1/2

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

Para un experimento que consta de k eventos sucesivos

donde:

el primer evento puede resultar de m1 maneras distintas,

el segundo evento puede resultar de m2 maneras distintas
.
.
.
El k-ésimo evento puede resultar de mk maneras distintas.

El número total de resultados para el experimento completo está dado por:

m1 • m2 • ... • mk
 2/2
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
Ejemplo 1:

En un sorteo cada participante debe elegir en orden cuatro imágenes de

entre 25. Durante el sorteo se descubren una por una cuatro imágenes
imágenes (sin repetición) y ganan quienes acierten a las cuatro en el mismo
orden en que salieron. ¿cuántos posibles resultados puede tener el sorteo?

No. de resultados = (25) (24) (23) (22) = 303,600

Ejemplo 2:
En un sorteo cada participante debe elegir cuatro números del 1 al 25.
Durante el sorteo se seleccionan cuatro números con repetición y ganan
quienes acierten a los cuatro números en el mismo orden en que salgan.
¿cuántos posibles resultados puede tener el sorteo?

No. de resultados = (25) (25) (25) (25) = 254 = 390,625

Nótese que en este caso, si n es el número total de elementos diferentes disponibles

y r es el número de objetos que se seleccionarán con repetición, entonces el número
total de resultados posibles es: nr.
 1/4
PERMUTACIONES
Permutaciones simples:
Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, las permutaciones son
subconjuntos de r objetos, en donde una permutación es distinta de otra si
difiere en al menos un elemento o en el orden de estos. Condición: r < n.

Para escoger el 1er. elemento hay n formas distintas.

Para escoger el 2do. elemento hay (n-1) formas distintas.
Para escoger el 3er. elemento hay (n-2) formas distintas.
...
Para escoger el r-ésimo. elemento hay [ n - ( r-1 ) ] formas distintas,
o bien, (n-r+1).

Por el principio fundamental del conteo, el número total de

permutaciones es:
P(n,r) = n (n-1) (n-2) ... (n-r+1)
Que también se puede expresar de la forma:

n!
n
P ( n, r ) = P = r
( n − r )!
 2/4
PERMUTACIONES

Si en las permutaciones n = r entonces: P(n,n) = n!

¿de cuántas maneras se puede acomodar una reunión de cinco

personas en una fila de cinco sillas?

5 4 3 2 1 5!=120

Permutaciones circulares:
n objetos pueden distribuirse en un círculo de (n-1)(n-2)...(3)(2)(1) formas
distintas
PCn = ( n − 1)!
¿de cuántas maneras se puede acomodar una reunión de cinco
personas en una mesa redonda?

(5-1)!=4!= 25
Nótese que la primera persona puede colocarse en cualquier lugar, por lo que de las P(n,r) hay
que desechar las que son iguales, por lo que PCn = n! / n = (n-1)!
 3/4
PERMUTACIONES
Permutaciones con repetición:
Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, se forman conjuntos de r
objetos, en donde se permite la repetición y además se permite: r < n, r
>n ó r=n

Para escoger el 1er. elemento hay n formas distintas.

Para escoger el 2do. elemento nuevamente hay n formas distintas.
Para escoger el 3er. elemento también hay n formas distintas.
...
Para escoger el r-ésimo. elemento hay n formas distintas,

Por el principio fundamental del conteo, el número total de

permutaciones es:
PR(n,r) = n•n .... •n =n
r

r veces

n r
lo que también se expresa de la forma: PR = nr

Nótese que en este caso, después de observar cada resultado se devuelve el elemento al conjunto, y
para el siguiente ensayo hay otra vez n resultados posibles; por lo que se dice que se toman muestras
con reemplazo.
 4/4
PERMUTACIONES
Permutaciones con grupos de objetos iguales:

Si en un conjunto de tamaño n, existen

m1 objetos iguales
m2 objetos iguales
....
mk objetos iguales,
donde m1+m2+..+mk=n

El número de permutaciones de n objetos es:

n n!
P m1 ,m2 ,..,mk =
m1! m2! ... mk !
Ejemplo:
¿cuántos códigos diferentes de siete letras pueden formarse con tres letras X,
dos letras Y y dos letras Z? 7 7!
P3, 2, 2 = = 210
3! 2! 2!
 COMBINACIONES
Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, las combinaciones son
subconjuntos de r objetos, en donde una combinación es distinta de otra si
difiere en al menos un elemento, sin importar el orden de éstos.
Condición: r < n.

n n!
El número total de permutaciones es: P ( n, r ) = P =
r
( n − r )!
Pero como para cada combinación
hay r! permutaciones, se tiene que: Prn = r! Crn
n
n P 1 n!
Despejando: Cr = r
=
r! r! ( n − r )!
Que también se puede expresar de la forma:

⎛n⎞ n n!
⎜⎜ ⎟⎟ = C ( n, r ) = Cr =
⎝r⎠ r! ( n − r )!
 COMBINACIONES
Ejemplo 1:

En un sorteo cada participante debe elegir cuatro números

distintos del 1 al 25. Durante el sorteo se sacan cuatro números
sin repetición y ganan quienes acierten a los cuatro números sin
importar el orden en que salgan. ¿cuántos posibles resultados
puede tener el sorteo?

Puesto que no importa el orden en que salen los

números, se trata de combinaciones:

⎛ 25 ⎞ 25 25! 25!
⎜⎜ ⎟⎟ = C4 = = = 12,650
⎝4⎠ 4! ( 25 − 4)! 4! ( 21)!
 COMBINACIONES
Ejemplo 2:

De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto por 3 hombres

y tres mujeres, de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres

1. Los 3 hombres se pueden elegir de 35 formas ⎛7⎞ 7!

distintas. ⎜⎜ ⎟⎟ = C37 = = 35
3
⎝ ⎠ 3! ( 7 − 3)!

2. Las 3 mujeres se pueden elegir de 10 formas ⎛ 5⎞ 5!

distintas. ⎜⎜ ⎟⎟ = C35 = = 10
3
⎝ ⎠ 3! ( 5 − 3)!

3. Por el principio fundamental del conteo, el

número de comités distintos es de:
C37 C35 = 350
 COMBINACIONES
Combinaciones con repetición:
Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, se forman conjuntos de r
objetos, en donde se permite la repetición, sin importar el orden de los
elementos; aquí también, una combinación es distinta de otra si difieren en
al menos un elemento, y además se permite: r < n y r > n.

n n + r −1 ( n + r − 1)! ( n + r − 1)!
CR = C
r r = =
r! ([n + r − 1] − r )! r! ( n − 1)!
En una urna se tienen seis esferas diferentes ¿Cuántas combinaciones
de cuatro esferas, con repetición, se pueden formar?

6(6 + 4 − 1)! 9!
CR =4 = = 126
4! (6 − 1)! 4! 5!
9!
o bien: CR46 = C46+ 4−1 = C49 = = 126
4! (9 - 4)!
 NÚMEROS COMBINATORIOS

⎛n⎞ n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ r ⎠ r! ( n − r )!
Propiedades de los números combinatorios
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛0⎞ ⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 1; ⎜⎜ ⎟⎟ = 1; ⎜⎜ ⎟⎟ = 1; ⎜⎜ ⎟⎟ = n
⎝n⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠

⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝r ⎠ ⎝n − r⎠ ⎝ r ⎠ ⎝ r − 1⎠ ⎝ r ⎠
Ejemplos:

⎛10 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
6
⎝ ⎠ ⎝ 10 − 6 ⎠ ⎝4⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 5⎠
210 210 126 70 56
TEOREMA DEL BINOMIO Y EL TRIÁNGULO DE PASCAL

n ⎛ n ⎞ n−r r
n
Teorema del binomio: ( a + b) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟a b
r =0 ⎝ r ⎠

n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
n=7 1 7 21 35 35 21 7 1

Proporciona los coeficientes de cada término del desarrollo del binomio; cada
celda en él triángulo corresponde al número combinatorio C(n,r) donde n es
el renglón y r es la posición del término, para r=0, 1, . . . ,n.

Ejemplo, para n=5:

(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2-10x2y3+5xy4+y5
 DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Es una técnica gráfica para encontrar el número de posibles resultados para
un experimento que consta de eventos sucesivos.

Ejemplo: Al lanzar una moneda tres veces, los posibles resultados

en serie se pueden contar en este árbol.

A AAA

A S AAS
ASA
A
A
S
S ASS

SAA
A

A SAS
S
S
SSA
A
S
S SSS