Tema 4 Dibujo Tecnico 1obachillerato Sandoval PDF
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OBJETIVOS
1. Entender la circunferencia como una de las figuras más ad- 2. Recordar las propiedades y posibilidades de los ángulos en 3. Conocer el razonamiento de los diversos procedimientos
miradas de todos los tiempos por su singular perfección y una circunferencia como fundamento de diversas aplicacio- geométricos que conducen a rectificar una circunferencia o
su importantísimo papel en el campo de la técnica. nes prácticas. parte de la misma.
Es la línea curva, cerrada y plana, cuyos flecha arco CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA e
tangente exterior
puntos equidistan de otro fijo (O) llamado Pueden darse tres posiciones diferentes:
centro. T
cuerda • Recta exterior a la circunferencia.
• Longitud de una circunferencia. Distan- di
o
Ambas líneas no tienen puntos en común. t
cia que se recorre al moverse sobre la cir- O ra
La distancia del centro a la recta es mayor
cunferencia, volviendo al mismo punto. diámetro que el radio de la circunferencia.
• Radio. Distancia de los puntos de la circun- secante • Recta tangente a la circunferencia. O
s
ferencia al centro O de la misma. Ambas líneas tienen un punto común ( T ) . secante
• Arco. Parte de la circunferencia compren- tangente La tangente es perpendicular al radio de la
dida entre dos puntos. circunferencia en el punto de tangencia.
• Flecha. Altura del arco, medida perpendicu- • Recta secante a la circunferencia.
larmente a la cuerda, pasando por el centro. CÍRCULO Ambas líneas tienen dos puntos comunes.
• Semicircunferencia. Arco que correspon-
de a media circunferencia. 5 POSICIONES RELATIVAS DE
• Ángulo central. El formado por dos radios. T
DOS CIRCUNFERENCIAS
• Cuerda. Segmento que une dos puntos de O1 O2 O1 O2
la circunferencia. Secuenciando el acercamiento de una cir-
cunferencia respecto a otra, pueden esta-
• Diámetro. Cuerda que pasa por el centro
blecerse seis posiciones relativas: r1 r2 r1 r2
de la circunferencia; el diámetro es la mayor Círculo Semicírculos
cuerda y vale dos veces el radio. 5.1 Circunferencias exteriores.
O1 O2 = r1 + r2
• Secante. Línea que corta a la circunferen- Aquellas circunferencias que no tienen nin-
cia en dos partes. gún punto en común. El centro de cada 5.1 Exteriores. 5.2 Tangentes
• Tangente. Línea que toca a la circunferen- O1 una no pertenece al círculo de la otra. exteriores.
cia en un punto, y sólo en uno. O2 5.2 Circunferencias tangentes exteriores. r1 r1
Cuando ambas circunferencias tienen un
2 CÍRCULO Corona circular
punto en común ( T ) . La distancia entre
Lúnula
centros es igual a la suma de sus radios. T
• Círculo. Superficie limitada por la circun- convexo O1 O2 O1 O2
ferencia. 5.3 Circunferencias secantes.
• Semicírculo. La mitad de un círculo. Son aquéllas que tienen dos puntos co-
Faja munes. La distancia entre sus centros es r2 r2
• Corona circular. Superficie limitada por dos
circunferencias concéntricas. cóncavo
menor que la suma de sus radios.
O1 O2 = r1 - r2
• Lúnula. Superficie no común a dos circun- 5.4 Circunferencias tangentes interiores.
ferencias secantes. Segmentos circulares Sectores circulares Cuando las circunferencias tienen un punto 5.3 Secantes. 5.4 Tangentes
• Segmento circular. Superficie limitada por en común ( T ) . La distancia entre sus cen- interiores.
un arco y su cuerda correspondiente. tros es igual a la diferencia de sus radios. r1
PROPIEDADES
• Faja circular. Porción de círculo limitada D 5.5 Circunferencias interiores.
por dos cuerdas paralelas. B
No tienen ningún punto común. El centro de
• Sector circular. Porción de círculo com- una de ellas, pertenece al círculo de la otra.
prendido entre dos radios y el arco que abar- O1O2 O1 O2
can. Pueden ser: convexos o cóncavos. 5.6 Circunferencias concéntricas.
C
Cuando sus centros coinciden.
A r2
3 PROPIEDADES
Eje de simetría AB = CD AB = CD 6 ÁNGULOS EN LA 5.5 Interior una 5.6 Concéntricas.
• «Cualquier diámetro divide a la circunfe- a la otra.
A CIRCUNFERENCIA
rencia en dos partes iguales». B
• «Si dos arcos de la misma circunferencia, Según la posición del vértice de un ángulo
con respecto a una circunferencia, éste ÁNGULOS EN
o de circunferencias iguales, son iguales, O LA CIRCUNFERENCIA
también lo serán sus cuerdas y viceversa». C A puede ser: central , inscrito , semiinscrito ,
M exterior e interior .
• «Todo diámetro perpendicular a una cuer- C D B
da, divide a ésta y a los dos arcos que a O La medida del ángulo está en función del
arco o arcos que abarcan sus lados.
ella corresponden en dos partes iguales». B O α α = AB
• «La mediatriz de una cuerda es diámetro CM = MD = CD / 2 6.1 Ángulo central.
de la circunferencia». AC = AD = CAD / 2 Su vértice está situado en el centro de la
Circunferencia que pasa 6.1 Ángulo central.
• «Por tres puntos no situados en línea recta
BC = BD = CBD / 2 por tres puntos dados circunferencia y sus lados son radios; y su A
pasa una circunferencia». medida la de su arco.
47
6.2 Ángulo inscrito. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 7 ARCO CAPAZ ARCO CAPAZ
Su vértice está en la circunferencia y sus lados V Es el lugar geométrico de los puntos del pla- P
son cuerdas de la misma.
no desde los cuales se ve un segmento da-
El valor del ángulo es la mitad del central cuyos α=β/2 do, del mismo plano, bajo un mismo ángulo.
lados pasan por los extremos de la cuerda. α
α El trazado de un arco capaz de un ángulo α
Para demostrarlo consideremos un ángulo ins- O V
(cualquiera) para un segmento AB , consiste en
crito con un lado como diámetro de la circunfe- γ s
dibujar un arco de circunferencia de forma que
β
rencia. En el triángulo isósceles AOV , se tiene: α los ángulos inscritos en ella, que determinan O
α = γ ; y el ángulo exterior β = α + γ = 2 α A una cuerda AB , tengan un valor α .
α = β/2 B
O γ
por tanto: Si el ángulo inscrito mide α , el central valdrá A B
En general, para un ángulo inscrito con sus la- M 2 α y, consecuentemente, considerando el
dos cuerdas cualesquiera, como el ©MVN de β triángulo OAB su ángulo γ valdrá: 90°
α
la figura adjunta, se verificará que: N O’
6.2 Inscritos.
γ = (180° - 2α ) / 2 = 90° - α
α = β/2 r
Por tanto, para construir un arco capaz de un
6.3 Ángulo semiinscrito. V ángulo α dado, cuyos lados pasen por dos m
puntos A y B , se procede como sigue:
Su vértice está en la circunferencia y sus lados
- Por A se traza el ángulo α dado y la recta s
lo forman una cuerda y una tangente.
O γ α
Su valor, como en un inscrito, es la mitad del α=β/2 perpendicular a r , que corta a la mediatriz m
β en el punto O , centro del arco capaz. Pueden darse dos soluciones, ambas
central, cuyos lados pasan por los extremos de
- Con centro O y radio OA = OB se dibuja el ar- simétricas respecto al segmento AB.
la cuerda.
co capaz, lugar geométrico de todos los pun-
Como © OVB es recto y el triángulo AOV es B
A tos que miran con el mismo ángulo los extre-
isósceles, se cumple que:
mos del segmento AB . RECTIFICACIÓN DE ARCOS
α = 90° - γ = 90° - (180° - β ) / 2 6.3 Semiinscrito. DE CIRCUNFERENCIA
esto es: α = β/2
V 8 RECTIFICACIÓN APROXIMADA DE
6.4 Ángulo exterior.
α = (β - γ) / 2 D ARCOS DE CIRCUNFERENCIA r
Su vértice es exterior a la circunferencia y sus α 3
lados son secantes o tangentes a ella. r
En Geometría, se entiende por rectificación el
Su valor es igual a la semidiferencia de los án-
A γ C
determinar, sobre una línea recta, la longitud de 4
gulos centrales que abarcan sus lados. O una curva, de un arco o de una circunferencia.
6.4.1 Exterior. β l3
6.4.1 Caso de que sus lados sean secantes. 8.1 Rectificación de una semicircunferencia. 2 r l4
En el triángulo ACV que se forma, se cumple:
La longitud de la semicircunferencia es igual a
α = 180° - ©VAC - (180° - ©ACB ) V B la suma de los lados del triángulo equilátero
α = 180° - γ / 2 - (180° - β / 2 ) α ( l 3 ) y el cuadrado ( l 4 ) inscritos en ella.
A
1
B
48
1
α
d2
O d1 O
C B β = 2α β = 2α
360° 360°
10 10
A 67° 30’
ESQUEMA DE LACERÍA
DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA
En ambos casos, el polígono regular inscrito a la circunferencia es un decágono. Los ángulos α (inscritos) señalados en cada
uno de ellos valdrán la mitad del ángulo central que abarcan sus cuerdas.
30
3
B r
A
r
30
O P
P
O mPA
mAB
COMENTARIO A SU TRAZADO
Haciendo uso de la propiedad de la circunferencia que dice: «Si dos arcos de la misma circunferencia son iguales,
también lo serán sus cuerdas, y viceversa»; se procede como sigue:
- Con centro en el punto P y radio 30 mm., se traza un arco que corta a la recta r en el punto A.
- Con centro en el punto A y radio 30 mm., se lleva un arco sobre la recta r, obteniendo el punto B.
e: 2 / 1 - La circunferencia solución tendrá su centro O en la intersección de las mediatrices de los segmentos PA y AB.
VERIFICACIONES
1. ¿Qué ÁNGULOS
ÁNGULOSpueden
puedendarse
darserespecto
respectoaauna
unaCIRCUNFERENCIA?
CIRCUNFERENCIA?¿Qué VALOR
¿Qué toma
VALOR cada
toma unouno
cada de de
ellos en en
ellos función deldel
función ÁNGULO CENTRAL?
ÁNGULO CENTRAL?
V
V C
D
V α
α D
A
α
A γ C γ
O O O γ α V O
α β β
O
β
M
β α
A
N B
B B B
A
Ángulo central Ángulos inscritos Ángulo semiinscrito Ángulo exterior Ángulo interior
α = AB α=β/2 α=β/2 β – γ) / 2
α = (β β + γ) / 2
α = (β
C V
c
α δ
A
O
γ µ
O
DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA
β
Demostremos que α =
2
ε µ
En la figura: α=γ+δ y β=ε+µ Como: γ= y δ=
2 2
ε µ 180° β
Sustituyendo, se tiene: α= + = = = 90° Esto es: α = 90°
2 2 2 2
50
1
1 2
30°
A B
B 45°
30°
C
75°
O1 O
O2
30°
A
30°
Punto de penalti
V1
3 α
V2 4
β
T1 P1
60° 45° B
180° - α 180° - β T’2 D
T’1 T2
O1 O2 4 3 2 1 O C
7 6 5
O1 O2 A
60° 45°
l4
P2 l3
COMENTARIO A SU TRAZADO
- Se comienza por construir los ángulos centrales suplementarios a los dados en las respectivas circunferencias, B
trazando, posteriormente, las perpendiculares a sus lados por los puntos comunes con la circunferencia. A
- Concéntricamente a las circunferencias se trazan arcos de radios O 1V 1 y O 2V 2 que se cortan en los puntos Rectificación del arco AB CD
P1 y P2, soluciones del problema.
Recuérdese que en todo cuadrilátero, cuando dos de sus ángulos son rectos, los otros dos son, necesariamente,
πr
suplementarios, esto es, suman 180°. En la figura, los cuadriláteros V 1T 1O 1T’ 1 y V 2T 2O 2T’ 2 tienen las pa-
rejas de ángulos opuestos que suman 180°; esto es: ©V1 + ©O 1 = 180° y ©V2 + ©O2 = 180°.
VERIFICACIONES
1. Dados dos SEGMENTOS
SEGMENTOS CONSECUTIVOS
CONSECUTIVOSen
enlínea
línearecta:
recta:m
m==30
30mm.
mm. yy nn==50
50mm.,
mm., 2.2. Dada
DadalalaCIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA c de
c de
centro
centroO,O,
se se
pide:
pide:
se pide: Rectificar
Rectificarelelarco
arcoAB,
AB,equivalente
equivalenteaalalaCUARTA
CUARTAPARTE
PARTE
dede
la la
circunferencia.
circunferencia.
Determinar el
el PUNTO
PUNTOexterior
exteriorPPdesde
desdeelelcual
cualsese
vean
vean
AMBOS
AMBOS
SEGMENTOS
SEGMENTOS
bajobajo
un
MISMO
un MISMO
ÁNGULO
ÁNGULOα deα60°.
de 60°.
O r B
O2
60° 60°
= r 3
O1
r 2
mm n n
α = 60° α = 60°
=
A
πr
P’
30 50
COMENTARIO A SU TRAZADO
El punto P, intersección de los arcos capaces de 60° desde los cuales se
observan los segmentos m y n bajo dicho ángulo, es solución del ejercicio
propuesto.
Asimismo, el punto P’, simétrico del P respecto al segmento total, también
es solución.
π r /2
52
1