones características para la transformada Z:

Cada estudiante escogerá una (1) ecuación de diferencia de las Para 𝑦(𝑛) 𝑦(𝑛) = 𝑦(𝑧)
expuestas a continuación, luego reportará en el foro su Para 𝑥(𝑛) 𝑥(𝑛) = 𝑥(𝑧)
decisión, esto con el fin de que cada estudiante tenga una Para 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑥(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(𝑧)𝑧
ecuación diferente.
Reemplazando por las ecuaciones anteriores tenemos:
Ecuaciones de diferencia:
𝑦[𝑧] = 𝑏0𝑥(𝑧) + 𝑏1𝑥(𝑧)𝑧−1 + 𝑏2𝑥(𝑧)𝑧−2
𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] + 𝑏2𝑥[𝑛 − 2] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1]
+ 𝑎2𝑦[𝑛 − 2] 𝒚[𝒛] = 𝒙(𝒛)(𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒛−𝟏 + 𝒃𝟐𝒛−𝟐)
𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1]
𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] + 𝑎1𝑦[𝑛 − 1]
𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1] − 𝑎2𝑦[𝑛 − 2]
 Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de
𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] + 𝑏2𝑥[𝑛 − 2]
diferencia, cada estudiante hallará la función de

*Revista Argentina de Trabajos Estudiantiles. Patrocinada por la IEEE.

transferencia del sistema H(Z). Esto también se realizará Para hallar la función de magnitud, recordar utilizar la siguiente
con el editor de ecuaciones de Word. Recordar que la ecuación:
función de transferencia es:
|𝑎 + 𝑏𝑗| = √𝑎2 + 𝑏2
 2

𝒀(𝒁)
𝑯(𝒁) =
𝑿(𝒛) 2
H (w) = √(𝑏 + 𝑏1 cos(𝑤) + 𝑏2 cos(2𝑤))
0
𝑦[𝑧] = 𝑥[𝑧][𝑏 + 𝑏 𝑧−1 + 𝑏 𝑧−2 + (−𝑏1𝑠𝑖𝑛(𝑤)) − 𝑏2𝑠𝑖𝑛(2𝑤))2
0 1 2
𝑌(𝑍)
𝐻[𝑍]
𝑏 = = + 𝑏 𝑧−1 + 𝑏 𝑧−2
𝑋(𝑍) 0 1 2
 Se hallará la función que represente la respuesta en Fase
𝐻[𝑍] = 𝑏0 + 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2 del sistema, recordar utilizar la siguiente ecuación:

 Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la 𝒃

respuesta en frecuencia del sistema, remplazando: Ɵ(𝒂 + 𝒃𝒋) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( )
𝒂

𝒁 = 𝒆𝒋𝒘
Donde a y b son los coeficientes del número imaginario
𝐻(𝑍) = 𝑏0 + 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2 (𝒂 + 𝒃𝒋)
𝐻(𝑤) = 𝑏0 + 𝑏1𝑒−𝑗𝑤 + 𝑏2𝑒−𝑗𝑤2
𝜃(𝑎 + 𝑏𝑗)
−𝑗𝑏1𝑠𝑖𝑛(𝑤) − 𝑗𝑏2𝑠𝑖𝑛(2𝑤)
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( )
𝑏0 + 𝑏1 cos(𝑤) + 𝑏2 cos(2𝑤)
 Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del
sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en  Realizar simulación en Matlab (Simulink), para hallar los
frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler, siguientes diagramas:
que según el caso se podría utilizar cualquiera de las
siguientes ecuaciones:
 Respuesta al impulso del sistema
 Diagrama de polos y ceros
 Diagrama de Bode
𝒆𝒋𝒘 = 𝐜𝐨 𝐬(𝒘) + 𝒋𝒔𝒊𝒏(𝒘)

𝒆−𝒋𝒘 = 𝐜𝐨 𝐬(𝒘) − 𝒋𝒔𝒊𝒏(𝒘) 𝑏0 + 𝑏1𝑍−1 + 𝑏2𝑍−2

𝐻(𝑍) =
1
Para hallar la función de magnitud, recordar utilizar la
siguiente ecuación: 𝑏0 = 0.93
⃓𝒂 + 𝒃𝒋 ⃓= √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝑏1 = 0.65
𝑏2 = 0.33
Donde a y b son los coeficientes del número imaginario
(𝒂 + 𝒃𝒋)
𝟎. 𝟗𝟑 + 𝟎. 𝟔𝟓𝒁−𝟏 + 𝟎. 𝟑𝟑𝒁−𝟐
𝑯(𝒁) =
Como nuestra Respuesta en frecuencia contiene el símbolo 𝟏
menos, utilizaremos la segunda ecuación:

H (w) = 𝑏0 + 𝑏1 (cos(𝑤) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤)) + 𝑏2 (cos(2𝑤)

− 𝑗𝑠𝑖𝑛(2𝑤))

Agrupamos los términos Reales e imaginarios:

𝐻 (𝑤) = 𝑏0 + 𝑏1 (𝑐𝑜𝑠(𝑤) − 𝑏1𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤)) + 𝑏2 (𝑐𝑜𝑠(2𝑤) − 𝑏2  Respuesta al impulso del sistema

𝑗𝑠𝑖𝑛(2𝑤))

𝐻 (𝑤) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑐𝑜𝑠(𝑤) + 𝑏2 𝑐𝑜𝑠(2𝑤) − 𝑗𝑏1𝑠𝑖𝑛(𝑤)

− 𝑗𝑏2𝑠𝑖𝑛(2𝑤)
 3) ¿Cuál es la diferencia entre la transformada Z
bilateral y la unilateral?

TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL

Dada una sucesión {f[n]} se define como su Transformada Zeta

unilateral a la Transformada Zeta de la sucesión {f[n].u[n]}.
+∞

𝐹(𝑧) = ∑ 𝑓[𝑛]𝑧−𝑛
𝐹 ∈ 𝐻/𝐴(𝑟1, 𝑟2)
𝛾[𝐼]∁𝐴 }→ 𝑛=0
 Diagrama de polos y ceros 1
𝑛−1
𝑓[𝑛]. 𝑢[𝑛] = 2𝜋𝑖 ∮ 𝐹(𝜍)𝜍 𝑑𝜍
{
OBSERVACIONES

1.- La serie sólo tiene las potencias negativas y el término

independiente.
2.- El centro de desarrollo es siempre a = 0 como en la
Transformada Zeta.
La mayor parte de las propiedades de la Transformadas
Unilateral son las mismas que las de la Bilateral.

 Diagrama de Bode Un caso particular de esta definición es la llamada

Transformada Zeta unilateral también llamada Causal que
corresponde a las sucesiones que tienen todos los términos de
la serie de potencias positivas nulos, es decir la serie sólo está
compuesta por los términos de potencias negativas y el término
independiente.

A la Transformada Zeta general se la denomina también como

Transformada Zeta bilateral.

La Transformada Zeta unilateral es la de mayor aplicación y es

esencialmente similar a la general salvo detalles que se
estudiarán por separado. Su utilidad mayor es análisis de los
sistemas causales regidos por ecuaciones en diferencias y con
 Cada estudiante realizará de manera individual, aportes condiciones iniciales (es decir, aquellos que en su inicio no se
teóricos (incluir ecuaciones con editor de word) sobre los encuentran en reposo).
siguientes temas:
La Transformada Zeta unilateral de una sucesión x[n] se puede
considerar como Transformada Zeta bilateral de la sucesión
1) ¿Qué es la transformada Z? x[n] u[n]

4) ¿Cómo se calcula los polos y ceros de una

La trasformada Z constituye una generalización de la transformada Z?
transformada de Fourier. Resulta de más utilidad en algunos
casos, dado que es más manejable analíticamente, y además, Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el
converge para un mayor conjunto de secuencias que la numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador
transformada de Fourier. tiene N raíces (llamadas polos). Los ceros son las soluciones de
la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras
2) ¿Qué representa Z en una función? que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a
cero el denominador.

La transformada Z juega en el estudio de los sistemas discretos Ceros: son los valores de z que hacen que H(z) = 0
el mismo papel que la transformada de Laplace en los sistemas Polos: son los valores de z que hacen que H(z) = ∞
analógicos. El objetivo consiste, básicamente en, aprender a La expresión racional compacta:
manejar la Transformada Z como herramienta en el estudio de
los sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
𝐵(𝑧)
∑𝑀 𝑏𝑘𝑧−𝑘 la función Z es una función usada para el estudio de
𝑋(𝑧) = 𝑘=0
=
𝐴(𝑧) ∑𝑁 𝑘=0 𝑎𝑘𝑧−𝑘
la función zeta de Riemann a lo largo de la recta crítica,
donde la parte real del argumento es 1/2. Es también llamada
Puede escribirse utilizando las raíces de los polinomios función Z de Riemann-Siegel o función zeta de Hardy. Ésta
numerador y denominador: puede ser definida en términos de la función theta de
 𝑏 (1 − 𝑧 𝑧−1)(1 − 𝑧 𝑧−1) … (1 − 𝑧 Riemann-Siegel y de la función zeta de Riemann como:
0 1 2 𝑀 𝑧−1)
𝑋(𝑧) =
𝐴0(1 − 𝑝1𝑧−1)(1 − 𝑝2 𝑧−1) … (1 − 𝑝𝑁𝑧−1) 1
𝑁−𝑀
(1 − 𝑧1)(1 − 𝑧2) … (1 − 𝑧𝑀) 𝑍(𝑡) = 𝑒𝒾𝜃(𝑡)Ϛ ( + 𝒾𝑡)
= 𝐺𝑧 (1 − 𝑝 )(1 − 𝑝 ) … (1 − 𝑝 ) 2
1 2 𝑁
Se dice que X (z) tiene:
3) ¿Cuál es la diferencia entre la transformada Z
• M ceros z1, z2,...
• N polos p1, p2,...
bilateral y la unilateral?
• Ganancia 𝑮 = 𝒃𝟎/𝒂𝟎
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del
La transformada Z puede mostrarse gráficamente mediante su tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define
diagrama de polos y ceros. Los polos se representan mediante ∞
aspas y los ceros mediante círculos 𝑋(𝑧) = 𝑍{𝑥[𝑛]} = ∑ 𝑥[𝑛]𝑧−𝑛
𝑛=−∞

5) ¿Qué es la respuesta en frecuencia de un sistema? donde n es un entero y z es, en general, un número

complejo de la forma
La respuesta en estado estable de un sistema sujeto a una señal
sinusoidal de amplitud () fija pero a una frecuencia () variable 𝑧 = 𝐴𝑒𝑗𝑤
en cierto rango. donde A es el módulo de z, y ω es el argumento de ese
complejo que bien podría representar la frecuencia angular
La respuesta de frecuencia es una característica de un sistema
que tiene una respuesta medida que es el resultado de una (pulsación) en radianes por segundo (rad/s).
entrada conocida aplicada.

La TZ unilateral; De forma alternativa, en los casos en

6) ¿Qué es la respuesta en fase de un sistema? que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la
transformada Z unilateral se define como:
APORTES OSCAR FERNANDO AVILES
∞
 Cada estudiante realizará de manera individual, aportes
teóricos (incluir ecuaciones con editor de word) sobre 𝑋 (𝑧) = 𝑍 {𝑥[𝑛]} = ∑ 𝑥[𝑛] 𝑧−𝑛
+ +

𝑛=0
los siguientes temas:
1) ¿Qué es la transformada Z? En el procesamiento de señales, se usa esta definición
cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z
Es un modelo matemático que se emplea entre otras resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo |𝑧| > 𝑅 ; es
aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales decir que converge "hacia afuera".
Digitales, como son el análisis y proyecto de Circuitos
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de
Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y
generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad
especialmente los Sistemas de Control de Procesos por
que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y
computadoras.
la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1.
Convierte una señal real o compleja definida en el dominio
Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la
del tiempo discreto en una representación en el dominio de
teoría de la probabilidad.
la frecuencia compleja.
Con la transformada Z tambien se obtiene una
representación de una secuencia, y las propiedades de la 4) ¿Cómo se calcula los polos y ceros de una
secuencia están vinculadas a las propiedades de su transformada Z?
transformada Z
En el tema correspondiente a la transformada de Laplace se
∞ mostró la manera en que el comportamiento de un sistema
𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑧−𝑛, 𝑧 ∈ ℂ de tiempo continuo podía deducirse de la posición de sus
𝑛=−∞ polos y ceros en el plano s.
2) ¿Qué representa Z en una función?
La ventaja de este procedimiento era que el diagrama de 𝑌(𝑧) (𝑧 − 𝑧1). (𝑧 − 𝑧2) … … (𝑧 − 𝑧𝑚)
polos y ceros se podía interpretar para obtener información 𝐻(𝑧) = = 𝐾.
sobre la respuesta en frecuencia de estado estable, el
comportamiento transitorio y la estabilidad del sistema.
Ahora se describirá un enfoque similar para representar el
comportamiento de sistemas de tiempo discreto.

Mediante el empleo de la transformada z ha sido posible

desarrollar modelos de secuencias y sistemas de tiempo
discreto en forma de cocientes de polinomios
 módulo y la fase, respectivamente de la respuesta en
6) ¿Qué es la respuesta en fase de un sistema? frecuencia; se tendrán entonces dos representaciones:
magnitud y fase. A modo de ejemplo se plantea determinar
Como ya se ha visto la respuesta en frecuencia modifica la repuesta en frecuencia (magnitud y fase) del sistema
la amplitud y fase de la señal de entrada a través del definido por la respuesta impulsional.
h(n)=0.1·[u(n)-u(n-9)]
𝑋(𝑧) (𝑧 − 𝑝1). (𝑧 − 𝑝2) … … (𝑧 − 9
−10
𝑝𝑛) 𝐻(𝑧) = 0.1 . ∑ 𝐻(𝑧) = 0.1 . 1 − 𝑧
𝑧−𝑘
Como en el caso de las funciones de variable de Laplace s, 1 − 𝑧−1
𝑘=0
los valores de z para los que el polinomio del numerador
Y(z) vale cero se conocen como ceros, {z1, z2, …. zm} y los
valores para los que el polinomio del denominador X(z) 𝐻(𝑧)| 𝑧=𝑒 𝑗𝑤 = 𝐻 (𝑒𝑗𝑤 ) 𝐻 (𝑒𝑗𝑤 )
vale cero se conocen como polos {p1, p2, …. pn} −4.5.𝑗.𝑤
𝑠𝑒𝑛(5𝑤)
= 0.1 . 𝑒
𝑠𝑒𝑛(𝑤)
Al igual que s, z es una variable compleja con una parte real
y una imaginaria, y las posiciones de los polos y los ceros
en valores específicos de z se pueden representar en un
diagrama de la misma manera que en plano s. No es de
sorprenderse pues que a este diagrama se le conozca
como plano z

5) ¿Qué es la respuesta en frecuencia de un sistema?

Se denomina respuesta en frecuencia a la respuesta en

estado estable de un sistema sujeto a una señal sinusoidal
de amplitud () fija, pero a una frecuencia () variable en
cierto rango.
A sin wt
sin(wt + Ø)
B sistema 1. Cada estudiante escogerá una (1) ecuación de diferencia de

La respuesta en estado estable a una entrada de este tipo

las expuestas a continuación, luego reportará en el foro su
será de la forma:
decisión, esto con el fin de que cada estudiante tenga una
𝐵 sin(𝑤𝑡 + ∅) ecuación diferente.
La representación gráfica de la entrada y respuesta en
𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1] − 𝑎2𝑦[𝑛 − 2]
estado estable está dada en la siguiente figura.

2. Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su

ecuación de diferencia.

En la práctica raras veces los sistemas de control están

sometidos a señales sinusoidales, pero la información que
se obtiene por el análisis sinusoidal se puede usar para
establecer la naturaleza de la respuesta a una gran variedad
de señales. Además, el análisis es conveniente para el
manejo analítico y experimental.
 ∞ ∞
−𝑛 −1
𝑌(𝑧) = 𝑏0 ∑ 𝑥[𝑛]𝑧 − 𝑎1𝑧 ∑ 𝑦[𝑙]𝑧−𝑙
𝑛=−∞ 𝑙=−∞
∞

− 𝑎2𝑧−2 ∑ 𝑦[𝑘]𝑧−𝑘
𝑘=−∞

Lo que queda en cada sumatoria será transformada Z, luego:

𝑌(𝑍) = 𝑏0𝑋(𝑧) − 𝑎1𝑧−1𝑌(𝑧) − 𝑎2𝑧−2𝑌(𝑧)

Despejamos la transformada Z de Y, entonces:

𝑌(𝑍) + 𝑎1𝑧−1𝑌(𝑧) + 𝑎2𝑧−2𝑌(𝑧) = 𝑏0𝑋(𝑧)
(1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2)𝑌(𝑧) = 𝑏0𝑋(𝑧)

Luego la transformada Z de la señal de salida es:

𝑏0𝑋(𝑧)
𝑌(𝑧) = 1 + 𝑎 𝑧−1 + 𝑎 𝑧−2
1 2
https://www.draw.io/
4. Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de diferencia,
cada estudiante hallará la función de transferencia del sistema
H(Z).
𝑏0𝑋(𝑧)
3. Cada estudiante realizará la transformada Z de la ecuación de () 𝑌(𝑧) 1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2 𝑏0
diferencias. Esta debe realizarse en el editor de ecuaciones de =
𝐻 𝑧 = 𝑋(𝑧) = 𝑋(𝑧) 1 + 𝑎 𝑧 + 𝑎 𝑧−2
−1

1 2
Word.

𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1] − 𝑎2𝑦[𝑛 − 2]

∞

𝑌(𝑧) = ∑ 𝑦[𝑛]𝑧−𝑛 5. Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la

𝑛=−∞ respuesta en frecuencia del sistema, remplazando:
∞
𝑧 = 𝑒𝑗𝑤
𝑏0 𝑏0
= ∑ ( 𝑏0𝑥[𝑛] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1] − 𝐻(𝑧) =
𝑎2𝑦[𝑛 −1 −2 =
1 + 𝑎 1𝑧 + 𝑎 2𝑧 1 + 𝑎1𝑒−𝑗𝑤 + 𝑎 𝑒2
−2𝑗𝑤
𝑛=−∞
− 2])𝑧−𝑛
∞ ∞
−𝑛
𝑌(𝑧) = 𝑏0 ∑ 𝑥[𝑛]𝑧 − 𝑎1 ∑ 𝑦[𝑛 − 1]𝑧−𝑛 6. Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del sistema, se
𝑛=−∞
∞
𝑛=−∞ hallará la magnitud de la respuesta en frecuencia, para ello se
aplicará la identidad de Euler, que según el caso se podría
− 𝑎2 ∑ 𝑦[𝑛 − 2]𝑧−𝑛 utilizar cualquiera de las siguientes ecuaciones:
𝑛=−∞
𝑒𝑗𝑤 = cos(𝑤) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑤)
Hacemos cambio en la segunda sumatoria: 𝑙 = 𝑛 − 1 → 𝑛 = 𝑒−𝑗𝑤 = cos(𝑤) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑤)
𝑙+1 𝐻(𝑤)
Hacemos cambio en la tercera sumatoria: 𝑘 = 𝑛 − 2 → 𝑛 = 𝑘 + 𝑏0
=
2 1 + 𝑎 1(cos(𝑤) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑤)) + 𝑎 (cos(2𝑤)
2 − 𝑗𝑠𝑒𝑛(2𝑤))
Aplicamos estas sustituciones y obtenemos: 𝐻(𝑤)
∞ ∞ = 𝑏
𝑌(𝑧) = 𝑏 ∑ 𝑥[𝑛]𝑧−𝑛 − 𝑎 [1 + 𝑎 cos(𝑤) + 𝑎 cos(2𝑤)]0− 𝑗[𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑤) + 𝑎 𝑠𝑒𝑛(2𝑤)]
∑ 𝑦[𝑙]𝑧−
(𝑙+1)
0 1 1 2 1 2
𝑛=−∞ 𝑙=−∞
∞
7. Para hallar la función de magnitud, recordar utilizar la
− 𝑎2 ∑ 𝑦[𝑘]𝑧−(𝑘+2) siguiente ecuación: |𝑎 + 𝑏𝑗| = √𝑎2 + 𝑏 2
𝑘=−∞
∞ ∞ 𝐴
𝑌(𝑧) = 𝑏0 ∑ 𝑥[𝑛]𝑧−𝑛 − 𝑎1 ∑ 𝑦[𝑙]𝑧−𝑙𝑧−1 = √[1 + 𝑎1 cos(𝑤) + 𝑎2 cos(2𝑤)]2 + [𝑎1𝑠𝑒𝑛(𝑤) + 𝑎2𝑠𝑒𝑛(2𝑤)]2
𝑛=−∞ 𝑙=−∞ 𝐴 = √1 + 𝑎12 + 𝑎22 + 2𝑎1(1 + 𝑎2) cos(𝑤) + 2𝑎2 cos(2𝑤)
∞
𝑏0 𝑏0
− 𝑎2 ∑ 𝑦[𝑘]𝑧−𝑘𝑧−2 𝐻(𝑤) = = 𝑒−𝑗𝜃
𝐴𝑒𝑗𝜃 𝐴
𝑘=−∞
La amplitud cuadrada de la función de respuesta de frecuencia
será:
2 Ecuaciones de diferencia:
𝐻(𝑤)2 = 𝑏0
𝐴2 𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] + 𝑎1𝑦[𝑛 − 1]
= 𝑏2
1 + 𝑎 + 𝑎 2 + 2𝑎 (1 + 𝑎 )0cos(𝑤) + 2𝑎 cos(2𝑤)
2
 1 2 1 2 2

La amplitud de la función de respuesta en frecuencia es:

|𝐻(𝑤)|
𝑏0
=
√1 + 𝑎12 + 𝑎22 + 2𝑎1(1 + 𝑎2) cos(𝑤) + 2𝑎2 cos(2𝑤)

Se hallará la función que represente la respuesta en Fase del

sistema:
−𝑎1𝑠𝑒𝑛(𝑤) − 𝑎2𝑠𝑒𝑛(2𝑤)
tan(𝜃) = 1 + 𝑎1 cos(𝑤) + 𝑎2 cos(2𝑤)

Tenemos que: tan(−𝜃) = −tan(𝜃)

−𝑎1𝑠𝑒𝑛(𝑤) − 𝑎2𝑠𝑒𝑛(2𝑤)
tan(𝜃) = 1 + 𝑎1 cos(𝑤) + 𝑎2 cos(2𝑤)
𝑎1𝑠𝑒𝑛(𝑤) + 𝑎2𝑠𝑒𝑛(2𝑤)  Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de
=
1 + 𝑎 1cos(𝑤) + 𝑎 cos(2𝑤) su ecuación de diferencia en la página de internet:
https://www.draw.io/
𝑎1𝑠𝑒𝑛(𝑤) + 𝑎2𝑠𝑒𝑛(2𝑤)
θ = 𝑡𝑎𝑛−1 [ 1 + 𝑎1 cos(𝑤) + 𝑎2 cos(2𝑤)
] Para ingresar a la aplicación, deben dar click donde
aparece: “Decide Later”. Una vez realicen el
diagrama, pueden tomar pantallazo y copiarlo al
informe.
8. Realizar simulación en Matlab (Simulink), para hallar los
siguientes diagramas: NOTA: También puede realizarlo en otro software
 Respuesta al impulso del sistema que permita realización de diagramas de flujo, no se
tendrán en cuenta diagramas encontrados y/o copiados
de internet.

Rta.:

 Diagramas de polos y ceros

 Diagrama de Bode
 Cada estudiante realizará la transformada Z de la
APORTES JEFERSON MORENO CABRERA ecuación de diferencias. Esta debe realizarse en el
editor de ecuaciones de Word. No se aceptan
 Cada estudiante escogerá una (1) ecuación de pantallazos.
diferencia de las expuestas a continuación, luego
reportará en el foro su decisión, esto con el fin de que
cada estudiante tenga una ecuación diferente. Ecuaciones características para la transformada Z:

𝑦[𝑛] = 𝑦(𝑧) Donde a y b son los coeficientes del número imaginario

𝑥[𝑛] = 𝑥(𝑧)
(𝒂 + 𝒃𝒋)
𝑥[𝑛 − 𝑘] = 𝑥(𝑧)𝑧−𝐾 ------------ 𝑥[𝑛 − 𝑘] = 𝑥(𝑧)𝑧−1
𝑦[𝑛 − 𝑘] = 𝑦(𝑧)𝑧−𝐾------------------ 𝑦(𝑧)𝑧−1
 Se hallará la función que represente la respuesta en
Reemplazando por las ecuaciones anteriores tenemos: Fase del sistema, recordar utilizar la siguiente
𝑦[𝑧] = 𝑎1𝑦(𝑧)𝑧−1 + 𝑏0𝑥(𝑧) + 𝑏1𝑥(𝑧)𝑧−1 ecuación:
Se organiza la ecuación para definir por último la transformada
𝒃
Z: 𝒚[𝒛] = 𝒙(𝒛)(𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒛−𝟏) + 𝒚(𝒛)(𝒂𝟏𝒛−𝟏)
 Ɵ(𝒂 + 𝒃𝒋) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( )
 Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de 𝒂
diferencia, cada estudiante hallará la función de
Donde a y b son los coeficientes del número imaginario
transferencia del sistema H(Z). Esto también se
(𝒂 + 𝒃𝒋)
realizará con el editor de ecuaciones de Word.
Recordar que la función de transferencia es:

𝒀(𝒁)
𝑯(𝒁) =
𝑿(𝒁)
Rta.: REFERENCIAS
Lo que se procede es a factorizar la transformada Z:
𝒚(𝒛) = 𝒙(𝒛)(𝒃𝟎 + 𝒃 𝟏 𝒛−𝟏 ) + 𝒚(𝒛)(𝒂𝟏𝒛−𝟏) [1] Robayo, F. (2013). Procesamiento Digital de Señales. (pp. 70-76). Neiva:
𝒚(𝒛) − 𝒚(𝒛)(𝒂𝟏𝒛−𝟏) = 𝒙(𝒛)(𝒃𝟎 + 𝒃 𝟏 𝒛−𝟏 ) UNAD. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11276
𝒚(𝒛)(𝟏 − 𝒂𝟏𝒛−𝟏) = 𝒙(𝒛)(𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒛−𝟏) [2] Alvarado, J. (2011). Procesamiento Digital de Señales. (pp. 197-219).
𝒚(𝒛) 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒛 −𝟏 Tecnológico de Costa Rica: Escuela de Ingeniería Electrónica. Recuperado
= de: http://www.ie.itcr.ac.cr/palvarado/PDS/pds.pdf
𝒙(𝒛) 𝟏 − 𝒂𝟏𝒛−𝟏 [3] Robayo, F. (2013). Procesamiento Digital de Señales. (pp. 77-98). Neiva:
𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒛−𝟏 UNAD. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11276
𝑯(𝒛) = [4] Robayo, F. (2013). Procesamiento Digital de Señales. (pp. 99-113). Neiva:
𝟏 − 𝒂𝟏𝒛 −𝟏 UNAD. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11276
[5] Ambardar, A. (2002). Función de Transferencia. In Procesamiento de
 Una vez se tenga la función de transferencia, se señales analógicas y digitales (2nd ed., pp. 602-605).
hallará la respuesta en frecuencia del sistema, Mexico City, Mexico: Cengage Learning. Recuperado
remplazando: de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2619/apps/doc/CX4
060300185/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid=08e5cfda
[6] Ambardar, A. (2002). Respuesta de Frecuencia. In
𝒁 = 𝒆𝒋𝒘 Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed.,
Rta.: pp. 621-623). Mexico City, Mexico: Cengage Learning. .
𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒛−𝟏
𝑯(𝒛) = 𝟏 − 𝒂 𝒛−𝟏 Recuperado
𝟏
𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒆𝒋𝒘−𝟏 de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2619/apps/doc/CX4
060300189/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid=ae0feae6
𝑯(𝒛) = 𝟏 − 𝒂 𝒆𝒋𝒘−𝟏 [7] García Martínez, M. (05,07,2017). Procesamiento Digital de Señales
𝟏
- Análisis de un sistema discreto mediante ecuaciones de diferencia.
[Archivo de video]. Recuperado
 Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del de http://hdl.handle.net/10596/12520
sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en [8] Adar, A. (2002). Transformada z. In Procesamiento de señales
analógicas y digitales (2nd ed., p. 592). Mexico City: Cengage Learning.
frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler, Recuperado de
que según el caso se podría utilizar cualquiera de las http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2619/apps/doc/CX4
siguientes ecuaciones: 060300180/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid=d11fa7cc

𝒆𝒋𝒘 = 𝐜𝐨𝐬(𝒘) + 𝒋𝒔𝒊𝒏(𝒘)

𝒆−𝒋𝒘 = 𝐜𝐨𝐬(𝒘) − 𝒋𝒔𝒊𝒏(𝒘)

Para hallar la función de magnitud, recordar utilizar la

siguiente ecuación:
⃓𝒂 + 𝒃𝒋 ⃓= √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐