B

N
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ck ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
c
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA 
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA A bk C b Q
M
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA 6.1 MA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
ÉLITE CATÓLICA

Entonces: ABC  MNQ

 Dos triángulos son semejantes, si un ángulo del

primer triángulo es de igual medida que un ángulo del
SEMEJANZA DE FIGURAS segundo y los lados que los determinan son
proporcionales respectivamente.
GEOMÉTRICAS

Definición: Dos figuras geométricas son semejantes si

tienen igual forma y tamaños diferentes.
En dos figuras geométricas semejantes sus elementos
homólogos son proporcionales.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Si: mBAC = mNMQ y

AB

MN
Definición: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos AC MQ
interiores tienen igual medida respectivamente y sus lados
homólogos son proporcionales. Entonces: ABC  MNQ

Los lados homólogos en triángulos semejantes, son  Dos triángulos son semejantes si los tres lados del
aquellos lados opuestos a ángulos de igual medida. primer triángulo son respectivamente proporcionales a
B los tres lados del segundo triángulo.
 N B
 N
ck ak
c a
   
A C M Q
A bk C M b Q
Notación: ABC  MNQ
AB BC AC
Símbolo de semejanza:  se lee “es semejante” Si:  
MN NQ MQ
Pares de lados homólogos:
AB y MN; BC y NQ ; AC y MQ
Entonces: ABC  MNQ
AB BC AC
Se cumple:   K
MN NQ MQ Algunos casos de Semejanza
Donde: K es razón de semejanza 1. B


Casos de semejanza de triángulos  MBN ABC

 Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos del M N
primer triángulo son de igual medida que dos ángulos
 
del segundo triángulo respectivamente.
B A C

N 2. A


    ABHAHC ABC
A C M Q
 
Si: mBAC = mNMQ y mACB = mMQN
B H C

Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730

 1. En los lados AB y BC de un triángulo ABC se ubican
3. los puntos Q y P de modo que QP es paralelo al lado
B
AC y PA es la bisectriz del ángulo CPQ. Hallar PC, si
PQ = 3 y PB = 8.
Q ABC PBQ
P 2. En un triángulo rectángulo ABC se inscribe un
cuadrado PQRS (P en AB, Q en BC, R y S en AC).
A C Calcular la medida del lado del cuadrado si AR = 10 y
PROPIEDADES SC = 15.

1. L: Lado del cuadrado PQRS 3. En un triángulo ABC se traza una recta paralela al
B
lado AC que interseca al lado AB en el punto M, a la
hb bisectriz AP en el punto O y al lado BC en el punto N.
L Q R
h Calcular ON, si AB = 4, AC = 6 y MO = 1.
hb L

A P S C 4. En un romboide ABCD, en AC se ubica el punto M,

b tal que AM = 8, MC = 1 y mABC = mDMC. Calcular
AB.
2. ABCD : Trapecio, BC // PQ // AD
a 5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza
B C
la bisectriz interior BD , por D se traza la
P Q PQ = perpendicular a AC que interseca en E a BC . Si
AB = 12 cm y BC = 16 cm, calcular DE.

A D
6. En un romboide ABCD se ubica el punto medio M de
b
BC tal que AM y DM intersecan a
BD y AC en los puntos G y H respectivamente.
3. Si BC = 12 cm, calcular GH.

b
a
ab 7. En un triángulo ABC, mA = 10º y mC = 20º. Hallar
x x=
ab la distancia entre los pies de las alturas trazadas
desde A y C, si AC = 2 3 m.

4. ABCD : Rombo
8. En un triángulo ABC, sean “I” el incentro y “E” el
PQRS : Cuadrado de lado “L”
B excentro relativo al lado BC. Si AB = 8 m, AI = 5 m y
AC = 10 m. Calcular IE.
Q R

A C D L= AB
9. En la figura, 2AC = 3CE. Calcular
B DE
P S

 D
D
d 

A C E

-2-
Semejanz
a
 6. Un triángulo tiene por lados 20, 26 y 30. ¿Cuáles son
10. Dos circunferencia son tangentes exteriormente en el los lados de otro triángulo semejante de 114 de
punto P, por el cual se traza una recta que interseca a perímetro?
las circunferencias en los puntos A y B. Luego se traza A) 30, 39 y 45 C) 26, 39 y 49 E) N.A.
la cuerda BF de manera que FA es tangente a la B) 25, 35 y 54 D) 25, 39 y 50
otra circunferencia en el punto A. Calcular BF, si AP =
7. Los lados de un triángulo miden 15, 20 y 30 m.
7 y BP = 9.
¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo semejante
si la razón de semejanza del primero con el segundo
es de 5/4?
A) 60 m B) 65 m C) 56 m D) 52 m E) N.A.

1. En la figura AB // DE , BD = 60 m; AB = 2DE, 8. Un lado de un triángulo mide 24 y la altura

Hallar CD. B correspondiente 6. Si el lado homólogo de un triángulo
semejante mide 21. ¿cuánto mide la altura
A) 48 m correspondiente?
C B) 20 m A) 5 B) 4,5 C) 4 D) 3,5 E) 5,25
A E
C) 15 m
D) 10 m 9. El perímetro de un polígono mide 64 cm. Calcular el
E) N.A. perímetro de otro polígono semejante si la razón entre
D los lados correspondientes es 4/5.
2. En la figura se muestra una escuadra. Hallar x + y. A) 64 cm C) 75 cm E) 80 cm
B) 70 cm D) 78 cm
A) 5
6 8 10. En la figura, hallar el valor de x + y.
x
1,5 B) 4,5
y
y C) 4
A) 6
10 D) 3,5 x
4 B) 9
E) N.A. 5
C) 12
3. En la figura, hallar BC si PQ // BC y AP = 8, PB = 2 D) 7
12 y PQ = 6. E) N.A.
A A) 10
B) 12 11. Sobre los lados AB y AC de un ABC se toman
P Q C) 15 los puntos P y Q respectivamente tal que: mBCA =
D) 18 mQPA. Calcular CQ, si 6BP = 3AP = AC = 6.
E) N.A. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N.A.
B C

4. Dos edificios de 120 m y 180 m de altura están 12. En un triángulo ABC se considera sobre BC un
ubicados a cierta distancia uno del otro. Determine la punto “M” de modo que mBAM = mC. Calcular BM
altura del punto de intersección de las rectas que unen si AB = 6 y BC = 10
la parte más alta de cada edificio con la base del A) 1 B) 2,4 C) 3,6 D) 5 E) 7
edificio opuesto.
A) 36m B) 48m C) 72m D) 84m E) N.A. 13. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas
BH y CF tales que AH = 3, AF = 4, FB = 5. Hallar
5. Si el triángulo que tiene por lados 8,10 y 14, es HC
semejante con un triángulo que tiene por perímetro A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 17
80, hallar los lados de este triángulo.
A) 20, 25 y 35. D) 20, 28 y 32. 14. En la figura, calcular AB si BF = 2 y FC = 7
B) 20, 26 y 34. E) N.A. B A) 3
C) 24, 26 y 30. F B) 14
C) 2 3
D) 3 2


A C
-3-
Semejanz
a
 E) 2 3 C) 15 m
D) 20 m
15. En la figura, calcular OH si el cuadrado tiene 6 m de E) 4 m
lado.
B M C A) 3 m 23. Los lados de un triángulo rectángulo ABC miden
B) 4 m AB = 21, AC = 28 y BC = 35. Se toma un punto Q
O
C) 5 m sobre la hipotenusa, tal que AQ sea diagonal del
D) 2,5 m cuadrado inscrito. Hallar el lado del cuadrado.
E) 3,5 m A) 11 B) 11,5 C) 12 D) 12,5 E) 13
16. En la figura,
A AFH= 3 m, AE
D = 2 m y AD es mayor que
24. En la figura EH = 12 m, PH = 0,75 m y AC = 10 m.
AC en 2 m. Calcular AC
Calcular AH
A E
 A) 4m
C B A) 0,5 m
B) 4.5 m B) 1m
E P
C) 5.5 m C) 2m
D) 6m D) 0,75 m
 E) 6,2 m C E) N.A.
A H
B F D
25. La altura de un trapecio mide 4 cm y uno de los lados
17. En la figura MN // AC , AB = 6 m, AC = 14 m. no paralelos mide 6 cm. Si se prolongan los lados no
Calcular MN. B paralelos, se obtienen dos triángulos. Hallar la altura
A) 7 m del triángulo parcial si la prolongación del lado de 6
B) 3,5 m cm del trapecio mide 9 cm.
M N C) 2,8 m A) 7 cm C) 4 cm E) 10 cm
D) 2,6 m B) 8 cm D) 6 cm
 E) 4,2 m

A C 26. En la figura AB = 3 y BD = 2 3 . Calcular BC
B
18. En un triángulo rectángulo un cateto mide 24 m.  A) 2
 C
Calcular la distancia del baricentro al otro cateto. B) 4
A) 3 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m E) 9 m C) 6
 D) 8
19. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza la A E) 10
D
altura BH . Si “O” es ortocentro y OH = 1 m, OB = 8
m, calcular AC. 27. En la figura ABCD es un paralelogramo, AB = 12, 4BO
A) 3 m B) 4 m C) 3,5 m D) 5 m E) 6 m = 3BD. Calcular PC
B C A) 2
20. En un triángulo isósceles la base mide 20 y la altura B) 4
relativa al lado igual es 16. Calcular la altura relativa al O P C) 6
lado desigual del triángulo. D) 8
A) 12 1/3 C) 13 E) N.A. A D
E) 10
B) 12 2/3 D) 13 1/3
28. En la figura, calcular PQ, si AH = 3 y BC = 9
21. Dado un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza la B
altura AH. Calcular la medida de la base AC si (BC) A) 1
(CH) = 32 m2. B) 1,5
H
A) 6 m B) 8 m C) 10 m D) 12 m E) N.A. C) 2
Q D) 2,5
22. Hallar el lado del cuadrado si AP = 9m y SC = 25m E) 3
B A P C

A) 5 m
Q R
B) 10 m

-4-
Semejanz
A P S C
a
29. En un triángulo ABC la mediatriz de AC interseca B) 16
en “N” a BC y en “E” a la prolongación de AB , tal C) 18
que NC = 5BN y AB = 18 m. Calcular BE D) 20
A) 3 m B) 3,5 m C) 4,5 m D) 5 m E) 6 m E) 22

30. Por el vértice A de un paralelogramo ABCD se traza el

segmento que encuentra a BD en E y a DC y 37. AE = 6, BC = 12, AC = 18, CB // DE , BP = PE.
Hallar DE.
CB en G y F respectivamente. Calcular AE, si EG =
9 y EF = 4 C B P
A) 2
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) N.A.
B) 3
31. En un triángulo ABC, mA = 2mC, AB = 6 y BC =
D E
C) 4,2
10 . La bisectriz de B corta al lado AC en P. Hallar
D) 4
PC.  
E) 4,5
A) 6 B) 7 C) 19/2 D) 20/3 D) 19/3
A
38. Del gráfico, calcular x.
32. En la figura, hallar ML, si AB = c, MN = a, AC = b Q
B
x A) 3
A) abc B) 4
 B
N B) ab/c 5 C) 5

C) ac/b F M
D) 6
L  D) bc/a
 M  E) N.A.
A C E) N.A. A 9 H 3 C

33. En la figura se tiene que AN = 4 m y AC = 18 m. 39. Según el gráfico, calcular BA, si BC = 12 y

Hallar AH.
B AR PD CQ
A) 6 2  
7R 5 2
m B
P
M B) 5 2 Q
  A) 4
m
B) 6
C) 8 m
A N H C C) 7
D) 9 2
D) 8
m
A D C E) N.A.
E) 8 2
m
40. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Si AB = 9, AD
34. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas = 12 y PR = 6. hallar PQ.
B C
AR y CQ . Calcular RQ, si AC = 8 y mB = 60º A) 1,5
A) 2 2 B) 3 C) 3 3 D) 5 E) 4 B) 2
R P C) 3,5
D) 4,5
35. En un triángulo obtusángulo (AB = BC) se traza la
A D
E) N.A.
mediatriz de AB que corta a la prolongación de Q

CB en P. Hallar AC, si AB = 6 y BP = 9.
A) 6 B) 2 6 C) 3 6 D) 4 6 E) 5

36. En la figura, calcular el valor de x

8n A) 12
14n

-5-
Semejanz
  a
6 x