Anteproyectodinamica
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ANTEPROYECTO DE TESIS
Maestría en Matemáticas
Título
Dinámica y aplicaciones mazclantes y débil mezclantes en
espacios de sucesiones
Sustentante
Emmanuel Vásquez Otáñez
Asesor
Dr. Víctor José Galán Céspedes
ii
TESIS
Maestría en Matemáticas
Tribunal evaluador
Presidentes:
Secretario:
Vocal:
iii
Índice general
1. INTRODUCCIÓN. 1
1.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1. Antecedentes históricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2. Antecedentes académicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Planteamiento del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1. General. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2. Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Justificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Delimitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. MARCO REFERENCIAL. 10
2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Marco teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Espacio vectorial topológicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2. Espacios métricos y normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4. Espacios de sucesiones de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.5. Espacios de sucesiones normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.6. Sistema dinámico discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.7. Transitividad topológica y Caos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.8. Aplicaciones mezclantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.9. Aplicaciones debil mezclantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iv
3. DISEÑO METODOLÓGICO. 32
3.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Marco metodológico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1. Método. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2. Diseño. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3. Tipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4. Enfoque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Procedimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Referencias bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
v
1
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN.
1.1. Introducción.
En este capitulo I se examinaran los lineamientos básicos o introductorios de
esta investigación, mediante el abordaje de los antecedentes, el planteamiento del
problema, los objetivos, la justificación y la delimitación que marca los parámetros y
alcances de la misma.
1.2. Antecedentes.
Según Olivares (1994 [34], el cao se remota por lo menos hasta decada de los 90,
cuando Poincaré estudió la estabilidad del sistema solar y revolucionó el estudio de las
ecuaciones diferenciales no-lineales introduciendo técnicas cuanlitativas geométricas
en lugar de los estrictos métodos analiticos para discutir las propiedades globales de
3
En 1929 Birkhoff (1929)[40] probó la existencia de una función entera g(z) cu-
yo conjunto traslada g(z + a) : a C es denso en H(C). Posteriormente, en 1952,
MacLane [30] construyó una función entera cuya sucesión de derivadas aproxima uni-
formemente en compactos de C a cualquier otra función entera. Estos dos teoremas,
ya clásicos, se consideran el punto de partida de una línea de investigación dentro del
Análisi: la hiperciclicidad, que en las últimas décadas, y gracias a ténicas de Análisis
Funcional, ha adquirido una identidad propia. Dado un espacio topológico X, una
aplicación continua T : X → X se dice hipercíclica si existe un elemneto x ∈ X.
También Birkhoff G. D.1929 [40], encontró un ejemplo de operador lineal que poseía
un aspecto importante de lo que más adelante se definiría como caos: la existencia de
una órbita densa. Más tarde, en 1952, MacLane encontró el mismo fenómeno en el
operador diferencial, que es fundamental en análisis.
5
operador T satisface las hipótesis del criterio. Este resultado puede traducirse en el
siguiente modo: la afirmación "T es hiperciclico ⇔ T ⊕ T es hipercíclico.es equiva-
lente a decir que las condiciones del criterio de hiperciclicidad son necesarias para
la hiperciclicidad de un operador T . Este problema fue planteado originalmente por
D. Herrero [42] y dio lugar a numerosos trabajos (ver por ejemplo [43], [44] y [45]).
Entre los que se encuentran versiones equivalentes de un operador sea débil mezcla.
6
El problema planteado por D. Herrero es reconocido como uno de los problemas mas
interesantes de la teoría, y permaneció sin solución durante 15 años. Finalmente, M.
De La Rosa Y C. Read en 2006 probaron la existencia de operadores hiperciclicos en
espacios de Banach que no satisfacen el criterio de hiperciclicidad [32]. Más aún, en
2007, F. Bayart y É. Matheron [29] muestran diversos ejemplos en espacios de Banach
clásicos, como por ejemplo en c0 (N) ◦ `p (N).
Las sencillas aplicación que brinda condiciones suficientes para que un operador
sea hipercíclicos; este resultado fue redescubiertos por R. M: Gethner y J.H. Shapiro
8
1.4. Objetivos.
1.4.1. General.
1.4.2. Específicos.
1.5. Justificación.
Durante muchos años, el interés en el estudio de las aplicaciones mezclantes y
débil mezclantes en el contexto de los espacios de sucesiones, se han incrementado
debido al estudio de sistemas que tienen comportamiento dinámico y caótico. Esta
investigación estará enfocada en el campo de análisis funcional, indispensablemente
porque resulta válidos los teoremas mas importantes del mismos.
1.6. Delimitación.
Está investigación se enmarca en el campo de la matemática pura, ya que la
hiperciclicidad y el caos, como contenido del análisis funcional, forman parte de ella
y en estos tiempos estos conceptos están siendo estudiados en muchos sentidos, por
lo que se considera muy importante dar a conocer la dinámica y estado del arte de la
línea de investigación que científicamente le dan sustento.
10
CAPÍTULO II
MARCO REFERENCIAL.
2.1. Introducción.
En este capítulo se presentarán unas series de conceptos, definiciones, proposicio-
nes, teoremas, lemas y demostraciones., que nos servirán de apoyo, soporte y referente
conceptual de esta investigación siguiendo los diferentes autores.
1. Si x, y ∈ X, entonces x + y ∈ X.
2. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X.
3. Existe un vector ~0 ∈ X : ∀x ∈ X, x + ~0 = ~0 + x = x.
5. Si x, y ∈ X, entonces x + y = y + x.
6. Si x ∈ X y α es un escalar, entonces αx ∈ X
a) ∅ y X están en τ .
Definición 2.6 (Una topología sobre un conjunto X) se define como una co-
lección τ de subconjuntos de X con las siguientes propiedades:
1. ∅ y X están en τ ,
Definición 2.8 (Sea (X, τ ) un espacio topológico) podemos decir que na colec-
ción B de subconjuntos de X (llamados elementos básicos) es una base para la topo-
logía τ si se cumple que:
Definición 2.9 (Topología producto) sea Xα , Tα una familia arbitraria (tal vez
infinita) de espacios topológicos. Llamemos X a su producto cartesiano, i.e.X =
Y
Xα ypα : X −→ Xα
α∈A
1. d(x, y) = 0,
2. d(x, y) > 0 si x 6= y,
1. k x k≥ 0.
2. k x k= 0 ⇔ x = 0
3. k αx k= |δ ⇔ . k x k .
2. kxk = 0 si y sólo si x = 0,
nidas en [a, b] con la norma del supremo es un espacio de Banach. Más general-
mente, el espacio C(K) de funciones continuas en un espacio métrico compacto
K equipado con la norma del supremo es un espacio de Banach.
16
P∞
3. Para 1 ≤ p < ∞, el espacio de sucesiones lp = { x = { xn } n N: n=1 |xn |p <
∞} con la norma p display estairi
∞
!1
p
X
k x kp = |xn | /p
n=1
.
sup
kxk∞ = |x |
n∈N n
Bruzual, R y Domínguez, M.(2005)[6]
Sera de magnifica utilidad darles una breve descripción de los espacios de sucesio-
nes de Banach y de manera especial los conocidos como `p y los `p (v)
∞
`p := {(xi )i ∈ KN : ||x||p := ( |xi |p )( 1/9) < ∞}
X
(2.1)
i=1
Es fácil probar que el espacio `p es un espacio de Banach si se parte del lema que
establece que ” si X es un espacio normado y la sucesión (xn )∞
n=1 ⊂ X es de Cauchy,
que sean normados, más aún, los espacios de Banach. Veamos algunos ejemplos de
espacios de Banach de sucesiones.
( )
`∞ = (xk )k : sup |xk | < ∞ , con k(xk )k k`∞ = sup |xk |
k∈N k∈N
i = 1k |xi+1 − xi | ,
X X
bv = (xk ) k : ∃ lı́m con k(xk ) kk bv = |xk+1 − xk |+ lı́m |xk|
k→∞ k→∞
k∈N
k k
( )
X X
bs = (xk ) k : sup xi
<∞ , con k(xk ) kkbs = sup xi
k∈N i=1
k∈N
i=1
Utilizaremos las letras E y F para denotar los espacios de sucesiones y k·kE (resp.
k · kF ) para sus normas. Por otra parte, cuando decimos x ∈ E nos referimos a que
la sucesión x = (xk )k pertenece a E. En diversos casos usaremos, por comodidad, la
notación x(k) para nombrar la k-ésima coordenada de la sucesión x y si x e y son
dos sucesiones, llamaremos x · y := (xk · yk )k al producto coordenada a coordenada.
Villafañe, N. R. (2016)[48]
Demostración 2.2.1 Sea x ∈ E como |(x·s)k | = |xk | para todo k ∈ N, por la norma-
lidad de E, se tiene que x·s ∈ E, con kx·skE ≤ kxkE . Ahora bien, aplicando el mismo
argumento sobre x · s ∈ E, tomando una sucesión s−1 tal que s · s−1 = (1, 1, 1, ....), se
tiene que x = x·s·s−1 ∈ E con kxkE
Villafañe, N. R. (2016)[48]
Definición 2.21 (Una sucesión {xn } de puntos de un espacio métrico (X, d))
es convergente si existe un punto p ∈ X que satisfaga la siguiente propiedad: Para
todo > 0 existe un entero N tal que d(xn , p) < siempre que n ≥ N . Galán, V. J.
,(2010)[50]
Definición 2.22 (Una sucesión {xn } de un espacio métrico (X, d)) se llama su-
cesión de Cauchy si se cumple que para cada > 0 existe un entero N tal que
d(xn , xm ) < siempre que n ≥ N y m ≥ N . Galán, V. J. ,(2010)[50]
Definición 2.23 (Un espacio métrico (X, d)) se llama completo si toda sucesión
de Cauchy de X converge en X. Galán, V. J.(2010)[50]
∞
!1
p
`p = (xn )n≥1 ∈ Rn : kxkp = |xi |p
X
< ∞
i=1
Definición 2.25 (Un sistema dinámico discreto) es un par (X, T ), formado por
un espacio métrico X y una aplicación continua T : X → X.
Sea T : X → X un sistema dinámico. Entonces un subconjunto T ⊂ x se llama
T-invariante o invariante bajo T, T (Y ) ⊂ Y.
A menudo se da por sentado el espacio topológico X en el que se está trabajando,
de manera que simplemente se llama T al sistema dinámico o bién T : X −→ X.
También se adopta la notación usada en toría de operadores y se escribirá T x en
lugar de T (X).
Sea T un sistema dinámico. Dado un punto x ∈ X, al conjunto de sus interaciones,
x, T x, T 2 x, ... = T n : n ∈ No se llama orbita de x respecto T y se denota por Orb(x, T ).
Bruzual, R y Domínguez, M. ,(2005)[6]
{x, T x, T 2 x, . . .} = {T n x : n ∈ N0 }
X F / X
φ φ
Y G / Y
conmuta.
21
υj
sup < ∞. (2.2)
j∈N υj + 1
Galán, V. J. ,(2015)[9]
Proposición 2.2.4 Sea el espacio `p (υ) con υ cumpliendo la condición (2.2). Las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. lı́m infj υj = 0,
3. B : `p (υ) → υ es hipercíclico.
1. x ∈ X es un punto fijo de T si T x = x.
22
1. T es topológicamente transitiva.
∞
T n (U ) es denso en X.
[
2. Para cada subconjunto abierto U de X, el conjunto
n=0
∞
T −n (U ) es denso en X.
[
3. Para cada subconjunto abierto U de X, el conjunto
n=0
vi
Proposición 2.2.6 Sea el espacio `p (v) con v cumpliendo la condición supi∈N vi+1
<
∞. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. lı́m vi = 0
1. T es topológicamente transitiva.
Apellán,V.,(2015)[1]
∞ [
∞
T −n (Uk ).
\
B(T ) =
k=1 n=0
Definición 2.34 (Sea (X, d) un espacio métrico sin puntos aislados) un siste-
ma dinámico T : X −→ X se dice que tiene dependencia sensible de las condi-
ciones iniciales si existe algún δ > 0 tal que, para todo x ∈ X y todo ε > 0, existe
algún y ∈ X con d(x, y) < ε tal que, para algún n ∈ N0 , d(T n x, T n y) > δ. Al número
δ se le llama constante de sensibilidad de T. Apellán,V.,(2015)[1]
Definición 2.35 (Sea (X, d) un espacio métrico) se dice que un sistema diná-
mico T : X → X es caótico (en el sentido de Devaney) si satisface las siguientes
condiciones:
1. T es topológicamente transitiva.
Entonces, si para algún m d(T m p1 , x) < η, se tiene que d(x, T n p2 ) ≥ η para todo
n ∈ N o recíprocamente, si para algún n, d(x, T n p2 ) < η entonces se verifica que
d(T m p1 , x) ≥ η para todo m ∈ N. Por lo tanto, cualquier x ∈ X está al menos a una
distancia η de cualquier punto de la órbita de p1 , o de la órbita de p2 .
Ahora, se probará que T tiene dependencia sensible con respecto a las condiciones
iniciales con constante de sensibilidad δ = η4 . Sea x ∈ X y ε > 0, como los puntos
periódicos son densos en X, existe un punto periódico q de periodo N tal que
Notar que por tener q periodo N, T lN q = q para todo l. Por lo visto anteriormente,
existe también un punto periódico p tal que
Por otro lado, como T es continua, existe algún entorno V de p tal que dado y ∈ V
se tiene que
26
k k
Ahora, sea j el entero que satisface N
≤j< N
+ 1, es decir, k ≤ jN < k + N .
Notar que por (2.5) se tiene que d(T jN −k p, T jN −k T k z) < δ ya que jN − k < N y
T k z ∈ V . Utilizando eso último junto con (2.3) y (2.4) y aplicando la desigualdad
triangular, se tiene:
> 4δ − δ − δ = 2δ
Por tanto, d(T jN q, T jN x) > δ o d(T jN x, T jN z) > δ. Además, dado que d(x, q) < ε
(2.3) y d(x, z) < ε, luego se concluye que T tiene dependencia sensible con respecto
a las condiciones iniciales.
Ejemplo 2.3 (Función tienda) esta es un claro ejemplo de una función caótica (en
el sentido de Devaney) y viene dada por T : [0, 1] −→ [0, 1], donde:
2x si x ∈ [0, 21 ]
Tx = (2.6)
2 − 2x si x ∈ ( 21 , 1]
27
Teorema 2.4 Sea (vn )n una sucesión en el espacio `p (v) con v cumpliendo la condi-
vj
ción supj∈N vj+1
< ∞. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
28
3. B es caótico.
Jiménez, R.,(2007)[16]
Tal que S es una isometría; es decir kβxk = kxk para todo x ∈ `o . Se sigue tal
que S es acotado y |S| = 1.
Jiménez, R.,(2007)[16]
Definición 2.45 (Cao) : sea (X,d) un espacio métrico. Se dice que un sistema diná-
mico T : X → X tiene dependencia sensible con respecto a las condiciones iniciales
si existe algún δ > 0 tal que para todo x ∈ X y para todo ε > 0, existe y ∈ X con
d(x, y) < ε mientras que para algún n0 ≥ 0 se cumple que d(T n0 x, T n , T n0 ) > δ.
Devaney, R. L.,(2007)[7]
T n (U )∩ V 6= ∅, para todo n ≥ N.
Galán, V.,(2015)[9]
Galán, V.,(2015)[9]
31
T x S: X x Y → X x Y , (T x S) (x, y) = (T x, Sy).
(T x S)n = T n x S n .
Galán, V.,(2015)[9]
T n (U1 ) ∩ V1 6= ∅ y T n (U2 ) ∩ V2 6= ∅.
Obviamente, la propiedad ser débil mezclante es más fuerte que la propiedad ser
topolócamente transitivo pero más débil que la propiedad ser mezclantes. Galán,
V.,(2015)[9]
32
CAPÍTULO III
DISEÑO METODOLÓGICO.
3.1. Introducción.
En este capítulo se describirá los aspectos metológicos que Sellaran el progreso
de esta investigación. En el mismo se detallan el método, diseño, tipo, enfoque y
procedimientos del referido estudio.
3.2.1. Método.
Este estudio corresponde a una investigación analítica, pues como lo expresan los
objetivos investigativos, la misma consistira en un análisis comparativo de la dinami-
ca y esacios mezclantes y débil mezclantes en espacios de sucesiones.
3.2.2. Diseño.
3.2.3. Tipo.
3.2.4. Enfoque.
3.3. Procedimientos.
En este distante se contendrá un retrato de las diferentes etapas del proceso de rea-
lización de este trabajo de investigación, las cuales son supervisadas constantemente
por el asesor.
2. Se efectuará una amplia consulta bibliográfica, en varios idiomas, sobre los as-
pectos básicos y teoremas más importantes sobre la dinamica, aplicaciones mez-
clantes, débil mezclantes topológica y espacios de sucesiones.
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