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L2
(x1,z1)
a2
a3
Q
L1 L3 q4
r1
x0,z0
a1
q2 r2
x1=x0-L3*cos(Q)
z1=z0+L3*sin(Q)
r1=√(x1^2+z1^2)
Introducción
Como vimos, el diseño de un controlador consiste en colocar los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema en lazo cerrado, en las posiciones que más convengan con el fin de
lograr una respuesta según ciertas especificaciones, generalmente en el dominio del tiempo.
Por lo anteriormente dicho, conocer el lugar donde se encuentran los polos y los ceros del
sistema en lazo cerrado es fundamental en la tarea de diseñar controladores. El estudio del
Lugar Geométrico de Las Raíces, ha demostrado por años ser una de las herramientas más
útiles en la síntesis de controladores. Comenzaremos describiendo el método de obtener las
raíces y su gráfica, de la Ecuación Característica, para luego entender como los polos y los
ceros se modifican al cambiar ciertos parámetros del sistema, estas modificaciones son las que
permiten obtener la respuesta deseada.
( ) ( )
Condición de Modulo.
| ( )|
Ejemplo 6.1
Sea el sistema:
( )
( )
1.5
0.5
Imaginary Part
-0.5
-1
-1.5
En la gráfica podemos ver los dos polos. De esta grafica podemos concluir que el sistema es
inestable, ya que ambos polos están fuera del circulo unitario (Circulo azul).
( )
( )
( )
( )
0.5
Imaginary Part
-0.5
-1
-1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Real Part
Como vemos las raíces están más cerca del círculo unitario.
Hagamos ahora la ganancia del sistema muy grande por ejemplo 10.
( )
( )
( )
( )
2
Imaginary Part
-1
-2
-3
-4
-5
0 2 4 6 8 10 12
Real Part
Podemos ver que los Ceros de la función de transferencia no se ven afectados por el cambio de
la ganancia, pero los Polos se van corriendo según la ganancia cambie. En el caso de suponer
una ganancia genérica igual a K, y hacerla variar desde cero hasta infinito, da lugar a una
gráfica denominada Lugar Geométrico de las Raíces (LGLR) de G. a continuación el método
para obtener el LGLR.
2. Las ramas del lugar geométrico de las raíces comienza en los polos de GH(z) y termina
en los ceros de GH(z).
3. La gráfica del LGLR es simétrico respecto al eje Real.
4. El número de asíntotas es igual al número de Polos de GH(z) menos el número de Ceros
( )
de GH(z), con ángulos dados por
5. Las asíntotas intersectan al eje real en :
∑ ( ) ∑ ( )
[ ( )]
O equivalentemente:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
Ejemplo 6.2
Sea el siguiente sistema. Grafique el LGLR
1. La función de transferencia en lazo abierto es:
( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
Observemos que
( )
( )
( )( )
Luego:
( )
( )( )
( )( )
( )
Con esto calculamos K para cada una de las raíces encontradas para los puntos de ruptura.
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
Con todo esto ya podemos tener una idea de cómo será el LGLR. Sin embargo para lograr una
gráfica más precisa requerimos de otra información, como por ejemplo el cruce con el eje
imaginario, o el cruce con el círculo unitario. Recordemos que la gráfica del LGLR es para la
ecuación característica, y es en esta que debemos evaluar cuando busquemos cualquier punto
del plano z, o raíz, o cualquier valor de la ganancia. La aclaratoria viene porque para iniciar el
grafico del LGLR solo basto con la función de transferencia en lazo abierto.
( ( )
De aquí:
( ) √ ( ) ( )
Si queremos saber los puntos donde corta al eje imaginario hacemos a z = ±iv
( ) √ ( ) ( )
Lo que conduce a:
( )
√ ( ) ( ) √ ( )
√ ( ) √
1
0.5 /T
0.6 /T 0.4 /T
0.7 /T 0.10.3 /T
0.2
0.3
0.8 /T 0.4 0.2 /T
0.5
0.5
0.6
0.7
0.9 /T 0.1 /T
0.8
0.9
Eje imaginario
/T
0
/T
0.9 /T 0.1 /T
-0.5
0.8 /T 0.2 /T
0.7 /T 0.3 /T
0.6 /T 0.4 /T
0.5 /T
-1
-1.5
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Eje real
Todo el trabajo anterior se puede realizar con los siguientes comandos en MatLab
En script.
clc
num=input('Polinomio numerador = ')
den=input('Polinomio denominador = ')
Ts=input('Periodo de muestreo (s) = ')
FT=tf(num,den,Ts)
rlocus(FT)
grid
En el espacio de trabajo.
clc
num=[0.37 0.204]
den=[1 1.37 0.37]
Ts=1
FT=tf(num,den,Ts)
rlocus(FT)
grid
Con esto ya hemos obtenido el lugar geométrico de las raíces de la EC de un sistema. Podemos
observar que a medida que se va aumentando el número de polos y ceros, más complejos
serán los cálculos. Es por eso altamente recomendable tener un software como MatLab u otro
equivalente, que permita realizar estos cálculos. Además es bueno resaltar que hemos
comenzado a introducir controladores en un sistema, en este caso el controlador más básico,
denominado Control Proporcional, ya que solo consta de una ganancia real multiplicadora.
Ejercicio 6.1
Sea el sistema:
( )
( )( )
Determine el LGLR.
Ejercicio 6.2
Sabiendo que el sistema original es:
( )
( )
( )( )
Haciendo uso de MatLab verifique el efecto sobre el LGLR cuando se varía el Periodo de
muestreo. Pruebe con T=1s; 2s; 2.5s; 1.5s; 10s. Observe que cada vez que pruebe debe dibujar
el LGLR.
2009
Sistemas Neumáticos
Industriales