Casos de Factorizacion
Casos de Factorizacion
Casos de Factorizacion
Presentado por:
Presentado a: Duvan
Asignatura: Matematicas
Jornada Única
Grado 11-2
CASOS DE FACTORIZACION
Ejemplo
1 ¿Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10 ac?
El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es
a, por lo tanto:
5a2 - 15ab - 10 ac
= 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c
= 5a (a - 3b - 2c )
2 ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z?
Entre los coeficientes es el 6, o sea:
6·2x + 6·3y - 6· 4z
= 6(2x + 3y - 4z)
TALLER
Halla el factor común de los siguientes ejercicios:
EJEMPLO
A. AX+BX+AY+BE=(A+B)(X+Y)
B. AM-BM+AN-BN
1 (AM-BM)+(AN-BN)
2 M(A-B)+N(A-B)
3 (A-B)(M+N)
C. AX-2BX-2AY+4BY
1 (AX-2BX)-(2AY-4BY)
2 X(A-2B)-2Y(A-2B)
3 (A-2B)(X-2Y)
TALLER
EJEMPLO
a) a2 + 2ab + b2 = (a + b)
b) 4x2 – 20xy + 25y2 = (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)2
c) 16 + 40x2 + 25x4 = (4 + 5x2) (4 + 5x2) = (4 + 5x2)2
d) 9b2 – 30a2b + 25a4 = (3b – 5a2) (3b – 5a2) = (3b – 5a2)2
e) 400x10 + 40x5 + 1 = (20 x5 + 1) (20 x5 + 1) = (20 x5+ 1)2
TALLER
EJEMPLO
a) x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
b) x2 - y2 = (x + y).(x - y)
c) b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)
d) x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
e) 36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
TALLER
5. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION:
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer términos son
cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta), pero su segundo
términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
EJEMPLO: M4+6M2+25
X4+3X2+4
+X2 -X2 Se suma y se resta X2
----------------------
(X4+4X2+4)-X2 Se asocia convenientemente
Entonces: X4+3X2+4=(X2-X+2)(X2-X+2)
TALLER
a) A4+A2+1
b) M4+M2N2+N4
c) X8+3X4+4
d) A4+2A2+9
e) A4-3A2B2+B4
f) 4X4-29X2+25
g) 16M4-25M2N2+9N4
h) 25A4+54A2B2+49B4
i) 81M8+2M4+1
j) 49X8+76X4Y4+100Y8
6. TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C
Expresiones como X2+5X+6, A4+3A2-10, son trinomios de la forma
X2+BX+C.
Los trinomios de esta forma tienen las siguientes características:
Esto quiere decir, que la suma o resta de estos dos números sea igual al
coeficiente del segundo término y su producto sea el tercer término; los
signos de los factores es: en el primer factor se escribe el signo del
segundo término del trinomio y para el segundo factor se multiplican el
signo del segundo término con el signo del tercer termino.
EJERCICIO
A) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
B) a4 - 7a2 - 30 = (a2 - 10)(a2 + 3)
C) m2 + abcm - 56a2b2c2 = (m + 8abc)(m - 7abc)
TALLER
EJEMPLO
FACTORIZAR 15X4-23X2+4
15(15X4-23X2+4)
15
Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término.
(15x2)2-23(15x)+60
15
Se resuelve el producto del primero y tercer termino dejando indicado el
segundo termino.
(15x2-20)(15x2-3)
15
Se factoriza como en el caso del trinomio de la forma x2+bx+c, osea, se
buscan dos números que multiplicados den 60 y sumados 23.
5(3x2)3(5x2-1)
5*3
Se factorizan los dos binomios resultantes sacándoles factor común
monomio, se descompone el 15 y por ultimo dividir.
15X4-23X2+4=(3X2-4)(5X2-1)
TALLER
a) 2X2+3X-2
b) 3X2-5X-2
c) 6X2+7X+2
d) 5X2+13X-6
e) 6X2-5X-6
f) 12X2-X-6
g) 4A2+15A+9
h) 10X2+11X+3
i) 12M2-13M-35
j) 20Y2+Y-1
EJEMPLO
La raíz cuadrad de 8A3B6 es 2AB2 por que:
(2AB2) = (2AB2)(2AB2)(2AB2) = 8A3B6
EJERCICIO
Verificar si el siguiente polinomio es cubo perfecto y factorizarlo.
8X3+12X2+6X+1
8X3+12X2+6X+1 = (2X+1)3
TALLER
A. X3+6X2+12X+8
B. X3-9X
C. 2+27X-27
D. –X3-75X-15X2-125
E. 64X3+144X2+108X+21
F. A3B3+3A2B2X+3ABX2+X3
G. X6+6X4+12X2+8
H. 8X3+36X2+54X+27
I. A3X3+6X2A2B+12AXB2+8B3
J. –X3-12X2-48X-64
K. 8-36X+54X2-27X3
A3+=(A+B)(A2-AB+B2)
La suma de dos cubos perfectos, es igual a la suma de sus raíces
cubicas, (A+B); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cubica. A2
menos el producto de las dos raíces cubicas, AB, mas el cuadrado
de la 2° raíz cubica B2.
27M6+64N9=
(3M2+4N3)(9M4-12M2N3+16N6) solución
A3-B3= (A-B)(A2+AB+B2)
La diferencia de dos cubos perfectos, es igual a la diferencia de sus
raíces cubicas; (A-B); multiplicado por el cubo de la 1° raíz cubica;
A2, mas el producto de las dos raíces cubicas, AB, mas el cuadrado
de la 2° raíz cubica B2.
EJEMPLO
Descomponer en dos factores 8X3-125
1. Se encuentra las raíces cubicas de:
8X3=2X
125=5
2. Desarrollando la regla:
Suma de la 1°raíz cubica: (2X)2=4X2
Producto de las dos raíces cubicas: (2X)(5)=10X
Cuadrado de la 2° raíz cubica: (5)2=25
8X3-124 = (2X-5)(4X2+10X+25) Solución.
TALLER
(M4-M3N+M2N2-MN3+N4)
(M4+M3N+M2N2+MN3+N4)
TALLER
a) A5+1
b) A5-1
c) 1-X5
d) A7+B7
e) M7-N7
f) A5+243
g) 32-M5
h) 1+243X5
i) X7+128
j) 243-32B5
k) A5+B5C5
l) A7-2187
m) M7-A7X7
n) X10+32Y5
o) 1+284X4